zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p7

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

79
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ đó suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g1 - g2 ||

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p7

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y +∞ 1 2 t ) | e − s ds ≤ supD  g(ξ)  ∫ | g(x + 2as ∀ (x, t) ∈ H, | u(x, t) | ≤ π −∞ Tõ ®ã suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g 1 - g 2 || < δ ⇒ || u || = || u 1 - u 2 || < ε VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. ∂2u ∂u = 4 2 v u(x, 0) = xe-x VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x -x H m g(x) = xe tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.1.5) +∞ 1 t )2 t (s + 2 t )]e −( s + 2 e 4 t − x ds ∫ [(x − 8t ) + 4 u(x, t) = π −∞ +∞ +∞   1 e 4 t − x  (x − 8t ) ∫ e − σ dσ + 4 t ∫ σe − σ dσ  víi σ = s + 2 t 2 2 =   π   −∞ −∞ 4t-x = (x - 8t)e §2. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CP1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v h m v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1a tho¶ m n v(x, τ, 0) = f(x, τ). B i to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y ( ξ −x )2 +∞ f (ξ, τ) t t − 1 ∫ dτ ∫ 4a 2 ( t − τ) dξ u(x, t) = ∫ v(x, τ, t − τ)dτ = e (8.2.1) π t −τ 2a 0 −∞ 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) nªn h m v ∈ C2(H × 3+, 3). Do ®ã cã thÓ ®¹o h m tÝch ph©n (8.2.1) theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 135
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂2v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ + v(x, t, 0) = a2 ∫ 2 (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = ∂t 0 ∂x 0 ∂2u = a2 + f(x, t) v u(x, 0) = 0 ∂x 2 • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ b i to¸n CP1a. B i to¸n CP1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) • T×m nghiÖm cña b i to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) v (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. +∞ +∞ 1  t 2 2  ∫ g(x + 2a t s)e −s ds + ∫ dτ ∫ f (x + 2a τ s, t − τ)e −s ds  u(x, t) =   π  −∞  −∞ 0  + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ  ∫ dξ + ∫ d τ ∫ 4a 2 t = (8.2.2) e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2). ∂2u ∂u = a2 2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x 2 H m f(x, t) = t , g(x) = sinx tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.2.2) +∞  +∞  t 1 1 2 2 −s2 −s ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ ∫ sin(x + 2a ts)e ds + u(x, t) = π 0  π   −∞ • KÝ hiÖu +∞ 1 2 i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e I(t) = π −∞ §¹o h m I(t), biÕn ®æi v sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn Trang 136 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ − ia − ia a2 +∞ 2 2 2 i(x +2a d (e − s ) = e i ( x + 2a e −s i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e ∫e ts ) ts ) I’(t) = - 2 πt − ∞ 2 πt π −∞ −∞ = - a2 I(t) víi I(0) = eix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc 2 2 I(t) = e −a t eix = e −a t (cosx + i sinx) (8.2.3) T¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c¸c tÝch ph©n cÇn t×m. CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ v ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau n y. • TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n  +∞  t 1 2 −s2 ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ = t 3 J(t) =   π 0  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n 2 u(x, t) = Im I(t) + J(t) = e − a t sinx + t3 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §3. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SP1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(D, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SP l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CP t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö f1 v g1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f v g lªn to n 3, cßn h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. 2∂ v ∂v 2 + f1(x, t) v u(x, 0) = g1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ =a ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (8.2.2) , ta cã  + ∞ g (ξ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f1 (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1  dξ  ∫ dξ + ∫ dτ ∫ 4a 2 t 1 v(x, t) = e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 137
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  + ∞ g (ξ) − ξ 2 f1 (ξ, t − τ) − 4 a 2 τ  2 2 ξ +∞ t 1  dξ  = 0 ∫ t dξ + ∫ dτ ∫ 1 v(0, t) = e e 4a t  2a π  − ∞ τ  −∞ 0 Suy ra c¸c h m f1 v g1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0 f1(x, t) =   - f(-x, t) x < 0 v g1(x) = - g(-x) x < 0   §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(H, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  ( ξ + x )2 1 −   e 4a t − e 4a 2 t  dξ + ∫ t  2 u(x, t) =  2a π 0     f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.1)   τ  0 0 ∂2u ∂u = a2 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = sinx v u(0, t) = 0 Do c¸c h m f v g l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f v g1 = g. Thay v o c«ng thøc (8.2.2) v sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã +∞ t +∞ 1 1 −s 2 2 τs)e − s dsdτ ∫ sin(x + 2a ∫ ∫ 2(t − τ)(x + 2a u(x, t) = t s)e ds + π π −∞ 0 −∞  +∞ 2 +∞  t 1 2 2(t − τ)dτ x ∫ e − s ds − a τ ∫ d(e −s )  ∫ = ImI(t) +   π0  −∞  −∞ 2 = e −a t sinx + xt2 B i to¸n SP1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t) §Þnh lý Cho h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3). B i to¸n SP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh Trang 138 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 h ( t − τ) − 4 a 2 τ t x ∫ 3 / 2 e dτ u(x, t) = (8.3.2) 2a π 0 τ Chøng minh • Do h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3) nªn tÝch ph©n (8.3.2) héi tô ®Òu H. Do ®ã cã thÓ ®¹o h m theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp x2 x2 ∂u h ( t − τ) − 4 a 2 τ h(t − τ) − 2 t t x2 1 ∫ τ3 / 2 ∫ τ 5 / 2 e 4 a τ dτ dτ - = e ∂x 2a π 4a 3 π 0 0 x2 x2 ∂2u −x h(t − τ) − 4a 2 τ h(t − τ) − 4a 2 τ t t x3 ∫ τ5 / 2 ∫ τ 7 / 2 e dτ dτ + 5 = e ∂x 2 4a 3 π 8a π 0 0 x2 x2 ∂u t − x h(0) − 4a 2 t x 1 ∫τ dh(t − τ) 4a 2 τ = e - e ∂t 3/2 3/2 2a π t 2a π 0 x2  −3  − 4a 2 τ t x2 x dτ = a2 u′xx ′ ∫ h(t − τ) 5 / 2 + 2 7 / 2 e =  2τ  4a τ 2a π 0   Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0) = 0 §æi biÕn tÝch ph©n (8.3.2) +∞ x2 x 2 2 ∫ )e −s ds h( t − s= , u(x, t) = 22 2a τ π 4a s x 2a t Suy ra u(0, t) = h(t) • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) v −íc l−îng tÝch ph©n. B i to¸n SP1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) v (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 139

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.