Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần II: "Thống kê toán" gồm có 4 hương. Chương 3 trình bày về cơ sở lý thuyết mẫu: các phương pháp chọn mẫu, sắp xếp mẫu, đặc trưng của mẫu. Chương 4 và Chương 5 quan tâm đến hai bài toán cơ bản là ước lượng tham số và kiểm định giả thuyết thống kê. Các bài toán về tương quan và hồi quy tuyến tính đơn giản được đề cập đến ở Chương 6. Phần cuối cùng là một số bảng phụ lục thông dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 2

PhÇn 2. Thèng kª to¸n Thèng kª to¸n hä ra ®êi g¾n liÒn víi nhu Çu thù tiÔn ña tù nhiªn - x· héi vµ ã lÞ h sö ph¸t triÓn l©u ®êi nhÊt. Néi dung hÝnh ña thèng kª to¸n lµ x©y dùng ¸ ph¬ng ph¸p thu thËp, s¾p xÕp vµ xö lý sè liÖu thèng kª (sè liÖu thèng kª ë ®©y ã thÓ lµ nh÷ng ®Æ tÝnh ®Þnh tÝnh hoÆ nh÷ng ®Æ tÝnh ®Þnh lîng). Th«ng qua viÖ ph¸t hiÖn, ph¶n ¸nh nh÷ng quy luËt vÒ mÆt lîng ña ¸ hiÖn tîng, ¸ on sè thèng kª gióp ho viÖ kiÓm tra, ®¸nh gi¸ ¸ hiÖn tîng tù nhiªn, ¸ vÊn ®Ò kinh tÕ òng nh ¸ vÊn ®Ò x· héi. Tõ ®ã ®a ra nh÷ng quyÕt ®Þnh, dù b¸o vµ ho¹ h ®Þnh hiÕn lî ph¸t triÓn ña ¸ sù vËt, hiÖn tîng ®î nghiªn øu. PhÇn thèng kª to¸n sÏ giíi thiÖu nh÷ng kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt vÒ mét sè bµi to¸n quan träng trong thèng kª bµi to¸n í lîng tham sè, bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª vµ bµi to¸n t¬ng quan håi quy.
Ch¬ng 3 C¬ së lý thuyÕt mÉu Qu¸ tr×nh nghiªn øu thèng kª gåm ¸ giai ®o¹n: thu thËp sè liÖu, xö lý tæng hîp vµ ph©n tÝ h, dù b¸o. Trong thu thËp sè liÖu thêng ¸p dng hai h×nh thø hñ yÕu: b¸o ¸o thèng kª ®Þnh kú vµ ®iÒu tra thèng kª. Ch¬ng nµy nh»m giíi thiÖu mét sè vÊn ®Ò Çn quan t©m khi b¾t ®Çu lµm mét bµi to¸n thèng kª, ®ã lµ giai ®o¹n thu thËp vµ xö lý sè liÖu. 3.1 Tæng thÓ vµ mÉu 3.1.1 Tæng thÓ vµ kÝ h thí ña tæng thÓ §Þnh nghÜa 3.1.1. Toµn bé tËp hîp ¸ phÇn tö ®ång nhÊt theo mét dÊu hiÖu nghiªn øu ®Þnh tÝnh hoÆ ®Þnh lîng nµo ®ã ®î gäi lµ tæng thÓ nghiªn øu (population) (hay tæng thÓ hoÆ tËp hÝnh). Sè lîng ¸ ¸ thÓ (hay ¸ phÇn tö) ña tæng thÓ ®î gäi lµ kÝ h thí ña tæng thÓ (size of population), thêng ®î kÝ hiÖu lµ N . Víi mçi tæng thÓ ta kh«ng nghiªn øu trù tiÕp tæng thÓ ®ã mµ th«ng qua mét hay nhiÒu dÊu hiÖu ®Æ trng ho tæng thÓ ®ã, ®î gäi lµ dÊu hiÖu nghiªn øu. C¸ dÊu hiÖu nµy ã thÓ lµ ®Þnh tÝnh hoÆ ®Þnh lîng (ta òng ã thÓ gäi lµ biÕn ®Þnh tÝnh hoÆ biÕn ®Þnh lîng). Ch¼ng h¹n, ®Ó nghiªn øu hiÒu dµi b«ng lóa ña mét gièng lóa nµo ®ã th× dÊu hiÖu nghiªn øu ë ®©y mang tÝnh ®Þnh lîng hÝnh lµ hiÒu dµi b«ng; khi nghiªn øu mét lo¹i bÖnh míi xuÊt hiÖn trªn gia Çm t¹i ®ång b»ng B¾ Bé th× ®Æ tÝnh mµ ta quan t©m ®Õn ë ®©y lµ ®Æ tÝnh mang tÝnh ®Þnh tÝnh, xt mçi ¸ thÓ gia Çm trong tæng thÓ th× ã hoÆ kh«ng ã lo¹i bÖnh mµ ta quan t©m. 3.1.2 MÉu vµ ph¬ng ph¸p hän mÉu §Þnh nghÜa 3.1.2. Mét tËp hîp ¸ ¸ thÓ ®î lÊy ra tõ tæng thÓ ®î gäi lµ mÉu (sample). Sè lîng ¸ thÓ trong mét mÉu gäi lµ kÝ h thí mÉu (size of sample), thêng kÝ hiÖu lµ n. Chó ý r»ng kÝ h thí ña mÉu thêng nhá h¬n rÊt nhiÒu so víi kÝ h thí tæng thÓ. Tõ tæng thÓ ®· ho ta ã thÓ lÊy ra nhiÒu mÉu kh¸ nhau víi ïng mét kÝ h thí n. TËp hîp tÊt 71
¶ ¸ mÉu ã thÓ lÊy ra ®î tõ tæng thÓ ®î gäi lµ kh«ng gian mÉu (sample spa e). Thay v× nghiªn øu tÊt ¶ ¸ ¸ thÓ ã mÆt trong tæng thÓ ta huyÓn sang nghiªn øu mét bé phËn ña tæng thÓ lµ mÉu v× vËy mÉu ph¶i ®¹i diÖn mét ¸ h kh¸ h quan nhÊt ho tæng thÓ. Ta quan t©m ®Õn ¸ ph¬ng ph¸p lÊy mÉu sau ®©y: a) LÊy mÉu ngÉu nhiªn kh«ng hoµn l¹i: §ã lµ ph¬ng ph¸p lÊy mÉu b»ng ¸ h ®¸nh sè ¸ ¸ thÓ trong tæng thÓ tõ 1 ®Õn N . Rót ngÉu nhiªn lÇn lît n ¸ thÓ ®a vµo mÉu theo mét trong hai ¸ h sau. - MÉu ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n: Tõ tæng thÓ kÝ h thí N ngêi ta dïng ¸ h rót th¨m ®¬n gi¶n ra n phÇn tö ña mÉu theo mét b¶ng sè ngÉu nhiªn nµo ®ã. u ®iÓm ña ph¬ng ph¸p nµy lµ ho php thu ®î mét mÉu ã tÝnh ®¹i diÖn ao, ho php suy réng ¸ kÕt qu¶ ña mÉu ho tæng thÓ víi mét sai sè x¸ ®Þnh. Nhî ®iÓm ña ph¬ng ph¸p nµy lµ ph¶i ã ®î toµn bé danh s¸ h ña tæng thÓ nghiªn øu, mÆt kh¸ hi phÝ hän mÉu kh¸ lín. - MÉu ngÉu nhiªn hÖ thèng: Lµ lo¹i mÉu ngÉu nhiªn ®· ®î ®¬n gi¶n ho¸ trong ¸ h hän, trong ®ã hØ ã phÇn tö ®Çu tiªn ®î hän mét ¸ h ngÉu nhiªn, sau ®ã dùa trªn danh s¸ h ®· ®î ®¸nh sè ña tæng thÓ ®Ó hän ra ¸ phÇn tö tiÕp theo vµo mÉu theo mét thñ t nµo ®ã. Nhî ®iÓm ña ph¬ng ph¸p nµy lµ dÔ m¾ sai sè hÖ thèng khi danh s¸ h ña tæng thÓ kh«ng ®î s¾p xÕp mét ¸ h ngÉu nhiªn mµ l¹i theo mét trËt tù hñ quan nµo ®ã. b) LÊy mÉu ngÉu nhiªn ã hoµn l¹i: §¸nh sè ¸ ¸ thÓ trong tæng thÓ tõ 1 ®Õn N . Rót ngÉu nhiªn tõ tæng thÓ ra 1 ¸ thÓ, ghi ®Æ tÝnh ña ¸ thÓ nµy råi tr¶ ¸ thÓ ®ã vÒ tæng thÓ, ®Æ tÝnh võa ghi l¹i ®î oi lµ phÇn tö ®Çu tiªn ña mÉu. ViÖ x¸ ®Þnh ¸ phÇn tö tiÕp theo ña mÉu òng ®î lµm t¬ng tù nh trªn. Tõ ph¬ng ph¸p lÊy mÉu ngÉu nhiªn ã hoµn l¹i ta thÊy x¸ suÊt ®Ó mçi ¸ thÓ ã mÆt trong mÉu ®Òu lµ 1/N . Mçi ¸ thÓ ã thÓ ã mÆt nhiÒu lÇn trong mÉu. DÔ thÊy, víi kÝ h thí n, sè lîng ¸ mÉu trong trêng hîp lÊy mÉu kh«ng hoµn l¹i lµ AnN , sè lîng ¸ mÉu trong trêng n hîp lÊy ã hoµn l¹i lµ AN = N n . Khi N lín h¬n rÊt nhiÒu so víi n th× AnN ≈ N n , khi ®ã viÖ lÊy mÉu hoµn l¹i vµ kh«ng hoµn l¹i ho ta ¸ kÕt qu¶ sai lÖ h kh«ng ®¸ng kÓ. ) LÊy mÉu theo ¸ líp: Chia tæng thÓ ra lµm k líp. Råi tõ mçi líp lÊy ngÉu nhiªn ra mét sè ¸ thÓ ®a vµo mÉu. NÕu sè lîng ¸ ¸ thÓ ë líp thø i lµ Ni th× sè ¸ thÓ ®î hän vµo ni Ni mÉu ña líp nµy lµ ni nªn tháa m·n ®iÒu kiÖn ≈ . n N d) LÊy mÉu theo hu k×: Trong viÖ kiÓm tra hÊt lîng s¶n phÈm «ng nghiÖp ®î s¶n xuÊt theo d©y huyÒn, viÖ lÊy mÉu ngÉu nhiªn sÏ gÆp khã kh¨n vµ tèn km. Ph¬ng ph¸p lÊy mÉu theo hu kú tá ra ã hiÖu qu¶ trong nÒn s¶n xuÊt «ng nghiÖp hiÖn ®¹i. Cø sau mét hu kú gåm T s¶n phÈm lÊy ra mét s¶n phÈm ®Ó ®a vµo mÉu. §Ó tr¸nh sù trïng lÆp ña hu kú s¶n xuÊt ra ¸ s¶n phÈm tèt, xÊu ña d©y huyÒn víi hu kú lÊy mÉu, ta ã thÓ thay ®æi hu kú T trong ¸ ®ît lÊy mÉu kh¸ nhau víi m ®Ý h mÉu ph¶i ®¹i diÖn mét ¸ h kh¸ h quan nhÊt ho tæng thÓ.
C¸ ph¬ng ph¸p lÊy mÉu trªn lµ ¸ ph¬ng ph¸p phæ biÕn trong viÖ thu thËp ¸ d÷ liÖu. ViÖ lÊy mÉu tèt, xÊu theo nghÜa ã kh¸ h quan hay kh«ng ¶nh hëng rÊt lín ®Õn viÖ ®a ra kÕt luËn ã hÝnh x¸ hay kh«ng vÒ ¸ ®Æ tÝnh ã mÆt trong tæng thÓ. Chó ý 3.1.3. Tõ kÕt qu¶ tËp mÉu ã ®î ta ã thÓ suy ra ¸ kÕt qu¶ ho tæng thÓ bëi vËy bao giê òng ã thÓ m¾ ph¶i sai lÇm nhÊt ®Þnh. §é sai lÖ h lín hay b ph thué vµo ph¬ng ph¸p x©y dùng mÉu vµ kÝ h thí mÉu. §é hÝnh x¸ trong thèng kª thêng ®î gäi lµ ®é tin Ëy (degree of onfiden e) ña kÕt luËn, kÝ hiÖu lµ γ . NÕu gäi α lµ tØ lÖ sai sãt (hay mø ý nghÜa) ña kÕt luËn th× α = 1 − γ. 3.1.3 MÉu ngÉu nhiªn Sau ®©y, mÉu ®î hiÓu lµ mÉu ã lÆp l¹i vµ ®î lÊy theo ph¬ng ph¸p ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n. Gi¶ sö ®Æ trng biÕn X ë mçi ¸ thÓ ë tæng thÓ lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, ßn ®î gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn gè , ã hµm ph©n phèi x¸ suÊt F (x). Ta tiÕn hµnh mét php lÊy mÉu ngÉu nhiªn ã kÝ h thí n. Gäi Xi lµ biÕn ngÉu nhiªn hØ gi¸ trÞ X ña ¸ thÓ thø i trong mÉu, ta thÊy ¸ Xi lµ ¸ biÕn ngÉu nhiªn ã ïng ph©n phèi x¸ suÊt víi X . Víi mçi mÉu thÓ Xi sÏ ã gi¸ trÞ x¸ ®Þnh lµ xi . Do viÖ lÊy mÉu ®é lËp nªn d·y X1 , X2 , . . . , Xn lµ ¸ biÕn ngÉu nhiªn ®é lËp. §Þnh nghÜa 3.1.4. MÉu ngÉu nhiªn (random sample) kÝ h thí n lµ tËp hîp ña n biÕn ngÉu nhiªn ®é lËp X1 , X2 , . . . , Xn ®î thµnh lËp tõ biÕn ngÉu nhiªn X vµ ã ïng quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt víi X , ký hiÖu lµ W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Gi¶ sö X1 nhËn gi¸ trÞ x1 , X2 nhËn gi¸ trÞ x2 , . . . , Xn nhËn gi¸ trÞ xn . TËp hîp n gi¸ trÞ x1 , x2 , . . . , xn t¹o thµnh mét gi¸ trÞ ña mÉu ngÉu nhiªn, hay ßn gäi lµ mÉu thÓ, ký hiÖu w = (x1 , x2 , . . . , xn ). VÝ d 3.1.5. Xt tæng thÓ lµ tËp sinh viªn ViÖt Nam, biÕn ngÉu nhiªn gè X lµ hiÒu ao ña mçi sinh viªn. Xt mét mÉu ã kÝ h thí n = 10, gäi Xi lµ hiÒu ao ña sinh viªn thø i trong mÉu, khi ®ã W = (X1 , X2 , . . . , X10 ) lµ mét mÉu ngÉu nhiªn. Thù hiÖn mét php thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn trªn, tø lµ tiÕn hµnh ®o hiÒu ao ña 10 sinh viªn hän vµo mÉu ta thu ®î mÉu thÓ x1 = 1, 50; x2 = 1, 52; x3 = 1, 60; x4 = 1, 65; x5 = 1, 70; x6 = 1, 81; x7 = 1, 63; x8 = 1, 77; x9 = 1, 55, x10 = 1, 58 (®¬n vÞ lµ mt), bé sè (1, 50; 1, 52; 1, 60; 1, 65; 1, 70; 1, 81; 1, 63; 1, 77; 1, 55; 1, 58) lµ mét mÉu thÓ (hay mét thÓ hiÖn) ña mÉu ngÉu nhiªn (X1 , X2 , . . . , X10 ). Chó ý 3.1.6. Víi ¸ h x©y dùng mÉu ngÉu nhiªn nh trªn th× ¸ biÕn ngÉu nhiªn X1 , X2 , . . . , Xn ña mÉu kh«ng nh÷ng ã ïng d¹ng ph©n phèi x¸ suÊt víi biÕn ngÉu nhiªn gè X , tø lµ ã
ïng hµm ph©n phèi x¸ suÊt F (x) mµ ¸ tham sè ®Æ trng ña hóng òng b»ng ¸ tham sè ®Æ trng ña X , tø lµ: E(X1 ) = E(X2 ) = · · · = E(Xn ) = E(X) (3.1) V (X1 ) = V (X2 ) = · · · = V (Xn ) = V (X) (3.2) 3.2 C¸ ph¬ng ph¸p m« t¶ mÉu ngÉu nhiªn 3.2.1 S¾p xÕp sè liÖu thù nghiÖm §Ó khai th¸ vµ xö lý ¸ th«ng tin høa ®ùng trong d·y sè liÖu nµy ta Çn s¾p xÕp sè liÖu nh»m nhËn ra ¸ ®Æ trng ña d·y sè liÖu ®ã. Th«ng thêng ta s¾p xÕp sè liÖu theo thø tù t¨ng dÇn. D·y sè liÖu nµy u ®iÓm h¬n d·y sè liÖu ban ®Çu, ta ã thÓ dÔ dµng nhËn biÕt gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt ña ¸ sè liÖu mÉu, biÕt ®î biªn ®é dao ®éng ña ¸ sè liÖu mÉu. Víi ¸ h s¾p xÕp nµy ta dÔ dµng nhËn biÕt ¸ sè liÖu ã mÆt trong mÉu mét lÇn v× ¸ sè liÖu b»ng nhau ®î xÕp liÒn nhau. Mét sè ph¬ng ph¸p thêng ®î dïng ®Ó s¾p xÕp sè liÖu nh sau. a) Ph¬ng ph¸p liÖt kª. LiÖt kª tÊt ¶ ¸ phÇn tö ña mÉu. Ch¼ng h¹n, víi mét mÉu ì n, ta ã thÓ viÕt x1 = 2, 5; x2 = 2, 6; . . . , xn = 3, 0. Nhî ®iÓm ña ¸ h s¾p xÕp nµy lµ kh«ng m« t¶ ®î mÉu ì lín, tÝnh to¸n phø t¹p, kh«ng khoa hä . b) Ph¬ng ph¸p dïng b¶ng tÇn sè vµ b¶ng tÇn suÊt. Gi¶ sö tõ tæng thÓ ña biÕn ngÉu nhiªn gè X rót ra mét mÉu ngÉu nhiªn kÝ h thí n, trong ®ã gi¸ trÞ x1 xuÊt hiÖn víi tÇn sè n1 , gi¸ trÞ x2 xuÊt hiÖn víi tÇn sè n2 , . . . , gi¸ trÞ xk xuÊt hiÖn víi tÇn sè nk , ló ®ã sau khi ¸ xi ®· ®î s¾p xÕp theo tr×nh tù t¨ng dÇn gi¸ trÞ thÓ ña mÉu, ta ã thÓ m« t¶ mÉu thÓ b»ng b¶ng ph©n phèi tÇn sè thù nghiÖm sau. xi x1 x2 ... xi . . . xk ni n1 n2 ... ni . . . nk víi n1 + n2 + . . . + nk = n. Dßng trªn ghi ¸ gi¸ trÞ ã thÓ ã ña mÉu theo thø tù t¨ng dÇn, dßng díi ghi tÇn sè t¬ng øng. TÇn sè mÉu lµ sè ¸ thÓ ã ®Æ tÝnh X = xi trong mÉu. B¶ng tÇn sè ho ta nhiÒu th«ng tin h¬n d·y sè liÖu ®î s¾p xÕp theo thø tù t¨ng dÇn. Ngoµi nh÷ng th«ng tin ã ®î nh d·y sè liÖu s¾p xÕp theo thø tù t¨ng dÇn, qua b¶ng tÇn sè ta ã thÓ biÕt ®î sè liÖu nµo ã mÆt nhiÒu nhÊt, sè liÖu nµo ã mÆt Ýt nhÊt trong mÉu. ni Gäi fi = , (i = 1, . . . , k) lµ tÇn suÊt ña ¸ thÓ ã ®Æ tÝnh xi trong mÉu, ta ã b¶ng ph©n n phèi tÇn suÊt thù nghiÖm nh sau xi x1 x2 . . . xi . . . xk fi f1 f2 . . . fi . . . fk
víi f1 + f2 + . . . + fk = 1. Ngoµi nh÷ng th«ng tin ã ®î nh b¶ng tÇn sè mÉu, ta ßn biÕt ®î tû lÖ phÇn tr¨m ®ãng gãp ña sè liÖu mÉu. VÝ d 3.2.1. GÆt ngÉu nhiªn 100 ®iÓm trång lóa ña mét vïng, ta thu ®î ¸ sè liÖu ®î s¾p xÕp thµnh b¶ng sau: N¨ng suÊt(t¹/ha) 21 24 25 26 28 32 34 Sè ®iÓm gÆt t¬ng øng 10 20 30 15 10 10 5 B¶ng ph©n phèi tÇn suÊt thù nghiÖm: xi 21 24 25 26 28 32 34 fi 0, 1 0, 2 0, 3 0, 15 0, 1 0, 1 0, 05 Nh÷ng ph¬ng ph¸p trªn ã u ®iÓm lµ m« t¶ ®î mÉu ì lín, nhng nhî ®iÓm lµ khã m« t¶ ®î mÉu liªn t . Khi kÝ h thí mÉu lín vµ ®Æ tÝnh ®Þnh lîng ña tæng thÓ lµ mét biÕn ngÉu nhiªn liªn t th× ngêi ta thêng dïng ph¬ng ph¸p sau. ) Ph¬ng ph¸p ph©n kho¶ng. Ph©n hia sè liÖu theo líp víi ïng mét ®é réng ®Ó thuËn tiÖn ho viÖ ph©n tÝ h vµ xö lý sè liÖu. Gi¶ sö xmin lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt, xmax lµ gi¸ trÞ lín nhÊt ña sè liÖu. Chia kho¶ng (xmin , xmax ) thµnh k kho¶ng ¸ h ®Òu nhau víi ®é réng ña mçi kho¶ng lµ xmax − xmin h= , k Ngêi ta høng minh ®î r»ng sè kho¶ng ®î hän tèi u theo «ng thø : k = 1+3, 322 lg n. Ta ã b¶ng sau (gäi lµ b¶ng ghp líp) Kho¶ng x0 − x1 x1 − x2 . . . xk−1 − xk TÇn sè d÷ liÖu trong kho¶ng n1 n2 ... nk trong ®ã ni lµ sè ¸ thÓ ã ®Æ tÝnh X tháa m·n xi−1 6 X 6 xi , i = 1, 2, . . . , n ã trong mÉu. Ph¬ng ph¸p nµy ã u ®iÓm lµ m« t¶ ®î mäi d÷ liÖu, kho¶ng µng dÇy th× µng hÝnh x¸ , tÝnh to¸n trªn m¸y tÝnh thuËn lîi. VÝ d 3.2.2. TiÕn hµnh ®o ngÉu nhiªn 100 ©y b¹ h ®µn trång trong mét khu rõng t¸i sinh sau 10 n¨m, ta thu ®î ¸ sè liÖu ®î s¾p xÕp thµnh b¶ng sau: ChiÒu ao (m) 3, 5 − 4, 5 4, 5 − 5, 0 5, 0 − 5, 5 5, 5 − 6, 0 6, 0 − 6, 5 Sè ©y 10 20 30 25 15 3.2.2 Hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu Cho mÉu ngÉu nhiªn (X1 , X2 , . . . , Xn ) lÊy tõ biÕn ngÉu nhiªn X ã hµm ph©n phèi F (x); ë ®©y F (x) ha biÕt nªn ta ¨n ø vµo mÉu ®Ó t×m mét hµm sè nµo ®ã gÇn víi F (x).
§Þnh nghÜa 3.2.3. Hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu (hay hµm ph©n phèi mÉu) ña biÕn ngÉu nhiªn X , kÝ hiÖu lµ Fn (x), lµ mét hµm sè theo biÕn sè thù x vµ ®î x¸ ®Þnh nh sau: m Fn (x) = , x∈R (3.3) n trong ®ã m lµ sè phÇn tö ña mÉu ã trÞ sè nhá h¬n x (Xi < x). Víi ¸ h x©y dùng hµm Fn (x) nh trªn th× râ rµng lµ sau khi lÊy mÉu råi th× ph©n phèi nµy ®î x¸ ®Þnh hoµn toµn. Theo (3.3), Fn (x) lµ tÇn suÊt ña biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n x øng víi n php thö ®é lËp nªn viÖ ®Þnh nghÜa Fn (x) trong (3.3) t¬ng ®¬ng víi viÖ ®Þnh nghÜa luËt ph©n phèi Pn x¸ ®Þnh bëi: 1 Pn (X = Xi ) = (i = 1, 2, . . . , n). (3.4) n Nh vËy râ rµng lµ hµm ph©n phèi mÉu òng lµ hµm ph©n phèi x¸ suÊt vµ khi ì mÉu t¨ng v« h¹n th× hµm ph©n phèi thù nghiÖm Fn (x) tiÕn dÇn ®Õn hµm ph©n phèi x¸ suÊt F (x) ña tæng thÓ. Do ®ã ã thÓ dïng hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu ®Ó biÓu diÔn mét ¸ h gÇn ®óng quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt F (x) ña tæng thÓ. VÝ d 3.2.4. §iÒu tra mø ®é s©u bÖnh trªn mét ¸nh ®ång ng«, ngêi ta kiÓm tra ngÉu nhiªn 500 hè , mçi hè ã 2 ©y. KÕt qu¶ kiÓm tra nh sau Sè ©y bÞ bÖnh 0 1 2 Sè hè 242 185 73 H·y lËp hµm ph©n phèi thù nghiÖm. Gi¶i: Theo ®Þnh nghÜa ta ã hµm ph©n phèi mÉu ®î x¸ ®Þnh lµ + Víi x < 0 th× Fn (x) = 0; 242 + Víi 0 < x ≤ 1 th× Fn (x) = = 0, 484; 500 242 + 185 427 + Víi 1 ≤ x < 2 th× Fn (x) = = = 0, 854; 500 500 + Víi x ≥ 2 th× Fn (x) = 1.    0 x < 0;  0, 484 0 < x ≤ 1; VËy Fn (x) =    0, 854 1 ≤ x < 2;  1 x ≥ 2. 3.2.3 BiÓu diÔn sè liÖu b»ng biÓu ®å Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®î dïng trong thèng kª m« t¶. Sau khi thu thËp ®î sè liÖu vµo mét mÉu vµ s¾p xÕp sè liÖu thµnh b¶ng tÇn sè, b¶ng tÇn suÊt hay b¶ng ghp líp, ngêi ta biÓu diÔn ¸ sè liÖu ®ã b»ng biÓu ®å ®Ó minh häa mËt ®é ph©n bè ña ¸ hiÖn tîng ngÉu nhiªn dùa trªn ¬ së mÉu ngÉu nhiªn ®· ho. Cã nhiÒu lo¹i biÓu ®å ®Ó biÓu diÔn ¸ sè liÖu
thèng kª nh biÓu ®å h×nh trßn, h×nh ét, biÓu ®å ®êng, biÓu ®å h×nh bË thang, . . . . ViÖ sö dng lo¹i biÓu ®å nµo ®Ó biÓu diÔn sè liÖu ho thÝ h hîp ph thué vµo ®Æ tÝnh ®Æ trng mµ ta nghiªn øu (biÕn ®Þnh tÝnh hay biÕn ®Þnh lîng), ph thué vµo ph¬ng ph¸p s¾p xÕp sè liÖu vµ m ®Ý h nghiªn øu ña hñ thÓ. a) BiÓu ®å tÇn sè. NÕu sè liÖu ®î s¾p xÕp ph©n lo¹i theo tÇn sè th× ngêi ta thêng dïng ¸ lo¹i biÓu ®å sau ®Ó biÓu diÔn: - BiÓu ®å tÇn sè h×nh ét gåm nhiÒu h×nh h÷ nhËt, mçi ®Æ tÝnh øng víi mét ét h×nh h÷ nhËt, ®¸y ña ¸ ét trïng víi tr hoµnh biÓu thÞ ¸ ®Æ tÝnh t¬ng øng, tr tung biÓu thÞ tÇn sè vµ ®é ao ña mçi ét h×nh h÷ nhËt thÓ hiÖn tÇn sè ña ¸ ®Æ tÝnh. - BiÓu ®å ®êng tÇn sè hay ®a gi¸ tÇn sè lµ ®êng nèi ¸ ®iÓm (x1 , n1 ), (x2 , n2 ), . . . , (xk , nk ). VÝ d 3.2.5. §Ó nghiªn øu hÊt lîng hä tËp ña sinh viªn n¨m thø nhÊt ë mét trêng ®¹i hä , ngêi ta thèng kª ®iÓm tæng kÕt theo xÕp lo¹i A, B, C, D ña 400 sinh viªn n¨m thø nhÊt ®î hän ngÉu nhiªn tõ danh s¸ h vµ thu ®î b¶ng sè liÖu sau. §¸nh gi¸ A B C D TÇn sè 35 260 93 12 H·y vÏ biÓu ®å h×nh trßn vµ h×nh ét biÓu diÔn kÕt qu¶ hä tËp ña 400 sinh viªn trªn. Gi¶i. Ta ã thÓ tæng hîp ¸ sè liÖu trong b¶ng trªn díi d¹ng b¶ng thèng kª sau ®Ó thuËn tiÖn ho viÖ biÓu diÔn ¸ sè liÖu b»ng biÓu ®å h×nh trßn. §¸nh gi¸ TÇn sè TÇn suÊt PhÇn tr¨m Gã trßn A 35 35/400 = 0, 09 9% 0, 09 × 360 = 32, 4o B 260 260/400 = 0, 65 65% 234o C 93 93/400 = 0, 23 23% 82, 8o D 12 12/400 = 0, 03 3% 10, 8o Tæng sè 400 1, 00 100% 360o fi D A 3% 300 C 9% 260 250 32% 200 150 B 100 93 65% 50 35 12 0 A B C D xi H×nh 3.1: BiÓu ®å tÇn sè h×nh ét H×nh 3.2: BiÓu ®å h×nh trßn b) BiÓu ®å tÇn suÊt. NÕu d÷ liÖu s¾p xÕp ph©n lo¹i theo tÇn suÊt hay tû lÖ phÇn tr¨m th× ngêi ta thêng dïng ¸ lo¹i biÓu ®å sau ®Ó biÓu diÔn:
- BiÓu ®å h×nh trßn lµ biÓu ®å gåm nhiÒu h×nh qu¹t, mçi h×nh qu¹t biÓu diÔn tû lÖ phÇn tr¨m ña mçi ®Æ tÝnh so víi toµn bé ¸ ®Æ tÝnh thu ®î ë mÉu. n1 n2 - BiÓu ®å ®êng tÇn suÊt hay ®a gi¸ tÇn suÊt lµ ®êng nèi ¸ ®iÓm (x1 , ), (x2 , ), . . ., n n nk ni (xk , ). Gäi pi = P (X = xi ), theo ®Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸ suÊt th× → pi khi n → ∞, n n ®iÒu nµy nghÜa lµ khi n lín th× tung ®é ña biÓu ®å ®êng tÇn suÊt xÊp xØ tung ®é ña biÓu ®å ®êng x¸ suÊt Çn t×m. Do ®ã biÓu ®å ®êng tÇn suÊt gióp ta h×nh dung d¹ng hµm mËt ®é ña biÕn ngÉu nhiªn X. VÝ d 3.2.6. H·y vÏ ®a gi¸ tÇn suÊt ña b¶ng sè liÖu kiÓm tra kÕt qu¶ thi m«n to¸n ña 20 hä sinh: xi 1 3 5 6 8 ni 2 4 8 5 1 Gi¶i. Ta ã b¶ng tÇn suÊt xi 1 3 5 6 8 fi 0, 1 0, 2 0, 4 0, 25 0, 05 BiÓu ®å ®êng tÇn suÊt ã d¹ng nh h×nh 3.3. fi 0, 6 0, 4 0, 2 0, 1 1 3 5 6 8 xi H×nh 3.3: BiÓu ®å ®êng tÇn suÊt T¸ ®éng trù quan ña hai lo¹i biÓu ®å trªn ã sù kh¸ nhau. BiÓu ®å h×nh trßn ®î dïng ®Ó biÓu thÞ mèi quan hÖ ña mçi lo¹i ®Æ tÝnh víi toµn bé; biÓu ®å h×nh ét ®î dïng ®Ó nhÊn m¹nh sè lîng thù sù lµ tÇn sè ña mçi ®Æ tÝnh ã trong mÉu th«ng qua ®é ao ña ¸ ét. Hai lo¹i biÓu ®å nµy òng ®î dïng ®Ó m« t¶ ¸ sè liÖu ña biÕn ®Þnh lîng. NhiÒu khi ngêi ta ph¶i tËp hîp sè liÖu ña biÕn ®Þnh lîng trªn nh÷ng nhãm ®· ®î ph©n lo¹i ña tæng thÓ. Ch¼ng h¹n, ngêi ta ã thÓ nghiªn øu thu nhËp trung b×nh ña ngêi d©n theo ¸ nhãm giíi tÝnh, nghÒ nghiÖp hoÆ theo ¸ vïng ®Þa lý kh¸ nhau trong mét què gia. Trong nh÷ng trêng hîp ®ã, hóng ta ã thÓ dïng ®å thÞ h×nh trßn hoÆ h×nh ét ®Ó m« t¶ sè liÖu thu thËp ®î .
3.3 C¸ ®Æ trng ña mÉu ngÉu nhiªn 3.3.1 Hµm thèng kª §Ó nghiªn øu biÕn ngÉu nhiªn gè X trong tæng thÓ, nÕu hØ rót mét mÉu ngÉu nhiªn (X1 , X2 , . . . , Xn ) th× míi hØ ã mét vµi kÕt luËn s¬ bé vµ rêi r¹ vÒ X , v× ¸ gi¸ trÞ Xi ña mÉu ã hung quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt víi X , song quy luËt nµy l¹i ha ®î x¸ ®Þnh hoµn toµn. Nhng nÕu tæng hîp ¸ biÕn ngÉu nhiªn X1 , X2 , . . . , Xn nµy l¹i th× theo luËt sè lín hóng sÏ bé lé nh÷ng quy luËt míi lµm ¬ së ®Ó nhËn ®Þnh vÒ biÕn ngÉu nhiªn gè X trong tæng thÓ. ViÖ tæng hîp mÉu (X1 , X2 , . . . , Xn ) ®î thù hiÖn díi d¹ng mét hµm nµo ®ã ña ¸ gi¸ trÞ X1 , X2 , . . . , Xn ña mÉu ®î gäi lµ hµm thèng kª (statisti al fun tion) hay thèng kª, ký hiÖu lµ G = f (X1 , X2 , . . . , Xn ). Víi mÉu thÓ (x1 , x2 , . . . , xn ) th× g = f (x1 , x2 , . . . , xn ) lµ gi¸ trÞ thÓ mµ thèng kª G = f (X1 , X2 , . . . , Xn ) nhËn t¬ng øng víi mÉu ®· ho. Nh vËy, vÒ thù hÊt thèng kª lµ mét hµm ña ¸ biÕn ngÉu nhiªn, do ®ã nã òng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn tu©n theo mét quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt nhÊt ®Þnh vµ òng ã ¸ tham sè ®Æ trng nh kú väng, ph¬ng sai, . . . C¸ thèng kª ïng víi quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt ña hóng lµ ¬ së ®Ó suy réng ¸ th«ng tin ña mÉu ho dÊu hiÖu nghiªn øu tæng thÓ. 3.3.2 Trung b×nh mÉu Gi¶ sö tõ tæng thÓ ña biÕn ngÉu nhiªn gè X , ta lËp mét ngÉu nhiªn (X1 , X2 , . . . , Xn ) ã kÝ h thí n. §Þnh nghÜa 3.3.1. Mét thèng kª ®î gäi lµ mét trung b×nh mÉu (sample mean) nÕu nã lµ n P 1 trung b×nh sè hä ña ¸ gi¸ trÞ mÉu, kÝ hiÖu lµ X, tø lµ X ®î x¸ ®Þnh bëi X = n Xi . i=1 Chó ý 3.3.2. (i) Khi thù hiÖn mét php thö ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn, nã sÏ nhËn mét mÉu thÓ (x1 , x2 , . . . , xn ), do ®ã trung b×nh mÉu òng nhËn mét gi¸ trÞ thÓ, kÝ hiÖu lµ x. (ii) Trung b×nh mÉu lµ mét thèng kª nªn nã òng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, do ®ã nã ã ¸ tham sè ®Æ trng t¬ng øng nh k× väng to¸n, ph¬ng sai... NÕu biÕn ngÉu nhiªn gè X ã k× väng to¸n E(X) vµ ph¬ng sai V (X) th× V (X) σ(X) E(X) = E(X); V (X) = ; σ(X) = √ . (3.5) n n VËy bÊt k× biÕn ngÉu nhiªn gè ph©n phèi theo quy luËt nµo, trung b×nh mÉu X òng ã kú väng to¸n b»ng kú väng to¸n ña biÕn ngÉu nhiªn gè , ßn ph¬ng sai V (X) ña nã nhá h¬n n lÇn so víi ph¬ng sai ña biÕn ngÉu nhiªn gè , nghÜa lµ ¸ gi¸ trÞ ã thÓ ã ña X æn ®Þnh quanh k× väng to¸n h¬n ¸ gi¸ trÞ ã thÓ ã ña X.
3.3.3 Ph¬ng sai mÉu §Þnh nghÜa 3.3.3. Ph¬ng sai mÉu (sample varian e), kÝ hiÖu lµ S 2 , lµ mét thèng kª x¸ ®Þnh bëi n n 2 1X 2 1X 2 S = X −( Xi ) = X 2 − (X)2 . n i=1 i n i=1 Chó ý 3.3.4. (i) Hoµn toµn t¬ng tù nh trung b×nh mÉu, khi ho mét mÉu thÓ th× ph¬ng sai mÉu sÏ nhËn mét gi¸ trÞ thÓ, kÝ hiÖu lµ s2 . (ii) Ph¬ng sai mÉu òng lµ mét thèng kª nªn nã òng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ã ¸ tham sè ®Æ trng x¸ ®Þnh. NÕu biÕn ngÉu nhiªn gè X ã k× väng to¸n E(X) vµ ph¬ng sai V (X) th× n−1 E(S 2 ) = V (X). (3.6) n 3.3.4 Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu §Þnh nghÜa 3.3.5. ′ Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu (sample standard varian e), kÝ hiÖu lµ S 2 , lµ mét thèng kª x¸ ®Þnh bëi n ′ 1 X n S2= (Xi − X)2 = S2 n − 1 i=1 n−1 Chó ý 3.3.6. ′ (i) Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu S 2 lµ mét thèng kª, khi ã mÉu thÓ th× ph¬ng ′ sai ®iÒu hØnh mÉu òng lµ mét sè x¸ ®Þnh, kÝ hiÖu s 2. ′ (ii) Còng gièng nh ph¬ng sai mÉu S 2 , ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu S 2 òng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn vµ nã ã tÝnh hÊt sau: ′ E(S 2 ) = V (X) (3.7) Tõ (3.6) vµ (3.7) ta thÊy víi bÊt k× biÕn ngÉu nhiªn gè X ph©n phèi theo quy luËt nµo th× 2 n−1 ph¬ng sai mÉu S òng ã k× väng to¸n b»ng lÇn ph¬ng sai ña biÕn ngÉu nhiªn gè ′ n X, vµ ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu S 2 ã k× väng to¸n ®óng b»ng ph¬ng sai ña biÕn ngÉu nhiªn gè X. 3.3.5 §é lÖ h tiªu huÈn mÉu vµ ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu §Þnh nghÜa 3.3.7. §é lÖ h tiªu huÈn mÉu (sample error) vµ ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh √ mÉu (sample standard error) lÇn lît ®î kÝ hiÖu lµ S vµ S ′ , ®î tÝnh bëi S = S 2 vµ √ S′ = S ′2. Khi ã mÉu thÓ th× ®é lÖ h tiªu huÈn mÉu vµ ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu òng lµ ¸ gi¸ trÞ x¸ ®Þnh, kÝ hiÖu s, s′ .
3.3.6 Sai sè tiªu huÈn NÕu ta hän mÉu m lÇn, mçi lÇn n phÇn tö th× ta sÏ ã m trung b×nh mÉu X . §iÒu nµy dÉn tíi kh¸i niÖm sau: §Þnh nghÜa 3.3.8. Sai sè tiªu huÈn (standard error), ký hiÖu lµ SE, lµ ®é lÖ h huÈn ña m trung b×nh mÉu vµ ®î x¸ ®Þnh bëi σ(X) SE = σ(X) = √ . n S′ Chó ý 3.3.9. (i) Trong trêng hîp nÕu ha biÕt ®é lÖ h huÈn ña tæng thÓ th× SE = √ . n (ii) Sai sè tiªu huÈn ph¶n ¸nh ®é dao ®éng hay biÕn thiªn ña ¸ sè trung b×nh mÉu. C¸ tham sè ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu vµ sai sè tiªu huÈn ®ãng vai trß quan träng trong ¸ bµi to¸n vÒ í lîng kho¶ng tin Ëy vµ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt x¸ suÊt (sÏ ®Ò Ëp ®Õn ë Ch¬ng 4 vµ Ch¬ng 5 ña uèn gi¸o tr×nh nµy). 3.3.7 C¸ h tÝnh ¸ ®Æ trng mÉu Qua néi dung trªn b¹n ®ä dÔ nhËn thÊy khi ã mÉu thÓ ta sÏ tÝnh ®î trung b×nh mÉu, ph¬ng sai mÉu lµ ¸ gi¸ trÞ thÓ. TÝnh ®î trung b×nh mÉu, ph¬ng sai mÉu ta sÏ tÝnh ®î ¸ ®Æ trng ßn l¹i nh ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu, ®é lÖ h tiªu huÈn mÉu vµ ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu b»ng ¸ h sö dng ¸ ®Þnh nghÜa ña hóng. Do vËy ë ®©y ta quan t©m ®Õn ¸ h tÝnh hai ®Æ trng mÉu lµ trung b×nh mÉu vµ ph¬ng sai mÉu. - NÕu mÉu thÓ ®î ho ë d¹ng liÖt kª th× víi mÉu kÝ h thí n ta ã n n 1X 1X 2 x= xi , x2 = x (3.8) n i=1 n i=1 i n n !2 1X 2 1X s2 = x2 − (x)2 = x − xi (3.9) n i=1 i n i=1 - NÕu mÉu thÓ ®î ho ë d¹ng b¶ng tÇn sè th× k k k 1X 1X X x= ni xi , x2 = ni x2i ; víi ni = n. (3.10) n i=1 n i=1 i=1 k k !2 1X 1X s2 = x2 − (x)2 = ni x2i − ni xi (3.11) n i=1 n i=1 Dùa vµo ¸ «ng thø trªn, ®Ó tÝnh to¸n ¸ ®Æ trng mÉu b»ng ph¬ng ph¸p thñ «ng ta ã thÓ lËp b¶ng tÝnh nh sau:
ni xi ni xi ni x2i n1 x1 n1 x1 n1 x21 ... ... ... ... P P k P Pk P Pk 1 = ni 2 = ni xi 3 = ni x2i i=1 i=1 i=1 P P Nh×n vµo b¶ng vµ dùa vµo «ng thø (3.10) ta ã: x = P , x = P3 , sau ®ã thay vµo «ng 2 2 1 1 thø (3.11) ta tÝnh ®î s2 . VÝ d 3.3.10. Mø t¨ng gi¸ nhµ ña 30 th¸ng qua ho ë b¶ng sau: Mø t¨ng gi¸ xi 2 4 6 8 10 Sè th¸ng ni 2 5 12 7 4 H·y tÝnh ¸ ®Æ trng mÉu x, s2 , s, s′2 , s′ . Gi¶i: Ta lËp b¶ng tÝnh sau ®©y: ni xi ni xi ni x2i 2 2 4 8 5 4 20 80 12 6 72 432 7 8 56 448 P 4 10 P 40 P 400 1 = 30 2 = 192 3 = 1368 192 1368 x= = 6, 4; x2 = = 45, 6; 30 √30 s2 = x2 − (x)2 = 45, 6 − 6, 42 = 4, 64; s = s2 = 2, 1541; n 2 30 √ s′2 = s = .4, 64 = 4, 8; s′ = s′2 = 2, 19. n−1 29 - NÕu mÉu thÓ ®î ho ë d¹ng b¶ng tÇn sè mµ ã ¸ gi¸ trÞ xi ¸ h ®Òu nhau mét kho¶ng h th× ®Ó lµm gi¶m ®é phø t¹p ña sè liÖu tÝnh to¸n ta dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. xi − x0 §Æt ui = , trong ®ã x0 ã thÓ hän lµ mét gi¸ trÞ xi bÊt k× nhng víi m ®Ý h lµm h gi¶m sè liÖu tÝnh to¸n ngêi ta thêng hän lµ gi¸ trÞ mµ t¹i ®ã tÇn sè ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Khi ®ã x = x0 + hu; s2x = h2 s2u = h2 (u2 − (u)2 ) (3.12) trong ®ã k k k 1X 1X X u= ni ui ; u2 = ni u2i , víi ni = n. (3.13) n i=1 n i=1 i=1 Ta ã thÓ lËp b¶ng tÝnh nh sau
ni xi ui ni ui ni u2i n1 x1 u1 n1 u1 n1 u21 ... ... ... ... ... P P k P P k P Pk 1 = ni 2 = ni ui 3 = ni u2i i=1 i=1 i=1 P P Dùa vµo b¶ng tÝnh vµ «ng thø (3.13) ta tÝnh ®î : u = P ; u = P3 vµ thay vµo «ng 2 2 1 1 thø (3.12) ta thu ®î x; s2x . Chó ý 3.3.11. (i) Trong trêng hîp ¸ xi ¸ h ®Òu nhau mét kho¶ng h, ®æi biÕn sè hØ ã ý nghÜa lµm gi¶m ®é phø t¹p tÝnh to¸n nªn nÕu kh«ng ®æi biÕn ta vÉn tÝnh b×nh thêng nh trêng hîp b). (ii) NÕu mÉu ho díi d¹ng b¶ng ghp líp (ph¬ng ph¸p ph©n kho¶ng), ta hän mçi líp mét gi¸ trÞ ®¹i diÖn, th«ng thêng lµ gi¸ trÞ hÝnh gi÷a líp, khi ®ã ta thu ®î b¶ng tÇn sè vµ tÝnh ®î ¸ ®Æ trng mÉu nh ¸ h tÝnh ë trªn. VÝ d 3.3.12. §iÒu tra Glu oza trong m¸u ë 100 ngêi ta thu ®î kÕt qu¶ sau (mg %): xi 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 ni 1 0 2 5 8 16 18 17 16 9 5 2 1 H·y tÝnh ¸ ®Æ trng mÉu x, s2 , s, s′2, s′ . Gi¶i: Chän xi lµ ®iÓm gi÷a ë mçi líp, dÔ thÊy ¸ xi ¸ h ®Òu nhau mét kho¶ng h = 5, ®Æt xi − 97, 5 ui = . Ta ã b¶ng tÝnh sau 5 Kho¶ng Glu oza xi ni ui ni ui ni u2i 65 − 70 67, 5 1 −6 −6 36 70 − 75 72, 5 0 −5 0 0 75 − 80 77, 5 2 −4 −8 32 80 − 85 82, 5 5 −3 −15 45 85 − 90 87, 5 8 −2 −16 32 90 − 95 92, 5 16 −1 −16 16 95 − 100 97, 5 18 0 0 0 100 − 105 102, 5 17 1 17 17 105 − 110 107, 5 16 2 32 64 110 − 115 112, 5 9 3 27 81 115 − 120 117, 5 5 4 20 80 120 − 125 122, 5 2 5 10 50 125 − 130 127, 5 P 1 6 P 6 P 36 1 = 100 2 = 51 3 = 489
51 489 u= = 0, 51; u2 = = 4, 89; 100 100 x = x0 + hu = 97, 5 + 5.(0, 51) ≈ 100, 05 s2u = u2 − (u)2 = 4, 89 − 0, 512 ≈ 4, 63; p s2x = h2 s2u = 52 .(4, 63) = 115, 75; s = s2x = 10, 76; n 2 100 √ s′2 = s = · (115, 75) = 116, 92; s′ = s′2 = 10, 81. n−1 99 3.3.8 TÇn suÊt mÉu Gi¶ sö tõ tæng thÓ kÝ h thí N trong ®ã ã M phÇn tö mang dÊu hiÖu nghiªn øu, lÊy ra mét mÉu ngÉu nhiªn kÝ h thí n vµ trong ®ã thÊy ã m phÇn tö mang dÊu hiÖu nghiªn øu. m §Þnh nghÜa 3.3.13. TÇn suÊt mÉu (sample relative frequen y), ký hiÖu lµ f = , lµ tû sè gi÷a n sè phÇn tö mang dÊu hiÖu nghiªn øu trong mét mÉu vµ kÝ h thí mÉu. VÝ d 3.3.14. KiÓm tra ngÉu nhiªn 400 s¶n phÈm do mét m¸y s¶n xuÊt ra thÊy ã 20 s¶n phÈm lµ phÕ phÈm. TÝnh tÇn suÊt xuÊt hiÖn phÕ phÈm trong mÉu ®î lÊy ra. 20 Gi¶i. Ta ã tÇn suÊt xuÊt hiÖn phÕ phÈm trong mÉu lÊy ra lµ f = = 0, 05. 400 Bµi tËp h¬ng 3 1. §iÒu tra n¨ng suÊt lóa X (t¹/ha) trªn 10 thöa ruéng ta thu ®î b¶ng sè liÖu sau: Thöa sè 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 45, 5 46 47 45, 5 47, 5 46 48 48 44 49, 5 (a) LËp b¶ng tÇn sè vµ tÇn suÊt mÉu. (b) LËp hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu. ( ) X©y dùng ®a gi¸ tÇn sè vµ ®a gi¸ tÇn suÊt ña mÉu. 2. Träng lîng X (kg) ña 12 on lîn khi xuÊt huång lµ: 108; 112; 108; 120; 112; 114; 115; 112; 115; 118; 116; 110 (a) LËp b¶ng tÇn sè ña mÉu. (b) TÝnh ¸ ®Æ trng mÉu: x; s2 ; s; s′2; s′ . 3. Träng lîng X (kg) ña 20 on lîn xuÊt huång ho bëi b¶ng sau: X 85 95 105 115 125 135 94 104 114 124 134 144 ni 10 30 45 80 30 5
(a) TÝnh trung b×nh mÉu vµ ph¬ng sai mÉu. (b) VÏ ®a gi¸ tÇn sè 4. §o hiÒu ao X ( m) ña 100 thanh niªn tõ 18 tuæi ®Õn 22 tuæi ë tØnh A ta thu ®î b¶ng sè liÖu sau: X 154 158 162 166 170 174 178 158 162 166 170 174 178 182 ni 10 14 26 28 12 8 2 (a) LËp biÓu ®å tÇn sè h×nh ét vµ ®a gi¸ tÇn sè. (b) TÝnh trung b×nh mÉu vµ ph¬ng sai mÉu theo ¸ gi¸ trÞ ®¹i diÖn. 5. §o ®é dµi ña 30 hi tiÕt hän ngÉu nhiªn tõ mét lo¹i s¶n phÈm ta thu ®î b¶ng sè liÖu sau ®©y: X 39 40 41 42 43 44 ni 4 5 9 7 4 1 (a) X¸ ®Þnh hµm ph©n phèi thù nghiÖm øng víi mÉu trªn; (b) X¸ ®Þnh biÓu ®å ®êng tÇn suÊt; ( ) TÝnh trung b×nh mÉu, ph¬ng sai mÉu. 6. §o ®é lÖ h ña kÝ h thí s¶n phÈm so víi huÈn ta thu ®î b¶ng sè liÖu sau ®©y: X 0, 02 0, 04 0, 06 0, 08 0, 10 0, 12 0, 14 0, 16 0, 04 0, 06 0, 08 0, 10 0, 12 0, 14 0, 16 0, 18 ni 8 13 14 13 19 8 12 13 (a) H·y lËp b¶ng tÇn suÊt mÉu; 7. Cho b¶ng tÇn suÊt mÉu: X 1 2 3 4 fi 0, 4 0, 1 0, 3 0, 2 T×m hµm ph©n phèi thù nghiÖm vµ vÏ ®å thÞ ña nã. 8. §iÒu tra doanh sè X hµng th¸ng ña 100 hé kinh doanh mét ngµnh nµo ®ã ta thu ®î sè liÖu sau: X (triÖu ®ång) 10, 1 10, 2 10, 4 10, 5 10, 7 10, 8 10, 9 11 11, 3 11, 4 Sè hé ni 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1
(a) X©y dùng ®a gi¸ tÇn suÊt; (b) TÝnh x, s2 , s′2 , s, s′ . 9. §iÒu tra 365 ®iÓm trång lóa ña mét huyÖn ta thu ®î sè liÖu sau: N¨ng suÊtX (t¹/ha) 25 30 33 34 35 36 37 39 40 Sè ®iÓm trång lóa ni 6 13 38 74 106 85 30 10 3 (a) X©y dùng ®a gi¸ tÇn suÊt; (b) TÝnh n¨ng suÊt lóa trung b×nh vµ ®é ph©n t¸n ña n¨ng suÊt lóa ña 365 ®iÓm nãi trªn.
Ch¬ng 4 í lîng tham sè í lîng tham sè lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n ¬ b¶n ña thèng kª to¸n hä . Khi nghiªn øu mét dÊu hiÖu ®Æ trng díi d¹ng ¸ ®Æ tÝnh ®Þnh lîng ( h¼ng h¹n nh hiÒu ao, ©n nÆng, ®é dµi, . . . ) ña tæng thÓ th«ng qua biÕn ngÉu nhiªn gè X , nÕu x¸ ®Þnh ®î quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt ña X th× viÖ ®a ra ¸ ®¸nh gi¸ òng nh ¸ dù b¸o vÒ sù biÕn ®éng ña tæng thÓ liªn quan ®Õn ®Æ tÝnh nµy sÏ hÝnh x¸ vµ kh¸ h quan. Tuy nhiªn kh«ng ph¶i ló nµo hóng ta òng x¸ ®Þnh ®î quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt ña X . Trong mét sè trêng hîp, b»ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝ h lý thuyÕt ta ã thÓ biÕt ®î d¹ng to¸n hä ña hµm ph©n phèi hoÆ hµm mËt ®é ña biÕn ®Þnh lîng X . Tuy nhiªn ¸ tham sè ®Æ trng ña nã nh kú väng, ph¬ng sai, . . . mµ ta gäi hung lµ tham sè lý thuyÕt θ l¹i ha biÕt nªn ta Çn ph¶i x¸ ®Þnh θ . ViÖ tÝnh hÝnh x¸ θ lµ khã ã thÓ thù hiÖn ®î mµ ta hØ ã thÓ tÝnh gÇn ®óng th«ng qua mÉu thù nghiÖm ®· ã gäi lµ í lîng tham sè (estimate for parameters) θ . Cã hai ph¬ng ph¸p thêng ®î sö dng lµ ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm vµ ph¬ng ph¸p í lîng b»ng kho¶ng tin Ëy. 4.1 Ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm Ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm (point estimation) hñ tr¬ng dïng mét gi¸ trÞ ®Ó thay thÕ ho tham sè θ ha biÕt vÒ tæng thÓ, v× b¶n th©n θ lµ mét sè x¸ ®Þnh. Th«ng thêng gi¸ trÞ ®î hän lµ mét thèng kª G nµo ®ã ña mÉu ngÉu nhiªn. Cã nhiÒu ¸ h hän thèng kª G kh¸ nhau t¹o nªn nh÷ng ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm kh¸ nhau. 4.1.1 Ph¬ng ph¸p hµm í lîng (ph¬ng ph¸p m« men) Gi¶ sö Çn í lîng tham sè θ ña biÕn ngÉu nhiªn gè X . §èi víi ph¬ng ph¸p hµm í lîng ta ã thÓ tiÕn hµnh theo ¸ bí nh sau: Bí 1. Tõ tæng thÓ lËp mÉu ngÉu nhiªn kÝ h thí n: W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Bí 2. LËp thèng kª G = f (X1 , X2 , . . . , Xn ) ®î gäi lµ hµm í lîng ña θ . Th«ng thêng 87
hän thèng kª mÉu t¬ng øng víi tham sè θ Çn í lîng, h¼ng h¹n, ®Ó í lîng k× väng to¸n a ña biÕn ngÉu nhiªn gè th× ngêi ta thêng hän thèng kª lµ trung b×nh mÉu X , ®Ó í lîng ph¬ng sai σ 2 th× ta hän thèng kª lµ ph¬ng sai mÉu S 2 . Bí 3. LËp mÉu thÓ vµ tÝnh ®î gi¸ trÞ g = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ña thèng kª G trªn mÉu thÓ ®ã. Tõ ®ã suy ra í lîng ña θ lµ gi¸ trÞ g võa tÝnh ®î . ChÊt lîng ña í lîng kh«ng thÓ ®¸nh gi¸ qua mét gi¸ trÞ thÓ ña G v× nh vËy hØ ã ¸ h so s¸nh trù tiÕp g vµ θ mµ θ l¹i ha biÕt. Do ®ã hØ ã thÓ ®¸nh gi¸ hÊt lîng ña í lîng th«ng qua b¶n th©n thèng kª G = f (X1 , X2 , . . . , Xn ). Râ rµng lµ ã v« sè ¸ h hän hµm f , tø lµ ã v« sè thèng kª G ã thÓ dïng lµm í lîng ña θ nªn Çn ®a ra mét tiªu huÈn ®Ó ®¸nh gi¸ hÊt lîng thèng kª G, tõ ®ã lùa hän ®î thèng kª "xÊp xØ mét ¸ h tèt nhÊt" tham sè í lîng. Cã 3 tiªu huÈn ¬ b¶n ®Ó hän thèng kª nh sau: a) í lîng kh«ng hÖnh: Gi¶ sö thèng kª G lµ í lîng ña tham sè θ ña biÕn ngÉu nhiªn gè . Víi k mÉu thÓ rót ra tõ tæng thÓ, thèng kª G sÏ nhËn k gi¸ trÞ thÓ t¬ng øng lµ g1 , g2, . . . , gk . NÕu thèng kª G lµ mét í lîng ã d ña θ th× ¸ gi¸ trÞ g1 , g2, . . . , gk òng sÏ lín h¬n θ , do ®ã E(G) > θ. Ngî l¹i, nÕu thèng kª G lµ mét í lîng thiÕu ña θ th× mäi gi¸ trÞ g1 , g2 , . . . , gk òng sÏ nhá h¬n θ nªn E(G) < θ. Nh vËy, viÖ sö dng mét thèng kª mµ kú väng to¸n ña nã kh¸ víi tham sè Çn í lîng ã thÓ dÉn ®Õn sai sè hÖ thèng (tÊt ¶ ¸ gi¸ trÞ ña G ®Òu lín h¬n hoÆ nhá h¬n θ). §Ó lo¹i trõ sai sè nµy hiÓn nhiªn lµ Çn yªu Çu E(G) = θ. DÜ nhiªn yªu Çu trªn kh«ng lo¹i trõ ®î hoµn toµn ¸ sai sè, song nh vËy ¸ sai sè kh¸ dÊu sÏ xuÊt hiÖn t¬ng ®èi ®Òu nhau, do ®ã ¸ gi¸ trÞ ña G sÏ kh«ng bÞ lÖ h h¼n vÒ mét phÝa so víi θ . §Þnh nghÜa 4.1.1. Thèng kª G ña mÉu ®î gäi lµ í lîng kh«ng hÖ h ña tham sè θ ña biÕn ngÉu nhiªn gè X nÕu E(G) = θ. Ngî l¹i, nÕu E(G) 6= θ th× G ®î gäi lµ í lîng hÖ h ña θ . Chó ý 4.1.2. (i) G lµ í lîng kh«ng hÖ h ña tham sè θ kh«ng ã nghÜa lµ mäi gi¸ trÞ ña G ®Òu trïng khÝt víi θ mµ hØ ã nghÜa lµ trung b×nh ¸ gi¸ trÞ ña thèng kª G b»ng θ. Tõng gi¸ trÞ ña G ã thÓ sai lÖ h rÊt lín so víi θ. (ii) Trung b×nh mÉu X lµ í lîng kh«ng hÖ h ña kú väng ña biÕn ngÉu nhiªn gè , nghÜa lµ E(X) = E(X). (iii) TÇn suÊt mÉu f lµ í lîng kh«ng hÖ h ña x¸ suÊt P ña biÕn ngÉu nhiªn gè , nghÜa lµ E(f ) = P . (iv) Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu S ′2 lµ í lîng kh«ng hÖ h ña ph¬ng sai V (X) ña biÕn ngÉu nhiªn gè , tø lµ E(S ′2 ) = V (X). VÝ d 4.1.3. Gi¶ sö mét l« hµng ña mét nhµ m¸y ®· ®î ®ãng thïng, mçi thïng 50 s¶n phÈm. KiÓm tra ngÉu nhiªn 50 thïng ta thu ®î kÕt qu¶ nh sau:
Sè phÕ phÈm trong thïng k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sè thïng ã k phÕ phÈm 0 2 3 7 20 6 4 7 2 1 1 (i) H·y í lîng ho sè phÕ phÈm trung b×nh trong mçi thïng. (ii) H·y í lîng ho tû lÖ phÕ phÈm ña l« hµng ®ã. (iii) T×m í lîng kh«ng hÖ h ho ph¬ng sai ña sè phÕ phÈm ë mçi thïng. Gi¶i. (i) Gäi X lµ sè phÕ phÈm ë mçi thïng. §©y lµ bµi to¸n í lîng ®iÓm ho kú väng ña tæng thÓ. ni xi ni xi ni x2i 0 0 0 0 2 1 2 2 3 2 6 12 7 3 21 63 20 4 80 320 6 5 30 150 4 6 24 144 7 7 49 343 2 8 16 128 1 9 9 81 P1 10 10 100 50 247 1343 Nh×n vµo b¶ng trªn ta thÊy: 247 x= = 4, 94. 50 VËy sè phÕ phÈm trung b×nh ë mçi thïng hµng lµ kho¶ng 5 s¶n phÈm. (ii) §©y lµ bµi to¸n í lîng tû lÖ ña mét tæng thÓ. Tæng sè s¶n phÈm Çn ®iÒu tra lµ n = 50 × 50 = 2500. Sè phÕ phÈm ph¸t hiÖn lµ 247. Do ®ã, tû lÖ phÕ phÈm trong mÉu lµ 247 f= = 0, 0908. 2500 VËy tû lÖ phÕ phÈm ña l« hµng lµ vµo kho¶ng 9, 88%. (iii) í lîng kh«ng hÖ h ho ph¬ng sai ña sè phÕ phÈm ë mçi thïng hÝnh lµ ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu S ′2 . Ta ã: 1343 ′ 50 s2 = − (4, 94)2 = 2, 4564 ⇒ s 2 = × 2, 4564 = 2, 507. 50 49 VËy ph¬ng sai ña sè s¶n phÈm háng gi÷a ¸ thïng lµ vµo kho¶ng 2, 507. b) í lîng hiÖu qu¶: Nh ®· ph©n tÝ h ë trªn, dï G lµ í lîng kh«ng hÖ h ña θ th× tõng gi¸ trÞ thÓ ña G vÉn ã thÓ sai lÖ h rÊt lín so víi θ, tø lµ ph¬ng sai V (G) vÉn ã thÓ rÊt lín. Ló ®ã, nÕu lÊy mét gi¸ trÞ ña G t×m ®î trªn mét mÉu thÓ, h¼ng h¹n g1 ®Ó í lîng θ , th× ã thÓ m¾ sai sè rÊt lín. Cßn nÕu nh ®ßi hái ph¬ng sai ña G ph¶i nhá th× ã thÓ lo¹i trõ sai sè nµy trong í lîng.