Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT TP Cao Lãnh lần 2 năm 2011

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thảo Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi thử ĐH môn Toán - THPT TP Cao Lãnh lần 2 năm 2011 dành cho các bạn học sinh lớp 12 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT TP Cao Lãnh lần 2 năm 2011

chihao@moet.edu.vn sent to www.laisac.page.tl Sôû GD& ÑT ÑOÀNG THAÙP ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC LAÀN 2 - NAÊM 2011 TRÖÔØNG THPT TP.CAO LAÕNH Moân thi: TOAÙN, khoái A vaø B Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà. (Ñeà coù 2 trang) I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7, 0 ñieåm) Caâu I. (2, 0 ñieåm) Cho haøm soá y = − x3 + 3x2 + 3(m 2 − 1)x − 3m 2 − 1 (1), vôùi m laø tham soá thöïc. 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. 2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) caùch ñeàu goác toïa ñoä O. Caâu II. (2, 0 ñieåm)   π  π   π  π 1. Giaûi phöông trình 2 sin 2  x +  + sin 2  x −   = 3 + sin x tan  x +  tan  x −  ⋅   3  3   4  4  2x + 1  2. Giaûi phöông trình 2x 2 − 6x + 1 = log  ⋅  2(x − 1)2     π 2 ln(sin x) Caâu III. (1, 0 ñieåm) Tính tích phaân I = ∫ dx. π sin2 x 4 Caâu IV. (1, 0 ñieåm) Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc maët phaúng (ABC). Goïi I laø trung ñieåm caïnh BC. Maët phaúng (P) qua A vuoâng goùc vôùi SI caét SB, SC laàn löôït taïi M, N. 1 Bieát raèng VSAMN = VSABC , haõy tính VSABC ( VSAMN , VSABC laàn löôït theå tích caùc khoái choùp S.AMN vaø S.ABC). 4 Caâu V. (1, 0 ñieåm) Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm. Chöùng minh raèng neáu 0 < a ≤ b ≤ c thì  x y z  (a + c)2 (ax + by + cz)  + +  ≤ (x + y + z)2 . a b c 4ac II. PHAÀN RIEÂNG (3, 0 ñieåm) Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B) A. Theo chöông trình Chuaån Caâu VI.a. (2, 0 ñieåm) 1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 vaø ñieåm A(9; 6). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A caét ñöôøng troøn (C) theo daây cung coù ñoä daøi baèng 4 5 . 2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm M(1; 3; − 1), N(7; − 5; 3) vaø ñöôøng thaúng d coù phöông trình x +1 y − 3 z − 3 = = ⋅ Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IM + IN nhoû nhaát. 3 −4 2 Caâu VII.a. (1, 0 ñieåm) Giaûi phöông trình z3 − 2(1 − i3 )z 2 + 4(1 + i)z + 8i3 = 0 (z ∈C) ,bieát raèng phöông trình coù moät nghieäm thuaàn aûo. B. Theo chöông trình Naâng cao Caâu VI.b. (2, 0 ñieåm) 1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy. Tìm phöông trình chính taéc cuûa hypebol (H), bieát (H) coù hai tieâu ñieåm F1 (−5; 0) , Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -2-
F2 (5; 0) vaø neáu M laø moät ñieåm thuoäc (H) thoûa F1MF2 = 60o thì dieän tích tam giaùc F1MF2 baèng 9 3. x = −1 + 2t x y −1 z + 2  2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng d1 : = = vaø d 2 : y = 1 + t vaø maët phaúng 2 −1 1 z = 4  (P) : 7 x + y − 5z = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 , d 2 . Caâu VII.b. (1, 0 ñieåm)   5π 5π   Trong maët phaúng phöùc, tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc ω = 2 1 +  sin − i cos  z  , bieát soá phöùc z   6 6   thoûa maõn z − 1 ≤ 2. Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -3-
Caâu Ñaùp aùn Ñieåm I 1. (1, 0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (1) khi… y = − x3 + 3x2 − 4. (2, 0 ñieåm) i Taäp xaùc ñònh: R. i Söï bieán thieân: 0,25 x = 0 - Chieàu bieán thieân: y′ = −3x2 + 6x; y′ = 0 ⇔  . x = 2 - Haøm soá nghòch bieán treân caùc khoaûng ( − ∞; 0),(2; + ∞); - Haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0; 2). ; - Cöïc trò: + Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2, yCÑ = 0. 0,25 + Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0, y CT = −4. - Caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc: lim y = +∞ , lim y = −∞. x → −∞ x → +∞ - Baûng bieán thieân: x −∞ 0 2 +∞ y′ − 0 + 0 − 0,25 +∞ 0 y −4 −∞ i Ñoà thò qua ñieåm A(1; − 2), B(−1; 0). y 1 3 x −1 O 0,25 −2 −4 2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø… Ta coù y′ = −3x2 + 6x + 3(m 2 − 1), y′ = 0 ⇔ x2 − 2x − m 2 + 1 = 0 (*) 0,25 Haøm soá (1) coù cöïc trò khi vaø chæ khi phöông trình (*) coù 2 nghieäm phaân bieät 0,25 ⇔ ∆′ = m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0. Goïi A, B laø caùc ñieåm cöïc trò ⇒ A(1 − m; − 2 − 2m 3 ), B(1 + m; − 2 + 2m 3 ) 0,25 1 Ta coù O caùch ñeàu A, B ⇔ OA = OB ⇔ 4m 3 = m ⇔ m = ± (do m ≠ 0). 2 0,25 1 Vaäy m = ± laø caùc giaù trò caàn tìm. 2 Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -4-
II 1. (1, 0 ñieåm) Giaûi phöông trình… (2, 0 ñieåm)  π  π  π  x ≠ + kπ  Ñieàu kieän cos  x +  cos  x −  ≠ 0 ⇔  4 (k ∈ Z) (*). 0,25  4  4 x ≠ 3π + kπ   4 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông  2π   2π   π  π 0,25 1 − cos  2x +  + 1 − cos  2x −  = 3 − sin xcot  x −  tan  x −   3   3   4  4  2π   2π  ⇔ 1 − sin x + cos  2x +  + cos  2x − =0  3   3  2π ⇔ 1 − sin x + 2 cos 2xcos = 0 ⇔ 1 − cos 2x − sin x = 0 ⇔ 2 sin 2 x − sin x = 0 0,25 3 1 ⇔ sinx = 0 hoaëc sinx = 2   x = kπ  π ⇔  x = + k2π (k ∈ Z) (thoûa maõn ñieàu kieän (*)) 0,25  6   x = 5π + k2π   6 2. (1, 0 ñieåm) Giaûi phöông trình… 1 Ñieàu kieän x ≠ 1 vaø x > − (1). 2 0,25  2x+1  Phöông trình ñaõ cho vieát laïi: 2(x − 1)2 − (2x + 1) = log  2  2(x−1)  0,25 2 2 ⇔ 2(x − 1) + log2(x − 1) = (2x + 1) + log(2x + 1) (*) 1 Xeùt haøm soá f(u) = u + log u, u > 0. Ta coù f ′(u) = 1 + , ∀u > 0. uln10 0,25 Suy ra haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0; + ∞) . Phöông trình (*) coù daïng f(2(x − 1)2 ) = f(2x + 1) ⇔ 2(x − 1)2 = 2x + 1 3± 7 ⇔ 2x 2 − 6x + 1 = 0 ⇔ x = ⋅ 2 0,25 3± 7 So vôùi ñieàu kieän (1) ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x = ⋅ 2 III  u = ln(sin x)  cos x  du = dx = cot xdx 0,25 (1, 0 ñieåm) Ñaët  dx ⇒  sin x dv = 2 v = − cot x  sin x  π π 2 Tích phaân töøng phaàn, ta coù: I = − cot x ln(sin x) 2 + cot 2 xdx. ∫ 0,25 π π 4 4 π π π π 2 2 + (1 + cot 2 x)dx − dx = ln 2 2 = ln 2 ∫ ∫ 2 − cot x 2 − x 2 π π 0,25 π π 4 4 4 4 Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -5-
2 π = ln +1− ⋅ 0,25 2 4 IV Ta coù (1, 0 ñieåm) (SAB) ⊥ (ABC)  S  (SAC) ⊥ (ABC)  ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA (1) (SAB) ∩ (SAC) = SA  0,25  N E Maø BC ⊥ AI (tính chaát tam giaùc ñeàu) (2) M Töø (1) vaø (2) ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SI (3) A C Maët khaùc (P) ⊥ SI (4) Töø (3) vaø (4) ⇒ (P)//BC I Vì (P) ∩ (SBC) = MN B 0,25 SM SN Neân MN // BC ⇒ = SB SC 2 VSAMN 1 SA SM SN 1  SM  1 SM 1 Ta coù = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇒  = ⇒ = ⋅ VSABC 4 SA SB SC 4  SB  4 SB 2 0,25 Do ñoù M laø trung ñieåm cuûa caïnh SB, N laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. Goïi E laø giao ñieåm cuûa MN vaø SI thì E laø trung ñieåm cuûa SI. Vì AE naèm trong (P) neân AE vuoâng goùc vôùi SI. Tam giaùc SAI coù AE laø trung tuyeán vaø cuõng laø ñöôøng cao neân tam giaùc a 3 SAI caân taïi A, suy ra SA = AI = ⋅ 2 0,25 Theå tích cuûa khoái choùp S.ABC laø 1 1 a 2 3 a 3 a3 VSABC = SABC .SA = ⋅ ⋅ = (ñvtt). 3 3 4 2 8 V Hieån nhieân (A − B)2 ≥ 0 ⇒ A 2 + B2 ≥ 2AB (1, 0 ñieåm) (A + B)2 ⇒ (A + B)2 ≥ 4AB ⇒ AB ≤ (1) 4 a c Ñaët α = , β= b b 0,5 x y z a c  1b b  Xeùt P = (ax + by + cz)  + +  = b  x + y + z  ⋅  x + y + z   a b c b b  ba c  x z 1 = (αx + y + β z)  + y +  = (αx + y + β z)(β x + αβy + αz) α β  αβ 1 ≤ [(αx + y + β z) + (β x + αβ y + αz)]2 (aùp duïng (1)) 4αβ 0,25 1 = [(α + β)x + (1 + αβ)y + (α + β)z]2 4αβ Töø 0 < a ≤ b ≤ c ⇒ 0 < α ≤ 1 ≤ β ⇒ (1 − α)(1 − β) ≤ 0 ⇒ 1 + αβ ≤ α + β (2) Söû duïng (2) ta ñöôïc: 0,25 1 (α + β)2 (a + c)2 P≤ [(α + β)x + (α + β)y + (α + β)z]2 = ( x + y + z)2 = (x + y + z)2 . 4αβ 4αβ 4ac VI.a 1. (1, 0 ñieåm) vieát phöông trình ñöôøng thaúng (2, 0 ñieåm) (C) coù taâm I(4; 1), baùn kính R = 5 0,25 Ñöôøng thaúng d qua A(9; 6) coù daïng ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) vaø 9a + 6b + c = 0 (1). Giaû söû d caét (C) taïi M, N sao cho MN = 4 5 . Keû IH ⊥ d, thì H laø trung ñieåm cuûa MN, neân Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -6-
4a + b + c ta coù: IH = 52 − (2 5 )2 = 5 (2), IH = d(I,d) = (3) 0,25 a2 + b 2 Töø (2), (3) suy ra (4a + b + c)2 = 5(a2 + b2 ) (4) Töø (1) coù c = −9a − 6b (5), thay (5) vaøo (4) vaø ruùt goïn laïi ñöôïc  a = −2 b 0,25 2a + 5ab + 2 b = 0 ⇔  2 2 a = − 1 b   2 i a = −2b: choïn b = −1 thì a = 2, luùc naøy d1 : 2x − y − 12 = 0. 1 0,25 i a = − b: choïn b = −2 thì a = 1, luùc naøy d 2 : x − 2y + 3 = 0. 2 2. (1, 0 ñieåm) Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IM + IN nhoû nhaát. Ñöôø ng thaú ng d ñi qua A( − 1; 3; 3) coù VTCP u = (3; − 4; 2); MN = (6; − 8; 4) ⇒ MN = 2 u Maø M ∉ d neâ n MN//d d N u 0,25 I M H M’ α Goï i M′ laø ñieåm ñoá i xöù ng cuû a M qua d Phöông trình mp(α) qua M(1; 3; − 1) vôù i moä t VTPT n = u laø 0,25 3(x − 1) − 4(y − 3) + 2(z + 1) = 0 ⇔ 3x − 4y + 2z + 11 = 0 Ta coù IM + IN = IM′ + IN ≥ M′N neâ n (IM + IN)min = M′N ⇔ I = M′N ∩ d. Goï i H laø giao ñieå m cuû a d vaø mp(α) x = −1 + 3t  y = 3 − 4t Toï a ñoä H laø nghieä m cuû a heä phöông trình  z = 3 + 2t 3x − 4y + 2z + 11 = 0  0,25 2 ⇒ 3(−1 + 3t) − 4(3 − 4t) + 2(3 + 2t) + 11 = 0 ⇒ 29t + 2 = 0 ⇒ t = − 29  35 95 83   99 103 195  ⇒ H − ; ;  ⇒ M′  − ; ; ⋅  29 29 29   29 29 29  Ta thaá y HI//MN ⇒ I laø trung ñieå m cuû a M′N 99 103 − +7 −5 x M′ + x N 52 y M′ + y N 21 ⇒ xI = = 29 = ; yI = = 29 =− vaø 2 2 29 2 2 29 195 0,25 +3 zM′ + zN 141 zI = = 29 = ⋅ 2 2 29  52 21 141  Vaäy ñieåm I thuoäc d sao cho IM + IN nhoû nhaát laø I ; − ; ⋅  29 29 29  VII.a Goïi nghieäm thuaàn aûo laø z = bi (b ∈ R). 0,25 (1, 0 ñieåm) Ta coù (bi)3 − 2(1 − i3 )(bi)2 + 4(1 + i)(bi) + 8i3 = 0 ⇔ 2 b2 − 4b + (− b3 + 2b 2 + 4 b − 8)i = 0 0,25 Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -7-
2b 2 − 4 b = 0  ⇔ ⇔ b = 2. − b + 2b + 4b − 8 = 0 3 2   z = 2i Phöông trình ñaõ cho töông ñöông (z − 2i)(z 2 − 2z + 4) = 0 ⇔  2 0,25  z − 2z + 4 = 0  Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa phöông trình laø z = 2i, z = 1 ± i 3 . 0,25 VI.b 1. (1, 0 ñieåm) Tìm phöông trình chính taéc cuûa hypebol (H)… (2, 0 ñieåm) Aùp duïng ñònh lí coâsin cho tam giaùc F1MF2 , ta coù 0,25 F1F 2 = MF 2 + MF 2 − 2MF1MF2 cos 60o = (MF1 − MF2 )2 + 2MF1MF2 (1 − cos 60o ) 2 1 2 ⇔ 4c = 4a + MF1MF2 ⇔ MF1MF2 = 4c2 − 4a2 2 2 0,25 1 3 SF MF = 9 3 ⇔ MF1.MF2 sin 60o = 9 3 ⇔ 2(c2 − a2 ) = 9 3 ⇔ b 2 = 9. 0,25 1 2 2 2 Khi ñoù a2 = c2 − b2 = 25 − 9 = 16. x2 y2 0,25 Vaäy (H): − = 1. 16 9 2. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) vaø caét… Giaû söû ∆ ∩ d1 = A, ∆ ∩ d 2 = B thì A ∈ d1 , B ∈ d 2 neân 0,25 A(2s; 1 − s; − 2 + s), B( − 1 + 2t; 1 + t; 4) AB = (2t − 2s − 1; t + s; − s + 6) 0,25 Vì ∆ ⊥ (P) neân AB cuøng phöông vôùi n = (7; 1; − 5) 2t − 2s − 1 t + s −s + 6 s = 1 0,25 ⇔ = = ⇔ 7 1 −5 t = −2 x − 2 y z +1 Suy ra A(2; 0; − 1), B( − 5; − 1; 4) . Vaäy ∆ coù phöông trình = = ⋅ 0,25 7 1 −5 Caùch khaùc + d1 ñi qua M(0; 1; − 2) vaø coù VTCP u = (2; − 1; 1). d 2 ñi qua N( − 1; 1; 4) vaø coù VTCP v = (2; 1; 0). Maët phaúng (P) coù VTPT n = (7; 1; − 5) . + Goïi (Q) laø maët phaúng chöùa d1 vaø vuoâng goùc (P), phöông trình maët phaúng (Q) qua M vaø coù VTPT n1 = [u, n] = (4;17; 9) laø 4(x − 0) + 17(y − 1) + 9(z + 2) = 0 ⇔ 4x + 17y + 9z + 1 = 0 . + Goïi (R) laø maët phaúng chöùa d 2 vaø vuoâng goùc (P), phöông trình maët phaúng (R) qua N vaø coù VTPT n 2 = [v, n] = ( − 5; 10; − 5) laø 1(x + 1) − 2(y − 1) + 1(z − 4) = 0 ⇔ x − 2y + z − 1 = 0 . + Vì 4: 17: 9 ≠ −5: 10 : −5 neân (Q) vaø (R) caét nhau. + Giaû söû (Q) ∩ (R) = ∆ ⇒ ∆ ⊥ (P). Do ñoù ∆ coù VTCP n = (7; 1; − 5) Trong (Q), ∆ caét d1 (do 2: − 1: 1 ≠ 7: 1: − 5) ; töông töï trong (R), ∆ caét d 2 . 4x + 17y + 9z + 1 = 0 Vaäy ñöôøng thaúng ∆ :  ⋅ x − 2y + z − 1 = 0 VII.b Ñaët z = a + bi (a, b ∈ R) vaø ω = x + yi (x, y ∈ R) (1, 0 ñieåm) 0,25 Ta coù z − 1 ≤ 2 ⇔ (a − 1)2 + b2 ≤ 4 (1) Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -8-
  5π 5π   Töø ω = 2 1 +  sin − i cos  z  = (1 + i 3 )z + 2 suy ra   6 6   0,25  x − 3 = a − 1 − b 3 x + yi = (1 + i 3 )(a + bi) + 2 ⇔  y − 3 = 3 (a − 1) + b  ( ) Töø ñoù (x − 3)2 + (y − 3 )2 = 4 (a − 1)2 + b 2 ≤ 16 (do (1)) 0,25 Vaäy taäp hôïp caùc ñieåm caàn tìm laø hình troøn (x − 3)2 + (y − 3 )2 ≤ 16 , taâm I(3; 3 ) , baùn kính 0,25 R = 4. Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ -9-
Sôû GD& ÑT ÑOÀNG THAÙP ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC LAÀN 2 - NAÊM 2011 TRÖÔØNG THPT TP.CAO LAÕNH Moân thi: TOAÙN, khoái D (Ñeà coù 1 trang) Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà. I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7, 0 ñieåm) Caâu I. (2, 0 ñieåm) Cho haøm soá y = x 4 − 8x2 + 10. 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá ñaõ cho. 2. Tìm m ñeå phöông trình x 4 − 8x 2 − log2 m = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät. Caâu II. (2, 0 ñieåm)  π 1. Giaûi phöông trình (sin 2x + 3 cos2x)2 − 5 = cos  2x −  .  6 x 1 2. Giaûi baát phöông trình ( x 2 − 4x + 3 + 1)log5 + ( −2x 2 + 8x − 6 + 1) ≤ 0. 5 x π 4 cosx Caâu III. (1, 0 ñieåm) Tính tích phaân I = ∫ (sinx + cosx)3 dx. 0 Caâu IV. (1, 0 ñieåm) Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a; hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc maët phaúng (ABC). Goïi I laø trung ñieåm caïnh BC. Maët phaúng (P) qua A vuoâng goùc vôùi SI caét SB, SC laàn löôït taïi M, N. 1 Bieát raèng VSAMN = VSABC , haõy tính VSABC ( VSAMN , VSABC laàn löôït theå tích caùc khoái choùp S.AMN vaø S.ABC). 4 a3 b3 Caâu V. (1, 0 ñieåm) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuû a P = + vôù i a, b > 0 vaø ab = 1. 1+ b 1+ a II. PHAÀN RIEÂNG (3, 0 ñieåm) Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B) A. Theo chöông trình Chuaån Caâu VI.a. (2, 0 ñieåm) 1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, vieát phöông trình caïnh AB cuûa hình chöõ nhaät ABCD bieát caïnh AB, BC, CD, DA laàn löôït ñi qua caùc ñieåm M(4; 5); N(6; 5); P(5; 2); Q(2; 1) vaø dieän tích hình chöõ nhaät baèng 16. x −1 y z +1 2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng d : = = ⋅ Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng 4 −1 −4 thaúng ∆ ñi qua ñieåm M(−2; 5; 3) vuoâng goùc vaø caét d. Caâu VII.a. (1, 0 ñieåm) Trong maët phaúng phöùc, goïi A, B, C laàn löôït laø caùc ñieåm caùc soá phöùc z1 = (1 − i)(2 + i), z2 = −1 − 3i, z3 = 1 + 3i. Xaùc ñònh tính chaát cuûa tam giaùc ABC. B. Theo chöông trình Naâng cao Caâu VI.b. (2, 0 ñieåm) 1. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(3; 2), B(1; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua hai ñieåm A, B vaø tieáp xuùc vôùi truïc Ox. 2. Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho hoï maët phaúng (Pa,b,c ) coù phöông trình ax + by + cz − 1 = 0 (a, b, c > 0) vaø 1 1 1 + + = 6. Tìm a, b, c ñeå (Pa,b,c ) caét laàn löôït caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz taïi A, B, C sao cho OABC coù theå a 2b 3c tích lôùn nhaát. Caâu VII.b. (1, 0 ñieåm) Vieát soá phöùc sau döôùi daïng löôïng giaùc: z = (1 + 3i)(1 − i). Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 10 -
Caâu Ñaùp aùn Ñieåm I 1. (1, 0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (1) khi… (2, 0 ñieåm) • Taäp xaù c ñònh: R. • Chieà u bieá n thieâ n: x = 0 - Ta coù y′ = 4x3 − 16x = 4x(x2 − 4), y′ = 0 ⇔  . 0,25  x = ±2 - Haøm soá nghòch bieá n treâ n caùc khoaû ng ( − ∞; − 2) vaø (0; 2). - Haøm soá ñoà ng bieá n treâ n caù c khoaûng ( − 2; 0) vaø (2; + ∞). • Cöï c trò: - Haø m soá ñaï t cöï c ñaï i taï i x = 0, yCÑ = y(0) = 10. - Haø m soá ñaï t cöï c tieå u taïi x = ±2, y CT = y( ± 2) = −6. 0,25 • Caùc giôù i haï n taï i voâ cöï c: lim y = lim y = +∞. x → −∞ x → +∞ • Baû ng bieá n thieâ n: x −∞ −2 0 2 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + 0,25 +∞ 10 +∞ y −6 −6 • Ñoà thò qua ñieåm A(−1; 3) , B(1; 3). y 3 0,25 -2 -1 1 2 O x -6 2. (1, 0 ñieåm) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm… Ta coù x 4 − 8x 2 − log2 m = 0 ⇔ x 4 − 8x 2 + 10 = log2 m + 10 0,25 ⇔ x 4 − 8x2 + 10 = k. Ñeå phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ ñöôøng thaúng y = k caét ñoà thò (C) taïi 4 ñieåm phaân bieät. 0,25 Döïa vaøo ñoà thò cuûa haøm soá (C), ta coù −6 < k < 10 ⇔ −6 < log2 m + 10 < 10 ⇔ −16 < log2 m < 0 ⇔ 2 −16 < m < 1. 0,5 II 1. (1, 0 ñieåm) Giaûi phöông trình… (2, 0 ñieåm)    π π π Ta coù sin2x + 3cos2x = 2  sin sin2x + cos cos2x  = 2cos  2x −  . 0,25  6 6   6  π  π Phöông trình ñaõ cho töông ñöông phöông trình 4cos2  2x −  − cos  2x −  − 5 = 0  6  6 0,25  π  π 5 ⇔ cos  2x −  = −1 (nhaän) hoaëc cos  2x −  = > 1 (loaïi)  6  6 4 Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 11 -
π ⇔ 2x − = π + k2π 0,25 6 7π Vaä y nghieäm cuû a phöông trình ñaõ cho laø x = + kπ. 0,25 12 2. (1, 0 ñieåm) Giaûi baát phöông trình… x > 0 x > 0  0,25  2  x ≤ 1 x = 1 Ñieà u kieä n  x − 4x + 3 ≥ 0 ⇔   ⇔ .  2 x ≥ 3 x = 3 −2x + 8x − 6 ≥ 0 1 ≤ x ≤ 3   + Vôù i x = 1 thì baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông 1 0,25 log5 + 1 ≤ 0 ⇔ −1 + 1 = 0 ≤ 0 (luoâ n ñuù ng). 5 + Vôù i x = 3 thì baá t phöông trình ñaõ cho töông ñöông 1 3 1 3 − 27 1 0,25 log5 + ≤ 0 ⇔ ≤ 5 3 ⇔ ≤ (loaïi). 5 3 5 125 5 Vaäy baát phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 1 . 0,25 π π III (1, 0 ñieåm) 4 cosx 4 1 dx 0,25 Ta coù I = ∫ (sinx + cosx)3 dx = ∫ (tanx + 1)3 ⋅ cos2x ⋅ 0 0 dx Ñaët u = tan x + 1 ⇒ du = ⋅ cos 2 x 0,5 π Ñoå i caä n x = 0 thì u = 1; x = thì u = 2. 4 2 du 1 2 1 1 3 Do ñoù I = ∫ 1 u3 =− 2 u2 1 =− + = ⋅ 8 2 8 0,25 IV Ta coù (1, 0 ñieåm) (SAB) ⊥ (ABC)  S  (SAC) ⊥ (ABC)  ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA (1) (SAB) ∩ (SAC) = SA   0,25 N Maø BC ⊥ AI (tính chaát tam giaùc ñeàu) (2) E M Töø (1) vaø (2) ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SI (3) Maët khaùc (P) ⊥ SI (4) A C Töø (3) vaø (4) ⇒ (P)//BC I Vì (P) ∩ (SBC) = MN B 0,25 SM SN Neân MN // BC ⇒ = SB SC 2 V 1 SA SM SN 1  SM  1 SM 1 Ta coù SAMN = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇒  = ⇒ = ⋅ VSABC 4 SA SB SC 4  SB  4 SB 2 0,25 Do ñoù M laø trung ñieåm cuûa caïnh SB, N laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. Goïi E laø giao ñieåm cuûa MN vaø SI thì E laø trung ñieåm cuûa SI. Vì AE naèm trong (P) neân AE vuoâng goùc vôùi SI. Tam giaùc SAI coù AE laø trung tuyeán vaø cuõng laø ñöôøng cao neân tam giaùc 0,25 a 3 SAI caân taïi A, suy ra SA = AI = ⋅ 2 Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 12 -
1 1 a2 3 a 3 a3 Theå tích cuû a khoá i choù p S.ABC laø VSABC = SABC .SA = ⋅ ⋅ = (ñvtt). 3 3 4 2 8 V a3 + b3 + a4 + b 4 (a + b)(a2 + b2 − ab) + a4 + b 4 Ta coù P = = 0,25 (1, 0 ñieåm) 1 + a + b + ab a+b+2 2 2 ab(a + b + 2ab) (a + b)(2ab − ab) + 2a b ≥ = = 1. a+ b+2 a+ b+2 0, 5 (do ab = 1) Ñaú ng thöùc xaû y ra khi a = b = 1. Vaä y minP = 1. 0,25 VI.a 1. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình caïnh BC. (2, 0 ñieåm) Phöông trình caïnh AB ñi qua ñieåm M(4; 5) laø a(x − 4) + b(y − 5) = 0 (a2 + b2 ≠ 0) Khi ñoù phöông trình ñöôøng thaúng BC ñi qua ñieåm N(6; 5) vaø vuoâng goùc vôùi AB laø 0,25 b(x − 6) − a(y − 5) = 0. Dieän tích hình chöõ nhaät ABCD laø a(5 − 4) + b(2 − 5) b(2 − 6) − a(1 − 5) d(P;AB).d(Q;BC) = ⋅ a2 + b2 a2 + b2 = 4 (a − 3b)(a − b) A .M B a2 + b 2 Theo giaû thieát ta coù Q N 0,5 4 (a − 3b)(a − b) = 16 ⇔ (a − 3b)(a − b) = 4(a2 + b2 ) a2 + b 2 D P C  b = 1 ⇒ a = −1 ⇒ ⋅ b = 1 ⇒ a = − 1   3 Vaäy phöông trình caïnh AB laø − x + y − 1 = 0 hoaëc − x + 3y − 11 = 0. 0,25 2. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ∆ ñi qua … Giaû söû ∆ caét ñöôøng thaúng d taïi ñieåm I, do I ∈ d neân 0,25 I(1 + 4t; − t; − 1 − 4t). Khi ñoù ∆ coù VTCP laø u = MI = (4t + 3; − t − 5; − 4t − 4). 0,25 ∆ ⊥ d ⇔ 4(4t + 3) − (− t − 5) − 4(−4t − 4) = 0 0,25 ⇔ 33t = −33 ⇔ t = −1. Suy ra u = ( − 1; − 4; 0).  x = −2 − t  0,25 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng caàn tìm laø  y = 5 − 4t , t ∈ R. z = 3  VII.a z1 = (1 − i)(2 + i) = 3 − i ⇒ A(3; − 1). 0,25 (1, 0 ñieåm) z2 = −1 − 3i ⇒ B( − 1; − 3). 0,25 z3 = 1 + 3i ⇒ C(1; 3). Ta coù: AB = ( − 4; − 2) ⇒ AB = 16 + 4 = 2 5 0,25 AC = ( − 2; 4) ⇒ AC = 4 + 16 = 2 5   AB.AC = 8 − 8 = 0 Vì  ⇒ ∆ABC vuoâng caân taïi A. 0,25  AB = AC = 2 5  VI.b 1. (1, 0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng troøn… Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 13 -
Goïi (C) laø phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm, coù phöông trình x 2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 (C) ñi qua hai ñieåm A(3; 2), B(1; 4) neân ta coù heä phöông trình: 0,25 13 − 6a − 4b + c = 0  ⇒ −9 + 10a − c = 0 (1) 17 − 2a − 8b + c = 0 (C) tieáp xuùc vôùi Ox neân b = R = a2 + b2 − c ⇔ a2 = c (2) 0,25 Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: a2 − 10a + 9 = 0 ⇔ a = 1 hoaëc a = 9. 0,25 i Vôùi a = 1 thì c = 1, b = 2 : Phöông trình ñöôøng troøn: (C1 ) : x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0. 0,25 i Vôùi a = 9 thì c = 81, b = 10 : Phöông trình ñöôøng troøn: (C2 ) : x2 + y 2 − 18x − 20y + 81 = 0. 2. (1, 0 ñieåm) Tìm a, b, c ñeå (Pa,b,c ) caét laàn löôït caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz… 1   1   1 (Pa,b,c ) caét caùc truïc toïa ñoä taïi A  ; 0; 0  , B  0; ; 0  , C  0; 0;  ⋅ 0,25 a   b   c Theå tích töù dieän OABC ñöôïc cho bôûi: 1 1 1 0,25 VO.ABC = ⋅ ⋅ a 2b 3c 3 1 1 1   a + 2b + 3c   6 3 ≤  =   = 8. 0,25   3  3     1 1 1 1 a = 2  a = 2b = 3c > 0    1 Ñaúng thöùc xaûy ra khi ⇔  ⇔ b = ⋅ 1 + 1 + 1 = 6  4 0,25  a 2b 3c   1 c = 6  1 1 1 Vaäy maxVO.ABC = 8 ñaït ñöôïc taïi a = , b = , c = ⋅ 2 4 6 VII.b 1 3   π π (1, 0 ñieåm) Ta coù: z1 = 1 + 3i = 2  + i  = 2  cos + isin  0,25 2 2   3 3    1 1    π  π  z2 = 1 − i = 2  − i  = 2  cos  −  + isin  −   0,25  2 2    4  4  Do ñoù:  π π  π π   π π 0,5 z = z1z 2 = 2 2  cos  −  + isin  −   = 2 2  cos + isin  ⋅  3 4  3 4   12 12  Baøi giaûi cuûa GV. PHAÏM TROÏNG THÖ - 14 -