Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p8
Thêm vào BST
Báo xấulượt xem 11
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Định lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) thoả m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i toán SP1 có nghiệm duy nhất v ổn định xác định theo công thức (8.3.3)Nhận xét Ph−ơng pháp trên có thể sử dụng để giải các b i toán giả Cauchy khác.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p8
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x ) 2 2 ( ξ + x )2 x dξ + x h(t − τ) e 4a 2 τ dτ t − 1 − e 4a 2 t − e 4a 2 t ∫ ∫ τ3 / 2 u(x, t) = 2a π 0 t 0 f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t − dξ e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.3) τ 0 0 §Þnh lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §4. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HP1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v h m g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.4.1) ∂t ∂x ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • T×m nghiÖm cña b i to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa T(t) = 0 2 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (8.4.6) LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) v (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l] 2 kπ kπ x víi Ak ∈ 3 v λk = , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp Trang 140 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2 kπa − t víi Bk ∈ 3, k ∈ ∠* l Tk(t) = Bk e Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HP1 2 kπa kπ − t x víi ak = AkBk , k ∈ ∠* l uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = ak e sin l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HP1 d¹ng chuçi h m 2 kπa kπ +∞ +∞ − t ∑u ∑a l u(x, t) = (x, t ) = e sin x (8.4.7) k k l k =1 k =1 Thay v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.4.2) kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin x = g(x) l k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× kπ l 2 ak = ∫ g(x ) sin xdx (8.4.8) l0 l §Þnh lý Cho h m g ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0. Chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1a. Chøng minh • H m g theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Diriclet v do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Do ®ã chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l héi tô ®Òu v cã thÓ ®¹o h m tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi h m (8.4.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v c¸c ®iÒu kiÖn (8.4.2), (8.4.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. ∂2u ∂u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã k = 2n 0 1 − (-1) k l 8 ak = 2 ∫ x(1 − x) sin kπxdx = 4 = k = 2n + 1 kπ33 (2n + 1) 3 π 3 0 ThÕ v o c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña b i to¸n 8 +∞ 1 u(x, t) = 3 ∑ 22 e −( 2 n +1) π t sin(2n + 1)πx π n =0 (2n + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 141
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HP1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HP1b d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (8.5.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) ®o¹n [0, l], thÕ v o b i to¸n HP1b 2 Tk (t ) + kπa Tk (t ) sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ′ l ∑f (t ) sin x k l l k =1 k =1 kπx kπ l +∞ 2 ∑T víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin dx v x =0 (0) sin k l0 l l k =1 §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2 kπa ′ Tk (t) + Tk(t) = fk(t), Tk(0) = 0 (8.5.2) l Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c h m Tk(t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (8.5.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1b. B i to¸n HP1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u ∂ 2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) Trang 142 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • T×m nghiÖm b i to¸n HP1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (8.5.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a ∂2v ∂v = a2 2 ∂t ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4) víi ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b ∂2w ∂2w ∂w x = a2 2 + f(x, t) - p’(t) - (q’(t) - p’(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t ∂x ∂x l w(x, 0) = 0 w(0, t) = w(l, t) = 0 (8.5.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) t×m h m v(x, t) v h m w(x, t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3) v p, q ∈ C1([0, T], 3) tho¶ mn g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi h m v(x, t) v h m w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1. ∂2u ∂u = 4 2 víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a víi g1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b víi f1(x, t) = xe-t. B i to¸n HP1a cã nghiÖm v(x, t) = 0 Gi¶i b i to¸n HP1b 2(-1) k +1 − t 1 fk(t) = 2 e − t ∫ x sin kπxdx = e víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 − t ′ Tk (t) + (2kπ)2Tk(t) = e , Tk(0) = 0 kπ Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 143
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k T×m ®−îc c¸c h m ( ) víi k ∈ ∠ 2(-1) k 2 e − ( 2 kπ ) t − e − t * Tk(t) = kπ(4 k π − 1) 22 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n ( ) +∞ 2(-1) k ∑ 2 e −( 2 kπ) t − e − t sin kπx u(x, t) = xe-t + kπ(4 k 2 π 2 − 1) k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §6. B i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn • XÐt to¸n tö vi ph©n Laplace trong mÆt ph¼ng ∂ 2u ∂ 2 u ∆u(x, y) = + ∂x2 ∂y2 §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u = cos ϕ − sin ϕ + = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u + = sin ϕ + cos ϕ = ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ ∂2u 2 ∂2u 2 ∂2u ∂u 1 ∂u 1 ∂ 2u = cos2ϕ 2 − cosϕsinϕ + 2 cosϕsinϕ + sin2ϕ + 2 sin2ϕ 2 ∂x2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r ∂2u ∂2u 2 ∂2u 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂2u = sin 2 ϕ 2 + cosϕsinϕ − 2 cosϕsinϕ + cos 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ 2 ∂y2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2 u + +2 ∆u(r, ϕ) = r + = ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ2 B i to¸n DE1a Cho miÒn D = [0, R] × [0, 2π] v h m g ∈ C([0, 2π], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.1) v ®iÒu kiÖn biªn u(R, θ) = g(θ) (8.6.2) Trang 144 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức - Nguyễn Thủy Thanh
567 p | 
591
| 
208
-
Giáo trình cơ sở lý thuyết hoá học - Chương 3
10 p | 272
| 87
-
Giáo trình Lý thuyết các quá trình luyện kim - Chương 4
21 p | 195
| 78
-
Cơ học lý thuyết - Dàn
30 p | 695
| 72
-
Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh
279 p | 186
| 48
-
Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 2 - Nguyễn Thủy Thanh
288 p | 169
| 29
-
giáo trình động lực học phần 6
10 p | 196
| 23
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p1
5 p | 151
| 20
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p2
5 p | 132
| 17
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p6
5 p | 112
| 15
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p10
5 p | 116
| 12
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p9
5 p | 99
| 11
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p4
5 p | 99
| 10
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p3
5 p | 86
| 10
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p5
5 p | 86
| 10
-
Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p7
5 p | 78
| 10
-
Giáo trình hình thành hệ thống ứng dụng cấu trúc và bản chất vật lý của thiên thạch p2
10 p | 71
| 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
