Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT Trần Nhân Tông (2010-2011)

Chia sẻ: Hoàng Thị Thanh Hòa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo đề thi thử ĐH môn Toán - THPT Trần Nhân Tông (2010-2011). Nhằm giúp cho các bạn em củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT Trần Nhân Tông (2010-2011)

SỞ GD ĐT QUẢNG NINH KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20102011 TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 - 4 2 + 3 (C) x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) 2 2 2. Tìm m để phương trình: ( x - 1 x - 3 = log 2 m có 2 nghiệm phân biệt. ) Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình: tan 2 x sin 2 x - 3 cos 2 x = 1 + 2 sin 2 x ì x 2 y 2 - xy 2 + y + 1 = 4 y 2 ï b) Giải hệ phương trình : í 2 2 ï x y - y î = 3 + x xy p 4 cos 2 x Câu III (1 điểm) Tính tích phân I = ò dx p 0 1 + sin 2 x + 2 sin( x + ) 4 Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều ,tam giác SCD vuông cân tại S.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD,SA .Chứng minh rằng ( ) ^ ( ABCD .Tính thể tích khối SIJ ) chóp K.IBCD. Câu V(1 điểm): a,(Thí sinh thi khối B,D không làm câu này) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn: ab 2 + bc 2 + ca 2 = 1 , , . a 4 b 4 c 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + a + 2 b + 2 c + 2 b c a b(Thí sinh thi khối A không làm câu này).Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4 + 8 = ( - 2 x 2 - 2 m + 2 x + 4 x m ) ( ) m B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Phần dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3;2),trọng tâm và tâm đường tròn ngoai tiếp 2 2 tam giác ABC lần lượt là G( ; ),I(1;2) .Xác định tọa độ đỉnh C. 3 3 x - 1 y z + 2 x - 1 y + 2 z - 2 . 2.Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d : 1 = = ; d 2 : = = 2 1 - 1 1 3 - 2 Chứng minh rằng d và d 2 chéo nhau.Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P) 1 x + y + z - 7 = 0 cắt d , d 2 tại 2 điểm sao cho khoảng cách 2 điểm đó là ngắn nhất. 1 Câu VIIa(1 điểm) Gọi z , z 2 , z là các nghiệm của phương trình: z 3 - z 2 + 2 = 0 , z Î C .Tính z 2 + z 2 + z 2 - 2 1 3 1 2 3 i Phần dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC có phương trình : x - y + 3 = 0 ;đỉnh B(4; 1). Điểm M(0;1) nằm trên cạnh AB.Xác định tọa độ các đỉnh còn lai của hình thoi. x - 1 y z + 2 x - 1 y + 2 z - 2 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d : 1 = = ; d 2 : = = 2 1 - 1 1 3 - 2 Chứng minh rằng d và d 2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) x + y + z - 7 = 0 cắt 1 d , d 2 tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó ngắn nhất. 1 Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: - 3 2 - 5 + 2 - 4 x 2 . x + 2 > 2 . x . - 3 2 - 5 + 2 x x e x x e x x ……...HẾT........... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! thienthan9x@gamil.com sent to www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁNHƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu I Cho hàm số y = x - 4 2 + 3 (C) 4 x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) 2 2 điểm 2. Tìm m để phương trình: ( x - 1 x - 3 = log 2 m có 2 nghiệm phân biệt. ) 1 Học sinh tự làm 1 điểm 2 Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( 2 - 1 x 2 - 3 x ) 0,25 (C ’) và đường thẳng y = log 2 m . Ta có: ì x 4 - 4 x 2 + 3 khi x Î ( ; 3 ] È [ 3 +¥) -¥ - ; 2 2 ï 0,25 y = ( x - 1 x - 3 = í ) ï- ( x 4 - 4 x 2 + 3 khi - 3 < x < 3 ) î Từ đó ta có :Với x Î ( -¥; 3 È [ 3 +¥ ) thì (C ’) º (C ) - ] ; Với - 3 < x < 3 thì (C ’) đối xứng với (C) qua Oy y 0,25 1 y = log 2 m - 3 3 x -3 ém > 2 0,25 élog 2 m > 1 Từ đồ thị ta có:Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û ê Û ê 1 ë - 3 < log 2 m < 0 ê < m < 1 ë 8 Câu II Giải phương trình: tan 2 x sin 2 x - 3 cos 2 x = 1 + 2 sin 2 x 1 điểm a) p 0,25 Điều kiện : cos x ¹ 0 Û x ¹ p + n , n Î Z 2 Chia cả hai vế cho cos 2 x ta được: 0,25 4 2 4 é tan 2 x = tan x + 2 2 tan x - 3 = 1 + tan x + 4 tan x Û tan x = (tan x + 2 Û ê 2 ) ê tan x = - tan x - 2 ë é tan x = -1 0,25 Với tan 2 x = tan x + 2 Û tan 2 x - tan x - 2 = 0 Û ê ë tan x = 2
é - p ê x = 4 + k p Û , k Î Z ê p ë x = arctan 2 + k Với tan 2 x = - tan x - 2 Û tan 2 x + tan x + 2 = 0 (vô nghiệm) 0,25 é - p x = p + k Vậy phương trình có nghiệm ê 4 , k Î Z ê p ë x = arctan 2 + k ì x 2 y 2 - xy 2 + y + 1 = 4 y 2 1 điểm ï b) Giải hệ phương trình : í 2 2 ï x y - y î = 3 + x xy ì 2 0,25 ï y + 1 = 8 y ì1 = 0 +Nhận xét:Nếu x = 0 ta có í 2 vô lý ,nếu y = 0 ta có í vô lý ï- y = 0 î î x = 0 Từ đó ta có hệ có nghiệm thì x ¹ 0; y ¹ 0 ì 2 1 1 ì 2 1 1 0,25 ï x + x - y + y 2 = 4 ï( x + y 2 ) + ( x - ) = 4 y ï ï +Ta có hệ tương đương í Û í ï x - y - 1 = 3 ï( x - 1 ) - y = 3 ï î x y ï î y x ì 1 ïu = x - y ï ì 2 2 ïu + + u = 4 ìu = 2 u = ± 7 ; 0,25 Đặt í Hệ trở thành: í v Û í ïv = y ïu - v = 3 î îv = u - 3 ï î x 0,25 - 7 - 3 7 ± 100 + 38 7 7 + 3 7 m 100 + 38 7 Thay lại hệ ta được các nghiệm: (1 -1 ( ; ); ; ) 2 3 + 7 ) ( 2 Câu III p 1 điểm 4 cos 2 x Tính tích phân I = ò dx p 0 1 + sin 2 x + 2 sin( x + ) 4 p 0,25 4 2 2 cos x - sin x Ta c ó I = ò (sin x + cos x ) + 2 dx 0 2 (sin x + cos x ) Theo công thức tích phân từng phần ta có: 0,25 p p 4 4 (cos x - sin x )(cos x + sin x ) (cos x - sin x ) I = ò dx = ò dx 0 (sin x + cos x )(sin x + cos x + 2 ) 0 sin x + cos x + 2 p p 0,25 4 d (sin x + cos x + 2 ) 4 = ò = ln(sin x + cos x + 2 ) 0 sin x + cos x + 2 0 2 2 Thay vào ta được: I = ln = ln( 4 - 2 2 ) 0,25 2 + 1
Câu IV Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều ,tam giác SCD vuông cân tại S.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD,SA .Chứng minh rằng ( ) ^ ( ABCD .Tính thể tích khối chóp K.IBCD. SIJ ) S K A D K' 0,25 I J H B C Từ giả thiết ta có: AB ^ SI ü ý Þ AB ^ (SIJ ) Do AB Ì ( ABCD Þ ( ) ^ ( ABCD . ) SIJ ) AB ^ IJ þ ( ) ^ ( ABCD SIJ ) ü 0,25 +Kẻ SH ^ IJ do ý Þ SH ^ ( ABCD ) ( ) Ç ( ABCD = IJ þ SIJ ) +Goi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên (ABCD) khi đó KK ' // SH do K là trung điểm SA 1 nên K’ là trung điểm AH & KK ' = SH . 2 1 Từ đó ta có: V K . IBCD = KK '. àIBCD S 3 a 3 1 a 0.25 Dễ thấy: SI = ; SJ = CD = ; IJ = a Þ DSIJ vuông tại Svì: SI 2 + SJ 2 = IJ 2 2 2 2 SI . SJ a 3 a 3 Từ hệ thức SI.SJ=SH.IJ Þ SH = = Þ KK ' = IJ 4 8 0.25 BC 3 2 ( IB + CD ). a IBCD là hình thang vuông tai B và C nên S à IBCD = Ta có à = 2 4 3 a . 3 Thay vào ta được V . IBCD = K 32 Câu V Cho các số thực dương a b c thỏamãn: ab 2 + bc 2 + ca 2 = 1 , , . 1 điểm a 4 b 4 c 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + a + 2 b + 2 c + 2 b c a 9 4 a 9a 4 0,25 +Ta có : + ( + 2 ) 2 ³ 6 3 Û a b a a ³ 5 3 - 2 2 b ; a a a + 2 b a + 2 b 9b 4 9c 4 0,25 Tương tự ³ 5 3 - 2 2 c ; b b ³ 5 3 - 2 2 a c c b + 2 c c + 2 a Þ 9 ³ 5 a 3 + b 3 + c 3 ) - 2 a 2 b + b 2 c + c 2 a P ( ( )
+ Ta có : a 3 + a 3 + b 3 ³ 3a 2 b b + b + c 3 ³ 3 2 c c 3 + c 3 + a 3 ³ 3 2 a ; 3 3 b ; c 0,25 Þ a 3 + b 3 + c 3 ³ a 2 b + b 2 c + c 2 a Þ 9 ³ 3 a 3 + b 3 + c 3 ) P ( Tương tự ta cũng có : a 3 + b + c 3 ³ ab 2 + bc 2 + ca 2 = 1 3 1 Þ 9 P ³ 3 Û P ³ 3 1 0.25 Dấu “=” xảy ra a = b = c = 3 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4 + 8 = ( - 2 x 2 - 2 m + 2 x + 4 x m ) ( ) m é x ³ 0 Điều kiện: ê ë x £ -2 2 2 2 2 Phương trình trương đương: ( + 2 x x - 2 + 4 = -2 x - 4 + m x - 2 + 4 (1) x )( x ) x ( x ) 0.25 2 2 2 x + 2 x x + 2 x x + 2 x Û 2 = -2 2 + m Đặt 2 = t ³ 0 x - 2 x + 4 x - 2 x + 4 x - 2 x + 4 4 x - 1 ( ) 2 ( x - 1 2 + 3 ) 2 + 3 Ta có: t = 1 + 2 £ 1 + = . 0.25 ( x - 1 + 3 ) ) 2 3 ( x - 1 + 3 3 Dấu “=” xẩy ra Û x = 1 + 3 . é 2 + 3 ù Do t ) là hàm số liên tuc trên các khoảng (-¥ -2 và [0 +¥ nên t Î ê0 (x ; ] ; ) ; ú (có thể lập ê ë 3 ú û bảng biến thiên để chỉ ra điều này) Phương trình trở thành 2 2 + t = m t (2).Phương trình(1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình é 2 + 3 ù (2 )có nghiệm t Î ê0 ; ú 0.25 ê ë 3 ú û é 2 + 3 ù é 2 + 3 ù Xét f ( ) = 2 2 + t t t , "t Î ê0 ; ú có f ' ( ) = 4 + 1 > 0 " Î ê0 t t t ; ú ê ë 3 ú û ê ë 3 ú û 4 + 2 3 + 3 + 2 3 Do đó 0 £ f ( ) £ t 3 0.25 4 + 2 3 + 3 + 2 3 Vậy phương trình có nghiệm khi 0 £ m £ 3 Câu VIa 1 điểm 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3;2),trọng tâm và 2 2 tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC lần lượt là G( ; ),I(1;2) .Xác định tọa độ đỉnh C. 3 3
+Do G là trọng tâm tam giác & M là trung điểm BC nên: ì 2 7 ï 3 - x A = 2 3 ì x A = -4 ï . AG = 2GM Û í Ûí Þ A (- ; 2 4 - ) ï 2 - y A = 2 4 î y A = -2 . 0,25 ï 3 î 3 +Từ giả thiết Þ BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên nhân IM = (2 4 là ; ) 0,25 vectơ pháp tuyến Þ BC:x + 2y 7=0 +Phương trình đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC là (C) ( x - 1 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 ) 0.25 Tọa độ C chính là giao của đường tròn (C) & đường thẳng BC ìx + 2y 7 = 0 0.25 +Giả hệ í ta được C ( ; ) hoặc C ( ; ) 1 3 5 1 ) 2 ) 2 î( x - 1 + ( y + 2 = 25 A I G C B M 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 điểm x - 1 y z + 2 x - 1 y + 2 z - 2 d 1 : = = ; d 2 : = = 2 1 - 1 1 3 - 2 Chứng minh rằng d và d 2 chéo nhau.Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt 1 phẳng (P) x + y + z - 7 = 0 cắt d , d 2 tại 2 điểm sao cho khoảng cách 2 điểm đó là ngắn nhất. 1 ì x = 1 + 2 t ì x = 1 + t ' 0.25 ï ï + Phương trình tham số của d : í y = t 1 ; d 2 í y = -2 + 3 ' t ï z = -2 - t ï z = 2 - 2 ' t î î ® ® ® ® Véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng lần lượt là: u ( ; ; 1 u ( ; ; 2 thấy rằng u ,u 1 2 1 - ); 1 1 3 - ) 1 1 không cùng phương nên d1,d2 cắt nhau hoặc chéo nhau.Xét hệ: ì1 + 2 = 1 + t ' t ï ít = -2 + 3 ' t vô nghiệm nên d1,d2 chéo nhau. ï- 2 - t = 2 - 2 ' t î +Goi A,B là giao điểm của D với d1,d2 Þ A( + 2 ; t -2 - t B 1 + t ; 2 + 3 ' 2 - 2 ' ) 1 t ; ); ( ' - t ; t 0,25 Þ AB t ' 2 ; t ' t - 2 -2 ' t + 4 .Do D //(P) Þ AB n p = 0 ( - t 3 - ; t + ) . Û (t ' 2 ) + ( t ' t - 2 + ( 2 ' t + 4 = 0 Û 2 ' 2 + 2 = 0 Û t ' = t - 1 - t 3 - ) - t + ) t - t 5 49 7 +Khi đó AB= ( t - 1 2 + ( t - 5 2 + ( t + 6 2 = 6 2 - 30 + 62 = - ) 2 ) - ) t t 6 t - ) 2 + ( ³ 2 2 2 0,25 5 Dấu “=” xảy ra Û t = . 2
5 5 - 9 - 7 7 7 +Với t = ta có: A 6 ; ( ; ) ; AB ( ; ; ) = ( -1 0 1 ; 0 ; ; ) 2 2 2 2 2 2 ì ï x = 6 - t ï ï 5 Từ đó ta có D : í y = ï 2 0,25 ï - 9 ï z = 2 + t î CâuVIIa 2 z 2 z 2 Gọi z , z 2 , z là các nghiệm của phương trình: z 3 - z 2 + 2 = 0 , z Î C .Tính z1 + 2 2 + 3 3 1 điểm 1 3 é z = -1 0,25 Ta có: z 3 - z 2 + 2 = 0 Û ( z + 1 z 2 - 2 + 2 = 0 Û ê )( z ) 2 ë z - 2 z + 2 = 0 (*) é z = 1 - i 0,25 Có (*) Û ê ë z = 1 + i Do đó phương trình có 3 nghiệm: z1 = -1 , z 2 = 1 - i , z 3 = 1 + i Từ đó Þ z 2 + z 2 + z 2 = 1 1 2 3 0,25 Þ z 2 + z 2 + z 3 - 2 = 5 1 2 2 i 0.25 Câu VIb Trong mặt phẳng tạo độ Oxy ,cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC có phương trình : 1 điểm 1 x - y + 3 = 0 ;đỉnh B(4;1). Điểm M(0;1) nằm trên cạnh AB.Xác định tọa độ các đỉnh còn lai của hình thoi. D 0,25 N I A C M B Ta có:BD có phương trình: x + y - 3 = 0 Goi I là tâm hình thoi ABCD Þ I ( ; ) Do I là trung điểm BD Þ D 4 7 0 3 (- ; ) 0,25 Goi N là điểm đối xùng của M qua I ta có N(0;5) DC .Ta có phương trình DC qua D Î Nhân DN = ( 4 -2 = 2 2 -1 là vectơ chỉ phương do đó DN nhận vectơ n ( ; ) là vectơ pháp ; ) ( ; ) 1 2 tuyến .Từ đó có phương trình DC: x + 2 y - 10 = 0 4 13 0,25 Ta có C = AC Ç BC Þ C ( ; ) 3 3 0,25 4 5 Do I là trung điểm AC Þ A (- ; ) 3 3 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 điểm x - 1 y z + 2 x - 1 y + 2 z - 2 d : 1 = = ; d 2 : = = 2 1 - 1 1 3 - 2 Chứng minh rằng d và d 2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 1
(P) x + y + z - 7 = 0 cắt d , d 2 tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó 1 ngắn nhất. 0, 25 Gọi Goi A,B là giao điểm của mặt phẳng cần tìm với d1,d2 ..tương tư Câu VIb .b 0,25 0,25 Phương tình mặt phẳng cần tìm qua A song song với (P) do đó ta có kết quả là: x + y + z - 4 = 0 0,25 CâuVIIb Giải bất phương trình: - 3 2 - 5 + 2 - 4 x 2 . x + 2 > 2 . x . - 3 2 - 5 + 2 x x e x x e x x 1 điểm 1 Điều kiên: - 2 £ x £ 3 0.25 Bất phương trình tương đương: ( - 3 2 - 5 + 2 + 2 x 1 - 2 . x ) > 0 (*) x x )( x e Xét f ( x = 1 - 2 . x có f ' ( ) = -2 e x ( + x Þ f ' ( ) = 0 Û x = -1 ) x e x . 1 ) x 1 0,25 Lập bảng biên thiên f(x) Þ f ( x > 0 "x Î [-2 ] ) ; 3 Do đó: 0,25 éì- 2 x < 0 êí 2 2 x 2 x êî- 3 - 5 + 2 ³ 0 (*) Û - 3 - 5 + 2 + 2 x > 0 Û - 3 - 5 x + 2 > -2 x Û ê x x x . êíì- 2 x ³ 0 êî- 3 2 - 5 + 2 > 4 x 2 ë x x 1 Gải bất phương trình,kết hợp nghiêm ta được: - 1 < x £ 3 0.25 Chú ý:Các cách giải khác cho kết quả đúng vẫn đươc điểm tối đa.