Giáo án Đại số lớp 11: Cấp số cộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Giáo án Đại số lớp 11: Cấp số cộng" trình bày tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề cấp số cộng, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Cấp số cộng

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ CỘNG Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu được khái niệm cấp số cộng. + Nắm được công thức tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. + Biết được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.  Kĩ năng + Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. + Liên hệ được kiến thức về cấp số cộng để giải những bài toán thực tế. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là  un  là cấp số cộng  n  2, un  un 1  d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Định lí 1 Nếu  un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng uk 1  uk 1 hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uk  . 2 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b. Định lí 2 Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức sau: un  u1   n  1 d . Định lí 3 Giả sử  un  là một cấp số cộng có công sai d. n Gọi S n   uk  u1  u2  ...  un k 1 ( S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). n  u1  un  n  2u1   n  1 d  Ta có Sn    . 2 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nhận diện cấp số cộng là hằng số Số hạng tổng quát CẤP SỐ CỘNG Số hạng thứ k Ba số a, b, c theo thứ Hệ quả tự lập thành cấp số un  un 1  d cộng khi và chỉ khi  n  2 Tổng n số hạng đầu tiên TOANMATH.com Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa  un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi un 1  un  d , với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét d  un 1  un  Nếu d là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với công sai d.  Nếu d phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số cộng. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số  un  với un  2020n  2021. b) Dãy số  un  với un  2n  5. Hướng dẫn giải a) Dãy số  un  với un  2020n  2021. Ta có un 1  un  2020  n  1  2021   2020n  2021  2020. Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d  2020. b) Dãy số  un  với un  2n  5. Ta có un 1  un  2  n  1  5   2n  5   2. Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d  2. Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng. a) Dãy số  un  với un  n 2  n  1. b) Dãy số  un  với un   1  3n. n Hướng dẫn giải a) Dãy số  un  với un  n 2  n  1. Ta có un 1  un   n  1   n  1  1   n 2  n  1  2n  2 phụ thuộc vào n. 2 Vậy  un  không là cấp số cộng. b) Dãy số  un  với un   1  3n. n Ta có un 1  un   1  3  n  1   1  3n     1  3   1  3  2  1 phụ thuộc vào n. n 1 n n n n   TOANMATH.com Trang 3
Vậy  un  không là cấp số cộng. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 1; 3; 6; 9; 12. B. 1; 4; 7; 10; 14. C. 1; 2; 4; 8; 16. D. 0; 4; 8; 12; 16. Câu 2: Trong các dãy sau đây, dãy nào là cấp số cộng? B. un   3 n 1 A. un  3n. . C. un  3n  1. D. un  5n 2  n. 1 1 Câu 3: Một cấp số cộng  un  với u1   , d  có dạng khai triển nào sau đây? 2 2 1 1 1 1 1 A.  ; 0; 1; ; 1;... B.  ; 0; ; 0;  ;... 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. ; 1; ; 2; ;... D.  ; 0; ; 1; ;... 2 2 2 2 2 2 Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng A. 1; -2; -4; -6; -8. B. 1; -3; -6; -9; -12. C. 1; -3; -7; -11; -15. D. 1; -3; -5; -7; -9. Câu 5: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng? D. un   2  n 1 A. un  n  1, n  1. B. un  2n  3, n  1. C. un  n 2  1, n  1. , n  1. Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? D. un   3 n 1 A. un  3n 2  2020. B. un  3n  2020. C. un  3n. . Câu 7: Trong các dãy số  un  sau đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng? u1  3 C. un   n  1  n 2 . 2 A. un  3n  1. B. un  2n  1. D.  un 1  un  1, n  1. Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát un , dãy số nào không phải là cấp số cộng? D. un   n  3  n 2 . 2 A. 1; 3; 5; 7; 9. B. 13; 17; 21; 25; 29. C. un  1  3n. Câu 9: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng? u1  1 u1  1 D. un   n  1 . 3 A.  . B.  . C. un  n 2 . un 1  2un  1 un 1  un  1 Câu 10: Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? 3n  1 A. un  n  2 n ,  n  *  . B. un  3n  1,  n  *  . C. un  3n ,  n  *  . D. un  ,  n  *  . n2 Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;… không phải là một cấp số cộng.  1 1 1 3 u1   2 B. Dãy số  ;0; ;1; ;... là một cấp số cộng với 1  . 2 2 2 d  1  2 TOANMATH.com Trang 4
 1 u  1 1 1  1 2 C. Dãy số ; 2 ; 3 ;... là một cấp số cộng có ba số hạng và  . 2 2 2 d  1  2 u  2 D. Dãy số -2; -2; -2; -2;… là một cấp số cộng  1 . d  0 Câu 12: Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36;… Viết công thức số hạng tổng quát? A. un  7n  7. B. un  7n. C. Không viết được dưới dạng công thức. D. un  7 n  1. Câu 13: Cho 2 cấp số cộng hữu hạn 4; 7; 10; 13; 16;… và 1; 6; 11; 16; 21;…; mỗi cấp số cộng có 100 số hạng. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số trên? A. 21. B. 20. C. 18. D. 19. Câu 14: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. Dãy số  an  , với an   2n  5   4n 2 , n  * . B. Dãy số  bn  , với b1  1, bn 1  3bn  4, n  * . 2 2020 C. Dãy số  cn  , với cn  2019 n , n  * . D. Dãy số  d n  , với d1  1, d n 1  , n  * . dn  1 Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên. Phương pháp giải Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d . Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d . Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức uk  u1   k  1 d . Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức k  u1  uk  k  2u1   k  1 d  Sk   . 2 2 Ví dụ mẫu u1  u2  u3  9 Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng  2 . u1  u2  u3  35 2 2 Hướng dẫn giải u1  u2  u3  9 u1  u1  d  u1  2d  9 Cách 1. Ta có  2  2 u1  u2  u3  35 u1   u1  d    u1  2d   35 2 2 2 2 Áp dụng công thức u1  3  d u1  3  d u  3  d un  u1   n  1 d     1 .  3  d   3   3  d   35 2 2 d  4 d  2 2 2 lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d . Với d  2  u1  1. Với d  2  u1  5. Cách 2. Đặt u1  x  d ; x2  x; u3  x  d . TOANMATH.com Trang 5
u1  u2  u3  9  x  d  x  x  d  9 Ta có  2  u1  u2  u3  35  x  d   x   x  d   35 2 2 2 2 2  x  3 x  3 x  3     .  3  d   3   3  d   35 d  4 2 2 d  2 2 2 Với d  2  u1  1. Với d  2  u1  5. Ví dụ 2. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng - Nếu số số hạng của cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. d  x, là chẵn thì gọi công Hướng dẫn giải sai d  2 x rồi viết các số Giả sử bốn số hạng a  3x; a  x; a  x; a  3x lập thành cấp số cộng với công hạng dưới dạng đối xứng. sai là d  2 x. - Nếu cấp số cộng  an  thỏa  a  3x    a  x    a  x    a  3x   20 Khi đó ta có  mãn  a  3x    a  x    a  x    a  3x   120 2 2 2 2 a1  a2  ...  an  p  2 thì a1  a2  ...  an  s 2 2 2 4a  20 a  5  2   . 4a  20 x  120  x  1 2 1 n  n  1  a1  p .d  Vậy bốn số cần tìm là 2; 4; 6; 8. n 2  12  ns 2  p 2  và d  . n 2  n 2  1 Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số Áp dụng công thức u5  19 hạng đầu tiên của cấp số cộng un , biết rằng  . un  u1   n  1 d u9  35 Lập được hệ phương trình Hướng dẫn giải gồm hai ẩn u1 và d . Áp dụng công thức un  u1   n  1 d , Để tính tổng k số hạng đầu u5  19 u  4d  19 u1  3 tiên, ta áp dụng công thức ta có   1  . u9  35 u1  8d  35 d  4 k  2u1   k  1 d  Sk  . Vậy số hạng đầu tiên u1  3, công sai d  4. 2 Số hạng thứ 50 là u50  u1  49d  3  49.4  199. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 50  2u1  49d  S50   25.  2.3  49.4   5050. 2 Ví dụ 4. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng TOANMATH.com Trang 6
 S4  20  S12  34  a)  . b)  1 1 1 1 25 .  S18  45  u  u  u  u  24  1 2 3 4 Hướng dẫn giải 12  2u1  11d   31   34  u1   S12  34 2  6u  33d  17  9 a) Ta có    1  .  S18  45 18  2u1  17d  2u1  17d  5 d   1  45   2 9  S4  20  2  2u1  3d   20 Áp dụng công thức   k  2u1   k  1 d  b)  1 1 1 1 25   1 1 1 1 25 Sk    u  u  u  u  24      2  1 2 3 4  u1 u2 u3 u4 24 Biểu diễn được S4 theo hai  3 ẩn u1 và d . u1  5  2 d Áp dụng công thức   1 1 1 1 25 . un  u1   n  1 d  3  3  3  3  24 * Lập được hệ phương trình  5  d 5  d  d 5  d  2d 5  d  3d gồm hai ẩn u1 và d .  2 2 2 2      1 1   1  25  *    3  3  d  1d   10 9d 2  10 d 2 25  .  5 d 5 d   5 5  24 25  25  24  2 2   2 2  4 4 d2 Đặt  t ; t  0, ta được 4 10 10 25 2  25  t   2  25  9t  5     25  9t 25  t 24  25  9t  25  t  24 100  20t 5    24  20  4t    25  9t  25  t   25  9t  25  t  24  145 t  9t  154t  145  0   2 9 .  t  1 145 145 145 Nếu t   d2  d  . 9 9 3 145 145  Với d   u1  5  . 3 2 145 145  Với d    u1  5  . 3 2 Nếu t  1  d 2  1  d  1. 3 7  Với d  1  u1  5   . 2 2 TOANMATH.com Trang 7
3 13  Với d  1  u1  5   . 2 2 Ví dụ 5. Biết u4  u8  u12  u16  224. Tính S19 . Hướng dẫn giải Ta có u4  u8  u12  u16  224  u1  3d  u1  7d  u1  11d  u1  15d  224  4u1  36d  224  u1  9d  56. 19 Ta có S19   2u1  18d   19  u1  9d   19.56  1064. 2 Ví dụ 6. Cho cấp số cộng  un  biết un  9  5n. Tìm S100 . Hướng dẫn giải Ta có un 1  un  9  5  n  1    9  5n   5, n  * . Suy ra d  5, u1  4. n  2u1   n  1 d  100  2.4  99.  5   Vậy S100    24350. 2 2 Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng  un  có u2  7; u3  4 là A. u1  1; d  3. B. u1  10; d  3. C. u1  4; d  3. D. u1  4; d  3. Câu 2: Cho cấp số cộng  un  với số hạng đầu là u1  15 và công sai d  2. Số hạng thứ 8 của cấp số cộng là A. u8  1. B. u8  1. C. u8  103. D. u8  64. Câu 3: Cho cấp số cộng  un  có u1  1; d  2; Sn  483. Giá trị của n là A. n  20. B. n  21. C. n  22. D. n  23. u1  2 Câu 4: Cho cấp số cộng  un  xác định bởi  . Số 70 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số un 1  un  3 cộng? A. 15. B. 23. C. 25. D. 205. Câu 5: Cho một cấp số cộng  un  có u1  5 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công thức của số hạng tổng quát un là A. un  1  4n. B. un  5n. C. un  3  2n. D. un  2  3n. Câu 6: Cho cấp số cộng  un  có un  2n  3. Biết Sn  320, giá trị của n là A. n  16 hoặc n  20. B. n  15. C. n  20. D. n  16. Câu 7: Cho dãy số  un  biết un  2n  5. Chọn khẳng định đúng. A.  un  là một cấp số cộng với công sai d  2. B.  un  là một cấp số cộng với công sai d  2. C.  un  là một cấp số cộng với công sai d  5. D.  un  là một cấp số cộng với công sai d  5. TOANMATH.com Trang 8
Câu 8: Cho cấp số cộng  un  biết u1  7 và d  4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả sau A. u15  u3  46. B. u29  u22  28. C. u17  u13  18. D. u1000  u100  350. Câu 9: Cho dãy số  un  là một cấp số cộng có công sai d  3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 10. B. Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 20. C. Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 30. D. Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;...; u10 n , n  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 15. Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có công sai d. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên. Hãy chỉ ra hệ thức sai trong các hệ thức sau. A. u3  u8  u5  u6 . B. u5  u9  2u7 . C. u4 .u9  u62 . D. S3  S5  2S4  d . u1  2u5  0 Câu 11: Cho cấp số cộng  un  , biết  . Số hạng đầu u1 và công sai d là  S4  14 A. u1  8; d  3. B. u1  8; d  2. C. u1  8; d  3. D. u1  8; d  2. u1  u5  u3  10 Câu 12: Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng  un  có  là u1  u6  7 A. u1  33; d  12. B. u1  36; d  13. C. u1  35; d  13. D. u1  34; d  13. Câu 13: Cấp số cộng  un  có S6  18, S10  110 thì tổng 20 số hạng đầu tiên là A. 620. B. 280. C. 360. D. 153. Câu 14: Cho cấp số cộng un  5n  2. Biết Sn  16040, số số hạng của cấp số cộng là A. 79. B. 3024. C. 80. D. 100. Câu 15: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Nếu 3 số a, b, c khác 0 lập thành cấp số cộng thì A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng. B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng. C. c, b, a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng. D. Tất cả các khẳng định trên đều sai. Câu 16: Cho cấp số cộng có S10  85, S15  240, khi đó S 20 bằng A. -325. B. -170. C. -395. D. -470. Câu 17: Tổng tất cả các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 555 là A. 77145. B. 77284. C. 76450. D. 77006. 1 1 Câu 18: Cho cấp số cộng có u1  , d   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 4 4 5 4 5 4 A. S5  . B. S5  . C. S5   . D. S5   . 4 5 4 5 TOANMATH.com Trang 9
Câu 19: Cho cấp số cộng  un  , với u1  2, d  3. Kết quả nào sau đây đúng? A. u3  1. B. u3  7. C. u4  7. D. u6  0. Câu 20: Cho cấp số cộng có u2  u22  60. Tổng của 23 số hạng đầu là A. 690. B. 680. C. 600. D. 500. Câu 21: Công sai d của một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu u1  10 và số hạng cuối u21  50 là A. d  4. B. d  2. C. d  2. D. d  2. Câu 22: Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng có u1  8, u10  62 là A. S10  175. B. S10  350. C. S10  700. D. S10  1400. Câu 23: Cho cấp số cộng có u1  1, d  2, Sn  483. Số các số hạng của cấp số cộng đó là A. n  20. B. n  21. C. n  22. D. n  23. Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng 4 số hạng bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là A. 1; 4; 7; 10. B. 1; 4; 5; 10. C. 2; 3; 5; 10. D. 2; 3; 4; 5. u2  u5  42 Câu 25: Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn  . Tổng của 346 số hạng đầu là u3  u10  66 A. 242546. B. 242000. C. 241000. D. 240000. Câu 26: Cho cấp số cộng  un  có u5  18 và 4Sn  S2 n . Số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng là A. u1  2; d  4. B. u1  2; d  3. C. u1  2; d  2. D. u1  3; d  2. Câu 27: Cho cấp số cộng gồm 4 số hạng 1, a,7, b. Giá trị của a, b là A. a  3, b  11. B. a  2, b  9. C. a  4, b  12. D. a  7, b  1. Câu 28: Cho dãy số  an  có tổng n số hạng đầu tiên là S n  2n 2  3n. Khi đó A.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 4. B.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 2. C.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 1. D.  an  là một cấp số cộng với công sai bằng 8. Câu 29: Cho cấp số cộng  un  với số hạng đầu là u1  6 và công sai d  4. Tổng 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng A. 280. B. 308. C. 644. D. 46. Câu 30: Cho cấp số cộng  un  gồm 4 số hạng 2, a, 6, b. Tích a.b bằng A. 12. B. 32. C. 40. D. 22. Câu 31: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là S n  3n 2  4n, n  * . Giá trị số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u10  55. B. u10  67. C. u10  61. D. u10  59. TOANMATH.com Trang 10
Câu 32: Thêm 6 số xen giữa hai số 3 và 24 ta được một cấp số cộng có 8 số hạng. Khi đó tổng các số hạng là A. 110. B. 107. C. 106. D. 108. Câu 33: Thêm 5 số xen giữa hai số 25 và 1 ta được một cấp số cộng có 7 số hạng. Số hạng thứ 50 là A. -169. B. 169. C. -171. D. 171. Câu 34: Cho một cấp số cộng  un  có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Giá trị biểu thức 1 1 1 S   ...  là u1u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S  . B. S  . C. S  123. D. S  . 246 23 246 u5  3u3  u2  21 Câu 35: Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn  . Giá trị của biểu thức S  u4  u5  ...  u30 là 3u7  2u4  34 A. -1242. B. -1222. C. -1276. D. -1286. Dạng 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình và các bài toán thực tế Phương pháp giải Nếu  un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số uk 1  uk 1 cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uk  . 2 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng b) a 2  8bc   2b  c  . 2 a) a 2  2bc  c 2  2ab. Hướng dẫn giải Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a  c  2b  a  2b  c. a) Ta có a 2  2ab   2b  c   2  2b  c  .b  4b 2  4bc  c 2  4b 2  2bc 2 = c2  2bc. Vậy a 2  2ab  c 2  2bc  a 2  2bc  c 2  2ab. b) Ta có a 2  8bc   2b  c   8bc  4b 2  4bc  c 2  8bc 2 = 4b 2  4bc  c 2   2b  c  . 2 Ví dụ 2. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Hướng dẫn giải Gọi x, y , z theo thứ tự là độ dài ba cạnh của tam giác  x  y  z  . TOANMATH.com Trang 11
Chu vi của tam giác là x  y  z  3a. 1 Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x  z  2 y. 2 Tam giác đã cho vuông nên x 2  y 2  z 2 .  3 Thay (2) và (1), ta được 3 y  3a  y  a. Thay y  a vào (2), ta được x  z  2 a  x  2 a  z. Thay x  2 a  z và y  a vào (3), ta được 5a 3a  2a  z  2  a 2  z 2  5a 2  4az  0  z  x . 4 4 3a 5a Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là , a, . 4 4 Ví dụ 3. Cho a 2 , b 2 , c 2 lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0. Ta sẽ chứng minh 1 1 2 1 1 1   . Chứng minh rằng ; ; cũng lập thành một cấp số cộng. ab bc ca bc ca ab Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có a 2  c 2  2b2 . 1 1 2 Ta phải chứng minh   . bc ab ca Ta có a 2  c 2  b2  b2  a 2  b2  b2  c 2  0 a b b c   a  b  a  b    b  c  b  c    bc ab  a b  bc   a  c  b  c   a  b  c  a   b  c  c  a   a  b  c  a   b  c  c  a   a  b  c  a  ac bc ab ca      a  c  c  a   b  c  c  a   a  b  c  a   a  b  c  a  1 1 1 1 1 1 2        (điều phải chứng minh). bc ca ca ab ab bc ca A B C Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có tan , tan , tan , theo thứ tự đó lập thành 2 2 2 Ta sẽ chứng minh cosA + cosC = 2cosB cấp số cộng. Chứng minh cosA, cosB, cosC theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng. Hướng dẫn giải A C B sin sin sin A C B 2  2  2. 2 Ta có tan  tan  2 tan  2 2 2 A C B cos cos cos 2 2 2 TOANMATH.com Trang 12
A C C A B sin .cos  sin .cos sin  2 2 2 2  2. 2 A C B cos .cos cos 2 2 2 A C B B B sin    sin cos sin   2 2  2 2  2  2. 2 A C B A C B cos .cos cos cos .cos cos 2 2 2 2 2 2 B A C B  cos 2  2.cos .cos .sin 2 2 2 2 1  cos B   A  C   A  C  B   cos    cos    .sin . 2   2   2  2 1  cos B AC B B B   cos .sin  sin .sin 2 2 2 2 2 1  cos B AC AC B   cos .cos  sin 2 2 2 2 2 1  cos B 1 1  cos B   cos  C   cosA   2 2 2  1  cos B  cos C  cos A  1  cos B  cos A  cos C  2 cos B  cos A, cos B, cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 5. Cho các số dương a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng Ta sẽ chứng minh minh rằng 1 1  1 1 1 b c a b ; ; theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng. 2 b c c a a b  c a Hướng dẫn giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b. 1 1 2 Ta cần chứng minh   . b c a b c a Ta có a  c  2b  a  b  b  c   a b    a b  b c  b c  a b b c a b b c     b c a b   c  a   b c a b  c a    a  c b  c   b  a c  a  b  c  c  a   a  b  c  a  1 1 1 1 1 1 2        b c c a c a a b b c a b c a TOANMATH.com Trang 13
1 1 1  ; ; theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. b c c a a b Ví dụ 6. Tìm giá trị của m để phương trình  x 2  2 x  3  x  2m   0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2. Hướng dẫn giải x  1 Ta có  x  2 x  3  x  2m   0   x  3 . 2  x  2m Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2 nên có 3 trường hợp. Trường hợp 1: Ba nghiệm thứ tự là -3;1; 2m. 5 Suy ra d  4; m  (thỏa mãn). 2 1 Trường hợp 2: Ba nghiệm thứ tự 3;2m;1. Suy ra d  2; m   (loại). 2 Trường hợp 3: Ba nghiệm thứ tự 2m; 3;1. 7 Suy ra d  4; m   (thỏa mãn). 2  7 5 Vậy các giá trị m cần tìm là m   ;  .  2 2 Ví dụ 7. Tìm m để phương trình x 4  20 x 2   m  1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 2 Hướng dẫn giải Đặt t  x 2 , t  0. Phương trình trở thành t 2  20t   m  1  0 1 . 2 Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương t1 , t2 phân biệt  0  t1  t2   '  0  m 2  2m  99  0   9  m  11   S  0  20  0  .  * P  0  m  1  m  1  0 2  Bốn nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng là  t2 ,  t1 , t1 , t2 .  t2  t1  2 t1 Ta có   3 t1  t2  t2  9t1.  t1  t2  2 t1 t  9t t  2  2 1  1 Theo Định lí Vi-ét, ta có t1  t2  20  t2  18 .   t1.t2   m  1  m  1  36 2 2 TOANMATH.com Trang 14
Suy ra m  7 hoặc m  5 (thỏa mãn (*)). Vậy các giá trị m cần tìm là m  5; 7 . Ví dụ 8. Chứng minh rằng: Nếu phương trình x3 - ax 2  bx - c  0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab  2a3  27c. Hướng dẫn giải Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng. Suy ra x1  x3  2 x2 . 1 Mặt khác x 3 - ax 2  bx  c   x  x1  x  x2  x  x3   x 3   x1  x2  x3  x 2   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3 Suy ra x1  x2  x3  a.  2  a Từ (1) và (2), suy ra 3x2  a hay x2  . 3 3 2 a a a a Phương trình đã cho có nghiệm x2  , tức là    a    b    c  0 3 3 3 3 2a 3 ba    c  0  9ab  2a 3  27c (điều phải chứng minh). 27 3 1 Ví dụ 9. Cho x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3 xy  y 2 . Hướng dẫn giải 1 Ta có x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên x 2  y 2  1. 2 Đặt x  sin  , y  cos  . Ta có 3 1  cos 2 P  3 xy  y 2  3 sin  .cos   cos 2   sin 2  2 2  2 P  1  3 sin 2  cos 2 . Phương trình 2 P  1  3 sin 2  cos 2 theo biến  có nghiệm  3 1 3 2   2 P  1  2  12    P  . 2 2 3 Vậy max P  . Đẳng thức khi và chỉ khi 3 sin 2  cos 2  2 2     sin  2    1     k  k    .  6 6 TOANMATH.com Trang 15
1 MinP   . Đẳng thức khi và chỉ khi 3 sin 2  cos 2  2 2     sin  2    1      k  k    .  6 3 Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Cho tổng 1  6  11  16  ...  x  970. Giá trị của x là A. 96. B. 69. C. 97. D. 7. Câu 2: Biết  x  1   x  4    x  7   ...   x  28   155. Giá trị của x là A. x  1. B. x  1. C. x  2. D. x  3. Câu 3: Với giá trị nào của x thì 1  3 x; x 2  5;1  x lập thành cấp số cộng? A. x  0. B. x  1. C. x   2. D. x  . Câu 4: Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai d  3 cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Số cạnh của đa giác đó là A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Câu 5: Phương trình x  10 x  m  0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Khi đó m thuộc 4 2 khoảng nào sau đây? A. m   0;5  . B. m   5;15  . C. m   25; 0  . D. m  15; 25  . Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và 𝐶 5𝐴. Số đo các góc A, B, C lần lượt là A. 10,120,50. B. 15,105, 60. C. 5, 60, 25. D. 20, 60,100. Câu 7: Một công ty thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 15 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty là A. 495 triệu đồng. B. 279 triệu đồng. C. 384 triệu đồng. D. 558 triệu đồng. Câu 8: Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai d  2. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác đó là A. R  3. B. R  4. C. R  1. D. R  5. Câu 9: Độ dài ba cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Nếu cạnh trung bình bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là A. 7,5. B. 4,5. C. 0,5. D. 1,5. Câu 10: Giá trị a, b để phương trình x3  ax  b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là A. b  0, a  0. B. b  0, a  0. C. b  0, a  0. D. b  0, a  1. Câu 11: Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình dưới. TOANMATH.com Trang 16
Số que diêm để xếp thành hình tháp 10 tầng là A. 69 que. B. 39 que. C. 420 que. D. 210 que. Câu 12: Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan 2 A, tan 2 B, tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot 2 A, cot 2 B, cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A, cos B, cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin 2 A,sin 2 B,sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Câu 13: Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Số đo góc nhỏ nhất bằng A. 25. B. 30. C. 45. D. 35. Câu 14: Người ta trồng 3420 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ 2 trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81. B. 82. C. 80. D. 79. Câu 15: Chu vi một đa giác là 158 cm, các cạnh của đa giác này lập thành một cấp số cộng với công sai d  3cm. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm, độ dài cạnh nhỏ nhất của đa giác là A. 32 cm. B. 33 cm. C. 38 cm. D. 35 cm. 1 2 3 Câu 16: Giá trị của n để C , C , C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là n n n A. n  9. B. n  6. C. n  2. D. n  7. Câu 17: Giá trị của x để 2;2 x  1;5 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là 1 1 1 A. x   . B. x   . C. x  . D. x  1. 4 3 4 D 2  A2 Câu 18: Cho A, B, C , D là bốn số thực dương lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức bằng C 2  B2 A. 1. B. 0. C. 3. D. -1. Câu 19: Cho x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2  3x  a  0 và y1 , y2 là nghiệm của phương trình x 2  11x  b  0. Nếu x1 , x2 , y1 , y2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì tích ab có giá trị là 585 585 A. ab  1. B. ab   . C. ab  . D. ab  54. 8 8 TOANMATH.com Trang 17
Câu 20: Tìm m để phương trình x 3   2m  1 x 2  9 x  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số a a cộng, ta được m  , với a, b  , phân số tối giản. Giá trị biểu thức P  a 2  b2 là b b A. P  13. B. P  20. C. P  5. D. P  10. Câu 21: Cho tam giác đều A1B1C1 có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1 tạo thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm các cạnh của tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 ,... Gọi P1 , P2 , P3 ,... lần lượt là chu vi của tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... Giá trị biểu thức P  P1  P2  P3  ... là A. P  8. B. P  24. C. P  6. D. P  18. Câu 22: Cửa hàng xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; … (hộp) từ trên xuống dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp như hình bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn? A. 63. B. 65. C. 67. D. 69. Câu 23: Một đội công nhân trồng cây xanh từ kilômet số 6 đến kilômet số 8. Cứ 20m trồng một cây. Hỏi có bao nhiêu cây được trồng? A. 100. B. 200. C. 250. D. 101. Câu 24: An từ thành phố về quê thăm ông bà trên quãng đường 54 km. Biết giờ đầu tiên An đi được 15km và mỗi giờ sau An đi kém hơn giờ trước 1km. Thời gian An đi từ nhà về quê là A. 27 giờ. B. 4 giờ. C. 3 giờ. D. 15 giờ Câu 25: Ngày thứ nhất cửa hàng bán được 10 cốc nước mía, ngày sau bán nhiều hơn ngày hôm trước đó 1 cốc nước mía. Hỏi ngày thứ 10 cửa hàng sẽ bán được bao nhiêu cốc nước mía? A. 15 cốc. B. 17 cốc. C. 19 cốc. D. 21 cốc. Câu 26: Một nhóm gồm 3003 người xếp thành hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ hai có 2 người, hàng thứ ba có 3 người,… Hỏi có bao nhiêu hàng? A. 75. B. 76. C. 77. D. 78. Câu 27: Tổng tất cả các giá trị m để phương trình x  2  m  1 x  2m  1  0 có bốn nghiệm phân biệt 4 2 lập thành một cấp số cộng là 40 40 32 32 A.  . B. . C.  . D. . 9 9 9 9 ĐÁP ÁN Dạng 1. Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng TOANMATH.com Trang 18
1-D 2-C 3-D 4-C 5-B 6-B 7-B 8-C 9-B 10 - B 11 - C 12 - D 13 - B 14 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Dãy số 0; 4; 8; 12; 16 là cấp số cộng có số hạng đầu là u1  0 và công sai d  4. Câu 2. Ta có un  3n  1 là một cấp số cộng vì un 1  un  3  n  1  1   3n  1  3. Câu 3. 1 1 3 Ta có u1   , u2  0, u3  , u4  1, u5  ,... 2 2 2 Câu 4. Dãy số  un  có tính chất un 1  un  d thì được gọi là một cấp số cộng. Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng -4. Câu 5. Ta có un 1  un  2  n  1  3  2n  3  2, n  1. Do đó dãy số trong đáp án B là cấp số cộng theo định nghĩa. Câu 6. Ta có un 1  un  3  n  1  2020   3n  2020   3  un 1  un  3. Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d  3. Câu 7. Ta có un  2 n  1 không là cấp số cộng vì un 1  un  2n 1  2 n. Câu 8. Xét dãy số un  1  3n , suy ra un 1  1  3n 1. Ta có un 1  un  2.3n , n  * . Do đó un  1  3n. không phải là cấp số cộng. Câu 9. u1  1 u1  1 Ta có  là cấp số cộng vì   un 1  un  1. un 1  un  1 un 1  un  1 Câu 10. Ta có un  3n  1 n  *  là cấp số cộng vì un 1  un  3  n  1  1  3n  1  3 là hằng số. Câu 11. 1 1 5 1 1 1 1 1 Xét đáp án C. 2. 2     3 nên dãy số ; 2 ; 3 ;... không là cấp số cộng. 2 2 8 2 2 2 2 2 Câu 12. TOANMATH.com Trang 19
u  8 Dãy số 8; 15; 22; 29; 36; … là một cấp số cộng với  1  công thức tổng quát là un  7 n  1. d  7 Câu 13. Gọi cấp số cộng thứ nhất là  un  và cấp số cộng thứ hai là  vn  . Ta có un  u1   n  1 d  4  3  n  1  un  3n  1; vk  v1   k  1 d  1  5  k  1  vk  5k  4. Với k , n  ,1  n  100,1  k  100. Ta có un  vk  3n  1  5k  4  3n  5  k  1 . Mà 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 5. Đặt n  5t , t    k  3t  1. Do 1  n  100,1  k  100 nên t  1; 2;3;...; 20 . Câu 14. Ta có an   2n  5   4n 2 , n  *  an  20n  25, n  * . 2 Do đó an 1  an  20, n  * nên  an  là cấp số cộng với công sai d  20. Dạng 2. Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên 1–B 2–A 3–D 4–C 5–A 6–D 7–A 8–B 9–C 10 – C 11 – A 12 – B 13 – A 14 – C 15 – C 16 – C 17 – D 18 – C 19 – C 20 – A 21 – C 22 – B 23 – D 24 – A 25 – A 26 – A 27 – A 28 – A 29 – A 30 – B 31 – C 32 – D 33 – C 34 – D 35 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có u2  7; u3  4 suy ra d  3. từ đó u1  7  (3)  10. Câu 2. Ta có un  u1   n  1 d  u8  u1  7 d  15  7.( 2)  1. Câu 3. n  2u1   n  1 d   n  23 Ta có Sn    2.483  n.  2.  1   n  1 .2   n 2  2n  483  0   . 2  n  21 Do n  * nên n  23. Câu 4. u1  2 Ta có   u1  2; d  3. Suy ra un  2  3  n  1  3n  5. un 1  un  3 TOANMATH.com Trang 20