Giải phương trình chứ căn bậc 2 - Phạm Thành Luân

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

1.273
lượt xem 142
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Giải phương trình chứ căn bậc 2 - Phạm Thành Luân " nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình chứ căn bậc 2 - Phạm Thành Luân

CHÖÔNG 4: + Moãi laàn bình phöông 2 veá, caàn ñaët caùc ñieàu kieän: - Ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc caên thöùc PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - Ñieàu kieän veà daáu cuûa 2 veá. CHÖÙA CAÊN THÖÙC. Ñeå bình phöông môùi töông ñöông vôùi phöông trình cho. II. CAÙC VÍ DUÏ. A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN BAÄC HAI. Ví duï 1: 1 ⎛ 1⎞ Giaûi phöông trình: 2 − x2 + 2 − = 4 −⎜x + ⎟ I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. x2 ⎝ x⎠ (ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1996). ⎧a neáu a ≥ 0 1. Nhaéc laïi: a2 = a ; a2 = ⎨ Giaûi ⎩−a neáu a ≤ 0 ⎧2 − x 2 ≥ 0 ⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ ⎧ ⎪− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ . Neáu a ≥ 0 vaø b ≥ 0 , ta coù: a > b ⇔ a2 > b2 Ñieàu kieän: ⎨ 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 2 a = b ⇔ a3 = b3 ⎪2 − 2 ≥ 0 ⎪2x − 1 ≥ 0,x ≠ 0 ⎩ ⎪x ≤ − ∨x≥ . Vôùi moïi a, b ∈ R , ta coù: ⎩ x ⎩ 2 2 a > b ⇔ a3 > b3 2 2 ⇔− 2 ≤x≤− ∨ ≤ x ≤ 2. . Giaû söû a ≥ 0 vaø b ≥ 0 . Ta coù : a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b) 2 2 Ñaúng thöùc beân phaûi ñuùng khi vaø chæ khi a = b 2 * − 2 ≤x≤− : thì x < 0 neân ta coù: Ñaúng thöùc beân traùi ñuùng khi vaø chæ khi a = 0 ∨ b = 0 2 2. Daïng cô baûn: 1 ⎛ 1⎞ 2 − x2 + 2 − 2 < 2 + 2 = 2 2 < 4 < 4 − ⎜ x + ⎟ ⎧A ≥ 0(hay B ≥ 0) x ⎝ x⎠ A = B⇔⎨ ⎩A = B ⎡ − 2⎤ ⎧B ≥ 0 ⎪ ⇒ x ∈ ⎢ − 2, ⎥ khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình cho. A =B⇔ ⎨ ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ 2 ⎪A = B ⎩ 2 3. Caùc daïng khaùc: * ≤ x ≤ 2 : Bình phöông 2 veá cuûa phöông trình cho: 2 Ñaët ñieàu kieän cho 2u A laø A ≥ 0, naâng caû hai veá leân luõy thöøa töông 2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ öùng ñeå khöû caên thöùc. 2 − x2 + 2 − 2 + 2 (2 − x 2 ) ⎜ 2 − 2 ⎟ = 16 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ x ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎧A.B ≥ 0 ⎪ A = B ⇔ ⎨ 2u 2u ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎪A = B ⎩ ⇔ 2 5 − 2 ⎜ x 2 + 2 ⎟ = 12 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x 2 + 2 ⎟ + ⎜ x + ⎟ (*) 2u +1 2u +1 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ A=B⇔ A =B 1 1 . Ñaët aån duï ñeå ñöa veà phöông trình hay heä phöông trình ñôn giaûn. Ñaët t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 . Ñieàu kieän t ≥ 2 x x . Tröôøng hôïp phöông trình ñaõ cho coù nhieàu caên thöùc. + Ta bình phöông 2 veá nhieàu laàn ñeå khöû daáu caên thöùc. (*) ⇔ 2 5 − 2(t 2 − 2) = 12 − 8t + t 2 − 2 + t 2 132 133
⇔ 9 − 2t 2 = t 2 − 4t + 5 (t ≥ 2) ⇔ 9 − 2t 2 = (t − 2)2 + 1 (**) Ví duï 4: Giaûi phöông trình: x 2 = x + 5 + 5 (1) ⎧ 9 − 2t 2 ≤ 1 ⎪ Ta coù: ⎨ (***) Giaûi ⎪(t − 2)2 + 1 ≥ 1 ⎩ ⎧x ≥ −5 Ñaët t = x + 5 ⇒ t 2 = x + 5 Ñieàu kieän ⎨ ⎧9 − 2t 2 = 1 ⎪ 1 ⎩t ≥ 0 (**) vaø (***) ⇒ ⎨ ⇔ t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x =1 2 ⎪(t − 2) + 1 = 1 ⎩ x ⎧x 2 = t + 5 ⎪ (1) ⇔ ⎨ (heä ñoái xöùng loaïi 2) 2 Thay x = 1 vaøo phöông trình cho thoûa vaäy x = 1 laø nghieäm phöông ⎪t = x + 5 ⎩ trình. ⎧ 2 ⎪x = t + 5 ⎪x 2 = t + 5 ⎧ Ví duï 2: ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 Giaûi phöông trình: (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x ⎪x − t = t − x ⎩ ⎩(x − t)(x + t + 1) = 0 ⎪ (Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998, ñeà soá 2) ⎪x 2 = t + 5 ⎧ ⎡x2 = x + 5 ⇔⎨ (t ≥ 0) ⇔ ⎢ Giaûi ⎪x = t ∨ t = −x − 1 ⎢ x2 = −x − 1 + 5 ⎩ ⎣ (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x ⎡ 1 + 21 x ⎛2− 3 ⎞ ⎛2+ 3 ⎞ x ⎡ x 2 − x − 5 = 0 (x ≥ 0) ⎢x = 2 ⇔⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎜ + ⎟ = 1 (1) ⇔⎢ ⇔⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ x 2 + x − 4 = 0 (x ≤ −1) ⎣ ⎢ −1 − 17 ⎢x = Nhaän xeùt x = 1 laø nghieäm phöông trình (1), ta chöùng minh x = 1 duy ⎣ 2 nhaát. Ví duï 5: 2− 3 2+ 3 x 2 + 4356 + x < 1 vaø < 1 ⇒ Veá traùi laø haøm soá giaûm. Giaûi phöông trình: − x x 2 + 4356 − x 2 = 5 4 4 x Veá phaûi laø haèng soá ⇒ x = 1 laø nghieäm duy nhaát. Ví duï 3: x 2 + 4356 + x Ñaët a = , b = x. x 2 + 4356 − x 2 Giaûi phöông trình: −x 2 + 4x + 2 = 2x x (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái D naêm 1999). x(4356) b = x( x 2 + 4356 − x) = Giaûi 2 x + 4356 + x Ta coù: −x 2 + 4x + 2 = 2x ⇔ −x 2 + 4x = 2x − 2 ⎧ab = 4356 = 66 ⎧a = 11 ⎪ 6 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒x= ⎪2x − 2 ≥ 0 ⎧ ⎧x ≥ 1 ⎪ ⎪a − b ⎩ =5 ⎩ b=6 119 ⇔⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⎪ − x + 4x = 4x − 8x + 4 ⎩ ⎪5x − 12x + 4 = 0 ⎩ ⎧ x ≥1 ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪x = 2 ∨ x = 5 ⇔ x = 2 ⎩ 134 135
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 1.1 Giaûi phöông trình: x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 1.1. x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 Veá traùi = 1. x − 2 + 1. 4 − x ≤ 2 (BÑT BCS) 1.2. Giaûi phöông trình: 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 Veá phaûi = (x 2 − 6x + 9) + 2 = (x − 3)2 + 2 ≥ 2 ⎧ x−2 + 4−x =2 ⎪ 1.3. Giaûi phöông trình: 16 − x + 9 + x = 7 ⇒⎨ ⇔x=3 2 (ÑH Ñaø Laït naêm 1999) ⎪(x − 3) + 2 = 2 ⎩ ⎧4x − 1 ≥ 0 ⎪ 1 1.4. Giaûi phöông trình: (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 1.2. 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 (*) Ñieàu kieän ⎨ 2 ⇔x≥ ⎪4x − 1 ≥ 0 ⎩ 2 4 1 1.5. Giaûi phöông trình: x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 Nhaän xeùt x = laø nghieäm phöông trình (*) 2 1 Ta chöùng minh x = laø nghieäm duy nhaát. 2 Ñaët f(x) = 4x − 1 + 4x 2 − 1 − 1 2 4x 1 f '(x) = + > 0, ∀x > 4x − 1 2 4x − 1 2 ⎡1 ⎞ 1 ⇒ haøm soá f(x) taêng treân ⎢ , +∞ ⎟ vaø coù nghieäm x = ⎣2 ⎠ 2 1 ⇒ x = duy nhaát. 2 ⎧16 − x ≥ 0 1.3. 16 − x + 9 + x = 7 (*). Ñieàu kieän ⎨ ⇔ −9 ≤ x ≤ 16 ⎩9 + x ≥ 0 (*) ⇔ 16 − x + 9 + x + 2 (16 − x)(9 + x) = 49 ⎡x = 0 ⇔ x(x + 7) = 0 ⇔ ⎢ nhaän vì thoûa ñieàu kieän −9 ≤ x ≤ 16 ⎣x = 7 1.4. (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1) Ñaët t = x 2 + 1 (t ≥ 1) 136 137
(1) ⇔ (4x − 1) x 2 + 1 = 2(x 2 + 1) + (2x − 1) (2) ⎧x − x 2 − 1 = t 4 1 ⎪ 2 (2) ⇒ x + x 2 − 1 = 4 = t24 ⇒ ⎨ − ( 5 = 2,2360) ⇔ (4x − 1)t = 2t 2 + (2x − 1) t2 ⎪x + x − 1 = t 2 4 2 − ⎩ ⇔ 2t 2 − (4x − 1)t + 2x − 1 = 0 (Xem phöông trình aån soá t) 1 4 −4 Coäng laïi ta ñöôïc nghieäm : x = (t 2 + t 2 ) thoûa maõn (1). ⎡ 1 2 t = < 1 (loaïi) ⇔⎢ 2 ⎢ ⎣ t = 2x − 1 ⎢ ⎧ 1 ⎡ x = 0 (loaïi) ⎪2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 t = 2x − 1 ⇔ x + 1 = 2x − 1 ⇔ ⎨ 2 ⇔⎢ ⎪x + 1 = (2x − 1) 2 ⎢ x = 4 (nhaän) ⎩ ⎢ ⎣ 3 4 1.5. x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 (*) ⎧x 2 − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪ Ñieàu kieän ñeå caùc bieåu thöùc coù nghóa: ⎨x − x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 (1) ⎪ 2 ⎪x + x − 1 ≥ 0 ⎩ Nhaän xeùt: (x − x 2 − 1)(x + x 2 − 1) = 1 ( x ≥ 1) (2) 4 1 Ñaët x − x2 − 1 = t ⇒ x + x2 − 1 = (t > 0) t2 ⎡ ⎢t = 1 ⎢ 1 ⎢ 1+ 5 (*) ⇔ t + 2 = 2 ⇔ t 3 − 2t 2 + 1 = 0 ⇔ ⎢ t = t 2 ⎢ ⎢ 1− 5 ⎢ t = 2 < 0 (loaïi) ⎣ x − x2 − 1 = 1 . t1 = 1:⇔ coäng veá vôùi veá ⇒ x = 1 thoûa (1) 2 x + x −1 = 1 1+ 5 4 . t2 = ⇒ x − x2 − 1 = t 2 ⇒ x − x2 − 1 = t 2 4 2 138 139