Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phép tính vi phân và tích phân" trình bày các nội dung: Tích phân bội, tích phân phụ thuộc tham số, tích phân đường và tích phân mặt. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 2

CHUƠNG VIII TÍCH PHÀN BỘI Trong chương này ta sẽ mở rộng khái niệm cùng các kết quà về tích phân một lớp cho tích phân của hàm nhiều biến. Đổ là hàm nhân giá trị Banach với miền xác định là tập con của Rn. §1- TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP ỉ. Định nghia. Hình hộp (hay hình hộp đóng) trong Rn ta hiểu là tập bất kỳ cd dạng {X = (x I’ , * X n) e Rn : X i e [a i’ b.. ],* i = ~l,n} = , ij ’ n = nta,, bl , i=l tron g đó a = (a p an), b = (bj, bn) G Rn. Ta luôn giả thiết aị < bị với i = l,n. Hỉnh hộp C dạng trên sẽ (5 ký hiệu là P(a, b), còn [a.j,bị] gọi là cạnh thứ i của P(a, b). Hiển nhiên Int P(a, b) = {x £ P(a,b): a < X < b , i = l,ri} và goi Int P(a,b) là hỉnh hộp mở. Bảy giờ cho f : P(a, b) F là một hàm với giá trị không gian Banach F. Trên mỗi cạnh [a|7 của P(a, b) ta thực hiện một phân hoíạch tùy ý f]ị bởi các điểm chia. a. = X ‘ < x ,‘ < .... < X = b., i = T7n. , n i o 1 pi i’ ’ Từr các phân hoạch đđ ta nhận được phân hoạch K của hình hộp p(ía, b) th àn h các hình hộp con P(c, d), ở đây tọa độ thứ i của 129
c và d là các điểm chia liên tiếp xjả J, x*jj của cạnh [aịy bị], i _ TTñ, j 2 = ƠTPị : P(c, d) = [x*. J, x'.jlx [x2. J, x2j2] X ... x[xnjn ị, xnjn]. Kỹ hiệu phân hoạch 7 nhận được từ các phân hoạch lĩ 1 p . . . , 71 bởi 7 = JIÌ X... X Jin = {P(c, d)} = {T} 1 Chọn tùy ý trong mỗi hỉnh hộp T G ã một điểm và lậptổng ơjr(£T; T e 71) = an = 2 f ( | T)|| T|| , TE jt ở đây II T|| hay v(T) kỷ hiệu là tích độ dài các cạnh của hình hộp T và gọi là thể tích của T: Il TU = I • * ‘, r , i ...I * v » V .I ' Dật d(7r) = max {c tt)} . (d(jr.) = max{j K - x 'j j . J })• 1< i < n ' jj (i = l , n ) Ta ndi họ {ơ^} cò giới hạn I G F khi d(7ĩ) -♦ 0 và viết lim Ơ = lim 71 2 f(£ T)||T || .= I. (1) d(7r)-*0 d(Jĩ)-»0 T E jĩ nếu với mọi e > 0 cho trước, tồn tại ỏ > 0 sao cho ||2 f ( £ T) ||T || - I|| < e. (2) TE jt đối với mọi phân hoạch 7 của hình hộp P(a, b)thành các hỉnh 1 hộp T mà d(;r) < ỏ và đói với mọi điểm £T E T. 1.2. Oịnh nghỉạ. Nếu gỉới hạn (1) tồn tại theo nghỉa ndi trên thi ta nổi f là hàm khả tích trên hình hộp P(a, b) và giới hạn đổ được. 130
gọi là tích phân bội (hay tích phân bội n, hay tích phân n-lớp) của f trên P(a,b). Ký hiệu là I = /f(x)dx = / f = /f, (3) P (a .h ) P(a.b) p hay I = /... /f(X j,..., x n) d x r ..d x n. PỊa.b) 1.2. Nhận xét. Cà). Cũng như tích phân một lớp, do F là không gian Banach, có thể chứng minh rằng giới hạn (1)tồn tại khi và chỉ khi họ }ơji } là cơ bản trong F. Nghĩa là với mọi e> 0, tồn tại ỏ > 0 sao cho II Ị f ( £ T‘)|| T ‘|| - 2 f ( f T2) | | T 2|| II • < c khi 7T1, JZ2 là các phân hoạch của P(a, b) mà á(jĩ]) < ỏ, d(;r2) < ỏ đối với mọi £ lJ E 7Ĩ1 và £ ỉ2 E T 2 E 7t2. , (b). Nếu f và g : P(a, b)R khà tích và f < g trên P(a, b), thì st * Se- p p 2- t)iếu kiện khả tích Từ sự mở rộng tích phân một lớp sang tích phân n-lớp và từ nhận xét 1.2-ta đễ dàng chứng minh được ngay một số điều kiện khả tích dưới đây. 1.3, Định lý. Neu f khà tích trên hỉnh hộp P(a, b) thì f bị chặn trên P(a, b). Chửng minh. Việc chứng minh được tiến hành tương tự như việc chứng minh định lý 1.3. §1. Chương VI. 131 9 -P TV P T2
1.4. Định lý. Nếu f : P(a, b) -> F liên tục, thì nó khả tích trẽn P(a, b). Chứng minh. Tiến hành tương tự việc chứng minh định h 1.6 §1. Chương VI. Cũng như trường hợp tích phân một lớp, để đưa ra điều kiến đủ tổng quát đối với tính khả tích của hàm giá trị Banaeh tự ầhiên cần đến khái niệm sau. L5. Dinh nghia. Tập con B của Rn được gọi là có độ đo thông và viết mes(B) = 0 nếu với mọi e > 0, tồn tại một dày các hỉnh hộp T- sao cho 00 00 B c UlntT. và 2 IT I < e I I j=i J J=1 J Rõ ràng hộp đếm được các tập Bj có độ đo khống là tập zó độ đo không. Thật vậy, cho e > 0, với mọi i tìm được dãy các hình hộp {Tj‘*} sao cho 00 00 B c Ulnl Tj' vả 211 Tj'll < C/2‘ j j=l j=l Khi đó 00 00 B c u l n t T ' và XII T.' I < I e. i j= l . J i j= l J . Vậy thì mọi tập con đếm được của Rn có độ đo không. JƯU ý ràng mọi hình hộp p trong Rn l, nếu xét như tập con p X {0} trong Rn thì cố độ đo không. Như trong định lý 1.7. §1, Ciưdng VI, ta có 1.6. Địnk lý. Nếu f : P(a, b) F từ hỉnh hộp P(a, b) c ỉ n vào không gian Banach F là hàm bị chận sao cho tập G(f> các điếm 132
gián đoạn của nđ cò độ đo không thì f khả tích trên P(a,b). 3. T ỉn h ch ấ t của tích phân n-lớp Dưới đây ta đưa ra một sô tính chất đơn giản của tích phân n-lcip của hàm f : p Ftừ hình hộp p c Rnvào khồng gian Banach F 1.7. Định lý. la). Nếu f không đổi trên p : f = c E F , thì / f(x)dx = c I p I . I I p < b). Nếu f và g là hai hàm khả tích trên p, CÒ 1 a và ß E K, thì Ĩ f ( a f 4- ß g )dx = a / f d x -f ¡i /gdx. p p p • t 2.8. Định lý. Nếu các hàm f(x) và II f(x)II khà tích trên p, thì I / f ( x ) d x I < /II f(x) I I I dx. I p p Ằ.9. Định lý. Giả sử T : E F là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach E vào không gian Banach F, còn f : p -* E là hàni khả tích. Khi đó T o f khả tích trên p và TỰ f(x)dx) = / T (f(x)) dx. P P 4. C h u y ể n tích phân n-lớp vê tíc h phân lặp i .10. Dịnh lý (Fubini). Giả sử a, b E Rm; c,d E Rn và a = (a,c), ß = (b,d) G Rm+n. Khi dđ đối với mọi hàm liên tục f : p {aß) F ta c ó I = / / f(x,y)dxdy = / dx (/ f(x,y)dy), (1) P(a./3) p(a.h) P(c.d) 133
= / dy (/f(x,y)dx), - (2) P(c.d) P ( a ,b ) Chứng minh. Chỉ càn ẹhứng minh (1) vì (2) là tương tự. Để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp m = n = 1. Khi đđ, (1) có dạng • ' b d I = f f f(x, y)dxdy = /dx(Jf(x, y)dy). P a c với p = P(a, ß) = (a, b] X [c, d]. Vì f liên tục trên p nên nó khả tích. Vậy với số €' > 0 cho trước, tồn tại ố > 0 sao cho ||2 f (ỉị, rfị>\ A X ịl I Ay. Ị - I|| < — . 1
P-4 + I I f
hỉnh hộp p chứa B. Thật vậy, để đơn giản, ta coi n = 2. Già sử p và Q là hai hình chữ nhật bao hàm B sao cho / f Xßdxdy p tồn tại. Tá chứng minh rằng khi đó / f./Bdxdy 0 tồn tại và bầng Ị f.^Bdxdy. p Để xác định, ta có thể coi p c Q. Cho 7 là một phân hoạch của C Q, chia nó thành các hình chữ nhật nhỏ T và giả sử (£*, rjT) & T G n. Ta có thể coi 7 chỉ gồm hai loại hình chữ nhật nhỏ. Loại 1 1 gồm các T e p, còn loại 2 gồm các T chỉ giao với p theo cạnh. Khi đó các hình chữ nhật loại 1 thành lập nên một phân hoạch JT1 của p với cKtĩ1) < d(jr), còn II / f ( Ệ T , 7 T)|| T II I < s u p II f (x ,y ) I lp dOr) - I I 0 T loại 2 XG B khi d(;r) -* 0 (ở đây lp, ký hiệu chu vi của P). Diều này có nghía f.ỵB khả tích trên Q và ỉ f XB dxdy = / fxB dxdy. p Q (b). Nếu B c Rn sao cho là khả tích, thi s X B dx B sẽ gọi là thể tích của B, ký hiệu là II B|| hay v(B). Cùng như trong §2, ta cổ, với B c Rn bị chặn còn F là khôrvg gian Banach, các định lý sau. 2.3. Định lý. (a). Nếu f là hàm không đổi trên B, f = c E F, còn XB khà tích, thì / f dx = c / XB dx. B B 136
(h). Nếu f, g : B -* F là hàm khả tích trên B, còn a, ß G K, thỉ
còn f : B -* F là hàm bị chặn. Khi đó f khả tích trên B và / f dx = 0 B Chứng m in h . Lấy hình hộp tùy ý p chứa B. Do p compac và Mes B = 0 với mọi e > 0 tồn tại một số hữu hạn các hình hộp Tp T m để B c u Int T. và ỵ I T. I < e/M I I J=1 j=i ở đây 00 > M < Su p I f(x) I . I I X G B Cho 7một phân hoạch tùy ý của p thành các hỉnh hộp T.Thay 1 JI bởi phân hoạch khác 7Ĩ1 của p mịn hơntheo nghĩa mọi -hình hộp thuộc 7T1 chứa trong một hình hộp nào đđ thuộc 7 và với á(Jĩ]) đủ 1 nhỏ ta cò thể coi ràng mọi T € 7 mà T n B * 0 bao hàm trong 1 Tj nào đó. Ta có II ỵ í Xr (ặT II T II S M 2 II T II < T G 71 T G n , TPIBO m ^ M 2 I |[ T I < e. I j = l TE ^ T c T . Vậy f khà tích trên B và / f dx = 0 B 2.8. Dinh lý. Giả sử f : B F là hàm từ tập B c Rn vào không gian Banach F. Hơn nữa giả sử B = Bj u B>với Bj n có thể tích không và f khả tích trên B1 và B2- Khi đo f khả tích trên B và / f dx = / f dx + / f dx B Bỵ ' B2 Chứng minh. Từ đẳng thức * B l U B 2 = ^B1 + ^ B 2 ‘ ^ B l H B 2 138
ta có fyßlU B2 =frßl + ' frßl n B2. Dơ tính tuyến tính của tích phân và hệ thức / f dx = 0 B iriB -. ta có f f*RI u B2 dx = / f*Bl dx + / f*B2 d x - p p p = / .fdx + / f d x Bl B2 Ö đây lưu ý ràng f là bị chặn trên Bj n Bì còn p là hỉnh hộp tùy ý chứa Bj' u Bv Như trong phần phụ lục chương VI ta có thể chứng minh định lý s a u 2.9. Dịnh lý. Già sử f : B F, g : B R là các hàm khả tích trên B c Rn bị chặn ÍF là không gian Banach). Khi đổ hàm tích g.f : B -» F khả tích trên B. Từ các định lý 1.6 và 2.9, ta có : 2.70. Định lý. Già sử f : B F là hàm từ tập bị chặn B c Rn vào không gian Banach F và giả sử Bj c B với mes Bj = 0. Khi (iđ„ nếu f khà tích trên B, thi nổ khả tích trên Bj. Chứng minh. Ta có Theo định lý 1.6, £P khả tích, và theo định lỹ 2.9 thỉ tích 1 r (#ß.f) khả tích. Vậy f khả tích trên Bj. 2.11.Nhận xét (a) Dịnh lý 1.10 (Fubini) vẫn được áp dụng cho tập B c Rn có dạng tổng quát hơn khi B là hình hộp. Chảng hạn, với n = 2, tập B cò dạng 139
y*ị ( x ) < y < >pẠx) B = I , < < : [a,b] -» R pv p^ X = a, X = b là các hàm liên tue Khi đó nếu f : B -» F liên tục thì ta có b y>2(x) J7 fdxdy = / dx ( / fdy). B a ,(x)}, a < X < b. Khi đó / / fdxdy = / / í.ỵfí dxdy B p Nhờ định lý 1.10 (Fubini), ta có . b d b y>2 (x) J7 f-Xßdxdy = / dx (/ ỉ.xa dy) = / dx dy) = p a c a ^i(x)
(b). Củng như vậy, nếu xét B c R3 cd dạng B = {^(Xjy) < z < là các hàm liên tục trên D (cổ diện tích). Nếu f : B -* pp p- F là hàm liên tục, thì y) f f f fdxdydz = f f d x d y ( / fdz). B D ỈPi(x.y) Miền B cd dạng trên thường gọi là hình trụ mở rộng. Tương tự, B còn có thể có một trong hai dạng B = {^(y» z) < X < y, z) : (y, z) G D c (yoz)} z)< y < : (x ’ z ) e D e (x oz )} trong đổ (pv < là các hàm liên tục trên miền D (có diện tích). p-, Chú ý ràng khi mở rộng từ tích phân Riemann sang tích phân Lebesgue, ta sẽ còn nhận được định lý Fubini tổng quát hơn (trohg sách Giải tích III). 2.12. Ví dụ. Xét tích phân của hàm vô hướng (a). Tích phân hai lớp sau I = / / e ~ x" ydxdy, p = { 0 < x < l ; - l < y < l } . p 141
Dựa vào định lý Fubini, ta có 2 1_ 2 1 1 2 I . - /J e x ydxdy = /e X~dx(/ydy) = /o.e x 0. p o -1 o 1 ỉ _ 2 (Nếu viết I = Jỵdy(/e x dx), để tính trước tích phân -1 o 1_ 2 /e x dx thì gặp khò khăn). o (b). Tính tích phân ba lớp sau ì = ^dxdydz B với~B = {0 < z < 1; X 2 + y 2. < 1} Tk cd ỉ 1 I = ffdxdy(fe~(x2* y2)dz) = f f e ^ x2 + y2^dxdy(/dz) x2 +ỵ < 1 o ■ X +y2 < l o Vậy I = / J e '(x24y2)dxdy. ị' 1 1 *‘ X +y < 1 Tích phân này sẽ tính ,được dễ dàng bằng phương pháp đổi tiế n số mà ta cần trình bày dưới đây (§3). Cuối cùng như định lý 6.2 chương VIIvề chuyển qua giới iạin dưới dấu tích phân một lớp ta có. 2.13. Định tý. Già sử {fn} là một dãy hàm khả tích từ tập :o n bị chặn B của Kn có thể tích vào không gian Bamach F. Nếu ^fn } hội tụ đều tới f trên B thì hàm f khả tích trên B và lim / f n = /f. 0 B 0 Ẹ Chứng m in h . Có thể xem B là hình hộp trong Rn. a) Trước hết ta chứng tỏ f khả tích trên B. Cho e > 0. Theo giíà 142
thiết tồn tại n G N* sao cho Il f (X) - f(x)|| < e/3|[B|| C) với mọi X E B. Bởi vì f khả tích trên B ta tìm được ố > 0 sao cho với mọi n o * * phân hoạch K mà d(jr) < ồ của hình hộp B thành các'hình hộp nhỏ T | | 2 [ f ( * î ) - fO?T) ] ||T || II < TG7Ĩ T C r r T e 71 TEJI < e/3 + e/3 + e/3 = e ị với mọi phân hoạch ^ mà dO) < ố của B thành các hình hộp T và với mọi | T, E T. Diều này suy ra f kfyả tích trên B. b). Cho £ > 0. Chọn n ) E N* để IIfn(x) f(x ) I < e/ị| I B ¡I v ớ i m ọ i X E B v à mọi n > n . Khi đo ' II J f n(x)d x / f ( x dxỊị < /II tn(x) - f(x.)|ị dx B B B khi n > n( Vậy lim /f*dx “ /fdx. n -^ o o B B 143
§3. ĐỐI BIẾN SÔ TRONG TÍCH PHÂN N - LỚP Dể việc tính tích phân n-lớp được thuận tiện hơn, như đả tnấy trong tích phân một lớp, ta thường sử dụng phương pháp đổi bến. Cơ sở của vấn đề đó là định lý dưới đây. 3.1. Định lý. Già sử g: D D' là vi phôi giữa hai tập mở bị Cìặn trong Rn. Khi đó /f(x ’)dx’ = f ( f o g)(x)|| J(x)II dx D’ D đối với mọi hàm khả tích f: D’ -* F với F là không gian Bamch và J(x) là Jacobi của hàm g : J(x) = det g’(x). Chứng m in h . Trường hợp F = R sẽ được chứng minh ở §6 (dịnh lý 6.6). Khi Flà không gian Banach tùy ý ta có ^>(/f(x’)dx’) = J(
I) ta sẽ tính tích phân trên Int D. Ngoài ra trong nhiêu trường hợp tính vi phân của g có thể bị phá vờ trên tập con đóng nào đđ của D, nếu tập này "đủ nhò" ta vẫn có thế áp dụng được định lý trên. Điều này thể hiện qua các phép biến đổi quan trọng trong R2 và R dưới đây. -* R 2 cho bởi X = r c o s (f với r > 0, 0 < Dây là công thức chuvển từ tọa độ Dêcac vuông góc (x, y) sang tọa độ cực (r, < Ta có p). p COS< - rsiny^ J(r,
= //f.rdrd/>. D (b), Tọa dộ cầu. Xét ánh xạ g: R-3 -* R3 cho bởi X = rsinế?cos y = rsinớsin«/? với r > 0, 0 < '0 < X và z = rcosớ 0 < (p < 2ji . Đây làsự chuyển từ fọa độ Đê các vuông góc (x, y, z) sang tọa độ cầu (rr < , ớ). Ta có /> sinớcos^? rcosớcos^ -rsinớsin^) det g’(r, (f, 0) = sinớsin rcòsớsin (f rốinớcos y — rsin^> với r > 0, 0 < (f < 2jĩ . z = z 146
Tb có det g ’(r, với 0 < r < 1, 0 < y < 2 tĩ ? y = rsiny? Và có 27Ĩ 1 ? I = f f e ~ (x2+y2) dxdy = I d< I e_ r .rdr = X (1 - e _ '). p «V si ' 0 0 (b). Tính tích phản ba lớp sau đây I = J7JVx2 + y 2 + z2 dxdydz V trong đd miền V giới hạn bởi các mặt : z = 0, z = V a 2 - X2 - y 2, z = Vb2 - X2 - y 2 , ( 0 < a < b ) . .Dùng phép chuyển tọa độ (x, y, z) sang tọa độ câu (r, 6, f ), ta có 1 = J 7 J V x 2 + y 2 + z 2d x d y d z = V 27T 71¡2 h = /d/>/sinớdớ/r3dr = (b4 - a 4).~ Ẩế m 0*0 a 147 J0-PTVPT2
§4. TÍCH PHÂN N -LỚP CỦA HÀM VỒ HƯỚNG Bây giờ ta xem xét tích phân n-lớp của hàm vô hướng mà nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật. Hiển nhiên chỉ cần trình bày tích phân trên hỉnh hộp. 1- Điêu k iện khả tích củ a hàm vô hướng Như đã biết, một hàm bị chận trên hình hộp trong Rn với giá trị Banach khả tích nếu tập các điểm gián đoạn của nó có độ đo không. Ngoài ra trong chương VI đã đưa ra ví dụ chứng tỏ đố không phải điều kiện cần của tính khả tích. Mục đích trước hết ở đây là để chỉ ra rằng đối với hàm vô hướng đđ cũng chính là điều kiện cần. Và sau đó đưa ra các tính chất quan trọng của tích phân hàm vô hướng từ đặc trưng khà tích này. Giả sử p là hỉnh hộp trong Rn còn f: p -* R là hàm bị chận. Với phân hoạch 7 của p thành các hình hộp T, ta đặt 1 S(7ĩ) = ỵ U T \\ TII và s(7i) = 2 m T|| T|| tE jt T G jt trong đđ Mt = sup f(x) và mT = inf f(x) X G. T XŒ T S(jĩ) và s ( t i ) được gọi làn lượt là tổng trên (dưới) Darboux của f ứng với phân hoạch 71. Các tính chất hiển nhiên sau đây : 1- Vối phân hoạch K bất kỳ, s(;i < S(;r). 2- Ta nđi phân hoạch Ji’ mịn hơn 71, nếu hình hộp nhỏ T ’ E Jt' nầm trong một hình hộp nhỏ T E 7 nào đđ. Nếu Jĩ’ mịn hơn 7ty thỉ 1 sCrc’) > s ( jt), S C O < S (7 ĩ). 3» Nếu JI và 7Ĩ1 là hai phân hoạch bất kỳ của p, thì s (jt < S(^r’) 148