132
CHÖÔNG 4:
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
CHÖÙA CAÊN THÖÙC.
A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN BAÄC HAI.
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
1. Nhaéc laïi: 2
aa= ; 2a neáu a 0
aa neáu a 0
≥
⎧
=⎨−≤
⎩
. Neáu a0≥ vaø b0≥, ta coù: 22
ab a b>⇔ >
. Vôùi moïi a, b R∈, ta coù:
33
33
ab a b
ab a b
=⇔ =
>⇔ >
. Giaû söû a0≥ vaø b0≥. Ta coù : ab a b 2(ab)+≤ + ≤ +
Ñaúng thöùc beân phaûi ñuùng khi vaø chæ khi a = b
Ñaúng thöùc beân traùi ñuùng khi vaø chæ khi a = 0 ∨ b = 0
2. Daïng cô baûn:
A0(hay B0)
AB AB
≥≥
⎧
=⇔
⎨=
⎩
2
B0
AB AB
≥
⎧
⎪
=⇔
⎨=
⎪
⎩
3. Caùc daïng khaùc:
Ñaët ñieàu kieän cho 2u A laø A ≥ 0, naâng caû hai veá leân luõy thöøa töông
öùng ñeå khöû caên thöùc.
2u 2u
A.B 0
AB AB
≥
⎧
⎪
=⇔
⎨=
⎪
⎩
2u 1 2u 1
AB A B
++
=⇔ =
. Ñaët aån duï ñeå ñöa veà phöông trình hay heä phöông trình ñôn giaûn.
. Tröôøng hôïp phöông trình ñaõ cho coù nhieàu caên thöùc.
+ Ta bình phöông 2 veá nhieàu laàn ñeå khöû daáu caên thöùc.
133
+ Moãi laàn bình phöông 2 veá, caàn ñaët caùc ñieàu kieän:
- Ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc caên thöùc
- Ñieàu kieän veà daáu cuûa 2 veá.
Ñeå bình phöông môùi töông ñöông vôùi phöông trình cho.
II. CAÙC VÍ DUÏ.
Ví duï 1:
Giaûi phöông trình: 2
2
11
2x 2 4 xx
x
⎛⎞
−+− =−+
⎜⎟
⎝⎠
(ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1996).
Giaûi
Ñieàu kieän:
2
2
2
2x 2
2x 0 2x 2
122
20
2x 1 0,x 0 xx
x22
⎧
⎧−≤≤
−≥ ⎧−≤≤
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−≥ −≥ ≠ ≤− ∨ ≥
⎪
⎪⎪
⎩
⎩⎩
22
2x x 2.
22
⇔− ≤ ≤− ∨ ≤ ≤
* 2
2x 2
−≤≤− : thì x < 0 neân ta coù:
2
2
11
2x 2 2 2 22 44 x x
x
⎛⎞
−+−<+= <<−+
⎜⎟
⎝⎠
2
x2,
2
⎡
⎤
−
⇒∈−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình cho.
* 2x2:
2≤≤ Bình phöông 2 veá cuûa phöông trình cho:
2
22
22
1111
2x 2 2(2x)2 168x x
xx
xx
⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞
−+− + − − =− + ++
⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠
2
22
22
1111
25 2x 12 8x x x
xx
xx
⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⇔− +=−+++++
⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
(*)
Ñaët 22
2
11
tx t x 2
xx
=
+⇒ = + +
. Ñieàu kieän t 2≥
222
(*) 2 5 2(t 2) 12 8t t 2 t
⇔
−−=−+−+
134
22 2 2
9 2t t 4t 5 (t 2) 9 2t (t 2) 1 (**)⇔− =−+ ≥⇔− =−+
Ta coù:
2
2
92t 1
(***)
(t 2) 1 1
⎧−≤
⎪
⎨
⎪−+≥
⎩
(**) vaø (***)
2
2
92t 1 1
t2 x 2 x1
x
(t 2) 1 1
⎧−=
⎪
⇒⇔=⇔+=⇔=
⎨−+=
⎪
⎩
Thay x = 1 vaøo phöông trình cho thoûa vaäy x = 1 laø nghieäm phöông
trình.
Ví duï 2:
Giaûi phöông trình: xxx
(2 3) (2 3) 4−++=
(Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998, ñeà soá 2)
Giaûi
xxx
xx
(2 3) (2 3) 4
23 23 1 (1)
44
−++=
⎛⎞⎛⎞
−+
⇔+=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Nhaän xeùt x = 1 laø nghieäm phöông trình (1), ta chöùng minh x = 1 duy
nhaát.
23
1
4
−< vaø 23
1
4
+< ⇒ Veá traùi laø haøm soá giaûm.
Veá phaûi laø haèng soá ⇒ x = 1 laø nghieäm duy nhaát.
Ví duï 3:
Giaûi phöông trình: 2
x4x22x−+ +=
(ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái D naêm 1999).
Giaûi
Ta coù: 2
x4x22x−+ += 2
x4x2x2⇔− + = −
22 2
2x 2 0 x 1
x 4x 4x 8x 4 5x 12x 4 0
−≥ ≥
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+ = − + − +=
⎪⎪
⎩⎩
x1
2
x2x x2
5
≥
⎧
⎪
⇔⎨=∨= ⇔=
⎪
⎩
135
Ví duï 4:
Giaûi phöông trình: 2
xx55 (1)=++
Giaûi
Ñaët 2
tx5tx5
=
+⇒ =+
Ñieàu kieän x5
t0
≥−
⎧
⎨≥
⎩
(1)
2
2
xt5
tx5
⎧=+
⎪
⇔⎨=+
⎪
⎩
(heä ñoái xöùng loaïi 2)
22
22
xt5 xt5
(x t)(x t 1) 0
xttx
⎧⎧
=+ =+
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
++ =
⎪
−=−
⎪⎩
⎩
2
2
2
xx5
xt5 (t 0)
xtt x1 x x15
⎡
⎧=+
=+
⎪
⇔≥⇔
⎢
⎨=∨=−−
⎪⎢
=
−−+
⎩⎣
2
2
121
x
xx50 (x0) 2
117
xx40 (x1) x2
⎡+
=
⎢
⎡−−= ≥ ⎢
⇔⇔
⎢⎢
⎢−−
+−= ≤−
⎣=
⎢
⎣
Ví duï 5:
Giaûi phöông trình:
222
x 4356 x x x 4356 x 5
x
++
−
+−=
Ñaët
2
x4356x
ax
++
= , 22
b x. x 4356 x=+−
2
2
x(4356)
b x( x 4356 x)
x4356x
=+−=
+
a11 6
ab 4356 66 x
b6 119
a b 5
⎧=
⎧
==
⎪
⇒⇒⇒=
⎨⎨
=
−=
⎪⎩
⎩
136
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.
1.1 Giaûi phöông trình: 2
x2 4x x 6x11−+ −= − +
1.2. Giaûi phöông trình: 2
4x 1 4x 1 1−+ −=
1.3. Giaûi phöông trình: 16 x 9 x 7−+ +=
(ÑH Ñaø Laït naêm 1999)
1.4. Giaûi phöông trình: 22
(4x 1) x 1 2x 2x 1−+=++
1.5. Giaûi phöông trình: 422
xx1xx12−−++−=
137
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT
1.1. 2
x2 4x x 6x11−+ −= − +
Veá traùi = 1. x 2 1. 4 x 2−+ −≤ (BÑT BCS)
Veá phaûi = 22
(x 6x 9) 2 (x 3) 2 2−++=− +≥
2
x2 4x 2
x3
(x 3) 2 2
⎧−+ −=
⎪
⇒⇔=
⎨−+=
⎪
⎩
1.2. 2
4x 1 4x 1 1 (*)−+ −= Ñieàu kieän 2
4x 1 0 1
x
2
4x 1 0
−≥
⎧
⎪
⇔
≥
⎨−≥
⎪
⎩
Nhaän xeùt 1
x2
=laø nghieäm phöông trình (*)
Ta chöùng minh 1
x2
=
laø nghieäm duy nhaát.
Ñaët 2
f(x) 4x 1 4x 1 1=−+ −−
2
24x 1
f'(x) 0, x 2
4x 1 4x 1
=
+>∀>
−−
⇒ haøm soá f(x) taêng treân 1,
2
⎡
⎞
+
∞⎟
⎢
⎣
⎠ vaø coù nghieäm 1
x2
=
⇒ 1
x2
=
duy nhaát.
1.3. 16 x 9 x 7−+ += (*). Ñieàu kieän 16 x 0 9x16
9x0
−≥
⎧
⇔
−≤ ≤
⎨+≥
⎩
(*) 16x9x2(16x)(9x) 49
⇔
−+++ − + =
x0
x(x 7) 0 x7
=
⎡
⇔+=⇔
⎢
=
⎣ nhaän vì thoûa ñieàu kieän 9x16
−
≤≤
1.4. 22
(4x 1) x 1 2x 2x 1−+=++ (1)
Ñaët 2
tx1
=
+ (t 1)≥
138
22
(1) (4x 1) x 1 2(x 1) (2x 1)⇔− += ++−
(2)
2
(4x 1)t 2t (2x 1)⇔−=+−
2
2t (4x 1)t 2x 1 0⇔−−+−= (Xem phöông trình aån soá t)
1
t1 (loaïi)
2
t2x1
⎡=<
⎢
⇔⎢=−
⎢
⎣
2
2
1
2x 1 0 x 2
t2x1 x 12x1
x1(2x1)
⎧−≥ ⇔ ≥
⎪
=−⇔ +=−⇔
⎨
⎪+= −
⎩
x0 (loaïi)
4
x (nhaän)
3
=
⎡
⎢
⇔⎢=
⎢
⎣
1.5. 422
xx1xx12−−++−= (*)
Ñieàu kieän ñeå caùc bieåu thöùc coù nghóa:
2
2
2
x10
xx10 x1
xx10
⎧−≥
⎪
⎪−−≥⇒≥
⎨
⎪+−≥
⎪
⎩
(1)
Nhaän xeùt: 22
(x x 1)(x x 1) 1−−+−= (x 1)≥ (2)
Ñaët 422
2
1
xx1t xx1
t
−−=⇒+−=
(t > 0)
32
2
1
(*) t 2 t 2t 1 0
t
⇔+ = ⇔ − +=
t1
15
t2
15
t0 (loaïi)
2
⎡
⎢=
⎢+
⎢
⇔=
⎢
⎢−
⎢=<
⎢
⎣
.
2
12
xx11
t1:
xx11
−−=
=⇔
+−=
coäng veá vôùi veá x1⇒= thoûa (1)
. 4224
222
15
t x x1t x x1t
2
+
= ⇒−−=⇒−−=
139
24
2
4
2
1
(2) x x 1 t
t
−
⇒+ −= =
24
2
24
2
xx1t
xx1t
−
⎧−−=
⎪
⇒⎨
⎪+−=
⎩
( 5 2,2360)=
Coäng laïi ta ñöôïc nghieäm : 44
22
1
x(tt)
2
−
=+
thoûa maõn (1).