zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p2

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

133
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p2

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §8. Tr−êng èng • Tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z} gäi l tr−êng èng nÕu cã tr−êng vect¬ (D, G ) víi G = {X1, Y1, Z1} sao cho F = rot G. Tøc l ∂Z 1 ∂Y1 ∂X 1 ∂Z 1 ∂Y1 ∂X 1 − − − X= Y= Z= (6.8.1) ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y Tr−êng vect¬ G gäi l tr−êng thÕ vÞ cña tr−êng vect¬ F. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra nÕu F l tr−êng èng th× div F = div (rot G) = 0 (6.8.2) Cã thÓ chøng minh r»ng ®iÒu ng−îc l¹i còng ®óng. Tøc l chóng ta cã kÕt qu¶ sau ®©y. §Þnh lý Tr−êng vect¬ (D, F ) l tr−êng èng khi v chØ khi div F = 0 • Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng èng nh− sau. 1. Trong tr−êng èng kh«ng cã ®iÓm nguån div F = 0 2. Th«ng l−îng qua mÆt cong kÝn n»m gän trong miÒn D lu«n b»ng kh«ng. ∫∫ < F, n > dS = ∫∫∫ divFdV Φ= (6.8.3) Ω S 3. Th«ng l−îng ®i qua c¸c mÆt c¾t cña mét luång l nh− nhau. Gi¶ sö S l mÆt trô kÝn nh− h×nh bªn n2 S = S0 + S1 + S2 n1 Trong ®ã S ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto ngo i n F S0 ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto n0 ng−îc h−íng S1 víi tr−êng vect¬ F, S1 ®Þnh h−íng theo ph¸p S vecto n1 cïng h−íng víi tr−êng vect¬ F. S2 n0 ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto n2 vu«ng gãc víi S0 tr−êng vect¬ F. Theo tÝnh chÊt cña tr−êng èng v tÝnh céng tÝnh cña tÝch ph©n ∫∫ < F, n > dS = ∫∫ < F, n0 > dS + ∫∫ < F, n1 > dS + ∫∫ < F, n 2 > dS 0= S S0 S1 S2 Tõ ®ã suy ra ∫∫ < F, n1 > dS = - ∫∫ < F, n 0 > dS = ∫∫ < F, n 1 > dS S1 S0 S0 Hay nãi c¸ch kh¸c th«ng l−îng cña tr−êng èng ®i qua c¸c mÆt c¾t l mét h»ng sè. • Tr−êng vect¬ (D, F ) gäi l tr−êng ®iÒu ho nÕu nã võa l tr−êng thÕ v võa l tr−êng èng. Tøc l cã tr−êng v« h−íng (D, u ) v tr−êng vect¬ (D, G ) sao cho F = grad u = rot G (6.8.4) Tõ ®ã suy ra Trang 110 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∆u = div (grad u) = div (rot G) = 0 (6.8.5) Tøc l h m thÕ vÞ cña tr−êng ®iÒu ho l h m ®iÒu ho . • Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng èng nh− sau. 1. Trong tr−êng ®iÒu ho kh«ng cã ®iÓm xo¸y, ®iÓm nguån rot F = 0 v div F = 0 2. Ho n l−u däc theo ®−êng cong kÝn n»m gän trong miÒn D lu«n b»ng kh«ng. ∫ < F, T > ds = K= 0 Γ 3. Th«ng l−îng qua mÆt cong kÝn n»m gän trong miÒn D lu«n b»ng kh«ng. ∫∫ < F, n > dS Φ= S B i tËp ch−¬ng 6 1. T×m ®¹o h m t¹i ®iÓm A theo h−íng vect¬ e cña tr−êng v« h−íng u = xy - z2 a. A(1, 2, 3) v e{1, 1, 1} b. A(1, 1, 0) v e{0, 1, 1} c. A(1, 0, 1) v e l h−íng ph©n gi¸c trong cña gãc Oxy 2. Cho tr−êng v« h−íng u = x2 + y2 - z2 a. T×m ®é lín v h−íng cña vect¬ grad u t¹i ®iÓm A(1, - 2, 1) b. T×m gãc gi÷a grad u(1, 1, 1) v grad u(1, -1, 0) c. T×m ®iÓm M sao cho grad u(M) ®ång ph−¬ng víi trôc Oy x2 + y2 + z2 3. Cho tr−êng b¸n kÝnh r = ∂r 1 b. T×m grad v grad r2 víi e{-1, 0, 1} a. T×m ∂e r c. T×m grad f(r) víi h m f l h m cã ®¹o h m liªn tôc. 4. T×m Divergence cña c¸c tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A sau ®©y. b. F = {xy2, yz2, zx2} v A(-2, 0, 1) a. F = {xy, yz, zx} v A(1, 1, 2) c. F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} v A(0, 1, 2) 4. T×m Rotation cña c¸c tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A sau ®©y. a. F = {x2y, y2z, z2x} v A(2, -1, 1) b. F = {yz, zx, xy} v A(1, 3, 2) 2 2 2 2 2 2 c. F = {x + y , y + z , z + x } v A(-2, 3, 1) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 111
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 6. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau ®©y. a. div (F × G) = F rot G - G rot F b. rot (rot F) = grad (div F) - ∆ F x 2 + y 2 + z 2 l tr−êng b¸n kÝnh, 7. Cho (D, u) v (D, v) l c¸c tr−êng v« h−íng, r = cßn h m f l h m cã ®¹o h m liªn tôc. H y tÝnh a. div (grad f(r)) b. div (u grad v) c. rot (grad rf(r)) 8. TÝnh th«ng l−îng cña tr−êng vect¬ F qua mÆt cong S. a. F = {x, y, z} qua phÇn mÆt ph¼ng x + y + z = 1 trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt b. F = {xy, yz, zx} qua phÇn mÆt cÇu x2 + y2 + z2 = 1 trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt c. F = {xy, yz, zx} qua phÇn mÆt parabole z = x2 + y2 v 0 ≤ z ≤ 1 d. F = {x, y, z} qua mÆt cong kÝn z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1 e. F = {x3, y3, z3} qua mÆt cong kÝn x2 + y2 + z2 = 1 f. F = {xy2, x2y, z} qua mÆt cong kÝn z = 4 - x2 - y2 v 0 ≤ z ≤ 4 9. TÝnh ho n l−u cña tr−êng vect¬ F däc theo ®−êng cong Γ. a. F = {x, y, z} theo ®−êng xo¾n èc x = a cost, y = a sint, z = bt víi t ∈ [0, π/2] b. F = {xy, yz, zx} theo ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm A(a, 1, 1) v B(2, 4, 8) c. F = {-y, x, 0} theo ®−êng cong kÝn (x - 2)2 + y2 = 1 v z = 0 d. F = {x3, y3, z3} theo ®−êng cong kÝn x2 + y2 + z2 = 1 v x + y + z = 1 e. F = {xy2, x2y, z} theo ®−êng cong kÝn z = x2 + y2 v z = x + y Trang 112 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 7 Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng §1. Ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 • Cho miÒn D ⊂ 32 v c¸c h m a, b, c : D → 3. Ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 víi hai biÕn ®éc lËp cã d¹ng nh− sau ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u a(x, y) + 2b(x, y) + c(x, y) 2 = F(x, y, u, , ) (7.1.1) ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) víi (x, y) ∈ D KÝ hiÖu 1. NÕu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) > 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng hyperbole 2. NÕu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) = 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng parabole 3. NÕu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) < 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng ellipse • Gi¶ sö ¸nh x¹ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η − Φ : D → Ω, (x, y) → (ξ, η) víi J(x, y) = ≠0 (7.1.2) ∂x ∂y ∂y ∂x l phÐp ®æi biÕn tõ miÒn D v o miÒn Ω. Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u + + = , = ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂x 2 2 ∂ 2 u  ∂ξ  ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u  ∂η  ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η ∂2u   +2 + 2  + + = ∂ξ 2  ∂x  ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η  ∂x  ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 ∂x 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂ξ ∂ 2 u  ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η  ∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η ∂2u + + + + +  =2 ∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η  ∂x ∂y ∂y ∂x  ∂η2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y ∂x∂y   2 2 ∂2u ∂ 2 u  ∂ξ  ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u  ∂η  ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η   +2 +  + + = 2  ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η2  ∂y  ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2 ∂ξ  ∂y  ∂y 2  Thay v o ph−¬ng tr×nh (7.1.1) nhËn ®−îc ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u a1(ξ, η) + 2b1(ξ, η) + c1(ξ, η) 2 = F1(ξ, η, u, , ) ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 Trong ®ã 2 2  ∂ξ  ∂ξ ∂ξ  ∂ξ  a1(ξ, η) = a(x, y)   + 2b(x, y) + c(x, y)    ∂y   ∂x  ∂x ∂y  Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 113
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η  ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η  ∂x ∂y + ∂y ∂x  + c(x, y) ∂x ∂y b1(ξ, η) = a(x, y) + b(x, y)   ∂x ∂y   2 2  ∂η  ∂η ∂η  ∂η  c1(ξ, η) = a(x, y)   + 2b(x, y) + c(x, y)    ∂y   ∂x  ∂x ∂y  Suy ra ∆1(ξ, η) = b1 - a1c1 = ∆(x, y)J2(x, y) 2 Tøc l chóng ta cã ®Þnh lý sau ®©y. §Þnh lý PhÐp ®æi biÕn kh«ng suy biÕn kh«ng l m thay ®æi d¹ng cña ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2. • NÕu ξ v η l c¸c nghiÖm riªng ®éc lËp cña ph−¬ng tr×nh 2 2  ∂ϕ  ∂ϕ ∂ϕ  ∂ϕ  + c(x, y)   = 0 a(x, y)   + 2b(x, y) (7.1.3)  ∂y   ∂x  ∂x ∂y  th× a1(x, y) = b1(x, y) = c1(x, y) = 0. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng chÝnh t¾c ∂2u ∂u ∂u = F1(ξ, η, u, , ) ∂ξ ∂η ∂ξ∂η Gi¶ sö ϕ(x, y) l mét nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña ph−¬ng tr×nh (7.1.3). Chóng ta cã (ϕx , ϕy) ≠ (0, 0) kh«ng gi¶m tæng qu¸t cã thÓ xem ϕy ≠ 0. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ϕ(x, y) = C x¸c ®Þnh h m Èn y = y(x) cã ®¹o h m y’(x) = - ϕx / ϕy . Thay v o ph−¬ng tr×nh (7.1.3) nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n a(x, y)y’2 - 2b(x, y)y’ + c(x, y) = 0 víi a(x, y) ≠ 0 (7.1.4) gäi l ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña ph−¬ng tr×nh (7.1.1) 1. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) > 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm thùc b(x, y) ± ∆(x, y) ∫ dx + C y= a(x, y) §æi biÕn b(x, y) + ∆(x, y) b(x, y) − ∆(x, y) ∫ ∫ ξ+η=y- dx v ξ - η = y - dx a(x, y) a(x, y) §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh hyperbole ∂2u ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, - , ) (7.1.5) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 2 2. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) = 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm kÐp Trang 114 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.