Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3

Chia sẻ: Vo Danh | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

150
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗi kết quả của phép thử cho một số với một xác suất nào đó.Luật số lớn Bernoullo cho ta cơ sở định nghĩa xác suất theo thống kê

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3

2.5 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm 2.5.1 Khái niệm hội tụ của dãy ngẫu nhiên Cho dãy X1 , X 2 ,..., X n ,... và X là các ĐLNN. a) Dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn về X, ký h.c.c hiệu , nếu Xn X P � Xn = X� 1 = lim � � n b) Dãy (X n ) hội tụ theo trung bình toàn phương L2 về X, ký hiệuX n X , nếu lim M ( X n − X ) = 0 2 n
c) Dãy (X n ) hội tụ theo xác suất về X, ký hiệu P , nếu Xn X lim P � n − X ε � 0 = ∀ε > 0 X � � n d) Dãy (X n ) hội tụ theo phân phối về X, ký hiệu F X Xn , rong các trường hợp sau (X nt) F X nvà X đều rời rạc có cùng tập X - Rời rạc: giá�ị limthì[ X = x ] = P [ X = x ] ∀x � tr T P T n n
- Liên tục: X liên tục, còn(X n ) tùy ý thì Xn F X � lim P [ X n < x ] = P [ X < x ] ∀x �ﾡ n hay lim FX n (x) = FX (x) ∀x ﾡ n 2.5.2 Luật số lớn a) Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu ĐLNN X có kỳ vọng M(X) và phương sai D(X) hữu hạnP � − M(X) ε � D(X) , ∀ε > 0 thìX � � ε2
b) Luật số lớn Chebyshev: Nếu dãy ĐLNN X1 , X 2 ,..., X n ,... độc lập từng đôi, có phương sai D(X n ) C, ∀n thì �n 1n �P 1 � � i −n� X M(X i ) � 0 n � i=1 � i =1 * Hệ quả (luật số lớn Bernoulli): Nếu f n (A) là tần suất xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử độc lập với p(A)=p f n (A) P p(A) = p thì
* Ý nghĩa: Luật số lớn Bernoulli cho ta cơ sở định nghĩa xác suất theo thống kê. 2.5.3 Định lý liên hệ giữa siêu bội và nhị thức Nếu X H(N, N A , n) , n cố định, còn N NA tăng vô hạn và tỷ lệ N tiến tới một giới hạn p F X B(n, p) khác 0 hay 1, thì X thực hành: * Ý nghĩa trongH(N, N A , n) X B(n,nếu N p = N An, N. khá lớ / n , p) a. Cho rất nhỏ so với N thì với
b. Khi N khá lớn so với n thì việc lấy n phần tử trong N phần tử theo phương thức có hoàn lại hay không hoàn lại là như nhau. VD 2.26: Một công ty XNK nhập 5000 thùng hóa chất, trong đó có 1000 thùng kém chất lượng. Công ty này phân phối ngẫu nhiên cho một cửa hàng 10 thùng (không hoàn lại). Tìm xác suất để cửa hàng này nhận được 3 thùng hóa chất kém chất lượng.
2.5.4 Định lý giới hạn Poisson n Cho X B(n, p) . Nếu số phép np = λ thử , còn xác suất thắng lợi P(A) 0 P(λthì F sao X ). cho * Ý nghĩa trong thực hành: Nếu X B(n, p) với n khá lớn, p khá bé λ = np. thì�P(λ ) X với VD 2.27: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,1%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hoàn lại 1000 hạt. Tính xác suất để có đúng 2 hạt lép.
2.5.5 Định lý giới hạn Moivre-Laplace (giáo trình trang 105-107). * Ý nghĩa trong thực hành: Nếu X B(n, p) với n đủ lớn, p không quá gần 0 và 1 thì ( ) ( ) 1 2 X �N np, npq , P[X = k] � f (t k ) npq t2 k − np 1 −2 và f (t) = với t k = e là hàm m ật 2π npq độ pp chuẩn N(0,1) (tra bảng A)
VD 2.28: Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ loại 1 là 20%. Cho máy sản xuất 100 sản phẩm. Tính xác suất để trong 100 sản phẩm đó có a) 19 sản phẩm loại 1. b) không ít hơn 19 sản phẩm loại 1. VD 2.29: Trong một thị trấn có 40% người dân nghiện thuốc lá. Chọn ngẫu nhiên 300 người dân (các lần chọn độc lập) để phỏng vấn. Tính xác suất để trong 300 người dân được chọn có không quá 140 người nghiện thuốc lá.
2.5.5 Định lý giới hạn trung tâm Nếu dãy các ĐLNN X1 , X 2 ,..., X n ,... cùng phân phối xác suất vớiM(X n ) = µ, D(X n ) = σ 2 thì 1n Xi − µ n i=1 Sn = F N(0,1) σ n Như vậy, với n đủ lớn n 30) , có thể xem ( n X i �N(nµ, nσ ). 2 i =1
VD 2.30: Trọng lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN có trung bình 50g, độ lệch tiêu chuẩn 10g. Các sản phẩm được đóng thành hộp, mỗi hộp 100 sản phẩm. Hộp có trọng lượng trên 4,85kg là đạt tiêu chuẩn. Tính tỷ lệ hộp đạt tiêu chuẩn. Kiểm tra giữa kỳ