Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10" chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy các chủ đề hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 10.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ LỢI - THPT THANH CHƯƠNG 1 -------- SÁNG KIẾN TÊN ĐỀ TÀI: “GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN KIẾN THỨC MÔN TOÁN LỚP 10” Lĩnh vực: Toán học Nhóm thực hiện: Nguyễn Văn Tuấn Trường THPT Lê Lợi Nguyễn Cảnh Tài Trường THPT Thanh Chương 1 Năm thực hiện: 2021 Đơn vị: THPT Lê Lợi THPT Thanh Chương 1 Số điện thoại: 0338638316 - 0945756777 Email: tuancaohoc17@gmail.com Nghệ An, năm 2022
MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 3 1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 3 1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 4 1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 4 1.4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 4 1.5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 4 1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 4 1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 4 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 6 Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 6 1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 6 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 6 1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 6 1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 7 1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 7 Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán Trang 8 lớp 10 2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 8 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy Trang 13 học chủ đề “Hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai” 2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số Trang 27 bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn 2.4. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vào giải một số bài toán có nội dung thực tiễn Trang 36 2
Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 45 Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 47 PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 50 3
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Nội dung trọng tâm được thể hiện trong Nghị quyết này là “chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực”. Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học”. Trong số những năng lực chung, giải quyết vấn đề là năng lực hết sức quan trọng cần được hình thành cho học sinh để giải các bài toán bậc THPT. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Giáo dục toán học gắn với thực tiễn là một xu hướng của hoạt động giáo dục toán học trong nhà trường hiện nay của Việt Nam và nhiều nước trên thế giới. Xu hướng này gắn liền với quan điểm học đi đôi với hành, lí luận gắn liền với thực tiễn; thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh các kiến thức của người học mà mọi quá trình giáo dục đều hướng tới. Thực tế hiện nay, trong các trường THPT giáo viên bộ môn Toán vẫn chưa giành sự quan tâm nhiều tới các bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán nói chung và môn Toán lớp 10 nói riêng. Vì vậy, việc nghiên cứu một cách hệ thống và sâu sắc về phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh bậc THPT thông qua một số bài toán thực tiễn là một việc làm cần thiết, như là một bước chuẩn bị hết sức quan trọng cho việc thực hiện thành công định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam của Nghị quyết số 29. Chương trình giáo dục phổ thông mới năm 2018 sẽ được áp dụng cho lớp 10 năm học 2022 - 2023. Giáo viên là nòng cốt quyết định cho chất lượng giáo dục, vì thế sự thay đổi chất lượng giáo dục phải bắt nguồn từ sự thay đổi của chính đội ngũ này. Nhận thức về dạy học toán gắn với sự phát triển các năng lực cốt lõi, năng lực chung của môn Toán là một trong những giải pháp đầu tiên nhằm thực hiện hóa mục tiêu giáo dục trong giai đoạn đổi mới. 4
Với những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10 ”. 1.2. Mục đích của đề tài - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 10. - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp trường khối 10. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy các chủ đề hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 10. 1.5. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề. - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của các chủ đề hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác chương trình môn Toán lớp 10. - Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán có nội thực tiễn bằng cách vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ một số bài toán có nội dung thực tiễn bằng cách vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ thức lượng trong tam giác, góp phần phát triển khả năng sáng tạo cho học sinh. 1.6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.7. Bố cục của đề tài 5
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10. Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 6
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Thực trạng của đề tài Chúng ta đã biết Toán học là một môn học được phát triển xuất phát chủ yếu từ thực tiễn và nhu cầu giải quyết một số nội dung của các môn học khác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học,... Qua nghiên cứu chúng tôi thấy rằng Chương trình tổng thể giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 rất quan tâm, chú trọng vào 7
việc khai thác các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn. Tuy nhiên trong sách giáo khoa hiện hành còn có một số tồn tại sau: - Các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn chưa xuất hiện nhiều trong các sách giáo khoa, sách bài tập môn Toán bậc THPT nói chung và môn Toán 10 nói riêng (mới chỉ tập trung ở một số chủ đề). - Khi giảng dạy các chủ đề môn Toán 10, giáo viên thường ít liên hệ toán học với thực tiễn và các môn học khác, hơn nữa giáo viên thường ít chú trọng hoạt động vận dụng các kiến thức về môn Toán vào giải và xây dựng một số bài toán thực tiễn và liên môn, dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh bị hạn chế. 1.4. Cơ sở lý thuyết 1.4.1. Kiến thức cơ bản về Đại số lớp 10: Hàm số bậc hai, bất phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. 1.4.2. Kiến thức cơ bản về Hình học lớp 10: Hệ thức lượng trong tam giác. 1.4.3. Các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn. 1.5. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế của học sinh trường THPT Lê Lợi, trường THPT Thanh Chương 1 hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa đạt 1,0 điểm). Các bài toán có nội dung thực tiễn, liên môn thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước chuyển đổi. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, chúng tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể tháng 12 năm 2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Chúng tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán lớp 10 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Hàm số bậc hai a. Bảng biến thiên của hàm số bậc hai Bảng biến thiên hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a, b, c  ; a  0  TH1. Nếu a  0 TH2. Nếu a  0 b. Đồ thị của hàm số bậc hai Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đồ thị của hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a  0  là một đường cong parabol  P  :  b  - Có đỉnh I   ;   ;  2a 4a  b - Có trục đối xứng là đường thẳng x   ; 2a - Bề lõm quay lên trên nếu a  0 , quay xuống dưới nếu a  0 ; - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c . TH1. Nếu a  0 TH2. Nếu a  0 9
Ví dụ 1.1: Cho hàm số bậc hai y  f  x   ax 2  bx  c có đồ thị là đường cong parabol có đỉnh là I  2;1 và đi qua điểm A 1; 8 . Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c . Lời giải Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:  b   2a  2  4a  b 0   1  4a  2b  c  4a  2b  c  1 . 8  a  b  c   a  b  c  8  Sử dụng máy tính giải hệ phương trình ta được: a  1; b  4; c  3 . Vậy ta có: y  f  x    x 2  4 x  3 . 2.1.2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn a. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ có dạng a1 x  b1 y  c1z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d 2 a x  b y  c z  d  3 3 3 3 trong đó x, y, z là ba ẩn, ai , bi , ci , di là các số thực cho trước gọi là các hệ số. Ở đây các hệ số ai , bi , ci i  1,2,3 không đồng thời bằng 0 . Mỗi bộ ba số  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn đồng thời cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ phương trình. Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là tìm tất cả các nghiệm của nó. b. Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa nó về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác, từ đó tìm nghiệm của hệ. Ví dụ 1.2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss  x  2 y  z  4 1   x  2 y  2z  9  2  2 x  y  z  2  3 Lời giải 10
Bước 1. Khử số hạng chứa x Trừ theo vế của phương trình (1) cho  x  2 y  z  4 phương trình (2), rồi thay phương trình   4 y  3 z  13 mới vào vị trí của phương trình thứ hai 2 x  y  z  2  Nhân hai vế của phương trình (1) với 2  x  2 y  z  4 rồi trừ theo vế cho phương trình (3), sau  đó thay phương trình mới vào vị trí  4 y  3z  13  4   phương trình thứ ba  3 y  z  6  5 Bước 2. Khử số hạng chứa y Nhân hai vế của phương trình (4) với 3,  x  2 y  z  4 nhân hai vế của phương trình (5) với 4,  rồi trừ theo từng vế hai phương trình  4 y  3z  13  4   A  vừa tìm được và thay phương trình mới   5 z  15  5  vào vị trí phương trình thứ ba Bước 3. Giải hệ phương trình (A) có dạng tam giác, ta được nghiệm  x; y; z   1; 1;3 . Phương pháp 2: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Hiện nay, cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, người ta đã sản xuất ra những chiếc máy tính cầm tay nhỏ gọn, dễ dàng sử dụng để hỗ trợ việc tính toán. Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn một cách dễ dàng. Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên máy tính Casio 570VN-PLUS như sau Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình sau bằng cách sử dụng máy tính Casio 570VN-PLUS x  3y  2z  5   x  2 y  3z  4 3x  y  z  2  Cách sử dụng máy tính Thứ tự bấm các nút trên máy tính Hiện thị của màn hình MODE  5  3 11
1    3    2    5    1    2    3    4    3    1    1    2       58 57  Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y; z    7;  ;   .  5 5 Chú ý: Đối với các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Sau khi thực hiện tương tự như ví dụ 1.3, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình máy tính cầm tay Casio 570VN-PLUS như sau Hệ phương trình vô nghiệm Hệ phương trình có vô số nghiệm 2.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ Cho tam giác ABC , ta đặt BC  a, CA  b, AB  c ; Ký hiệu ma , mb , mc lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C , ha , hb , hc lần lượt là các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C , R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác, SABC là diện tích của tam giác ABC , p là nửa chu vi của tam giác ABC . a. Định lý côsin a2  b2  c2  2bc.cosA , b2  a2  c2  2ac.cos B , c2  a2  b2  2ab.cos C Ý nghĩa của định lý côsin: Tính được độ dài của một cạnh bất kỳ khi biết độ dài của hai cạnh kia và góc xen giữa hai cạnh đó. b. Hệ quả của định lý côsin 12
b2  c 2  a 2 a 2  c2  b2 a 2  b2  c 2 cosA  , cos B  , cos C  2bc 2ac 2ab Ý nghĩa của hệ quả định lý côsin: Tính được góc bất kỳ trong tam giác khi ta biết độ dài của ba cạnh. c. Công thức đường trung tuyến 2  b2  c 2   a 2 2  a 2  c 2   b2 2  a 2  b2   c 2 ma  2 , mb  2 , mc  2 4 4 4 d. Định lý sin a b c    2R sin A sin B sin C e. Công thức tính diện tích của tam giác 1 1 1 SABC  aha  bhb  chc 2 2 2 1 1 1  bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 abc  4R  pr  p  p  a  p  b  p  c  Ví dụ 1.4: Cho tam giác ABC có AB  5, AC  3 và A  1200 . a) Tính độ dài cạnh BC . b) Tính cos B . Lời giải a) Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos A Thay số ta có: BC 2  52  32  2.5.3.cos1200  49 . Do đó BC  49  7 . b) Áp dụng hệ quả của định lý coossin cho tam giác ABC ta có BC 2  AB 2  AC 2 cos B  2 BCAB 72  52  32 13 Thay số vào ta có: cos B   . 2.7.5 14 13
Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC có A  1200 , B  450 và AC  20 . Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có: BC CA   2R . sin A sin B CA.sin A 20.sin1200 Do đó: BC    10 6 ; sin B sin 450 CA 20 R   10 2 . 2.sin B 2.sin 450 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn cho học sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai” Trong dạy học Toán, hoạt động MHH toán học sẽ giúp học sinh phát triển các thao tác tư duy và kĩ năng giải quyết vấn đề. Thông qua hoạt động MHH toán học, HS hiểu được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn và các môn học khác. Dưới đây, chúng tôi trình bày việc vận dụng quy trình MHH toán học trong dạy học chủ đề Hàm số thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 2.1 (sưu tầm, có bổ sung): Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , trong đó x là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; y là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 0,5m. Sau đó 1 giây, quả bóng đạt độ cao 6,3m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 4m (xem hình 1). a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao y theo thời gian x và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. Hình 1. Mô hình bài toán bóng đá 14
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn). c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)? Để giải bài toán này, chúng tôi sẽ hướng dẫn học sinh MHH bài toán thông qua các bước sau: - Bước 1 (tìm kiếm và chuyển đổi): Giáo viên hướng dẫn nhóm học sinh phân tích và nắm được vấn đề thực tiễn như sau: + Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , vì vậy hàm số biểu thị độ cao y theo thời gian x là một hàm số bậc hai và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng. + Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol. - Bước 2 (tìm lời giải): Giả sử y  ax 2  bx  c  a  0  . Các nhóm thảo luận và tìm các hệ số a, b, c như sau: Quả bóng được đá lên từ độ cao 0,5m, nghĩa là: f  0  c  0,5 . Sau đó 1 giây nó đạt độ cao 6,3m nên: f 1  a  b  0,5  6,3 . Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 4m, nghĩa là: f  2  4a  2b  0,5  4 . Học sinh thu gọn các hệ thức trên rút ra hệ phương trình bậc nhất: a  b  5,8  . 2a  b  1,75 81 197 Giải hệ phương trình học sinh thu được kết quả: a   , b . 20 20 81 2 197 1 Vậy, hàm số cần tìm là: y   x  x . 20 20 2 Tiếp theo, học sinh tìm độ cao lớn nhất của quả bóng: Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể: ymax  6,489  m . Học giải phương trình bậc hai: 81 2 197 1  x1  2,48  TM   x  x 0 . 20 20 2  x2  0,05  KTM  Như vậy, quả bóng chạm đất sau khoảng thời gian là 2,48 giây. - Bước 3 (diễn giải): Sau khi giải bài toán và tìm được nghiệm, giáo viên hướng dẫn học sinh đưa ra nhận xét: Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng. Ta có thể xác định được vị trí của quả bóng (cả về độ cao so với mặt đất, lẫn khoảng cách so với vị trí quả bóng được đá lên) ở một 15
thời điểm bất kì trong quá trình chuyển động và sau bao lâu thì quả bóng chạm đất (tung độ của đỉnh đồ thị hàm số bằng 0). - Bước 4 (kiểm chứng): Việc xác định được quỹ đạo của chuyển động không chỉ giúp học sinh xác định được vị trí của quả bóng tại một thời điểm bất kì, mà còn giúp học sinh dự kiến được thời gian quả bóng rơi xuống đất, cũng như tính được khoảng cách từ vị trí đá đến vị trí quả bóng rơi xuống. Những kết quả tìm được đều thỏa mãn điều kiện và hợp lí với bài toán thực tiễn. Ví dụ 2.2 (bài toán về cổng Ác-xơ) (sưu tầm): Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Ác-xơ. Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O ( x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí A162;0 . Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43). Hình 2. Cổng Ác-xơ a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Ác-xơ. b) Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng đến mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng phần chục) (xem hình 2). Để giải bài toán này, chúng tôi sẽ hướng dẫn học sinh MHH bài toán thông qua các bước sau: - Bước 1 (tìm kiếm và chuyển đổi): GV chia lớp thành các nhóm và yêu cầu các nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ. Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đoán rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabol. Sau đó, giáo viên yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của đường parabol đó. Các nhóm thảo luận, đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn. - Bước 2 (tìm lời giải): các nhóm dựa theo quan sát và các dữ kiện đề bài đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabol là một hàm số bậc hai. Các nhóm thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng: y  ax 2  bx  c  a  0  . Điểm O  0;0 thuộc parabol, nên c  0 . Điểm A162;0 thuộc parabol nên ta có: 0  1622 a  162b . Điểm 10;43 thuộc parabol nên ta có: 43  102 a  10b .  43  a   162a  b  0 1520 Giải hệ phương trình:   . 100 a  10b  43 b  3483  760 16
43 2 3483 Vậy, phương trình của parabol là: y   x  x. 1520 760 Sau đó, nhóm học vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của cổng dựa vào đồ thị của hàm số như sau (xem hình 3): Hình 3. Đường parabol biểu diễn hình dạng cong Ác-xơ Cuối cùng, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol. 12131289  282123 Khi đó:   b2  4ac     185,6 . 577600 4a 1520 - Bước 3 (diễn giải): Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol. Vậy, trong trường hợp này chiều cao của cổng Ác-xơ là gần bằng 185,6  m . - Bước 4 (kiểm chứng): Trên thực tế có rất nhiều công trình được thiết kế có hình dạng tương tự như cổng Ác- xơ. Những kết quả tìm được đều thỏa mãn điều kiện và phù hợp với thực tiễn. Sau khi học sinh đã được làm quyen với cách MHH bài toán thực tiễn, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải và xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn: Ví dụ 2.3 (sáng tác): Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình 4 minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth , trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Sau khoảng 2,5 s , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 12,5 m . Hình 4 a) Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống này. 17
b) Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 4 s . c) Sau bao nhiêu giây thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên? Lời giải a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao h  m theo thời gian t  s  là: h  f  t   at 2  bt  c  a  0  . Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là f  0  c  0 , do đó f  t   at 2  bt . Sau 2,5 s , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 12,5 m nên  b 5   b  5a b  5a a  2  2a 2    .  f  2,5  12,5 6,25 a  2,5b  12,5  6,25a  12,5 b  10  Vậy f  t   2t 2  10t . b) Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 4 s là: h  f  4   2.42  10.4  8  m  . c) Cách 1. Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao h  0 , tức là: t  0  2 t 5. 2t  10t  0 Vì thế sau 5 s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên. Cách 2. Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một phần của cung parabol 5 có trục đối xứng là đường thẳng t  . Điểm xuất phát và điểm qủa bóng chạm đất 2 5 (trở lại) đối xứng với nhau qua đường thẳng t  . Vì thế sau 5 s quả bóng sẽ chạm 2 đất kể từ khi đá lên. Ví dụ 2.4 (sưu tầm): Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như Hình 5 hình 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm O  0;0 và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng MN với M  2100;25 và N  2100;15 . Xạ thủ cần xác định parabol y  a 2 x 2  10ax  a  0  mô tả quỹ đạo chuyển động 18
của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu. Tìm giá trị lớn nhất của a để xạ thủ đạt được mục đích trên. Lời giải Tại vị trí x  2100 , độ cao của viên đạn là: y  a2 .21002  10a.2100  4410000a2  21000a . Viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi a thỏa mãn các bất phương trình sau: 10 2100  5;  4410000a2  21000a  25 6 ;  4410000a2  21000a  15 7  a 1 1  1  +)  5   210  a  . Vì a  0 nên a   0;  . a 210  210  +)  6  4410000a2  21000a  25  0   2100a  5  0 . Bất phương 2 trình này đúng a  0 . 1 10 1 10 +)  7   4410000a2  21000a  15  0   a  420 2100 420 2100  1 10 1 10   a  ;  .  420 2100 420 2100  1 10 1 10 1 Do   0 và   nên 420 2100 420 2100 210  1   1 10 1 10   1 10 1 10   0;    ;      ;  .  210   420 2100 420 2100   420 2100 420 2100  Vì thế, viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi  1 10 1 10  a  ;  .  420 2100 420 2100  1 10 Vậy giá trị lớn nhất của a là  . 420 2100 Ví dụ 2.5 (sưu tầm): Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét) (hình 6). Một quả bóng được đá lên từ điểm A 0;0,2 và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5m sau 1 giây và đạt độ cao 6m sau 2 giây. a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 19
b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? Lời giải a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo quả bóng là: h  at 2  bt  c  a  0  . Theo giả thiết đồ thị đi qua các điểm  0;0,2 , 1;8,5 ,  2;6 , nên ta có: a.02  b.0  c  0,2 c  0,2 c  0,2  2   a.1  b.1  c  8,5  a  b  8,3  a  5,4 a.22  b.2  c  6 2a  b  2,9 b  13,7    Hình 6 Vậy h  5,4t 2  13,7t  0,2 . b) Quả bóng chưa chạm đất khi 5,4t 2  13,7t  0,2  0  5,4t 2  13,7t  0,2  0 13,7  192,01 13,7  192,01  t  . 10,8 10,8 13,7  192,01 Do t  0 nên ta có: 0  t  . 10,8 13,7  192,01 Vậy trong khoảng từ 0 s đến dưới s thì bóng vẫn chưa chạm 10,8 đất. Ví dụ 2.6 (sưu tầm). Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau. An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (hình vẽ) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5m là 2,93m . Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12m . Hình 7. Cổng trường Đại học Bách Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: khoa Hà nội Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác. 20