Giáo trình xác xuất thống kê - Th.s Lê Đức Vĩnh

Chia sẻ: Nguyen Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:156

Thêm vào BST

Báo xấu

301
lượt xem 113
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những kiến thức về giải tích tổ hợp sinh viên đã được học trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên để giúp người học dễ dàng tiếp thu kiến thức của những chương kế tiếp chúng giới thiệu lại một cách có hệ thống những kiến thức này

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình xác xuất thống kê - Th.s Lê Đức Vĩnh

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O TRƯ NG ð I H C NÔNG NGHI P I ********************** Ths.LÊ ð C VĨNH GIÁO TRÌNH XÁC SU T TH NG KÊ HÀ N I - 2006
Chương 1 : Phép th . S ki n Nh ng ki n th c v gi i tích t h p sinh viên ñã ñư c h c trong chương trình ph thông. Tuy nhiên ñ giúp ngư i h c d dàng ti p thu ki n th c c a nh ng chương k ti p chúng tôi gi i thi u l i m t cách có h th ng nh ng ki n th c này. Phép th ng u nhiên và s ki n ng u nhiên là bư c kh i ñ u ñ ngư i h c làm quen v i môn h c Xác su t. Trong chương này chúng tôi trình bày nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên, các phép toán v các s ki n ng u nhiên, h ñ y ñ các s ki n ñ ng th i ch ra cách phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h ñ y ñ . Nh ng ki n th c này là c n thi t ñ ngư i h c có th ti p thu t t nh ng chương ti p theo. I. Gi i tích t h p 1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi ñ hoàn thành m t công vi c, ngư i ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n Hành ñ ng th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n . . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . . Hành ñ ng th k: có 1 trong nk cách th c hi n G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có: n = n1n2..nk Qui t c trên g i là qui t c nhân. Ví d : ð ñi t thành ph A t i thành ph C ph i qua thành ph B. Có m t trong b n phương ti n ñ ñi t A t i B là: ñư ng b , ñư ng s t, ñư ng không và ñư ng thu . Có m t trong hai phương ti n ñ ñi t B t i C là ñư ng b và ñư ng thu . H i có bao nhiêu cách ñi t A t i C? ð th c hi n vi c ñi t A t i C ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p hai hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n phương ti n ñi t A t i C có n1= 4 cách Hành ñ ng th hai: ch n phương ti n ñi t B t i C có n2 = 2 cách V y theo qui t c nhân, s cách ñi t A t i C là n= 4.2 = 8 cách 2.Qui t c c ng: ð hoàn thành công vi c ngư i ta có th ch n m t trong k phương án. Phương án th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n Phương án th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n ................................. Phương án th k: có 1 trong nk cách th c hi n G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có: n = n1 + n2 +. . . ..+ nk Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..1
Qui t c trên g i là qui t c c ng Ví d : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà N i, ba sinh viên Nam ð nh và ba sinh viên Thanh Hoá. C n ch n hai sinh viên cùng t nh tham gia ñ i thanh niên xung kích. H i có bao nhiêu cách ch n. Phương án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà N i có n1= 1 cách Phương án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ð nh có n2= 3 cách Phương án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hoá có n3= 3 cách Theo qui t c c ng ta có s cách ch n hai sinh viên theo yêu c u: n = 1 + 3 + 3 = 7 cách 3.Hoán v Trư c khi ñưa ra khái ni m m t hoán v c a n ph n t ta xét ví d sau:. Ví d : Có ba h c sinh A,B,C ñư c s p x p ng i cùng m t bàn h c. H i có bao nhiêu cách s p x p? Có m t trong các cách s p x p sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Nh n th y r ng: ð i ch b t kỳ hai h c sinh nào cho nhau ta ñư c m t cách s p x p khác. T m t cách s p x p ban ñ u, b ng cách ñ i ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta có th ñưa v các cách s p x p còn l i. M i m t cách s p x p như trên còn ñư c g i là m t hoán v c a ba ph n t A, B, C. T ng quát v i t p h p g m n ph n t ta có ñ nh nghĩa sau: 3.1 ð nh nghĩa: M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p có th t n ph n t ñó. 3.2 S hoán v c a n ph n t : V i m t t p g m n ph n t ñã cho. S t t c các hoán v c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng công th c tính Pn. ð t o ra m t hoán v c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p n hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: Ch n 1 ph n t x p ñ u có n cách ch n Hành ñ ng th hai: Ch n 1 ph n t x p th 2 có n-1 cách ch n ........................................... Hành ñ ng cu i: Ch n ph n t còn l i x p cu i có 1 cách ch n Theo qui t c nhân, s cách t o ra 1 hoán v c a n ph n t là Pn = n.(n-1) ....2.1= n! 4. Ch nh h p không l p 4.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t g m k ph n t khác nhau l y t n ph n t ñã cho. Ví d : Có 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hãy l p t t c các s g m 2 ch s khác nhau Các s ñó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54. M i m t s trên chính là m t cách s p x p có th t g m hai ph n t khác nhau l y t năm ph n t là năm ch s ñã cho. V y m i s là ch nh h p không l p ch p hai c a năm ph n t . Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..2
4.2 S các ch nh h p không l p: S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t kí hi u là A k . Ta xây d ng công th c tính A k . n n ð t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t ñ x p ñ u: có n cách Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t ñ x p th 2: có n -1 cách . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t ñ x p cu i: có n-k+1 cách Theo qui t c nhân: S cách t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là : A k = n(n-1).. ....(n-k+1) n ð d nh ta s d ng công th c sau: (n − k ).......2.1 n! A k = n.(n − 1)....(n − k + 1) = n.(n − 1)...(n − k + 1). = n (n − k )......2.1 (n − k )! 5. Ch nh h p l p: ð hi u th nào là m t ch nh h p l p ta xét ví d sau: Ví d : Hãy l p các s g m 2 ch s t 4 ch s : 1, 2, 3, 4. Các s ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. M i s trong các s nói trên là m t cách s p x p có th t g m hai ch s , m i ch s có th có m t ñ n hai l n l y t b n ch s ñã cho. M i cách s p x p như v y còn g i là m t ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . T ng quát hoá ta có ñ nh nghĩa sau: 5.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t g m k ph n t mà m i ph n t l y t n ph n t ñã cho có th có m t nhi u l n. 5.2 S các ch nh h p l p ch p k: ˆ S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là A k . Ta s ñưa ra công th c n ˆ tính A k . n ð t o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t x p ñ u có n cách Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n ph n t x p th 2 có n cách . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n ph n t x p th k có n cách ˆ Theo qui t c nhân ta có: A k = nk n 6.T h p: Các khái ni m trên luôn ñ ý ñ n tr t t c a t p h p ta ñang quan sát. Tuy nhiên trong th c t có nhi u khi ta ch c n quan tâm t i các ph n t c a t p con c a m t t p h p mà không c n ñ ý ñ n cách s p x p t p con ñó theo m t tr t t nào. T ñây ta có khái ni m v t h p như sau 6.1 ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t t p con g m k ph n t l y t n ph n t ñã cho. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..3
Ví d : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i có bao nhiêu t p con g m hai ph n t ? Các t p con ñó là {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} V y t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} có sáu t p con v a nêu. 6.2: S t h p ch p k c a n ph n t có ký hi u là C k n B ng cách ñ i ch các ph n t cho nhau, m t t h p ch p k c a n ph n t có th t o ra k! ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t . Có C k t h p ch p k c a n ph n t t o ra A k ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t . n n Ak n! V y t a có : C k = n = n k! k!(n − k )! 7.T h p l p: 7.1 ð nh nghĩa: M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm không phân bi t th t g m k ph n t , m i ph n t có th có m t ñ n k l n l y t n ph n t ñã cho. Ví d : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t Các t h p l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c} ˆ 7.2 S các t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là:. C k n Vi c t o ra m t t h p l p ch p k c a n ph n t tương ñương v i vi c x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn kéo ñ t li n nhau, hai ngăn liên ti p cùng chung m t vách ngăn. Các vách ngăn tr vách ngăn ñ u và cu i có th xê d ch và ñ i ch cho nhau. M i cách s p x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn là m t cách b trí n+k-1 ph n t ( g m k qu c u và n-1 vách ngăn) theo th t t ph i sang trái. Cách b trí không ñ i khi các qu c u ñ i ch cho nhau ho c các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Cách b trí thay ñ i khi các qu c u và các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Ta có (n+k-1)! cách b trí n+k-1 ph n t (g m k qu c u và n-1 vách ngăn). S cách ñ i ch k qu c u là k! , s cách ñ i ch n-1 vách ngăn là (n-1)! . V y ta có s các t h p l p ch p k c a n ph n t là: ˆ k (n + k − 1)! = C k Cn = n + k −1 k!(n − 1)! Ví d : T i m t tr i gi ng gà có ba lo i gà gi ng A, B, C. M t khách hàng vào ñ nh mua 10 con. H i có bao nhiêu cách mua ( gi s r ng s lư ng các gi ng gà A, B, C m i lo i c a tr i ñ u l n hơn 10). Ta th y m i m t cách mua 10 con gà chính là m t t h p l p ch p 10 c a 3 ph n t . V y 10 ˆ s cách mua là: C10 = C = 66 12 3 8. Nh th c Newton Ta có: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = C 0 a 2 b 0 + C1 a 1b1 + C1 a 0 b 2 2 2 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = C 0 a 3 b 0 + C1 a 2 b1 + C 3 a 1b 2 + C 3a 0 b 3 2 3 3 3 M r ng ra: (a + b) n = C 0 a n b 0 + C1 a n −1b1 + ........ + C k a n −k b k + ................ + C n a 0 b n n n n n Công th c trên g i là công th c nh th c Newton. Ta ch ng minh công th c nh th c Newton theo qui n p.. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..4
V i n = 2 ta có công th c ñúng. Gi s công th c ñúng v i n = m t c là: (a + b) m = C 0 a m b 0 + C1 a m−1b1 + ....... + C m a 0 b m m m m Ta s ch ng minh: (a + b) m+1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1 m +1 m m Th t v y: (a + b) m +1 = (a + b) m (a + b) = (C 0 a n b 0 + ... + C k a m −k b k + ... + C m a 0 b m )(a + b) => m m m (a + b) m+1 = (C m + C m )a m +1b 0 + ... + (C m−1 + C m )a m +1−k b k + ... + (C m −1 + C m )a 0 b m +1 k k m m 0 1 M t khác: C k −1 + C k = C k +1 suy ra: m m m (a + b) m +1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1 . m +1 m m Theo nguyên lý qui n p công th c nh th c Newton ñư c ch ng minh. 1 Ví d : Tìm h s c a x12 trong khai tri n: ( x + 2 ) 20 x 1 1 Ta có: ( x + ) 20 = C 0 x 20 + ........ + C k x 20−2 k + ....... + C 20 20 . 20 20 20 x x Xét 20 - 2 k = 12 => k = 4 V y h s c a x12 là: C20 = 4745 4 II. Phép th , s ki n 1.Phép th ng u nhiên và không ng u nhiên M t phép th có th coi là m t thí nghi m, m t quan sát các hi n tư ng t nhiên, các hi n tư ng xã h i và các v n ñ kĩ thu t v i cùng m t h ñi u ki n nào ñó. Trong các lo i phép th có nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th c hi n ta ñã bi t ñư c k t qu s x y ra sau khi th như ñun nư c ñi u ki n bình thư ng (dư i áp su t 1 atmotphe) thì ñ n 100oC nư c s sôi, ho c cho dung d ch NaOH không dư vào dung d ch HCl cũng không dư ta thu ñư c mu i ăn NaCl và nư c H2O. Nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra sau khi th ñư c g i là các phép th không ng u nhiên. Tuy nhiên có r t nhi u lo i phép th mà ngay khi b t ñ u ti n hành phép th ta không th bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra sau khi th ch ng h n như khi gieo 100 h t ñ u gi ng, s h t n y m m sau m t th i gian gieo có th là t 0 ñ n 100 ho c khi cho p 10 qu tr ng thì s tr ng gà có th n ra gà con là t 0 ñ n 10 con. Nh ng phép th lo i này g i là nh ng phép th ng u nhiên. Trong giáo trình này chúng ta ch quan tâm t i nh ng phép th ng u nhiên, ñó là nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta chưa th bi t nh ng k t qu nào s x y ra. ð ñơn gi n t ñây tr ñi khi nói t i phép th ta ph i hi u ñ y là phép th ng u nhiên Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..5
2. S ki n: Các k t qu có th có c a m t phép th ng v i m t b các ñi u ki n xác ñ nh nào ñó g i là các s ki n ng u nhiên ho c ñơn gi n g i là các s ki n ho c các bi n c . Ta thư ng l y các ch cái A, B, C, D. . .. . . ho c Ai, Bj, Ck, Dn.. . . ñ ch các s ki n. Ví d 1: Tung m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t có th có các s ki n sau: A: S ki n xu t hi n m t ch n B: S ki n xu t hi n m t l Ai: S ki n xu t hi n m t có i ch m. Ví d 2: Trong m t gi ñ ng hoa qu có ch a 1 qu cam, 1 qu quýt, 1 qu ñào và 1 qu lê. Ch n ng u nhiên ra 2 qu có th có các s ki n sau: A: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 quýt B: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 ñào C: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 lê D: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 lê E: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 ñào G: Hai qu ñư c ch n g m 1 ñào 1 lê 3. S ki n t t y u và s ki n không th có S ki n t t y u ho c s ki n ch c ch n là s ki n nh t thi t ph i x y ra sau khi phép th ñư c th c hi n. Ta kí hi u s ki n này là Ω .. S ki n không th có ho c s ki n b t kh ho c s ki n r ng là s ki n không bao gi x y ra sau khi th . Ta kí hi u s ki n này là φ . Ví d : ð ng t i Hà N i ném m t hòn ñá S ki n ñá rơi xu ng ñ a gi i Vi t Nam là s ki n t t y u S ki n ñá rơi xu ng ð i Tây Dương là s ki n b t kh . 4. Quan h gi a các s ki n, hai s ki n b ng nhau S ki n A ñư c g i là kéo theo s ki n B n u A x y ra thì B cũng x y ra và kí hi u A ⊂ B ( ho c A ⇒ B). N u A kéo theo B và B kéo theo A thì ta nói A b ng B và vi t A = B. Trong xác su t hai s ki n b ng nhau ñư c coi là m t Ví d : M t h c sinh thi h t m t môn h c A là s ki n h c sinh ñó ñ (ñ t ñi m t 5 t i 10) B là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình ho c khá (ñ t ñi m t 5 t i 8) C là s ki n h c sinh ñó ñ khá ho c gi i G là s ki n h c sinh ñó ñ gi i (ñ t ñi m 9, 10) K là s ki n h c sinh d ñ khá (ñ t ñi m 7, 8) TB là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình (ñ t ñi m 5, 6) Ai là s ki n h c sinh ñó ñ t i ñi m (i = 0, 1, . . . .,9, 10). Ta có: G ⇒ A ; B ⇒ A ; C ⇒ A ; A 6 ⇒ A ; A 9 ⇒ G ; A 7 ⇒ B ; A 7 ⇒ K ; A 5 ⇒ TB... Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..6
5.Các phép tính v s ki n 5.1 Phép h p: H p c a 2 s ki n A và B là s ki n C, s ki n C x y ra khi A x y ra ho c B x y ra. Kí hi u: A Υ B = C và ñ c là A h p B b ng C Ta có th mô t h p c a 2 s ki n A và B b ng hình v sau: Hình 1 D a vào hình v trên có th th y C x y ra khi: • A x y ra và B không x y ra. • B x y ra và A không x y ra. • C A và B cùng x y ra. Vì v y có th nói h p c a hai s ki n A và B là m t s ki n C x y ra khi ít nh t 1 trong 2 s ki n A, B x y ra. Ví d : M t sinh viên thi h t m t môn h c G i : A là s ki n sinh viên ñó không ph i thi l i (ñi m thi t 5 ñ n 10) B là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m trung bình khá (ñi m thi t 5 ñ n 8) C là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá gi i ( ñi m thi t 7 ñ n 10) Ta có: A = B Υ C . 5.2 Phép giao: Giao c a 2 s ki n A và B là s ki n D, s ki n D x y ra khi c A và B cùng x y ra. Kí hi u: A Ι B = D ho c AB = D và ñ c là A giao B b ng D ho c A nhân B b ng D Hình v sau mô t giao c a 2 s ki n A và B Hình 2 Ví d : Quay l i ví d m c 5.1 G i K là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá (ñi m thi t 7 ñ n 8) Ta có: K = B Ι C N u A Ι B = φ ta nói A và B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Khi A xung kh c v i B thì h p c a 2 s ki n A và B ñư c kí hi u là A + B và ñ c là A c ng B. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..7
5.3 Phép tr . S ki n ñ i l p: Hi u c a s ki n A tr s ki n B là s ki n E, s ki n E x y ra khi A x y ra và B không x y ra. Kí hi u: A\B= E và ñ c là A tr B b ng E Ta cũng có th mô t hi u c a s ki n A tr s ki n B b ng hình v sau: Hình 3 D nh n th y r ng: N u A Ι B = φ thì A \ B = A __ S ki n : Ω \ A G i là s ki n ñ i l p c a s ki n A và kí hi u là A . T ñ nh nghĩa s ki n ñ i l p c a s ki n A ta th y: __ * A và A . xung kh c v i nhau __ * N u A không x y ra thì A x y ra và ngư c l i Hai s ki n ñ i l p nhau xung kh c v i nhau “m nh m ” theo ki u có anh thì không có tôi nhưng không có anh thì ph i có tôi. Ví d : M t t h c sinh g m 3 h c sinh nam 3 h c sinh n . Ch n ng u nhiên 2 ngư i. G i : A là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n là cùng gi i B là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là nam C là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là n D là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n có m t nam m t n Ta có A \ B = C, D = A . Hình sau mô t s ki n ñ i l p c a s ki n A Hình 4 5.4 Tính ch t φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A 1/ A Υ φ = A ; Aφ = φ ; A Υ Ω = Ω ; AΩ = A 2/ N u A ⇒ B ; B ⇒ C thì A ⇒ C 3/ A Υ B = B Υ A ; AB = BA 4/ Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..8
A Υ (B Υ C) = (A Υ B) Υ C ; A (BC) = (AB)C 5/ A (B Υ C) = AB Υ AC ; A Υ (BC) = (A Υ B)(A Υ C) 6/ __ A \ B= A B 7/ ____ ________ __ __ __ __ A Υ B = A B ; AB = AΥ B 8/ Vi c ch ng minh các tính ch t trên khá d dàng xin dành cho b n ñ c. Chúng tôi ch ch ng minh tính ch t 8 ph n 1 như là m t ví d minh ho cho vi c ch ng minh các s ki n b ng nhau: _______ __ __ Ta ch ng minh: A Υ B = A B _______ Gi s A Υ B x y ra theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A Υ B không x y ra, theo ñ nh nghĩa c a h p hai s ki n => A không x y ra và B không x y ra, l i theo ñ nh nghĩa __ c a s ki n ñ i l p => A x y ra và B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao hai s ki n __ __ => A B . x y ra. _______ __ __ V y ta có: A Υ B ⇒ A B (1) __ __ __ __ Ngư c l i gi s A B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao, => A x y ra và B x y ra, l i theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A không x y ra và B không x y ra, theo ñ nh nghĩa c a h p hai s ki n => A Υ B . không x y ra, theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p _______ __ __ ________ => A Υ B x y ra. V y ta cũng có: A B ⇒ A Υ B (2) _______ __ __ T (1) và (2) => A Υ B = A B 6. S ki n có th phân chia ñư c, s ki n sơ c p cơ b n 6.1 S ki n có th phân chia ñư c S ki n A ñư c g i là có th phân chia ñư c n u t n t i hai s ki n B ≠ φ , C ≠ φ , BC = φ và A = B + C. Khi ñó ta nói A phân chia ñư c thành hai s ki n B và C. Ví d : Trong m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t. G i A là s ki n xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 3. G i Ai là s ki n xu t hi n m t i ch m S ki n A có th phân chia ñư c vì t n t i A3; A6 ≠ φ ; A 3 A 6 = φ và A = A3 + A6. 6.2 S ki n sơ c p cơ b n: S ki n khác r ng và không th phân chia ñư c g i là s ki n sơ c p cơ b n. Ví d : Quay l i ví d m c 6.1. Các s ki n A1, A2, A3, A4, A5, A6 là các s ki n sơ c p cơ b n. Ta nh n th y r ng các s ki n sơ c p cơ b n là các s ki n mà sau m t phép th ch có m t trong các s ki n này x y ra. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..9
7. H ñ y ñ các s ki n 7.1 H ñ y ñ các s ki n: H các s ki n A1, A2,. ... An g i là m t h ñ y ñ các s ki n n u: 1/ Ai ≠ φ v i m i i = 1, 2 . . . . n A i A j = φ v i m i i khác j 2/ 3/ A1+ A2+.. . . . . .+ An = Ω Ví d : ðem hai cá th th h F1 mang gen Aa, Aa lai v i nhau. Các cá th con th h F2 có th có 1 trong 4 ki u gien AA, Aa, aA và aa. Ch n 1 cá th con trong các cá th nói trên. G i: A là s ki n cá th con là ñ ng h p t (mang gen AA ho c aa) B là s ki n cá th con là d h p t (mang gen Aa ho c aA) C là s ki n cá th con có mang gen tr i (AA, Aa, aA) A1 là s ki n cá th con ch mang gen tr i (AA) A2 là s ki n cá th con ch mang gen l n (aa) Ta có: A, B là m t h ñ y ñ các s ki n C, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n B, A1, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n Như v y: v i m t phép th ñã cho có th có nhi u h ñ y ñ các s ki n khác nhau. 7.2 Phân chia m t s ki n theo h ñ y ñ . Gi s A1, A2, . ...An là m t h ñ y ñ các s ki n. A là m t s ki n khác r ng nào ñó. Ta có: A= AΩ = A(A1 + A 2 + .......... + A n ) = AA1 + ....AA i + .....AA n Khi ñó ta nói A ñư c phân chia gián ti p nh h ñ y ñ các s ki n: A1, A2 , A3 ,..., An. Như ñã bi t v i m i phép th có th l p ra nhi u h ñ y ñ các s ki n vì v y m i s ki n khác r ng A cũng có th phân chia theo nhi u cách khác nhau. M c ñích c a vi c phân chia s ki n A ra m t s s ki n ñơn gi n hơn nh m ñánh giá kh năng x y ra c a s ki n A nh các s ki n ñơn gi n này. 8. ð i s và σ - ñ i s các s ki n Xét Ω là m t t p h p khác r ng mà ta g i là s ki n ch c ch n. C là m t h các t p con nào ñó c a Ω .M i t p con A c a Ω , A∈ C g i là m t s ki n. H C ñư c g i là σ − ñ i s các s ki n n u: 1/ φ ∈ C . __ 2/ N u A ∈ C thì A ∈ C ∞ 3/ N u A1, A2. . . . . . An. . .là các s ki n thu c C thì Υ A n ∈ C n =1 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..10
H C ñư c g i là ñ i s các s ki n n u yêu c u 1, 2 nêu trên tho mãn và h p c a m t s h u h n các s ki n thu c C cũng là m t s ki n thu c C. Ta nh n th y r ng n u C là σ − ñ i s các s ki n thì C cũng là m t ñ i s các s ki n. Ví d : Tung ñ ng th i 2 ñ ng ti n, các s ki n sơ c p cơ b n là: SS, SN, NS, NN. Xét Ω = SS + SN +NS +NN. T p t t c các t p h p con c a Ω là m t ñ i s các s ki n.và cũng là m t σ − ñ i s các s ki n Bài t p chương 1 1. M t ño n gen g m 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên k t v i nhau theo m t hàng d c. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..11
a. H i có bao nhiêu cách liên k t 8 gen nói trên? b. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ 2 gen X ñ ng li n nhau? c. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ có 3 gen XYZ ñ ng li n nhau theo th t trên. 2. Có 10 ngư i x p theo m t hàng d c a. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng li n nhau? b. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng cách nhau ñúng 3 ngư i? 3. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 10 ch s khác nhau sao cho: a.Không có 2 ch s ch n nào ñ ng li n nhau b. Không có 2 ch s l nào ñ ng li n nhau c. Các ch s ch n ñ ng li n nhau d. Các ch s l ñ ng li n nhau 4. Cho 6 ch s : 1, 2, 3, 4, 5, 6 a. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 8 ch s sao cho ch s 1 và ch s 2 m i ch s có m t ñúng 2 l n, các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n. b. Có th l p ñư c bao nhiêu s ch n g m 8 ch s trong ñó ch s 2 có m t ñúng 3 l n, các ch s còn l i có m t ñúng m t l n. c. Có th l p ñư c bao nhiêu s l g m 8 ch s trong ñó ch s 1 có m t ñúng 3 l n, các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n. 5*. Trong m t kì thi tin h c qu c t t i m t khu v c g m 6 phòng thi ñánh s t 1 ñ n 6 dành cho ba ñoàn Vi t nam , Mĩ và Nga m i ñoàn g m 4 thí sinh. M i phòng thi có 2 máy tính (không ñánh s ) dành cho 2 thí sinh. Vi c x p 2 thí sinh vào m i phòng thi theo nguyên t c hai thí sinh cùng m t qu c t ch không ñư c x p cùng m t phòng. H i có bao nhiêu cách s p x p các thí sinh c a ba ñoàn vào 6 phòng? 6*.D c theo hai bên ñư ng vào m t trư ng trong h c ngư i ta d ñ nh tr ng m i bên 3 cây bàng, 3 cây phư ng và 3 cây b ng lăng. a. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ các cây cùng lo i tr ng ñ i di n nhau? b. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ không có hai cây cùng lo i nào tr ng ñ i di n nhau? 7*. Vòng chung k t gi i vô ñ ch bóng ñá châu Âu g m 16 ñ i trong ñó có ñ i ch nhà và ñ i vô ñ ch b n năm trư c. a. Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D. b, Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D sao cho ñ i ch nhà và ñ i vô ñ ch b n năm trư c không cùng b ng. c. Gi i bài toán trên trong trư ng h p không ñ ý t i vai trò c a các b ng. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..12
8. M t ñàn gà g m 4 con gà mái và 6 con gà tr ng. Trong 4 con gà mái có 2 con màu vàng, 2 con màu ñen. Trong 6 con gà tr ng có 3 con màu vàng và 3 con màu ñen. Ch n ng u nhiên 2 con gà a. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 1 con tr ng 1 con mái b. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 2 con màu vàng c. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c1 con tr ng 1 con mái cùng màu 9. M t t sinh viên g m 6 nam 4 n . Trong 6 nam có 2 sinh viên Hà N i và 4 sinh viên t nh Hà Tây. Trong 4 n có 2 n sinh Hà N i và 2 n sinh Thái Bình. Ch n ng u nhiên ra 3 ngư i a. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên nam? b. Có bao nhiêu cách ch n ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên n ? c. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên g m ñ 3 t nh? 10. Cho ña giác ñ u g m 2n c nh a. H i có th l p ñư c bao nhiêu hình ch nh t có 4 ñ nh là 4 ñ nh c a ña giác ñ u này? b. H i ña giác ñ u nói trên có bao nhiêu ñư ng chéo? 11. Cho t p A = {0,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10} a. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s nh hơn 6 b. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s l n hơn 6 12. Có 4 viên bi gi ng nhau ñư c b vào 3 cái h p. H i có bao nhiêu cách b ? 13*. Có 4 hành khách ñ i tàu t i nhà ga A ñ ñi t i B. M t ñoàn tàu g m 4 toa chu n b r i ga A ñ ñi t i B. a. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên. b. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên sao cho m i ngư i lên m t toa. c. Có bao nhiêu cách ñ 4 hành khách trên lên hai toa m i toa 2 ngư i. 2 14. Trong khai tri n ( x − 2 ) 50 . x a. Tìm s h ng không ch a x b. Tìm h s c a x20 c. Tìm h s c a x-40 15. Ch ng minh các ñ ng nh t th c: a. C 0 + C1 + ............. + C k + ...... + C n = 2 n n n n n b. C1 + 2C 2 + ........ + kC k + ..... + nC n = n 2 n −1 n n n n Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..13
2 n +1 − 1 11 1 1 c. C 0 + C k + ..... + Cn = C n + ...... + n n n k +1 n +1 n +1 2 d. C 0 n + C 2 n + ..... + C 2 k + .... + C 2 n = C1 n + C 3 n + .... + C 2 k +1 + ...... + C 2 n −1 2 2 2n 2n 2 2 2n 2n 16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tìm s h ng l n nh t trong dãy s sau: C 0 p 0 q n ; C1 pq n −1 ;.................; C k p n −k q k ; ..........; C n p n q 0 n n n n 17. X p 3 ngư i theo m t hàng d c. Nêu các s ki n sơ c p cơ b n 18. T 4 ngư i A, B, C, D l y ng u nhiên 2 ngư i. Nêu t p các s ki n sơ c p cơ b n. 19. Hai cá th sinh v t có cùng ki u gen Aa Bb ñem lai v i nhau. Hãy nêu các ki u gen có th có c a các cá th con. 20. T hai nhóm h c sinh, nhóm th nh t g m 4 h c sinh nam A, B, C, D nhóm th hai g m 4 h c sinh n X, Y, Z, T. Ch n m i nhóm ra 2 h c sinh. a. Ch ra t p các s ki n sơ c p cơ b n ng v i phép th trên b. Ch ra hai h ñ y ñ các s ki n. 21. Tung m t l n 3 ñ ng ti n. a.Hãy ch ra các s ki n sơ c p cơ b n. b.Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n ch g m hai s ki n 22. Tung ñ ng th i hai con xúc x c. a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n b. Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n g m 11 s ki n 23. M t ña giác ñ u g m 2n c nh (n > 2). Ch n ng u nhiên b n ñ nh. a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n? b. Có bao nhiêu s ki n ñ b n ñ nh ñư c ch n lâp thành hình ch nh t? Khi n = 3 Ch n ng u nhiên 3 ñ nh c a m t l c giác ñ u. c. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n? d. Có bao nhiêu s ki n ba ñ nh ñư c ch n l p thành tam giác ñ u? ng minh các tính ch t v các phép toán c a các s ki n. 25. Ch Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..14
Chương 2 : Xác su t Vi c ñưa ra nh ng s ño thích h p ñánh giá kh năng khách quan x y ra c a m i s ki n ñư c trình bày trong ph n ñ u c a chương này. Các d ng ñ nh nghĩa xác su t t các ñ nh nghĩa c ñi n t i ñ nh nghĩa xác su t theo h tiên ñ giúp ngư i h c hình dung ñư c s phát tri n và tính phong phú, ña d ng c a môn xác su t. Các tính ch t các ñ nh lý v xác su t ñư c trình bày m c t i thi u ñ ngư i h c kh i c m th y n ng n khi ti p thu chúng. Nh ng ví d ñưa ra giúp ngư i h c th y ñư c nh ng áp d ng th c th c t c a môn xác su t và qua các ví d này ngư i h c có th hi u cách làm các bài toán xác su t. I. Các ñ nh nghĩa c a xác su t 1. M ñ u: Khi ti n hành m t phép th , có th có m t trong nhi u s ki n s x y ra, m i s ki n là m t ñ c tính ñ nh tính, vi c ch ra “s ño” kh năng x y ra c a m i m t s ki n là ñi u c n thi t. Ta có th hi u xác su t c a m i s ki n là “s ño” kh năng x y ra c a s ki n ñó. Vi c g n cho m i s ki n m t “s ño” kh năng x y ra c a nó ph i ñ m b o tính khách quan, tính h p lý và tính phi mâu thu n. Trong m c này chúng ta s ñưa ra các ñ nh nghĩa c a xác su t. M i d ng có nh ng ưu và như c ñi m nh t ñ nh. Tuy v y, qua các d ng ñ nh nghĩa này có th hình dung ra s phát tri n c a môn xác su t, m t môn h c có ngu n g c xu t phát t nh ng sòng b c nhưng nh s t hoàn thi n trong quá trình phát tri n nên môn xác su t không nh ng có ñ y ñ các y u t cơ b n c a m t ngành khoa h c chính xác mà còn là m t trong nh ng ngành c a Toán h c có th h tr cho t t c các lĩnh v c khoa h c khác t khoa h c t nhiên ñ n khoa h c kĩ thu t và k c nh ng ngành tư ng như xa l v i Toán h c ñó là các ngành khoa h c xã h i. 2. ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng. 2.1 Phép th ñ ng kh năng: M t phép th ñ ng kh năng là m t phép th mà các k t qu tr c ti p (còn g i là s ki n sơ c p) ng v i phép th này có kh năng xu t hi n như nhau sau khi th . Ch ng h n khi ta gieo m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t thì vi c xu t hi n m t trong các m t có s ch m t 1 ñ n 6 là có kh năng như nhau ho c khi ch n ng u nhiên hai trong năm ngư i A, B, C, D, E thì vi c ch n ñư c AB ho c CD . . . DE là có kh năng xu t hi n như nhau. 2.2 ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng: Xét m t phép th ñ ng kh năng. Gi s sau phép th này có m t trong n s ki n sơ c p n có th x y ra và có m t trong nA s ki n sơ c p x y ra kéo theo A x y ra. Ta th y l y A n làm s ño khách quan x y ra s ki n A là h p lý. Vì v y ta có ñ nh nghĩa sau: n ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A là s P(A) = A n * n là s k t qu ñ ng kh năng sau phép th * nA là s k t qu x y ra kéo theo A x y ra ho c s k t qu thu n l i cho s ki n A hay s k t qu h p thành s ki n A Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..15
Vi c tính xác su t d a trên ñ nh nghĩa trên ph i th c hi n theo trình t sau: * Xét phép th ñang quan sát có ph i là phép th ñ ng kh năng không * N u phép th là ñ ng kh năng thì ph i tìm s s ki n ñ ng kh năng n * ð tính xác su t c a s ki n A ta ph i tìm s k t qu kéo theo A sau ñó s d ng ñ nh nghĩa n P(A) = A n 2.3 Các ví d Ví d 2.1: Gieo hai ñ ng ti n cân ñ i và ñ ng ch t. Tính xác su t ñ c hai cùng xu t hi n m t qu c huy. G i A là s ki n c hai ñ ng ti n cùng xu t hi n m t qu c huy. Ta có: S s ki n ñ ng kh năng: n = 4 1 S s ki n kéo theo A: nA = 1 .V y P (A) = 4 Ví d 2.2: M t ñàn gà có b n con gà ri g m hai mái hai tr ng và sáu con gà tam hoàng g m hai tr ng b n mái. Ch n ng u nhiên hai con gà G i A là s ki n hai con gà ñư c ch n ñ u là tr ng B là s ki n hai con gà ñư c ch n g m m t tr ng m t mái C là s ki n hai con gà ñư c ch n là gà mái ri Hãy tính xác su t c a các s ki n A, B, C Ta có: S s ki n ñ y kh năng là C10 = 45 2 S s ki n kéo theo A là C 2 = 6 4 S s ki n kéo theo B là C1 C1 = 24 46 S s ki n kéo theo C là C 2 = 1 2 1 62 24 8 = , P(B) = = , P(C) = V y: P(A)= 45 15 45 15 45 Ví d 2.3: Có ba gen X, Y, Z và ba gen x, y, z x p ng u nhiên theo m t dãy d c. Tính xác su t ñ các gen x, y, z x p li n nhau. G i A là s ki n c n tính xác su t S s ki n ñ ng kh năng: n = 6! = 720 144 1 S s ki n kéo theo A: nA = 3!4! = 144. V y: P(A) = = 720 5 Ví d 2.4: Hai cá th b và m cùng có ki u gen AaBb. Tính xác su t ñ cá th con có ki u gen gi ng ki u gen c a b m . Ta có b ng liên k t gen sau: Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..16
M AB Ab aB ab B AB AABB AABb AaBB AaBb Ab AABb AAbb AaBb Aabb aB AaBB AaBb aaBB aaBb ab AaBb Aabb aaBb aabb D a vào b ng trên ta có: S s ki n ñ ng kh năng n = 16 41 S s ki n kéo theo A: nA = 4. V y P(A) = = 16 4 3- ð nh nghĩa xác su t theo t n su t ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng có ưu ñi m là ch ra cách tính xác su t c a m t s ki n rõ ràng và ñơn gi n. Tuy nhiên ñ nh nghĩa này ch áp d ng ñư c v i lo i phép th ñ ng kh năng và s k t qu sau phép th là h u h n. Trong th c t thư ng g p nh ng lo i phép th không có tính ch t trên, ñ kh c ph c h n ch này ta có th ñ nh nghĩa xác su t theo quan ñi m th ng kê. 3.1 T n su t c a s ki n: Gi s ta ti n hành n phép th v i cùng m t h ñi u ki n th y có nA l n xu t hi n s ki n A. S nA ñư c g i là t n s xu t hi n s ki n A và t s : n f n (A) = A g i là t n su t xu t hi n s ki n A. n Ta nh n th y r ng khi n thay ñ i nA thay ñ i vì th fn(A) cũng thay ñ i. Ngay c khi ti n hành dãy n phép th khác v i cùng m t ñi u ki n thì t n s và t n su t c a n l n th này cũng có th khác t n s và t n su t c a n l n th trư c. Tuy nhiên t n su t có tính n ñ nh nghĩa là khi s phép th n khá l n t n su t bi n ñ i r t nh xung quanh m t giá tr xác ñ nh. ð minh ch ng cho nh n xét trên ta xét m t ví d kinh ñi n v xác ñ nh t n s và t n su t vi c xu t hi n m t s p (m t không có ch ) c a m t ñ ng ti n do Buffon và Pearson th c hi n Ngư i làm thí nghi m S l n tung 1 ñ ng ti n T ns m ts p T n su t m t s p Buffon 4040 2040 0.5080 Pearson 12000 6010 0.5010 Pearson 24000 12012 0.5005 Ta nh n th y r ng khi s l n tung ti n n tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p n ñ nh d n v giá tr 0,5 ñư c l y làm xác xu t xu t hi n m t s p khi tung m t ñ ng ti n cân ñ i và ñ ng ch t. 3.2 ð nh nghĩa: Xác su t c a m t s ki n là tr s n ñ nh c a t n su t khi s phép th tăng lên vô h n. Vi c kh ng ñ nh t n su t c a m t s ki n n ñ nh (hay ti n t i) m t giá tr xác ñ nh khi s phép th tăng lên vô h n ñư c ñ m b o b i ñ nh lý Bernoulli s ñư c phát bi u và Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..17
ch ng minh trong chương sau. Tuy ñ nh nghĩa xác su t b ng t n su t không ch ra giá tr c th xác su t c a s ki n nhưng trong th c t khi s l n th n là l n ta thư ng l y t n xu t fn(A) thay cho xác su t c a s ki n A. Vào cu i th k 19 nhà toán h c Laplace theo dõi các b n th ng kê v dân s trong vòng 10 năm c a London, Peterbua, Berlin và nư c 22 Pháp ông ta tìm ra t n su t sinh con trai c a ba vùng trên và c nư c Pháp là . Khi 43 22 25 xem xét t l sinh con trai c a Paris ông tìm ñư c t n su t , t n su t này nh hơn . 49 43 Ng c nhiên v s khác nhau ñó, Laplace ñi u tra thêm và tìm ra hai ñi u thú v sau: M t là: Vào th i b y gi các tr em ñ ra không ghi tên cha trong gi y khai sinh thì dù sinh Marseille, Bordeaux hay b t c nơi nào trên ñ t Pháp ñ u có trong b n thông kê tr sinh Paris. Hai là: Ph n l n nh ng ñ a tr nói trên ñ u là con gái. Sau khi lo i nh ng ñ a tr không sinh Paris ra kh i danh sách này thì t l tr trai 22 Paris tr v con s . 43 Qua ví d nêu trên chúng tôi mu n các nhà nông h c tương lai khi quan sát ho c thí nghi m th y có m t s li u nào ñó khác v i s li u ñã bi t thì c n ph i tìm nguyên do s khác bi t này xu t phát t ñâu, r t có th qua ñó ta có th phát hi n ñư c nh ng ñi u b ích ph c v cho chuyên môn. 4. ð nh nghĩa xác su t b ng hình h c V i nh ng phép th ñ ng kh năng mà s k t qu sau m t phép th là vô h n thì vi c s d ng ñ nh nghĩa xác su t m c 2 ñ tính xác su t c a m t s ki n là không th c hi n ñư c. ð kh c ph c h n ch này ngư i ta ñưa ra ñ nh nghĩa xác su t b ng hình h c. 4.1 ð ño c a m t mi n: Gi s D là m t mi n hình h c nào ñó ch ng h n D là m t ño n th ng, m t hình ph ng hay m t kh i không gian. S ño ñ dài, di n tích, th tích tương ng ñư c g i là ñ ño c a mi n D và kí hi u là m(D) 4.2. ð nh nghĩa : Xét m t phép th v i vô h n k t qu ñ ng kh năng, gi s có th thi t l p s tương ng m t - m t m i k t qu v i m t ñi m thu c mi n G có ñ ño là m(G) . M i k t qu kéo theo s ki n A tương ng v i m i ñi m thu c mi n D ⊂ G có ñ ño m(D). m ( D) Xác su t c a s ki n A là s P(A) = m(G ) Ví d 1: M t ñư ng dây cáp quang n i Hà N i v i thành ph H Chí Minh dài 1800 km g p s c kĩ thu t làm t c ngh n vi c thông tin liên l c. S c kĩ thu t có th x y ra b t c m t v trí nào trên ñư ng cáp quang trên v i cùng m t kh năng. Tính xác su t ñ s c kĩ thu t x y ra cách Hà N i không quá 300km. Mi n G ñây là ñư ng cáp quang n i Hà N i- thành ph H Chí Minh có m(G) = 1800. Mi n D tương ng v i s ki n c n tính xác su t là ño n cáp quang t Hà n i t i v trí cách Hà N i 300 km, m(D) = 300. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..18
300 1 V y xác su t c n tính P = =. 1800 6 Ví d 2: Hai ngư i A, B h n g p nhau t i m t ñ a ñi m trong quãng th i gian t 12 gi ñ n 13 gi theo qui ư c, ngư i ñ n trư c ñ i ngư i ñ n sau không quá 15 phút. Tính xác su t ñ hai ngư i g p ñư c nhau. Bi t r ng m i ngư i có th ñ n ñi m h n vào b t c th i ñi m nào trong quãng th i gian nói trên. G i x là th i ñi m A ñ n ch h n, y là th i ñi m B ñ n ch h n, 0 ≤ x , y ≤ 60 Vi c hai ngư i ñ n ch h n tương ng v i ñi m M(x, y) thu c hình vuông OABC có c nh dài 60 ñơn v dài. Hai ngư i g p ñư c nhau ⇔ x − y ≤ 15 ⇔ x − 15 ≤ y ≤ x + 15 ⇔ M(x, y) thu c hình ODEBGH. Hình 1 Ta có mi n G là hình vuông OABC, mi n D là hình ODEBGH. m(G) = 602 , m(D)= 602- 452. m(D) 60 2 − 45 2 9 7 V y xác su t c n tính P = = = 1− = 2 m(G ) 60 16 16 M t s bài toán th c t như quá trình th ph n, quá trình th tinh .... có th áp d ng như bài toán g p g nói trên. 5. H tiên ñ Kolmogorop M c dù ra ñ i t th k 17 nhưng do ngu n g c xu t phát và nh ng khái ni m ñư c nêu ra có tính mô t thi u nh ng lu n c khoa h c nên c m t quãng th i gian dài t th k 17 ñ n trư c nh ng năm 30 c a th k 20 xác su t không ñư c coi là m t ngành toán h c chính th ng. Mãi t i năm 1933 khi nhà toán h c Nga A.N Kolmogorop xây d ng h tiên ñ cho lý thuy t xác su t thì xác su t m i ñư c công nh n là m t ngành toán h c chính th ng sánh ngang hàng v i nhi u ngành toán h c khác như s h c, hình h c, ñ i s , gi i tích... Tuy ñư c ch p nh n mu n màng nhưng xác su t ñã có m t trong h u h t các lĩnh v c khoa h c t khoa h c t nhiên , khoa h c kĩ thu t d n khoa h c xã h i. Vì là m t giáo trình dành cho các ngành không chuyên v toán chúng tôi ch có ý ñ nh trình bày sơ lư c h tiên ñ v lý thuy t xác su t do A.N Kolmogorop ñưa ra Xét C là m t σ - ñ i s các s ki n . Xác su t P là m t hàm xác ñ nh trên C tho mãn : 1/ P(A) ≥ 0 ∀A ∈ C Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..19