1/4
TRUNG TÂM LUYỆN THI ðH SÔNG LÔ
ð/c: ðồng Thịnh – Sông Lô – Vĩnh Phúc
ðT : 0987.817.908; 0982.315.320
ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG LẦN III NĂM 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao ñề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm). Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm trên ñồ thị (C) hai ñiểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A với A(2;0).
Câu II (2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình )
2
sin(2
cossin
2sin
cot
2
1
π
+=
+
+x
xx
x
x
2. Giải bất phương trình :
2 2
35 5 4 24
x x x
Câu III (1,0 ñiểm) . Tính tích phân :
2
4
4 2
4
sin
xdx
x x x
π
π
−
− +
∫
Câu IV (1,0 ñiểm). Cho hình lăng trụ tam giác ñều
'''. CBAABC có
).0(',1
>
=
=
mmCCAB Tìm
m
biết
rằng góc giữa hai ñường thẳng
'
AB
và
'BC bằng
0
60 .
Câu V (1,0 ñiểm).
Tìm m ñể phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
2 2
10x 8 4 (2 1). 1
x m x x
+ + = + +
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 ñiểm)
1.
Trong mp toạ ñộ (Oxy) cho 2 ñường thẳng: (d1):
7 17 0
x y
− + =
, (d2):
5 0
x y
+ − =
. Viết phương trình
ñường thẳng (d) qua ñiểm M(0;1) tạo với (d1),(d2) một tam giác cân tại giao ñiểm của (d1),(d2).
2.
Cho ba ñiểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa ñộ ñiểm D thuộc ñường thẳng AB sao cho
ñộ dài ñoạn thẳng CD nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 ñiểm).
Giải phương trình sau trên tập số phức (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñiểm)
1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và ñường tròn (C):
2 2
2 4 8 0
x y x y
+ + − − =
.Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm A, B của ñường tròn (C)và ñường thẳng d (cho
biết ñiểm A có hoành ñộ dương). Tìm tọa ñộ C thuộc ñường tròn (C)sao cho tam giác ABC vuông ở B.
2.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là
2 2 2
( ) : 4 2 6 5 0, ( ) : 2 2 16 0
S x y z x y z P x y z
+ + − + − + = + − + =
.
ðiểm M di ñộng trên (S) và ñiểm N di ñộng trên (P). Tính ñộ dài ngắn nhất của ñoạn thẳng MN. Xác ñịnh vị
trí của M, N tương ứng.
Câu VII.b (1 ñiểm).
Giải phương trình sau trên tập số phức
z4-z3+
2
2
z
+z+1 = 0
-------------------------------HẾT-------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh...........................................................................số báo danh.....................................................
2/4
TRUNG TÂM LUYỆN THI ðH SÔNG LÔ
ð/c: ðồng Thịnh –Sông Lô – V.Phúc
ðT : 0987.817.908; 0982.315.320
ðÁP ÁN CHÍNH THỨC
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG LẦN III NĂM 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao ñề
Câu Ý Nội dung ðiểm
I 2
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1,00 ñiểm)
-Tập xác ñịnh: R\{1}
-Sự biến thiên:
( )
2
2
' 0 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
0.25
-
( ) ( )
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +
→ →
= −∞ = +∞ → =
là tiệm cận ñứng
-
lim lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = → =
là tiệm cận ngang 0.25
-Bảng biến thiên
-∞
∞∞
∞
+∞
∞∞
∞
2
2
y
y'
x
-
-
+∞
∞∞
∞
1
-∞
∞∞
∞
0.25
-ðồ thị: Học sinh tự vẽ. Yêu cầu vẽ ñồ thị cân ñối, ñảm bảo tính ñối xứng của 2 nhánh qua giao ñiểm của
hai ñường tiệm cận. Thể hiện ñúng giao ñiểm của ñồ thị với các trục toạ ñộ.
0.25
2 Tìm toạ ñộ hai ñiểm B, C… 1,0
Ta có
2
( ) : 2
1
C y x
= +
−
; Gọi
2 2
( ; 2 ), ( ;2 ),
1 1
B b C c
b c
+ +
− −
với ( b < 1 < c).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox, ta có
·
·
·
·
·
·
; 90
AB AC CAK BAH CAK ACK BAH ACK
= + = = + ⇒ =
và
·
·
0
90
AH CK
BHA CKA ABH CAK
HB AK
=
= = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
HK
B
A
C
0,5
Hay
2
2 2
1
1
2
3
2 2
1
bb
c
c
c
b
− = +
= −
−⇔
=
+ = −
−
.Vậy
( 1;1), (3;3)
B C
−
. 0,5
II 2,0
1 Giải phương trình … 1,0
§iÒu kiÖn:
.0cossin,0sin
≠
+
≠
xxx
PT
⇔
2
cos 2sin cos cos 2cos
2cos 0 0 cos sin( ) sin2 0
sin cos sin cos 4
2 sin 2 sin
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
π
+ − = ⇔ − = ⇔ + − =
+ +
0.5
3/4
+)
.,
2
0cos Ζ∈+=⇔= kkxx
π
π
+)
22 2 4
4
sin 2 sin( ) , Z
2
42 2 4 34
x mx x m
x x m n
n
xx x n
π
πππ
π
π ππ
π π
= += + +
= + ⇔ ⇔ ∈
= += − − +
2
4 3
t
x
π π
⇔ = +
0,25
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π
kx +=
2
;
.,,
3
2
4
Ζ∈+= tk
t
x
π
π
0.25
2 Giải bất phương trình…. 1,0
BPT tương ñương:
2 2 2 2
2 2
11
35 24 5 4 5 4 11 (5 4)( 35 24)
35 24
x x x x x x x
x x
+ − + < − ⇔ < − ⇔ < − + + +
+ + +
0.25
a)Nếu x
4
5
≤
không thỏa mãn BPT 0.25
b)Nếu x > 4/5: Hàm số
2 2
(5 4)( 35 24)
y x x x= − + + +
với x > 4/5
y
’
=
2 2
2 2
1 1
5( 35 24) (5 4)( )
35 24
x x x x x
+ + + + − +
+ +
>0 mọi x>4/5
Vậy HSðB. +Nếu 4/5<x
≤
1 thì y(x)
≤
11
+Nếu x>1 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1
0.5
Tính tích phân 1,0
III
2
4
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
Ix x x
π
π
−
=
− +
∫
. ðặt
2
tan 1
dt
t x dx
t
= ⇒ =
+
. Ta có
1 1
2
2 2
1 1
2
2 ln 3
2 5 3 2 5
t dt dt
It t t t
− −
= = + −
− + − +
∫ ∫
0.5
Tính
1
12
1
2 5
dt
It t
−
=
− +
∫
. ðặt
0
1
4
1 1
tan
2 2 8
tu I du
π
π
−
−
= ⇒ = =
∫
. Vậy
2 3
2 ln
3 8
I
π
= + − . 0,5
IV 1,0
Hình Vẽ
KÎ
// ' ( ' ')
BD AB D A B
∈
0
60)',()','( ==⇒ BCBDBCAB
0
60'=∠⇒ DBC
hoÆc
.120'
0
=∠DBC
0,25
NÕu
0
60'=∠DBC
. V× l¨ng trô ®Òu nªn
' ( ' ' '),
BB A B C
⊥
¸p dông ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã
1'
2
+== mBCBD
vµ
.3'=DC
KÕt hîp
0
60'=∠DBC
ta suy ra
'BDC
∆
®Òu.
Khi ñó
.231
2
=⇔=+ mm
0,5
NÕu
0
120'=∠DBC
. ¸p dông ®Þnh lý cosin cho
'BDC
∆
suy ra
0
=
m
(lo¹i). VËy
.2=m
0,25
C
C’
B’
B
A’
m
D
3
1
1
0
120
A
4/4
V Tìm m ñể phương trình … 1,0
2 2 2
1 0 8x 4 2(2 1) 2( 1)
x x x
+ + = + + +
(3)
⇔
2
2 2
2 1 2 1
2 2 0
1 1
x x
m
x x
æ + ö æ + ö
÷ ÷
ç ç
- + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç÷
ç
è ø è ø
+ + .
0,25
ðặt
2
2 1
1
x
t
x
+
=
+ ðiều kiện : –2< t
5
£
.
Rút
m
ta có:
m=
2
2 2
t
t
+
.
0,25
Lập bảng biên thiên ñược ñáp số
12
4
5
m< £ hoặc –5 <
4
m
< -
0,5
VI
a
2,0
1 Viết phương trình ñường thẳng ... 1,00
Phương trình ñường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:
1
2 2 2 2
2
3 13 0 ( )
7 17 5
3 4 0 ( )
1 ( 7) 1 1
x y
x y x y
x y
+ − = ∆
− + + −
= ⇔
− − = ∆
+ − +
0,5
PT ñường cần tìm ñi qua M(0;1) và song song với
1 2
,
∆ ∆
nên ta có hai ñường thẳng thoả mãn
3 3 0
x y
+ − =
và
3 1 0
x y
− + =
0,5
2 Tìm toạ ñộ ñiểm D… 1,00
Ta có
(
)
1; 4; 3
AB
= − − −
uuur
Phương trình ñường thẳng AB:
1
5 4
4 3
x t
y t
z t
= −
= −
= −
0,25
ðể ñộ dài ñoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB 0,25
Gọi tọa ñộ ñiểm D(1-a;5-4a;4-3a)
( ;4 3;3 3)
DC a a a
⇒ = − −
uuur
. Vì
AB DC
⊥
uuur uuur
=>-a-16a+12-
9a+9=0<=>
21
26
a
=
. Tọa ñộ ñiểm
5 49 41
; ;
26 26 26
D
0.5
VII
a
Giải phương trình trên tập số phức 1,00
Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho z
2
và ñặt
2
3 6
z z
t
z
+ +
= ,
Dẫn tới phương trình : t
2
+2t-3 = 0
⇔
t=1 hoặc t=-3.
0,5
•
Với t=1 , ta có : z
2
+3z+6 = z
⇔
z
2
+2z+6 = 0
⇔
z = -1
±
5
i
0,25
•
Với t=-3 , ta có : z
2
+3z+6 = -3z
⇔
z
2
+6z+6 = 0
⇔
z = -3
±
3
0,25
VI
b
2,0
1
Tìm toạ ñộ ñiểm C
1,00
Tọa ñộ giao ñiểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
2 2
0; 2
2 4 8 0
1; 3
5 2 0
y x
x y x y
y x
x y
= =
+ + − − =
⇔
= − = −
− − =
.Vì A có hoành ñộ dương nên ta ñược A(2;0), B(-3;-1). 0,5
Vì
·
0
90
ABC
=
nên AC là ñường kính ñường tròn, tức là ñiểm C ñối xứng với ñiểm A qua tâm I của
ñường tròn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4).
0,5
2
Tìm toạ ñộ các ñiểm M, N
1,0
Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3. 0,25
5/4
Khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P):
( )
( )
(
)
2.2 2. 1 3 16
, 5
3
d d I P d R
+ − − +
= = = ⇒ >
.
Do ñó (P) và (S) không có ñiểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2.
Trong trường hợp này, M ở vị trí M
0
và N ở vị trí N
0
. Dễ thấy N
0
là hình chiếu vuông góc của I trên mặt
phẳng (P) và M
0
là giao ñiểm của ñoạn thẳng IN
0
với mặt cầu (S).
0,25
Gọi
∆
là ñường thẳng ñi qua ñiểm I và vuông góc với (P), thì N
0
là giao ñiểm của
∆
và (P).
ðường thẳng
∆
có vectơ chỉ phương là
(
)
2;2; 1
P
n
= −
r
và qua I nên có phương trình là
( )
2 2
1 2
3
x t
y t t
z t
= +
= − + ∈
= −
¡
.
0,25
Tọa ñộ của N
0
ứng với t nghiệm ñúng phương trình:
( ) ( ) ( )
15 5
2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0
9 3
t t t t t
+ + − + − − + = ⇔ + = ⇔ = − = −
.Suy ra
0
4 13 14
; ;
3 3 3
N
− −
.
Ta có
0 0
3
.
5
IM IN
=
uuuur uuur
Suy ra M
0
(0;-3;4)
0,25
VII
b
Giải phương trình trên rập số phức ... 1,00
. z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 ⇔ (z
4
+1)-(z
3
-z)+
2
2
z
=0. 0,5
Chia cả hai vế cho z
2
, ta ñược : (z
2
+
2
1
z
) –(z-
1
z
) +
1
2
=0 ⇔
2
5
0,
2
w w- + =
(với
1
z
z
w
= -
)
⇔
1 3
,
2 2
i
w= +
hoặc
1 3
2 2
i
w= -
+ Phương trình : z-
1
z
=
1
2
+
3
2
i cho nghiệm z
1
=1+i ; z
2
=-
1
2
(1-i)
+ Phương trình : z-
1
z
=
1
2
-
3
2
i cho nghiêm z
3
=-
1
2
(1+i) ; z
4
= 1-i
0,5