Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu lần 2 năm 2013 (khối D)

Chia sẻ: đinh Thị Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu lần 2 năm 2013 (khối D) gồm các câu hỏi tự luận có đáp án giúp cho các bạn học sinh lớp 12 có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho ôn tập thi cử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu lần 2 năm 2013 (khối D)

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN 2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4 - 2mx 2 + 2m - 4 (C ) . (m là tham số thực) 2 m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có m a 1 góc ở đỉnh của tam giác đó bằng a với tan = . 2 2 2 Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2cos2 x + 2 3sin x cos x +1 = 3(sin x + 3cos x) . ì x 2 - 5 y + 3 + 6 y 2 - 7 x + 4 = 0 ï 2. Giải hệ phương trình í ( x, y Î R) . ï y ( y - x + 2) = 3 x + 3 î 1 ( x - 1 e x + x + 1 ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò dx . 0 1 + e x Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2 a, · = 60 , hình chiếu vuông góc ABC 0 của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng 0 (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC). Câu V (1,0 điểm) Cho bất phương trình m( x 2 - 2 x + 2 + 1) + x(2 - x) ³ 0 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x Î é0;1 + 3 ù . ë û PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng D : x - 2 y + 5 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 5 = 0 có tâm I. Qua điểm M thuộc D, kẻ tiếp tuyến MA đến (C) (A là tiếp điểm) sao cho AM = 10 . Tìm tọa độ điểm M và lập phương trình đường tròn ngoại tiếp D MAI . x -1 y +1 z x - 1 y - 2 z 2. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ( d1 ) : = = ; ( d 2 ) : = = và mặt 2 1 1 1 2 1 phẳng ( P ) : x + y - 2z + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt ( d1 ) , ( d 2 ) lần lượt tại A, B sao cho AB = 3 3 . Câu VII.a (1.0 điểm) Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn z 2 + z 2 = 6 và z - 1 + i = z - 2 i B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC : 2 - y - 7 = 0 đường thẳng AC đi qua điểm x , M (- ; 1 điểm A nằm trên đường thẳng D : x - 4 y + 6 = 0 Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác 1 ), . ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; -1; 0), B(2; 1; -2), C(1; 2; 2) và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z - 67 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu (S). Câu VII.b (1.0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z - 2 - 4 = z - 2 . Tìm số phức z có mô đun i i nhỏ nhất. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ trang http://boxmath.vn) chia sẻ tới www.laisac.page.tl
SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN 2 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m - 4 (C ) . (m là tham số thực) 2 m (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. Với m = 1 Þ y = x 4 - 2 x 2 - 2 0.25 TXĐ: D = ¡ . 3 y ' = 4 x - 4 x . Cho y’ = 0 ta được: x = 0 hoặc x = ± 1 Sự biến thiên: 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 0 ) và (1; +¥ ; 1; ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥; - và ( 0;1) . 1) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycd = - . Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yct = - . 2 3 Giới hạn: lim y = +¥; lim y = +¥ . x ®-¥ x ®+¥ Bảng biến thiên: 0.25 x -¥ 1 0 1 +¥ y’ 0 + 0 0 + +¥ 2 +¥ y 3 3 Đồ thị 0.25 y Đồ thị cắt Ox tại hai điểm ( ± 1 + 3 ;0) 4 cắt Oy tại (0; 2) Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng 2 O 5 5 x 2 4 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam m a 1 giác cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng a với tan = . 2 2 2 Ta có: y ' = 4 x3 - 4 . mx 0.25 é x = 0 y ' = 0 Û ê 2 ë x = m Đồ thị hàm số có ba cực trị Û m > 0 (*) 0.25
Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 2m 2 - 4) , B( m ; m2 - 4) , C (- m ; m 2 - 4) . Ta thấy B, C đối xứng nhau qua trục Oy và A Î Oy nên tam giác ABC cân tại A. 0.25 2 Phương trình cạnh BC: y - m + 4 = 0 . Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC, ta có: AH = d ( A, BC ) = m 2 , BH = m a BH m 1 m 0.25 Tam giác ABH vuông tại H nên tan = = 2 Û = 2 Û m3 = 8 Û m = 2 2 AH m 2 2 m (thỏa mãn *). Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. II 1. Giải phương trình 2cos2 x + 2 3sin x cos x +1 = 3(sin x + 3cos x) . (2,0 2cos2 x + 2 3 sin x cos x +1 = 3(sin x + 3 cos x) 0.25 điểm) Û (sin x + 3 cos x ) 2 - 3(sin x + 3 cos x ) = 0 Û sin x + 3 cos x = 0 Ú sin x + 3 cos x = 3 (1) 0.25 Phương trình sin x + 3 cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + ( 3 ) 2 < 3 2 0.25 p 0.25 Nên (1) Û tan x = - 3 Û x = - + kp ( k Î ¢ ) 3 p Vậy, phương trình có nghiệm là: x = - + kp ( k Î ¢ ). 3 ì x 2 - 5 y + 3 + 6 y 2 - 7 x + 4 = 0 ï 2. Giải hệ phương trình í ( x, y Î R) . ï y ( y - x + 2) = 3 x + 3 î Phương trình thứ (2) Û y 2 + (2 - x ) y - 3 x - 3 = 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 0.25 2 D = ( x + 4) é x - 2 - x - 4 ê y = 2 = -3 Phương trình có hai nghiệm: ê ê y = x - 2 + x + 4 = x + 1 ê ë 2 Thay y = 3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm 0.25 Thay y = x + 1 vào pt thứ nhất ta được: x 2 - 5 x - 2 + 6 x 2 - 5 x + 5 = 0 (3) Giải (3): đặt x 2 - 5 x + 5 = t , điều kiện t ³ 0 0.25 ét = 1 ( tm ) ( 3) Û t 2 + 6t - 7 = 0 Û ê ë = -7 (ktm) t é x = 1 Þ y = 2 0.25 Với t=1 Û x 2 - 5 x + 5 =1 Û ê ( thỏa mãn) ë x = 4 Þ y = 5 Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là: ( ; ) và (4;5) 1 2 III 1 ( x - 1 e x + x + 1 ) (1,0 Tính tích phân I = ò dx . 0 1 + e x điểm) 1 1 1 1 xe x - e x + x + 1 x e x + 1 + ( + e x ) - 2 x ( ) 1 e e x I = ò dx = ò dx = ò ( x + 1 dx - 2 ) ò 1 + e x dx = I 1 - 2 I 2 0.25 0 1 + e x 0 1 + e x 0 0 1 æ x 2 ö 1 3 0.25 Tính I = ò x + 1 dx =ç + x ÷ 1 ( ) ç 2 ÷ 0 = 0 è ø 2
1 1 1 e x d ( x + 1 e ) e + 1 Tính I 2 = ò x dx = ò x = ln( x + 1 e ) = ln 0.25 0 1 + e 0 e + 1 0 2 3 e + 1 0.25 Vậy I = - 2 ln . 2 2 IV Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2 a, · = 60 , hình chiếu vuông góc của A’ ABC 0 (1,0 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng điểm) 0 (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC). 0.25 A' C' B' N A H C G M I K B ' Từ A' G ^ ( ABC ) Þ AG là hình chiếu của AA lên ( ABC ) Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có: 2 a 2 · 0 0 2a 3 BC = 2a, AG = AI = ; A ' AG = 60 Þ A ' G = AG.tan60 = 3 3 3 Vì AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB BC cos 60 0 = 3 2 Þ AC = a 3 . . . a 0.25 Mặt khác AB 2 + AC 2 = a 2 + 3 2 = 4 2 = BC 2 Þ DABC vuông tại A a a Và A' G ^ ( ABC ) nên A G là chiều cao của khối chóp A ' . ' ABC ' Thể tích của khối chóp A . ABC được tính bởi: 3 1 1 1 1 2a 3 a VA/ . ABC = S ABC . A ' G = . AB. AC. A ' G = a.a 3. = (đvtt) 3 3 2 6 3 3 Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK 0.25 GI MG 1 1 1 AB. AC 1 a.a 3 a 3 Þ = = Þ GI = AK = . = = AK MA 3 3 3 BC 3 2a 6 Kẻ GH ^ A’I tại H (1) BC ^ GI ü Do: ý Þ BC ^ GH (2) . Từ (1) và (2) Þ GH ^ (A’BC) Þ d [G, ( A ' BC )] = GH BC ^ A ' G þ Ta có D ' GI vuông tại G có GH là đường cao nên : A 0.25 2a 3 a 3 . A ' G.GI 3 6 = 2a = 2a 51 d [G, ( A ' BC )] = GH = = A ' G 2 + GI 2 12a 2 3 2 a 51 51 + 9 36 V Cho bất phương trình m ( x 2 - 2 x + 2 + 1) + x (2 - x ) ³ 0 (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x Î é0;1 + 3 ù . ë û Xét bất phương trình: m( x 2 - 2 x + 2 + 1) + x(2 - x) ³ 0 (1) 0.25 Điều kiện: x 2 - 2 x + 2 ³ 0 Û x Î R . Theo đề bài ta xét x Î é0;1 + 3 ù ë û x - 1 Đặt t = t ( x) = x 2 - 2 x + 2 , ta có: t ' = 2 [ , t ' = 0 Û x = 1 Î 0; + 3 1 ] x - 2 x + 2
t (0 = 2 , t (1 = 1 , t (1 + 3 = 2 ) ) ) Suy ra: x Î é0;1 + 3 ù Û t Î [1; 2 ] ë û Do t = x 2 - 2 x + 2 Û x(2 - x) = 2 - t 2 nên bất phương trình đã cho trở thành: 0.25 t 2 - 2 m (t + 1) ³ t 2 - 2 Û m ³ (2) t + 1 t 2 - 2 0.25 Xét hàm số f (t ) = với t Î [1; 2 , ta có: ] t + 1 t 2 + 2t + 2 f ' (t ) = 2 > 0, "t Î [1; 2 ] ( t + 1 ) 1 2 Suy ra: min f (t ) = f (1 = - , max f (t ) = f ( 2 = ) ) t [1;2 Î ] 2 t Î[1;2 ] 3 Bất phương trình (1) nghiệm đúng "x Î é0;1 + 3 ù 0.25 ë û Û Bất phương trình (2) nghiệm đúng "t Î [1; 2 ] Û m ³ max f (t ) t [1;2 Î ] 2 Û m ³ 3 2 Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: m ³ . 3 VI.a 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng D : x - 2 y + 5 = 0 và đường tròn (2,0 (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 5 = 0 có tâm I. Qua điểm M thuộc D, kẻ tiếp tuyến MA đến (C) (A là tiếp điểm) MAI . điểm) sao cho AM = 10 . Tìm tọa độ điểm M và lập phương trình đường tròn ngoại tiếp D M 0.25 A I M M Î D Þ M(2m - 5; m); (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 10 IM = IA2 + MA2 = 2 5 0.25 Þ IM 2 = 20 Û (2 m - 6)2 + (m + 2)2 = 20 Û m 2 - 4m + 4 = 0 Û m = 2 Þ M (-1 2 ; ) 0.25 MI 0.25 Đường tròn ngoại tiếp D AMI có tâm là trung điểm MI , bán kính R = = 5 2 2 2 Þ ( ) : x + y = 5 C x -1 y +1 z x - 1 y - 2 z 2. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng ( d1 ) : = = ; ( d 2 ) : = = và 2 1 1 1 2 1 mặt phẳng ( P ) : x + y - 2z + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt ( d1 ) , ( d 2 ) lần lượt tại A, B sao cho AB = 3 3 . Đặt A (1 + 2a; -1 + a; a ) , B (1 + b; 2 + 2b; b ) , ta có 0.25 uuur AB = ( b - 2a;3 + 2b - a; b - a ) uuu uur r Do AB song song với (P) nên: AB ^ n P = (1;1; -2 ) Û b = a - 3 0.25
uuu r Suy ra: AB = ( -a - 3;a - 3; -3) 2 2 2 0.25 Do đó: AB = ( a + 3) + ( a - 3 ) + ( -3) = 3 3 Û a = 0 Þ b = - 3 uuu r Suy ra: A (1; - 0 ) , AB = ( -3; -3; -3 1; ) 0.25 x - 1 y + 1 z Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: = = . 1 1 1 VII.a Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn z + z = 6 và z - 1 + i = z - 2 2 2 i (1,0 Giả sử z = x + yi, ( x, y Î ¡ . Ta có: ) 0.25 điểm) + z + z = 6 Û ( x + yi ) + ( x - yi )2 = 6 Û x 2 - y 2 = 3 2 2 2 + ( x - 1) + ( y + 1)i = x + ( y - 2) i 0.25 Û ( x - 1) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y - 2) 2 Û x - 3 y + 1 = 0 é x = 2, y = 1 0.25 ì x 2 - y 2 = 3 ì x = 3 y - 1 Giải hệ phương trình: í Û í 2 Ûê 7 1 . î x - 3y +1 = 0 î 4 y - 3 y - 1 = 0 ê x = - , y = - ê ë 4 4 7 1 5 2 0.25 Vậy z = 2 + i; z = - - i . Suy ra z = 5 , z = 4 4 4 VI.b Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC : 2 - y - 7 = 0 đường thẳng AC đi x , (2,0 qua điểm M (- ; 1 điểm A nằm trên đường thẳng D : x - 4 y + 6 = 0 Lập phương trình các cạnh còn 1 ), . điểm) lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. 0.25 A D : x - 4 y + 6 = 0 M (- ; 1 1 ) B 2 x - y - 7 = 0 Vì A Î D : x - 4 y + 6 = 0 Þ A 4 - 6 a Þ MA 4 - 5 a - 1 ( a ; ) ( a ; ). Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên · = 450 . ACB 0.25 1 ( a - 5 + 2 a - 1 4 ) ( ) 1 Do đó cos( , u ) = MA BC Û = 2 2 2 ( a - 5 + ( - 1 . 5 4 ) a ) 2 é a = 2 Þ A 2 2 ( ; ) 0.25 2 a a Û 13 - 42 + 32 = 0 Û ê ê a = 16 Þ A - 14 ; 16 ö( ) æ ç ÷ ktm ê ë 13 è 3 3 ø Vậy A 2 2 Suy ra AC : x - 3 y + 4 = 0 AB : 3 + y - 8 = 0 ( ; ). , x . 0.25 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; -1; 0), B(2; 1; -2), C(1; 2; 2) và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z - 67 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu (S). (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9 0.25 r 2 2 2 Giả sử (P) có vtpt n = ( A; B; C ), ( A + B + C ¹ 0) r uuu r r uuu r r (P) // BC nên n ^ BC = (-1;1; 4) Þ n.BC = 0 Û A = B + 4C Þ n = ( B + 4C ; B; C ) (P) đi qua A(13; -1; 0) Þ phương trình (P): ( B + 4C ) x + By + Cz - 12 B - 52C = 0 B + 4C + 2 B + 3C - 12 B - 52 C 0.25 (P) tiếp xúc (S) Û d [ I , ( P)] = R Û = 9 ( B + 4C ) + B 2 + C 2 2 é B + 2C = 0 Û B 2 - 2 BC - 8C 2 = 0 Û ( B + 2C )( B - 4C ) = 0 Û ê ë B - 4C = 0
ì B = 2 0.25 Với B + 2C = 0 chọn í , ta được phương trình (P): -2x + 2y - z + 28 = 0 C î = -1 ì B = 4 0.25 Với B - 4C = 0 chọn í , ta được phương trình (P): 8x + 4y + z -100 = 0 C î = 1 Vậy (P): -2x + 2y - z + 28 = 0 , (P): 8x + 4y + z -100 = 0 VII.b Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z - 2 - 4 = z - 2 . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. i i (1,0 Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y Î R). Ta có 0.25 điểm) x - 2 + ( y - 4 i = x + ( y - 2 i (1) Û ( x - 2 2 + ( y - 4 2 = x 2 + ( y - 2 2 ) ) ) ) ) Û y = - x + 4 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là 0.25 đường thẳng x + y = 4. Mặt khác z = x 2 + y 2 = x 2 + x 2 - 8 + 16 = 2 x 2 - 8 + 16 x x ( ) 2 Hay z = 2 x - 2 + 8 ³ 2 2 0.25 Do đó Min z = 2 2 Û x = 2 Þ y = 2 . Vậy z = 2 + 2 i 0.25 Hết Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ trang http://boxmath.vn) chia sẻ tới www.laisac.page.tl