Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực
11.1
Chương 11. TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân bằng tĩnh học.
⇒ Hệ siêu tĩnh (HST) là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân
bằng tĩnh học. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có các liên kết thừa. Bậc
siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa. Số liên kết thừa của một
hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định)
hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)
So với hệ tĩnh định, HST có những đặc điểm sau:
• Nội lực trong HST phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn
so với HTĐ có cùng kích thước và tải trọng.
• HST có nhược điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay
đổi, khi có độ lún ở các gối tựa, gia công lắp ghép không chính xác.
• Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vẫn không bị phá loại, vì
khi đó hệ vẫn bết biến hình học.
Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2.
Hình 11.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1. Hình 11.1c:
hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6. Hình 11.1d: hệ
thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3.
Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba. Vì muốn nối phần (A) và
(B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn
bằng mối hàn cứng (hình 11.1g,h).
⇒ Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước. Bởi vì để đảm bảo cho hệ
bất biến hình thì chúng là thừa, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết
cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định. Sau
đây ta giải HST bằng phương pháp lực.
a)
e)
b) c) d)
f) g) h)
(A) (B) (A)
(
B
)
Hình 11.1
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực
11.2
II. GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
1. Hệ cơ bản của HST
⇒ là một HTĐ có được từ HST đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa.
HST có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 11.2).
Cần chú ý rằng:
⇒ Sau khi bỏ các liên
kết thừa, hệ phải đảm bảo
tính bất biến hình của nó.
⇒ Chỉ được phép giảm
bớt các liên kết đơn chứ
không được phép thêm
liên kết đơn vào một mặt
cắt bất kỳ.
Ví dụ: hệ trên hình 11.3b, c không phải là hệ cơ bản của hệ trên hình
11.3a, vì nó sẽ biến hình.
2. HTĐ tương đương
⇒ HTĐ tương đương với HST đã cho khi biến dạng và chuyển vị của
chúng hoàn toàn giống nhau.
⇒ HTĐ tương đương là hệ cơ bản chọn của HST: các liên kết thừa biểu
diễn phản lực liên kết (hình 11.4). Phản lực liên kết được xác định với điều
kiện biến dạng và chuyển vị của HTĐ hoàn toàn giống như HST đã cho.
Hình 11.4
3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
⇒ Với mỗi phản lực liên kết Xi ta có một điều kiện chuyển vị:
l
q
l
H
ình 11.2
(a) (b) (c)
a) b) c)
l
l
Hình 11.3
(a) (b) (c)
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực
11.3
Gọi Δi là chuyển vị của điểm đặt của Xi theo phương của Xi đó, gây ra do
tải trọng Pi và tất cả các Xj (j = 1, 2, …, n), với n là bậc siêu tĩnh ta có:
Δi = ± δi (i = 1, 2, …, n) (11.1)
Ở đây δi là chuyển vị tại điểm đặt của Xi và theo phương Xi đó do tải trọng
đã cho gây ra trong HST, dấu (+) lấy khi chiều chuyển vị của δi cùng chiều
với chiều của lực Xi và lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị của δi ngược chiều với
chiều của lực Xi. Trong các trường hợp thường gặp như gối cố định, di động,
ngàm thì ta có δi = 0. Tuy nhiên có những trường hợp δi ≠ 0, chẳng hạn gối
tựa đàn hồi.
⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương
trình chính tắc xác định các phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, .., n):
1111122 1nn 1p
2211222 2nn2p
nn11n22 nnnnp
XX...X 0
X X ... X 0
.............................................................
X X ... X 0
Δ=δ +δ + +δ +Δ = ⎫
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =
⎪
⎬
⎪
⎪
Δ=δ +δ + +δ +Δ =⎭
(11.2)
trong đó: Δip là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên.
δik là chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo
phương k gây nên.
⇒ Ta có thể tính được Δip và δik theo công thức Mo sau:
== =
δ= + + +
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i
ll l
nn n
zi zk xi xk zi zk
ik
i1 i1 i1
xp
00 0
NN MM MM
dz dz ... dz
EF EJ GJ
== =
Δ= + + +
∑∑ ∑
∫∫ ∫
ii i
ll l
nn n
zi zp xi xp zi zp
ip
i1 i1 i1
xp
00 0
NN MM MM
dz dz ... dz
EF EJ GJ
⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của kéo-nén và xoắn so với uốn, thì Δip và δik
tính theo công thức Mo sau (bỏ qua chỉ số x, y trong công thức):
i
l
n
ik
ik
i10
MM dz
EJ
=
δ=
∑∫ ;
i
l
nip
ip
i10
MM dz
EJ
=
Δ=
∑∫ (11.3)
⇒ Sau khi xác định được các phản lực liên kết Xi, đặt các phản lực liên kết
Xi cùng với tải trọng lên hệ cơ bản ⇒ một HTĐ tương đương.
⇒ Giải HST bằng phương pháp lực ta có các bước sau:
Bước 1. Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản
Bước 2. Xác định HTĐ tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản
lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi.
Bước 3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực
11.4
Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực của khung như hình vẽ 11.5a
Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ cơ bản được chọn như hình 11.5b.
HTĐ tương đương như trên hình 11.5c. Phương trình chính tắc có dạng:
11 1 12 2 1p
21 1 22 2 2p
XX 0
XX 0
δ+δ+Δ=
⎫
⎪
⎬
δ+δ+Δ=
⎪
⎭
Biểu đồ mômen uốn do tải trọng (Mp) như hình 11.5d.
Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có:
3
n11
11 xx x
i1
0
MM 11 2 4a
dz .a.a. a a.a.a
EJ EJ 2 3 3EJ
=
⎛⎞
δ= = + =
⎜⎟
⎝⎠
∑∫
i
l
3
n12
12 xx x
i1
0
MM 11 a
dz .a.a.a
EJ EJ 2 2EJ
=
⎛⎞
δ= = − =−
⎜⎟
⎝⎠
∑∫
i
l
3
n22
22 xx x
i1
0
MM 11 2 a
dz .a.a. a
EJ EJ 2 3 3EJ
=
⎛⎞
δ= = =
⎜⎟
⎝⎠
∑∫
i
l
22 4
np1
1p xx x
i1
0
MM 11 a3 a 5qa
dz .aq. . a q. .a.a
EJ EJ 3 2 4 2 8EJ
=
⎛⎞
Δ= = + =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∫
i
l
24
np2
2p xx x
i1
0
MM 11a qa
dz .aq. .a
EJ EJ 2 2 4EJ
=
⎛⎞
Δ= = − =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∫
i
l
Hình 11.5
X2
X1
(c)
X2=1
2
M
(f)
a
C
B
A
a
a
(a)
q
(e)
X1=1
1
M
a
C
B
A
MP
q
a2/2
(d)
(b)
Hệ cơ bản
Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực
11.5
Thay vào phương trình chính tắc, ta cã:
⎧⎧
−+= =−⎪⎪
⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
=
−+−=
⎪
⎪⎩
⎩
33 4
12 1
xxx
33 4
2
12
xx x
3a 1a 5qa 3
XX 0
X
q
a
4EJ 2EJ 8EJ 7
3
1a 1a 1qa X
q
a
XX 0 28
2EJ 3EJ 4EJ
Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt các lực X1, X2 vào hệ cơ bản với lực X1 có
chiều ngược lại vì kết quả mang dấu âm. Biểu đồ M, N, Q như hình 11.6.
Hình 11.6
III. TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG
1. Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng là hệ khi có ít nhất một trục đối xứng.
⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là
ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và
vuông góc với mặt phẳng của hệ.
⇒ Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược
lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng.
Hình (11.7a,b,c) - HST
đối xứng, hệ chịu tải trọng
đối xứng, hệ chịu tải trọng
phản đối xứng.
2. Tính chất (mệnh đề)
⇒ Tương tự, nội lực
cũng có tính chất đối xứng
hoặc phản đối xứng.
⇒ Trong mặt phẳng: Nz , Mx có tính
đối xứng, Qy có tính phản đối xứng
⇒ Trong không gian: Nz, Mx, My là đối
xứng, Qx, Qy và Mz phản đối xứng.
a) b) c)
Hình 11.7
Mx
Mx
Qy
Qy
Hình 11.8