Đề thi thử THPTQG môn Toán lần 3 năm 2019 - Cụm các trường chuyên

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp học sinh đánh giá lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề thi thử THPTQG môn Toán lần 3 năm 2019 - Cụm các trường chuyên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử THPTQG môn Toán lần 3 năm 2019 - Cụm các trường chuyên

HỘI 8 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA Năm học 2018 – 2019 LẦN THI CHUNG THỨ 3 MÔN: TOÁN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề thi 132 Họ, tên thí sinh:.......................................................... Số báo danh: ............................. Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; 1; 5) . Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là A. (0; 1; 5) . B. (2; 0; 0) . C. (0; 1; 0) . D. (0; 0; 5) . x  3 y  2 z 1 Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   . Đường thẳng d có một véctơ 1 4 2 chỉ phương có tọa độ là A. (1; 4; 2) . B. (- 4; 1; 2) . C. (1; - 4; 2) . D. (- 3; 2; - 1) . Câu 3: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 4: Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 2a .2b = 2 ab . B. 2a .2b = 2 a- b. C. 2a .2b = 2 a+ b . D. 2a .2b = 4ab . x 1 Câu 5: Hàm số y  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? x 1 A. (-∞ ; 2) . B. (- 1; +∞) . C. (1; 2) . D. (-∞ ; +∞) . Câu 6: Cho cấp số nhân ( u n) có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thứ hai u2 = - 6. Giá trị của u 4bằng A. 12. B. - 24. C. - 12. D. 24. Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x - sinx là x2 x2 A.  cos x + C . B. 1 - cos x + C . C. 1 + cos x + C . D. + cos x + C . 2 2 Câu 8: Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a chiều cao h có thể tích bằng 1 a2 A. a 2 h . B. ah . C. D. a2h . 3 h Câu 9: Giá trị của log 2 4 2 bằng  3 5 A. . B. 2 . C. 4. D. 3. 2 1 2 Câu 10: Tích phân  dx bằng 0 2x 1 A. 2ln2. B. 2ln3. C. ln2. D. ln3. Câu 11: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z + z + 1 = 0. Giá trị của z1 + z2 bằng 2 A. .i B. - 1. C. 1. D. -i Câu 12: Với k và n là hai số tự nhiên tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng ? caodangyhanoi.edu.vn
n! n! n! k ! n  k ! A. Ank  B. Ank  C. Ank  D. Ank   n  k ! k! k ! n  k  ! n! Câu 13: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? A. y = x3 - 2 x2 + 1. B. y = x3 + x2 - 1. C. y = x3 + x2 + 1. D. y = x3 - 22 - 1. Câu 14: Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r chiều cao h bằng  r 2h A. B. 3π r2h . C. πr2h . D. 2πr2h . 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 4)2 = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là A. I (- 1; 3; - 4) ; R = 2. B. I (1; - 3; 4 ) ; R = 2. C. I (1; - 3; 4) ; R = 4. D. I (-1; 3; -4) ; R = 4. Câu 16: Phương trình log2 ( 5.2x - 4 ) = 2x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ? A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. x 1 Câu 17: Đồ thị của hàm số y  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? x  3x 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 18: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f (x) = ax + bx + cx + dx2 + ex + g . Hỏi đồ thị của hàm số y = 5 4 3 f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. Câu 19: Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình 4x - x + 2x2 - x + 1 = 3. Giá trị của x1  x2 bằng A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. 2  8 m n Câu 20: Cho m, n thỏa mãn  m Giá trị của m n bằng 2  2  6 n A. 2. B. 4. C. 1. D. 8. caodangyhanoi.edu.vn
Câu 21: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Thể tích khối nón đã cho bằng  a3 2 a 3 2 a3 3 a3 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho a  2; 2;0  , b  2; 2;0  , c  2; 2; 2  . Giá trị của a  b  c bằng A. 6. B. 11. C. 2 11 D. 2 6 4 Câu 23: Cho f (x) xác định, liên tục trên [0; 4] thỏa mãn f (x) + f (4 - x) = - x2 + 4 x . Giá trị của  f  x  dx 0 bằng 16 32 A. 32. B. . C. . D. 16. 3 3   Câu 24: Giá trị 1  i  2  i   i bằng A. 17 B. 5 C. 3 D. 13 z Câu 25: Số phức z có điểm biểu diễn A như hình vẽ. Phần ảo của số phức bằng z i 5 1 5 1 A. i B. i C. D. 4 4 4 4 Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu biến thiên như sau Giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x- 1) bằng A. 4. B. 3. C. - 3. D. - 2. x  t  Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; -1; 2) và hai đường thẳng d :  y  1  4t  z  6  6t  x y 1 z  2 d ':   . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với 2 1 5 caodangyhanoi.edu.vn
x 1 y 1 z  2 x 1 y 1 z  2 A.   B.   17 14 9 14 17 9 x 1 y 1 z  2 x 1 y 1 z  2 C.   D.   17 9 14 14 17 9 Câu 28: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f (x) = ax + bx + cx + dx + e. Hỏi có bao nhiêu m nguyên để 4 3 2 phương trình f  x   m có ít nhất ba nghiệm phân biệt ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 29: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng .a Thể tích khối chóp đã cho bằng a3 2 3 a3 2 a3 A. B. a C. D. 2 6 3 Câu 30: Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng A. 600 . B. 450. C. 300. D. 900.  2 cos x  3 b Câu 31: Cho .  dx  a   a, b   .Giá trị của a + b2 bằng 2 1 x 2  2 A. 10. B. 4. C. - 2. D. 2. x 1 y  2 z 1 x 1 y 1 z  2 Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d1:   va d 2 :   1 1 2 2 1 1 Mặt phẳng (P) : x + ay + bz + c = 0 ( c > 0 ) song song với d1 , d2 và khoảng cách từ d1 đến (P) bằng 2 lần khoảng cách từ d2 đến (P). Giá trị của a + b + c bằng A. 14. B. 6. C. - 4. D. - 6. Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn (2 - i ) z - (2 + i )z = 2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 5 5 A. 1. B. . C. 2. D. 5 5 Câu 34: Một công ti sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao 18cm và đáy là hình lục giác nội tiếp đường tròn đường kính 1 cm . Bút chì được cấu tạo từ 2 thành phần chính là than chì và 1 bột gỗ ép, than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính cm, giá thành 540đồng /cm3 . Bột gỗ ép 4 xung quanh có giá thành 100đồng /cm . Tính giá của một cái bút chì được công ti bán ra biết giá nguyên 3 vật liệu chiếm 15,58% giá thành sản phẩm. A. 10000 đồng. B. 8000 đồng. C. 5000 đồng. D. 3000 đồng. Câu 35: Cho hàm số y = (m - 3m + 2) x - x + ( m - 2) x - x , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm 2 4 3 2 số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞ ; +∞) ? caodangyhanoi.edu.vn
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 36: Cho khối lăng trụ ABC.A’B′C′ có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2 a ; BC = 2 a 3 . Tam giác A′BC vuông cân tại A′ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC) . Khoảng cách giữa hai AA′ và BC bằng a 2 a 5 a 3 A. a 3 B. C. D. 2 2 2 Câu 37: Cho x, y thỏa mãn log 1 x  log 1 y  log 1 (x + y ) . Giá trị nhỏ nhất của 3x + y bằng 2 2 2 2 A. 9. B. 4 + 2 3 C. 15. D. 5 + 2 3 Câu 38: Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Qúy vào ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6,7,8. Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng 1 2 12 1 A. B. C. D. 10 19 35 6 Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0, (Q):2 y + z - 5 = 0 và(R): x - y + z - 2 = 0. Gọi (α) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R). Phương trình của (α) là A. 2x + 3y - 5z + 5 = 0. B. x + 3y + 2z - 6 = 0. C. x + 3y + 2z + 6 = 0. D. 2x + 3y - 5z - 5 = 0. Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a , AD = a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng a 57 a 19 2a 15 a 13 A. B. C. D. 6 4 3 3 Câu 41: Cho x, y ∈ (0; 2) thỏa mãn (x - 3)(x + 8) = ey (ey - 11) . Giá trị lớn nhất của ln x + 1 + lny bằng A. 1  ln3  ln2. B. 2 ln3  ln2. C. 1 + ln3  ln2. D. 1 + ln2. Câu 42: Có bao nhiêu số phức z = a + bi (a, b ∈ ) thỏa mãn z  i + z  3i = z  4i + z  6i và z ≤0 A. 12 B. 2. C. 10. D. 5. Câu 43: Cho Parabol (P) : y = x 2 và đường tròn (C) có tâm A (0; 3) , bán kính 5 như hình vẽ. Diện tích phần được tô đậm giữa (C) và (P) gần nhất với số nào dưới đây ? A. 3,44. B. 1,51. C. 3,54. D. 1,77. Câu 44: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên thỏa mãn 4 f (x) + f (x) = x với mọi x∈ 3 . Giá trị 1của 1  f  x dx 0 bằng caodangyhanoi.edu.vn
1 5 1 A. 0. B. C. D.  2 16 2 Câu 45: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C’ . Các mặt phẳng (ABC′) và (A’B’C′) chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu H1 , H2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn V H1  khối trên. Giá trị của bằng V H 2  A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. Câu 46: Hỏi hàm số y = sin2x + x có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (-π ; π)? A. 4. B. 7. C. 5. D. 3. Câu 47: Cho hàm số f (x) = 2x3 + 6x2 + 1 và các số thực m, n thỏa mãn m2 - 4 mn + 5 n2 = 2 2 n - 1. Giá m2 2  trị nhỏ nhất của f   bằng  n  A. 4. B. - 99. C. 5. D. - 100. 1 Câu 48: Cho hai đường cong (H) : y = m + và (P) : y = x2 + x - 1. Biết (P), (H) cắt nhau tại 3 điểm phân x biệt sao cho đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. m ∈ (1; 6) . B. m ∈ (- 6; 1) . C. m ∈ (-∞ ; - 6) . D. m ∈ (6; +∞) . Câu 49: Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng (Oyz) và cách điểm M ( 1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng 2 1 1 2 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu (S) : x + y + (z - 1) = 25 và (S′) : (x - 1)2 + ( y - 2)2 + 2 2 2 (z - 3)2 = 1. Mặt phẳng (P) tiếp xúc (S′) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6π. Khoảng cách từ O đến (P) bằng 14 17 8 19 A. B. C. D. 3 7 9 2 ----------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-A 4-C 5-C 6-B 7-D 8-D 9-B 10-D 11-B 12-A 13-C 14-C 15-B 16-D 17-D 18-A 19-D 20-A 21-D 22-C 23-B 24-B 25-D 26-B 27-D 28-A 29-C 30-B 31-A 32-A 33-D 34-A 35-D 36-D 37-A 38-A 39-B 40-A 41-B 42-A 43-C 44-C 45-C 46-C 47-B 48-A 49-D 50-A caodangyhanoi.edu.vn
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. B Hình chiếu của điểm M lên trục Ox có tọa độ là (2; 0; 0 ) . Câu 2. C Theo định nghĩa phương một vectơ chỉ phương là trình u chính tắc = ( 1; - 4; 2) . của đường thẳng trong không gian thì đường thẳng d có Câu 3. A Từ bảng biến thiên ta thấy f '(x) đổi dấu 3 lần khi qua x = - 2; x = 0; x = 1 nên hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 4. C Ta có: 2a .2b = 2a +b . Câu 5. C Hàm số có tập xác định D = \{1} . x 1 2 Ta có y   y'  0, x  x 1  x  1 2 Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; 1) và (1; +∞) . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) . Câu 6. B Gọi q là công bội của cấp số nhân (un) . u Ta có u2 = u1 . q ⇒ q = 2 = -2 . u4 = u1. q3 = - 24 . u1 Câu 7. D x2 Ta có  f  x dx    x  sin x dx   cos x  C 2 Câu 8. D Diện tích đáy là a2; thể tích lăng trụ là V = a2 h . Câu 9. B     1 5 5 log 2 4 2  log 2  22.2 2   log 2 .2 2    2 Câu 10. D (2 x  1) ' d(2 x  1) 1 1 1 2 1 0 2 x  1 0 2 x  1 dx  dx  0 2 x  1  ln 2 x  1 0  ln 3 Câu 11. B  1  3i  z1  2 Phương trình z 2  z  1  0   1  3i  z2   2 Vậy z1 + z2 = - 1 . Câu 12. A n! Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Ank   n  k ! Câu 13. C Dựa vào đồ thị ta có caodangyhanoi.edu.vn
-đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại đáp án B, D. -Hàm số có một điểm cực trị âm nên loại phương án A. Câu 14. C Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy ,r chiều cao h là Vπ= r2 h . Câu 15. B Mặt cầu (S) : (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 4)2 = 4 có tâm I (1; - 3;4) và bán kính R = 2 . Câu 16. D 2x  1 x  0 Phương trình log 2  5.2 x  4   2 x  22 x  5.2 x  4  0   x  2  4 x  1 Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương. Câu 17. D Tập xác định D = [1; +∞) \ {3} . Vì lim  y   và lim  y   ⇒ Tiệm cận đứng là x = 3 x  3  x  3  Câu 18. A  f  x  khi f  x   0 Ta có y  f  x    Cách vẽ đồ thị hàm số y = f  x  như sau:  f  x  khi f  x   0 + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm trên trục hoành ta được (C1) + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành ta được(C 2) . Suy ra đồ thị hàm số y = f  x  gồm (C1) và (C2) . Vậy đồ thị hàm số y = f  x  có 5 điểm cực trị. Câu 19. D Ta có 4x2 - x + 2x2 - x + 1 = 3 ⇔ ( 2x2 - x )2 + 2.2x2 - x - 3 = 0 . t  3 Đặt 2x2 - x = t > 0 ta được: t2 + 2t - 3 = 0 ⇔  t  1 x x  0  1  x2  x  0   2 Vì t > 0 nên nhận t = 1 . Suy ra 2 x x  1 x  0 x  1 Như thế  1 hoặc  1  x2  1  x2  0 Vậy x1  x2 = 1 . Câu 20. A 2m n  8 2m.2n  8 Ta có:  m   m 2  2  6 2  2  6 n n t  2 Suy ra 2m, 2n là nghiệm của phương trình t 2 - 6 t + 8 = 0 ⇔  t  4  2m  2  m  1  n   2  4 n  2 Do đó:    m  2  2  4 m   2n  2  n  1  caodangyhanoi.edu.vn
Trong cả hai trường hợp ta đều có m. n = 2 . Câu 21. D 1 Ta có thể tích khối nón được tính bằng công thức: V   r 2 h 3 Trong đó khối nón có chiều cao h = a 3 ; đường sinh l = 2 a ; r2 = l2 - h2 = 4a2 - 3a2 = a2 1 1 3 a3 Vậy V   r 2 h   a 2 a 3  3 3 3 Câu 22. C Ta có: a  b  c = ( 2;6;2 ) . Vậy a  b  c  2 11 Câu 23. B 4 4   f  x   f  4  x  dx     x  4 x dx 2 Ta có f (x) + f (4 - x) = - x2 + 4x ⇒ 0 0 4 4 4   f  x   f  4  x  dx  32 32   f  x dx   f  4  x dx  0 3 0 0 3 4 4 4 4 32 32   f  x dx   f  4  x d  4  x     f  x dx   f  x dx  0 0 3 0 0 3 4 4 32 16  2 f  x dx    f  x dx  0 3 0 3 Câu 24. B 1  i  2  i   i = 1  i  2  i   i = 1  2 i = 12  22  5 Câu 25. D Từ hình vẽ suy ra z = 2 + 3i . z 2  3i 2  3i 5 1     i z  i  2  3i   i 2  2i 4 4 z 1 Vậy phần ảo của số phức bằng z i 4 Câu 26. B Đặt t = sin x - 1 ⇒ t ∈ [- 2; 0] . Do đó y = f sin x - 1) = f (t), t ∈ [- 2; 0] . Từ bảng biến thiên suy ra max f (t) = f (-2) = 3 . t 2;0 Câu 27. D Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có u  1; 4;6  Đường thẳng d’ có một vectơ chỉ phương u '   2;1; 5  Gọi ∆ là đường thẳng qua M vuông góc với d và d′ nên có một vectơ chỉ phương là: u   u; u'  14;17;9  x 1 y 1 z  2 Vậy phương trình đường thẳng ∆ :   14 17 9 Câu 28. A caodangyhanoi.edu.vn
Cách vẽ đồ thị hàm số y = f  x khi biết đồ thị hàm số y = f (x) : Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục tung. Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung. Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải trục tung qua trục tung. Ta được đồ thị hàm số y = f  x  như hình vẽ dưới đây. Phương trình f  x  = m có ít nhất ba nghiệm phân biệt ⇔ - 3 < m ≤ 0 . Mà m nguyên nên m ∈ {-2; - 1;0} . Vậy có 3 giá trị m thỏa đề. Câu 29. C Cho hình chóp như hình vẽ. Khi đó ta có: Diện tích đáy B ABCD = a2 Do hình chóp S.ABCD đều nên SO là đường cao. 2 1 a 2  a  a 2 Do tam giác SOA vuông tại O có SA = a , OA = AC   SO  a 2     2 2  2 2 1 2 a 2 a3 2 Thể tích khối chóp S.ABCD là V  a .  3 2 6 Câu 30. B caodangyhanoi.edu.vn
Từ giả thiết của bài toán suy ra : A’B′ là hình chiếu vuông góc của AB ' trên (A′B'C') .    Do đó, AB ', A ' B ' C '  AB ', A ' B '  AB ' A '  Tam giác AB’A′vuông tại A′ có AA′ = A′B′ = a ⇒ ∆AA′B′ vuông cân tại A′.    Suy ra AB ', A ' B ' C '  AB ', A ' B '  AB ' A '  450  Câu 31. A   cos x  3 cos x  3 cos x  3 2 0 2 Đặt I   2 1 x dx    2 1 x dx   0 2x  1 dx  2 2 cos x  3 0 Tính I1   2x  1 dx  2 Đặt t = - x ⇒ dt = - dx . Đổi cận:   cos x  3 2 (cos x  3) 2 (cos x  3) . 0 2 t 2 x Có I1   t dt   dt   dx  2 1 0 2 1 t 0 2x  1 2    2 cos x  3 2 (cos x  3) 2 x 2  3 Suy ra I   dx   dx   (cos x  3)dx   sin x  3 x  2  1 0 2 1 x 0 2 1 x 0 0 2 Suy ra a = 1 , b = 3 . Vậy a + b2 = 10 . Câu 32. A Gọi u1 = (1; 1; 2 ), u2 = (2; 1; 1) lần lượt là một vectơ chỉ phương của d1, d2. Gọi n1  u1 , u2  = ( -1; 3; -1) , có n 1cùng phương n2 = (1; - 3; 1) . n = (1; a ; b) là một vec-tơ chỉ phương của (P) . Do (P) song song với d1 , d2 nên chọn n = (1; - 3; 1) . Suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x - 3y + z + c = 0 . Lấy M1 (1; - 2; 1) ∈ d1 , M2 (1; 1; -2) ∈ d2 Có d (d1 ; (P)) = 2 d (d 2; (P)) ⇔ d(M1 ; (P)) = 2d(M2;(P)) 1  3  2   1  c 1 3  2  c 8  c  2  4  c   2  8  c  2 4  c   11 11 8  c  3  4  c  c  16  nhan   c  0  l  Nên (P): x - 3y + z + 16 = 0 , suy ra a = - 3, b = 1, c = 16 . Vậy a + b + c = 14 . Câu 33. D Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ) . caodangyhanoi.edu.vn
Ta có (2 - i)z - (2 + i) z = 2i ⇔ (2 - i)(x + yi) - (2 + i)(x - yi) = 2i ⇔ (2x + y) + (2y - x)i – [( 2x + y) + (-2y + x)i ] = 2i ⇔ (4y - 2x)i = 2i ⇔ 4y - 2x = 2 ⇔ x = 2y - 1 . 2  2  1 1 Do đó z 2  x 2  y 2   2 y  1  y 2  5 y 2  4 y  1   5 y     , y  2  5 5 5 1 5 2 1 Suy ra min z   khi y  , x   5 5 5 5 Câu 34. A Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều và bán kính của lõi than chì. 1 1 Ta có R = cm và r = cm . 2 8 3 1 3 3 3 Suy ra diện tích của lục giác đều là S = 6. R 2  6. .  4 4 4 8 Gọi V là thể tích của khối lăng trụ lục giác đều. V1, V2 lần lượt là thể tích của khối than chì và bột gỗ dùng để làm ra một cây bút chì. 9 Ta có V = S.h = 3 3 8 .18  27 3 4  cm3  ,V1   r 2 h   . 2 .18  8 1 32  cm3  27 3 9 ⇒ V2 = V - V1 = 4  32  cm3  (cm3) . Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm một cây bút chì là 540V1 + 100V2 (đồng). Vậy giá bán ra của cây bút chì là 100  9  27 3 9   100  540V1  100V2  .  540.  100    . ≈ 10000 (đồng). 15,58  32  4 32   15,58 Câu 35. D m  1 Ta có y′ = 4 (m2 - 3m + 2)x3 - 3x2 + 2(m - 2)x - 1 ; m2 - 3m + 2 = 0 ⇔  m  2 + Xét trường hợp: m = 1 ⇒ y′ = - 3x2 - 2x - 1 ≤ 0, ∀x ∈ . Do đó m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Xét trường hợp: m = 2 ⇒ y ′ = - 3x2 - 1 ≤ 0, ∀ x ∈ . Do đó m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. m  1 + Xét trường hợp:  m  2 Khi đó tập giá trị của hàm y′ là nên mệnh đề " y′ ≤ 0, ∀ x ∈ " sai. caodangyhanoi.edu.vn
m  1 Do  không thỏa mãn yêu cầu bài toán. m  2 Câu 36. D Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiều của H trên A’A. Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A nên BC ⊥ AH (1) và AH = AB 2  BH 2  4a 2  3a 2  a . Mặt khác (A′BC) ⊥ (AB) và tam giác A′BC vuông cân tại A′ nên 1 A ′ H ⊥ BC (2) và A′H = BC = a 3 2 Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (AHA′) ⇒ BC ⊥ HK nên HK là đoạn vuông góc chung của A’Avà BC . AH . A ' H a2 3 a 3 Vậy d  A ' A, BC   HK   AH  A 'H 2 2 a  3a 2 2 2 Câu 37. A Điều kiện: x, y > 0 Ta có: log 1 x  log 1 y  log 1  x 2  y   log 1 xy  log 1  x 2  y  2 2 2 2 2 ⇔ xy ≥ x + y ⇔ y (x - 1) ≥ x 2 2 Vì x2 > 0 ⇒ y(x - 1) > 0 ⇒ x - 1 > 0 ⇒ x > 1. x2 x2 Do đó y(x - 1) ≥ x2 ⇔ y  . Khi đó P = 3x + y ≥ 3x   f  x  1 x 1 x 1 4 x2  8x  3 3 Xét f (x) trên khoảng (1; +∞) , ta có: f '  x   ; f '  x   0  x  (Vì x > 1 ).  x  1 2 2 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có f (x) ≥ 9, ∀x > 1 (2) .  x2  3  y  x  Từ (1) và (2) ta có 3x + y ≥ 9 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x  1   2  x  3 y  9  2  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của 3x + y bằng 9. Câu 38. A Số phần tử không gian mẫu là   C21 6 .5!.C157 .6!.C88 .7! Trường hợp 1: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 6chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là C194 .4!2!.C146 .5!.C88 .7! Trường hợp 2: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 7chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là C196 .6!.2!.C136 .5!.C77 .6! Trường hợp 3: Hai bạn Thêm và Quý cùng ngồi bàn 8chỗ và ngồi cạnh nhau Số cách chọn người và sắp xếp là Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng caodangyhanoi.edu.vn
C194 .4!2!.C157 .6!.C88 .7! C195 .5!2!.C146 .5!.C88 .7! C196 .6!2!.C13 6 .5!.C77 .6! 1 P 6  C21 .5!.C157 .6!.C88 .7! 10 Câu 39. B Tọa độ mọi điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn hệ phương trình: z  y  z 1  0  2 y  z  5  0 Cho z = 1 ta được A (- 2; 2; 1) , cho z = 5 được B (-4; 0; 5)thuộc giao tuyến AB = (-2; - 2; 4). Mặt phẳng (R) có vec tơ pháp tuyến nR  1; 1;1 1 Mặt phẳng (α) đi qua A (-2; 2; 1) và có vec tơ pháp tuyến n   AB, nR  = ( 1;3;2 ) . 2  Phương trình của (α) là:(x + 2) + 3(y - 2 ) + 2(z - 1) = 0 ⇔ x + 3y + 2z - 6 = 0 . Câu 40. A Gọi O là tâm của đáy, M là trung điểm của AB và G là tâm của tam giác đều SAB . Gọi d ,Δ lần lượt là trục của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB . Do (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ⋂ (ABCD) = AB, SM ⊥ AB nên SM ⊥ (ABCD) . Mặt khác d ⊥ (ABCD) nên d // SM hay Δ ⊂ mp (d , SM) , Δ và d cắt nhau tại I . Ta có I cách đều S, A, B, C, D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tứ giác GMOI có GM ⊥ MO, IG ⊥ GM , SM // IO nên GMOI là hình chữ nhật. 1 a 3 1 a 5 SM  a 3, GM  SM  , AO  AC  3 3 2 2 a 2 5a 2 57a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R  IA  IO 2  AO 2    3 4 6 Câu 41. B (x - 3)(x + 8) = ey (ey - 1 ) ⇔ x2 + 5x - (24 + e2 y2 - 11ey ) = 0 (*) . ∆ = 25 + 4 (24 + e2y2 - 11ey) = (2ey - 11)2 . Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm  x  3  ey ey  x  8 1  x  ey  8    ey  3  x  2  0  x, y  2 0  ey  5, 6 Xét (1) : Ta có   ⇒ (1) bị loại. 0  e  2,8 x  8  8 Với ey = 3 - x caodangyhanoi.edu.vn
lnx  1  ln y  lnx  ln ey  lnx  ln  3  x   f  x  1 1 f ' x   2 x lnx 2  3  x  ln  3  x  3 f '  x   0  x lnx   3  x  ln  3  x   x  3  x  x    0; 2  2 Bảng biến thiên 3 3 3 3 2  3   0; 2  Từ bảng biến thiên ta có max f  x   f    2 ln 3  ln 2, voi x   y   0;2 2 2 e 2e Vậy giá trị lớn nhất của lnx  1  ln y bằng 2 ln 3  ln 2 . Câu 42. A Gọi M (a; b) , A (0; - 1) , B (0; 3) , C (0; - 4) , D (0; 6) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi , i- , 3i , - 4i , 6i . Trường hợp 1: Xét trường hợp M không thuộc Oy . Gọi I là trung điểm AB khi đó I cũng là trung điểm CD . Do (M , A, B ), (M, C, D) không thẳng hàng. Gọi M′ là điểm đối xứng của M qua I . Theo tính chất hình bình hành ta có MA + MB = MB + MB′ ; MC + MD = MD + M’D. Dễ thấy MD + M’D > MB + M’B vậy trường hợp này không có điểm M thỏa mãn. Trường hợp 2: Xét trường hợp M thuộc Oy ⇒ M (0; m) , (m ≤ 10) . m  6 MA + MB = MC + MD ⇔ m  1  m  3  m  4  m  6    m  4 Kết hợp điều kiện ⇒ m ∈ [-10; - 4] ∪ [6;10] . Vì m ∈ ⇒ có 12 giá trị. Câu 43. C Phương trình (C) : x2 + (y – 3)2 = 5 . Tọa độ giao điểm của (P) và © là nghiệm của hệ phương trình:  y  1  x 2   y  32  5  y   y  32  5       y  4  y  x  y  x  2 2 y  x 2 caodangyhanoi.edu.vn
 x  1   y  1   x  1   y  1  . Vậy tọa độ các giao điểm là (1; 1) , ( -1; 1) , ( -2; 4) , (2; 4) .   x   2   y  4    x  2  y  4  Ta có: S = 2 (S1 + S2) .   1 Tính S1: x2 + (y - 3)2 = 5 (C) ⇒ y = 3 - 5  x 2  S1    3  5  x 2  x 2  dx ≈ 0,5075 .   0  x 2   y  3 2  5  C   x  5   y  3  2  4  S2    5   y  3  y dy  1, 26 2 Tính S2:      y  x 2 x y 1 Vậy S = 2 (S1 + S2) ≈ 3,54 . Câu 44. C Đặt t = f (x) ⇒ 4t3 + t = x ⇒ (12t 2 + 1) dt = dx .  x  0  4 f 3  0  f  0  0  f  0  0  t  0  Đổi cận:  1 1  x  1  4 f 1  f 1  1  f 1   t  3  2 2 1 1 Vậy  f  x dx   t 12t 2  1dt  2 5 0 0 16 Câu 45. C Gọi E = AC' ⋂ A'C và F = BC' ⋂ B’C . Khi đó: (ABC′) và ( A′B′C) chia khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ thành 4 khối đa diện: CEFC' ; FEA'B'C'; FEABC và FEABB'A' (hình vẽ). Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ . 1 Ta có VC.A'B'C' = VC".ABC = V 3 VFEA'B'C' = VC.A'B'C' - VCEFC' và VFEABC = VC'.ABC - VCEFC' ⇒ VFEA'B'C' = VFEABC . caodangyhanoi.edu.vn
VCEFC ' CE CF 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác:  .  .   VCEFC '  VC . A ' B 'C '  . V  V VC . A ' B 'C ' CA ' CB ' 2 2 4 4 4 3 12 1 1 1  VFEA ' B 'C '  VFEABC  VC . A ' B 'C '  VCEFC '  V  V  V 3 12 4 1 1 5  VFEABB ' A '  V  2. V  V  V 4 12 12 Do đó: H1 có thể tích lớn nhất là khối đa diện FEABB'A' ; H2 có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện CEFC' V H1  và 5 V H 2  Câu 46. C Xét f (x) = sin2x + x, ∀x ∈ (- π ; π) .    x   k 1 3 Ta có f '(x) = 2cos2x + 1 ; f' (0) = 0 ⇔ cos2x =     ,k  2  x     k  3  2  + Với x = + kπ do x ∈ ( - π ; π) ⇒ x = - ;x= 3 3 3   2 + Với x = - + kπ do x ∈ (- π ; π) ⇒ x = - ;x= 3 3 3 Bảng biến thiên Bảng biến thên y = f  x  Vậy hàm số y = sin2 x  x có 5 điểm cực trị trên khoảng ( -π ; π) . Câu 47. B m2 2 Đặt = t ⇒ m - 2 2 = nt ⇒ m = nt + 2 2 thay vào đẳng thức n    4  nt  2 2  n  5n  2 2 m 2  4mn  5n 2  2 2n  1 ta có: nt  2 2 2 2n  1    t 2  4t  5 n2  2 2 2t  5 2  n  9  0 1 có t  4t  5  0, t  2 Phương trình (1) có nghiệm n ≠ 0 . caodangyhanoi.edu.vn
⇔∆'≥0. ⇔ ( 2 2 t - 5 2 )2 - 9( t2 - 4 t + 5) ≥ 0 ⇔ t2 + 4t - 5 ≤ 0 ⇔ t ∈ [ -5; 1] . Xét hàm số f (t) = 2t3 + 6t2 + 1 trên đoạn [-5; 1] t  0   5;1 f ' (t) = 6t2 + 12t = 0 ⇔  t  2   5;1 Ta có f (-5) = - 99 , f (-2) = 9 , f (0) = 1 , f (1) = 9 . m2 2  Vậy giá trị nhỏ nhất của f   bằng - 99 .  n  Câu 48. A 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (P) m + = x2 + x - 1 ( x ≠ )0 x ⇔ x3 + x2 - ( m + ) x - 1 = 0 (*) Giả sử x1, x2, x3 là ba nghiệm phương trình (*) Khi đó tọa độ giao điểm (P) và(H) là A (x1 ; y1) , B (x2 ; y2) , C (x3 ; y3) Đặt g (x) = x3 + x2 - ( m + 1)x - 1 ⇒ g (x1) = g (x2) = g (x3) = 0 Ta có: y = x2 + x - 1 ⇒ y2 = (x2 + x - 1)2 ⇔ y2 = x4 + 2x3 - x2 - 2x + 1 ⇔ y2 = (x + 1).g(x) + (m - 1)x2 + mx + 2 Tọa độ A, B, C thỏa mãn : y2 = ( m - 1) x2 + mx + 2 ⇔ y2 + x 2 = mx2 + mx + 2 ⇔ x2+ y2 = mx2 + mx + 2 ⇔ x2+ y2 = m(y - x + 1) + mx + 2 ⇔ x2+ y2 - my - m - 2 = 0 (**). 2  m m (**) là phương trình đường tròn tâm I  0;  bán kính R  02     m  2  2 2 Vì ba điểm A , B , C thuộc đường tròn bán kính bằng 2 nên ta có: m 2  m  2  2 3 0 2     m  2  4  m 2  4m  8  0   2  m  2  2 3 Với m  2  2 3 phương trình (*) có 1 nghiệm (loại). m  2  2 3 phương trình (*) có 3 nghiệm (thỏa mãn). Vậy m  2  2 3 ∈ (1; 6) . Câu 49. D Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d . Ta có: d (M , d) = MK ≥ MH = 1 , H (0; - 2; 1) . caodangyhanoi.edu.vn
Suy ra d (M, d) nhỏ nhất khi K ≡ H . Khi đó d có một vecto chỉ phương là OH = ( 0; - 2;1 ) OH . j cos  d ,  Oy    2  OH j 5 Câu 50. A Mặt cầu (S) có tâm I (0; 0; 1) , bán kính R = 5 , mặt cầu (S′) có tâm I′ (1; 2; 3) , bán kính R′ = 1 Vì I′I = 3 < R - R ′ = 4 nên mặt cầu (S′) nằm trong mặt cầu (S) . Mặt phẳng (P) tiếp xúc (S′) ⇒ d (I′, (P)) = R ′ = 1 ; (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6π (suy ra bán kính đường tròn là r = 3) nên d (I, (P)) = R 2  r 2 = 4 . Nhận thấy d (I, (P)) - d (I′, (P)) = I′I nên tiếp điểm H của (P) giao của (P) và (S) . Khi đó, (P) là mặt phẳng đi qua H , nhận và II = (S′ (1; 2; 2) làm vecto pháp tuyến.  4  xH  3  4  8  4 8 11  Ta có: IH  II '   yH    ; ;  3  3 3 3 3   11  zH  3  4  8   11  Phương trình mặt phẳng (P) : x   2  y    2  z    0  x  2 y  2 z  14  0 3  3  3 Khoảng cách từ O đến (P) là d  O;  P    14 3 caodangyhanoi.edu.vn