SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
2
n n 2
không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
2
n 17
là một số chính phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
x 4x+5 = 2 2x+3
b) Giải hệ phương trình:
2
2
2x+y = x
2y+x = y
Câu 3 (3,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
4x+3
Ax1
Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE,
CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF =
2
BC
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K
(O).
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I
cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại
F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng B
-------------------------------------------
Câu:
Nội dung
1.
a,
(2,5)
*) Nếu
2
n 3 n n 3
nên
2
n n 2 3

(1)
*) Nếu
2
n 3 n 2 3

2
n n 2 3
(2)
Từ (1) và (2)
nZ
thì
2
n n 2 3

b,
(2,5)
Đặt
22
m n 17
(m N)
22
m n 17 (m n)(m n) 17 1.17
=17.1
Do m + n > m - n
m n 17 m 9
m n 1 n 8




Vậy với n = 8 ta có
22
n 17 64 17 81 9
2.
a,
(2.5)
Giải phương trình
2
x 4x+5=2 2x+3
(1)
Điều kiện:
3
2x+3 0 x - 2
(1)
2
x 4x+5-2 2x+3 0
2
x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0
22
(x 1) ( 2x+3 1) 0
x 1 0
2x+3 1 0


x1
2x+3=1

x1
thỏa mãn điều kiện
b,
(2.5)
Giải hệ phương trình
2
2
2x+y=x
2y+x=y
Trừ từng vế 2 phương trình ta có:
22
x y x y
(x y)(x y 1) 0
(1)
(2)
x y x y
x y 1 0 x 1 y





Ta có:
*)
x y x y
x(x 3) 0 x 0




Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
*)
2 2 2
x 1 y x 1 y x 1 y
2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0

(*)
Vì phương trình
2
y y 1 0
vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của
2
4x+3
Ax1
Ta có:
2
22
4x+3 x 4x+4
A1
x 1 x 1

2
2
(x 2)
A 1 1
x1
Dấu "=" xảy ra
x 2 0 x 2
Vậy
min
A1
khi x = -2
4.
a,
(2,5)
H
K
E
I
F
O
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC AI BC
Ta có: BHI BCE (g, g)
BH BI BH.BE BC.BI
BC BE
(1)
Ta có: CHI CBF (g, g)
CH CI CH.CF BC.CI
CB CF
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2
b,
(2,0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra
HCB KCB
Mà
FAI HCI
(do tứ giác AFIC nội tiếp)
S
S
hoặc x = 3
FAI BCK hay BAK BCK
tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) K (O)
5.
+ Khi
0
BAC 90
0
BIC 90
.
F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính.
EF đi qua điểm O cố định.
K
F
E
O
A
B
C
I
+ Khi
BAC
< 900
BIC
> 900.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF.
EIF EAF
(cùng bù
BIC
)
EKF EIF
(Do I và K đối xứng qua EF)
EKF EAF
AKFE
nội tiếp
KAB KEF
(cung chắn
KF
) (1)
IEF KEF
(Do K và I đối xứng qua EF) (2)
IEF BIK
(cùng phụ
KIE
) (3)
Từ (1), (2), (3)
KAB BIK
AKBI là tứ giác nội tiếp
K (O)
Mà EF là đường trung trực của KI
E, O, F thẳng hàng.
+ Khi
BAC
> 900
BIC
< 900 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -