intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hệ thống bài tập toán - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
163
lượt xem 18
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hệ thống bài tập toán - thpt lý thường kiệt - hải phòng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thống bài tập toán - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng

  1. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng    ng I: §¹o hµ  Ch¬ m I) §Þnh nghÜa ®¹o hµm:   Bµ i : D ùa vµo ® Þnh nghÜ a , tÝ nh ® ¹ 1 o hµm  cñ a c¸c hµm  sè  sau ®© y  t¹ i ® i m  x0 ®∙ chØ ra: Ó    a) y = x2 + x             x0 = 2 1    b) y =  x0 = 2 x x− 1    c) y =  x0 = 0 x+ 1   Bµi2: Dùa vµo ®Þnh nghÜa tÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau ®©y   (t¹i ®iÓm x ∈ R) b) y = x3 ­ x + 2         a) y =  x  ­ x 2x − 1 c) y = x3 + 2x c) y =  x−1   Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) =  3 x    Bµi4:  Cho  ®êng cong y = x3. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi  ®êng cong ®ã, biÕt: a) TiÕp ®iÓm lµ A(­1; ­1). b) Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm b»ng 2. c) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng y = 3x + 5. x d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = ­  + 1  12   Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004). Dïng ®Þnh nghÜa ®¹o hµm tÝnh ®¹o hµm f'(­1000) II) c¸c phÐp tÝnh ®¹o hµm:   Bµi1: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau: ( )( ) 1) y =  x2 − 3x + 4 x3 − 2x2 + 5x − 3 2)   y   =  ( 2x + 1) ( 3x + 2) ( 4x + 3) ( 5x + 4 ) ( ) 3) y =  x3 − 3x2 + 3x + 1 2 − 2( x − 1) 3 ( ) 4) y =  ( 2x + 1) 4 + ( 3x + 2) 4 − x2 − 4x + 3 3 2 6) y =  2x − 5x + 6 5) y =  ( x + 1) 2 ( x + 2) 3 ( x + 3) 4 − 3x + 4 3 ( x + 1) 3 7) y =  x − x 8) y =  x2 − x + 1 x3 + x + 1   Trang:   1
  2. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 4 4 9 ) y =   2x + 1  +  1 + x  10 )   y   =       x− 1   1 − x x + x2 + 1 x2 + 1 − x +   2 2 1+ x − x x+ 1+ x 3 12 ) y =  1 + x 11 ) y =  ( 1 + x) 2 + x2 3 3 + x3 1 − x3 si x − cos 3 x − 15 x − 3 n x 13 ) y =  14 ) y =  si x + cos x − 26 x − 6 4 n x 15 ) y =  si [ si ( si x) ] nnn 16 )   y   =  ( ) 1 + x2 1 − x2  cos  e− x si x − n x  2 2  2 17 ) y =  3 1 − 3 1 + x2  + 3 l  1 + 3 1 + x2  n  2        Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµ cña c¸c hµ sè sau : m m 1) y = xl x n 2 ) y =  si xcosx n 2x x 3 ) y =   1 + x2  xx xx 4 ) y =    x x +x +x   3 4 5 ) y =  1 + x 3 + x 2 + x 5 x − 47 x − 5 III) ®¹o hµm mét phÝa vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i ®¹o hµm: x   Bµi1: Cho f ( x ) = .  TÝnh f'(0 ) 1+ x   Bµi2: Cho f ( x ) = x x + 2 .     TÝnh f'(0 ) 1 − cos      Õ u ≠ 0 x       nx    Bµi3: Cho f ( x ) =  x 0          Õ u = 0             nx    1 ) XÐ t tÝ nh liªn  tô c cñ a f(x ) t¹ i x = 0 . 2 ) XÐ t tÝ nh kh¶ v i cña f(x ) t¹ i x = 0 . 2   Bµi4: Cho hµ sè : f ( x ) = x − 2 x + 3 . m 3x − 1    Chøng m i nh r»ng f(x ) liªn  tô c t¹ i x = ­3 nhng kh«ng cã  ® ¹   o hµm  t¹ i x = ­3 .   Trang:   2
  3. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng ( x + 1) e− x     Õ u > 0        nx    Bµi5: Cho f ( x ) =  . T×m  a ® Ó ∃ f'(0 ) 2 ­x ­ax + 1    Õ u ≤ 0       nx  acos − b si x  nÕ u   0 n      ≤ x x   Bµi6: Cho f ( x ) =  ax + b + 1      nÕ u   0          > x IV) ®¹o hµm cÊp cao: 2   Bµi1: Cho f ( x ) = x − 3x + 2 .     TÝnh : f(n)(x)     2x2 + x − 1 − 3x2 + 4x − 8   Bµi2: Cho f ( x ) = .     TÝnh : f(n)(x)     3 2 x − 6x + 11x − 6 2x3 + x2 − 4x − 9 .       Bµi3: Cho f ( x ) = TÝnh : f(n)(x)     x4 − 7 x2 + 10 2   Bµi4: Cho f ( x ) = 3x − 5x − 11 .     TÝnh : f(n)(x)     x4 − 9x2 + 18   Bµi5: Cho f ( x ) = cosx . TÝnh : f (n)(x)       Bµi6: Cho f ( x ) = cos (ax + b) . TÝnh : f (n)(x)       Bµi7: Cho f ( x ) = x .e x.     TÝnh: f(n)(x)       Bµi8: Cho f ( x ) = x3 l x .     TÝnh : f(n)(x)     n   Bµi9: Cho f ( x ) = l ( ax + b) .     TÝnh : f(n)(x)     n        ®¼ng thøc, ph ng tr×nh, bÊt ph ng tr×nh víi c¸c phÐp to¸n  ®¹   V)   ¬  ¬ o hµm: 1   Bµi1: Cho y = l CM R : xy ' + 1 = ey     n .  1+ x   Bµi2: Cho y = e− x si x .  CM R : y '' + 2y ' + 2y = 0     n   Bµi3: Cho y = s in ( l nx ) + cos ( l nx ) . CMR: y + xy ' + x2y" = 0    Bµi4: Cho f ( x ) = s in 32x    ;  g(x) = 4cos2x ­ 5sin4x.    Gi¶i  ph¬ng tr×nh: f'(x) = g(x)     1   Bµi5: Cho f ( x ) = 5 2x+ 1   ;  g (x ) =  5 x + 4xl 5 .        G i i bÊ t  ¶ n 2 ph¬ ng tr nh : f'(x ) 
  4. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng T×m  c¸c g iíi h ¹n sau : 2 3 3 3 x − cos x2 + x + 1 − x3 + 1 x 1 ) A =  lm 2 )  lm i i x2 x x→ 0 x→ 0 1 + 2x − 3 1 + 2 x 4 )  lm 1 − 2x + 1 + si x n 3 )  lm i i x2 3x + 4 − 2 − x x→ 0 x→ 0    ng II: Kh¶o s¸t hµm sè vµ c¸c øng dông Ch¬   II) TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè: 1)  ×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖu:   T   2)    Bµi1: T× m ® hµ sè : y = x 3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m   nghÞch   m Óm biÕn trªn (­1; 1)       Bµi2: T× m ® hµ sè : y = x3 ­ 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2  m Óm ®ång biÕn trªn (­ ∞ ; ­1] ∪  [2; + ∞ )     3   Bµi3:  T×m  m ®Ó hµm  sè : y =  m x + 2( m − 1) x2 + ( m − 1) x + m 3 ® ång b i n trªn (­ ∞ ; 0 ) ∪  [2 ; + ∞ )       Õ m −1 3 x + m x2 + ( 3m − 2) x     ® ång b i n     Bµi4:   T×m  m  ®Ó hµm  sè : y =   Õ 3 trªn R        Bµi5:  T×m  m  ® Ó hµm  sè : y = x3 ­ 3(m ­ 1)x2 + 3m(m ­ 2)x + 1  ®ång biÕn trong c¸c kho¶ng tho¶ m∙n: 1 ≤   x  ≤  2       2) Ph ng ph¸p hµm sè gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n chøa tham sè:    ¬     Bµi1:  Cho ph¬ ng tr nh : x2  ­ (m + 2)x + 5m + 1 = 0 × 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm tho¶ m∙n: x > 1. 2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm tho¶ m∙n:  x  > 4. 3) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm tho¶ m∙n: x 
  5. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng    Bµ i :  T×m  a  ®Ó ph¬ ng tr nh : (a  + 1 )x 2  ­ (8a + 1)x + 6a = 0  2 × cã ®óng 1 nghiÖm ∈ (0;1)     2 2 2 −x −x −x    Bµi3: T×m m  ®Ó  ph¬ng tr×nh:  9 2 x − m . 2x + ( 3m − 8 ) 4 2x = 0  cã  6 1 nghiÖm tho¶ m∙n:  x  ≥        2    Bµi4:  T×m m  ®Ó  ph¬ng tr×nh: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x) ( 6 − x)   = m   cã  nghiÖm   Bµi5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: cos2x ­ (2m + 1)cosx + m + 1 = 0   cã   nghiÖm    π 3π  x ∈   ;  2 2     Bµi6:  T×m m  ®Ó  ph¬ng tr×nh:   l 2 x + l 2 x + 1 − 2m − 1 = 0    cã   Ýt  og3 og3 nhÊt   mét   nghiÖm [ ]      3  x ∈  1;3   Bµi7: T×m m ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: ( ) 1)  ( x − 1) ( x − 2) x2 − 3x + m = 2 2)  x4 − 2m x3 + ( m + 4 ) x2 − 2m x + 1 = 0      2   Bµi8: T×m a ®Ó:  3x − 1 = 2x − 1  + ax  cã nghiÖm duy nhÊt 2x − 1    Bµi9: T×m m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x 2 + 4x + 6) ≥  m nghiÖm  ®óng víi ∀x        Bµi10: X¸c ®Þnh a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh: ­4 ( 4 − x) ( 2 + x)  ≤  x2 ­ 2x  + a ­ 18 nghiÖm ®óng víi ∀x ∈ [­2; 4]      − x2 + 3x − 3  
  6. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng   Bµi1: G i¶ i c¸c ph¬ng t r×nh vµ c¸c bÊt ph¬ng t r×nh sau : 1) x + 9 > 5 − 2x + 4 ( ) 2 )  l 2  x − 5x + 5 + 1  + l 3 x − 5x + 7  ≤  2     og  2 2  og    3x2 + 2x − 1 < 0    Bµi2: G i¶ i hÖ bÊt ph¬ng t r×nh :        x3 − 3x + 1 > 0  () l 2 x − l 2 x2 < 0 og og 2   Bµi3: G i¶ i hÖ bÊt ph¬ng t r×nh :  1 3          x − 3x2 + 5x + 9 > 0  3  x = y3 + y2 + y − 2   3 2   Bµi4: G i¶ i hÖ ph¬ng t r×nh :  x = z + z + z − 2           3 2 z = x + x + x − 2         4) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Chøng m i nh c¸c bÊ t ®¼ ng thøc sau : 2 2 4 1 )  1 − x < cos < 1 − x + x       ∀x > 0  x 2 2 24 2 n 2 )  ex > 1 + x + x + ..+ x      ∀x > 0 ;  ∀n ∈ N* . 2 n! 2 3) 1 ­ x ≤   e− x  ≤  1 ­ x +  x ∀x ∈ [0; 1] 2 2 4 e− x ≤  1 ­ x +  x 4) 1 ­ x ≤   ∀x ∈ [0; 1] 2( 1 + x) 1+ x 2 5)  l ( 1 + x) > x − x     ∀x > 0 n 2 x−1 6)  l x < ∀x > 1  n x III) cùc trÞ vµ c¸c øng dông:   Bµi1: T× c¸c ®iÓ cùc t r Þ cña c¸c hµ sè sau ® m m m ©y: −x 2 x 2) y =  x + 4x + 5 3) y =  e + e 1) y = x3 + 4x x+ 2 2 3 2 4) y = x (1 ­ x)         Bµi2: T× cùc t rÞ nÕu cã cña mçi hµ sè sau ® y (b iÖn l uËn m m © t heo tham sè a)   Trang:   6
  7. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng a 1 ) y = x3 ­ 2ax2 + a2x 2) y = x ­ 1 +       x− 1 x2 + 2x + m  lu«n cã  m ét cù c     Bµ i : Chøng m i 3 nh r»ng hµm  sè : y =  x2 + 2 ® ¹i µ m ét cù c ti u v íi m ä i .  v Ó  m      gi¸ trÞ  lín  nhÊ t vµ g i¸ trÞ  nhá nhÊ t    Bµ i :  T×m  g i¸ trÞ  nhá  nhÊ t vµ  g i 1 ¸ trÞ  lín  nhÊ t cñ a c¸c hµm   sè : 2 )  y   =   s i 4x   +   cos4x   +  1 ) y = s i (1 + cosx ) nx n sinxcosx + 1  π π 3) y = 5cosx ­ cos5x   víi x ∈   − ;      4)   y   =   4 4 1 + si 6 x + cos x 6 n 1 + si 4 x + cos x 4 n 12   Bµi2: Cho ph¬ng tr×nh: 12x2 ­ 6mx + m2 ­ 4 +   = 0 m2     Gäi x1, x2 lµ  nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m Max, Min cña: S =  x1 + x3      3 2 a4 b4  a2 b2  a b   Bµi3: Cho a.b ≠  0. T×m Min cña: y =  4 + 4 −  2 + 2  + +        a b a b a b    Bµi4:  Cho   x,   y  ≥   0;   x   +   y   =   1.     T×m   Max,   Min   cña:   S   =  y x +      y+ 1 x+ 1 y x +   Bµi5: Cho x, y ≥  0; x + y = 1.  T×m Min cña: S =  1− x 1−y   Bµi6: Tuú theo a t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  hµm sè: y = sin6x + cos6x + asinx.cosx           IV) tiÖp cËn:   Bµi1: T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè: 2 3 1) y =  x + 3x + 2 2) y =  x + x + 1 x   3) y =  2−x 2x2 + x − 1 x2 + 1 x( 2x − 1) 2+x 6) y =  x2 + 1    4) y =  5) y =  ( 2 − x) 2 9 − x2   Trang:   7
  8. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng   Bµi2: T× c¸c t iÖm cËn cña hµ sè (b iÖn l uËn theo tham sè m) m m x2 − 4 x+ 2 1) y =    2 ) y =     x2 − 2m x + 3 2 x − m x+ 1 2    Bµi3: Cho (C ) : y = ax + ( 2a + 1) x + a + 3 , a  ≠   ­1 ; a  ≠   0 . Chøng  x− 2 mi nh r»ng ti m  cËn x iªn cñ a (C ) lu«n ® i Ö  qua m ét ® i m  cè  ® Þnh    Ó 2   Bµi4: Cho ® thÞ (C ) : y = f ( x ) = 2x − 3x + 2 å x− 1 nh r»ng tÝ ch c¸c kho¶ng c¸ch tõ  M ∈ (C ) ® Õn ha i     1 ) Chøng m i ti m  cËn lu«n kh«ng ®æ i. Ö 2 ) T×m  M ∈ (C ) ®Ó t ng kho¶ng c¸ch tõ  M ∈ (C ) ®Õn ha i ti m   æ Ö cËn ® ¹t g i¸ trÞ  nhá nhÊ t.      V) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ:   Bµi1: Kh¶o s¸ t sù b iÕn th i ªn vµ v Ï ® thÞ cña c¸c hµ sè sau : å m 1) y = 2x  + 3x  ­ 1 3 2 3 2 2) y = x  + 3x  + 3x + 5 3 2 4) y = ­x3 + 3x2 ­ 4x + 3 3) y = x  ­ 3x  ­ 6x + 8 3 5) y = ­ x  ­ x2 + 3x ­ 4   3   Bµi2: Kh¶o s¸ t sù b iÕn th i ªn vµ v Ï ® thÞ cña c¸c hµ sè sau : å m 1 ) y = x4 ­ 2x2 2) y = ­x4 + 2x2 ­ 1 4 32 4) y =  − x  ­ x2 + 1    3) y = x4 +  x  + 1 10 2   Bµi3: Kh¶o s¸ t sù b iÕn th i ªn vµ v Ï ® thÞ cña c¸c hµ sè sau : å m − 2x − 4 2x + 1 1) y = 2 ) y =      x+ 1 x− 3   Bµi4: Kh¶o s¸ t sù b iÕn th i ªn vµ v Ï ® thÞ cña c¸c hµ sè sau : å m x2 + 3x + 3 x2 1) y = 2 ) y =  x+ 2 x−1 x2 + 2x − x2 + 6x + 13     3 ) y =  4 ) y =  x+ 1 2x + 1   Bµi5: Kh¶o s¸ t sù b iÕn th i ªn vµ v Ï ® thÞ cña c¸c hµ sè sau : å m 2 2 ) y =  2x − 8x + 11 14 13 5 x − x − x2 + 1) y = x2 − 4x + 5 4 3 3 2x2 + 4x + 5 x2 − 9x + 14 3 ) y =  4 ) y =  x2 + 1 x2 − 15 x + 50   Trang:   8
  9. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 2 5 ) y =  x + 2x + 1 6 ) y = x +  2x2 + 1     2x2 − 2x VI) phÐp biÕn ®æi ®å thÞ: V Ï ® å th Þ  cñ a c¸c hµm  sè : − x2 − x + 1 x2 − 2 x + 9 1 ) y =  2 ) y =  x+ 1 x−2 x2 − 5x + 5 x2 − 3x + 3 3 ) y =  4 ) y =  x− 2 x−1 x2 + x x +1 5 ) y =  6 ) y =  x −1 2 x −1 ( ) 7 )  y = x − 1 x2 + x − 2 VII) tiÕp tuyÕn: 1) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm thuéc ®å thÞ   Bµi1: Cho hµ sè : y = x3 ­ 1 ­ k(x ­ 1)    (1) m     1) T×m k ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi trôc hoµnh;     2)   ViÕt   ph¬ng   tr×nh   tiÕp   tuyÕn   víi   ®å   thÞ   (1)   t¹i   giao  ®iÓm cña nã víi trôc tung. T×m k ®Ó tiÕp tuyÕn ®ã ch¾n trªn c¸c  trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 5              Trang:   9
  10. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng  Bµi2: V iÕt ph¬ng t r×nh t iÕp tuyÕn cña (C ) : y =   x2 + 2x + 4 + cos   t¹ i g iao ® i m  cñ a ®êng cong v íi trô c tung .    Ó x   Bµi3: Cho (C m): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1 a) T×m m ®Ó (Cm) c¾t ®êng th¼ng y = 1 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt  C(0; 1), D, E. b) T×m m  ®Ó  c¸c tiÕp tuyÕn cña (Cm) t¹i D vµ  E vu«ng gãc  víi nhau.     ( ):y = f( x) = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 C   Bµi4: Cho 2 ® thÞ  å ( ):y = g( x) = 2x2 + m P 1 ) T×m  m ® Ó (C ) vµ (P ) ti p xó c v íi nhau . Õ    2 )  V i t  ph¬ ng  tr nh   ti p   tuyÕ n   chung   t¹ i  c¸c   ti p   ® i m   Õ × Õ Õ Ó chung cñ a (C ) v íi (P ).     1 5   Bµi5: Cho ® thÞ (C ) : y = f ( x ) = x4 ­ 3x2 +  å 2 2 1) Gäi t lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M cã xM = a. CMR: hoµnh  ®é   c¸c   giao   ®iÓm   cña   t   víi   (C)   lµ   nghiÖm   cña   ph¬ng   tr×nh:  ( ) ( x − a) 2 x2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 2) T×m a ®Ó t c¾t (C) t¹i P vµ Q ph©n biÖt kh¸c M. T×m quü  tÝch trung ®iÓm K cña PQ.     2   Bµi6: T× m ® t ¹ i g iao ®iÓ cña (C ) : y = ( 3m + 1) x − m + m  v íi  m Ó m x+ m trô c Ox ti p tuyÕ n cña (C ) song song v íi (∆ ): y = x ­ 10 . V i t  Õ Õ ph¬ ng tr nh ti p tuyÕ n ® ã . × Õ       2x − 1    Bµi7: Cho (C ) : y =   vµ  M bÊ t kú  thu é c (C ). G ä i I lµ   x−1 giao  ® i m  cñ a ha i ti m  cËn . ti p tuyÕ n t¹ i M c t ha i ti m  cËn   Ó Ö Õ ¾ Ö t¹ i A vµ B . 1 ) CM R : M lµ  trung ® i m  cñ a A vµ B . Ó   2 ) CM R : S∆ IAB kh«ng ®æi 3) T×m m ®Ó chu vi ∆ IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.    2   Bµi8: Cho (C ) : y = 2x − 3x + m   (  ≠  0 , 1 ) m x− m Chøng   m i   r»ng   ti p   tuyÕ n  t¹ i  g i   ® i m   cñ a   (C )  v íi  Oy  nh Õ ao Ó c t ti m  cËn ® øng t¹ i ® i m  cã  tung ® é b»ng 1     ¾ Ö Ó 2   Bµi9: Cho (C ) : y = − 3x + m x + 4 4x + m   Trang:    10
  11. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng       T×m  m ® Ó ti p tuyÕ n t¹ i ® i m  cã  hoµnh ® é x = 0 vu«ng gãc  Õ Ó v íi ti m  cËn cña ® å th Þ  (C ).     Ö 2   Bµi10: Cho ® thÞ (C ) : y = x + 2x + 2 å x+ 1 1 ) § i m  M  ∈  (C ) v íi xM  = m. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn  Ó (tm) t¹i M.    2) T×m m  ®Ó  (tm) qua B(1; 0). CMR: cã  hai gi¸ trÞ  cña m  tho¶ m∙n yªu cÇu bµi to¸n vµ hai tiÕp tuyÕn t¬ng øng vu«ng gãc  víi nhau.  3) Gäi I lµ  giao  ®iÓm cña hai  ®êng tiÖm cËn. TiÕp tuyÕn  t¹i M víi (C) c¾t hai ®êng tiÖm cËn t¹i A vµ B. CMR: M lµ trung  ®iÓm cña AB vµ  diÖn tÝch ∆ IAB kh«ng phô  thuéc vµo vÞ  trÝ   ®iÓm  M trªn (C).      2) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc cho tríc     Bµi1: V iÕt ph¬ng t r×nh t iÕp tuyÕn v í i ® thÞ (C ) : y = x3  ­  å 1 3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: y =  x.     3 4   Bµi2: Cho hµ sè (C ) : y = f ( x ) = x  ­ x3 ­ 3x2 + 7 m 2 T×m m  ®Ó   ®å  thÞ  (C) lu«n cã   Ýt nhÊt hai tiÕp tuyÕn song  song víi ®t: y = mx     2   Bµi3: Cho (C ) : y = x + 3x + 3 . V i t ph¬ ng tr nh ti p tuyÕ n cñ a  Õ × Õ x+ 2 (C ) vu«ng gãc v íi ®êng th¼ ng (∆ ): 3y ­ x + 6 = 0   2 y = 2 x − 3x − 1      Bµi4: V iÕt ph¬ng t r×nh t iÕp tuyÕn cña (C ) : 4x + 3 x vu«ng gãc v íi ®êng th¼ ng : y = ­   + 2       3 2   Bµi5: Cho ® thÞ (C ) : y = x + 2x − 1 å x−1          V i t ph¬ ng tr nh ti p tuyÕ n cña (C ) vu«ng gãc v íi ti m   Õ × Õ Ö cËn x iªn  cña nã . Chøng m i nh r»ng  ti p   ® i m  lµ  trung   ® i m  cña  Õ Ó Ó ® o¹n ti p tuyÕ n bÞ ch¾ n bë i ha i ti m  cËn .     Õ Ö   Bµi6: Cho (C m): y = x  + mx  ­ m ­ 1 4 2   Trang:    11
  12. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng T×m  m  ® Ó ti p  tuyÕ n v íi  ® å th Þ  t¹ i A song  song  v íi  ®êng  Õ th¼ ng y = 2x v íi A lµ  ® i m  cè  ® Þnh cña (C m) cã hoµnh ®é d¬ng.  Ó 2   Bµ i : Cho ® å th Þ  (C a): y =  x + 3x + a 7 x+ 1 T×m a  ®Ó  (Ca) cã  tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi  ®êng ph©n gi¸c  cña gãc phÇn t thø nhÊt cña hÖ to¹ ®é.      2   Bµi8: Cho (C): y =  2x − x + 1 . CMR: trªn ®êng th¼ng y = 7 cã 4  x+ 1 ®iÓm sao cho tõ  mçi  ®iÓm  ®ã  cã  thÓ  kÎ   ®Õn (C) hai tiÕp tuyÕn   lËp víi nhau gãc 450.     3) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua mét ®iÓm cho tríc ®Õn ®å thÞ 19    Bµi1:  ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn  ®i qua A  ;    ®Õn  ®å  thÞ   4  12  3 2 (C): y = f(x) = 2x  + 3x  + 5       Bµi2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(0; ­1) ®Õn (C): y  = 2x3 + 3(m ­ 1)x2 + 6(m ­ 2)x ­ 1       Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2 23 1) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A  − ; 2   ®Õn (C). −  9  2) T×m trªn ®êng th¼ng y = ­2 c¸c ®iÓm kΠ®Õn (C) hai tiÕp  tuyÕn vu«ng gãc víi nhau.        Bµi4: Cho (C): y = ­x3 + 3x + 2 T×m trªn trôc hoµnh c¸c  ®iÓm kÎ   ®îc 3 tiÕp tuyÕn  ®Õn  ®å  thÞ (C)       Bµi5: Cho ®å thÞ (C): y = f(x) = x4 ­ x2 + 1 T×m c¸c ®iÓm A ∈ Oy kΠ®îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C)        Bµi6:  T×m trªn  ®êng th¼ng x = 3 c¸c  ®iÓm kÎ   ®îc tiÕp tuyÕn  2x + 1 ®Õn (C): y =       x+ 1 ViiI) øng dông cña ®å thÞ: 1) XÐt sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:    Bµi1: BiÖn luËn theo m sè  nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x ­ 4x3 =  3m ­ 4m3        Bµi2: T×m m  ®Ó  ph¬ng tr×nh: x3 ­ 3x + 2 + m = 0 cã  3 nghiÖm  ph©n biÖt       Trang:    12
  13. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng    Bµi3: T× a ® ph¬ng t r×nh : x3  ­ 3x2  ­ a = 0 cã  ba nghiÖm  m Ó ph©n biÖt trong ®ã cã ®óng 2 nghiÖm lín h¬n 1.        Bµi4: B iÖn l uËn theo b sè ngh iÖ cña ph¬ng t r×nh : x4  ­2x2  ­  m 2b + 2 = 0        Bµi5: B iÖn l uËn theo a sè ngh iÖm cña ph¬ng t r×nh : x2 + (3 ­  a)x + 3 ­ 2a = 0 vµ so s¸nh c¸c nghiÖm ®ã víi ­3 vµ ­1     2    Bµi6: T× m ® − 2x + 10 x − 8   = x2  ­ 5x + m cã  4 nghiÖm ph©n  m Ó biÖt.     2) Sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ hµm sè: Bµi to¸n vÒ sè giao ®iÓm Bµi1: T× k ® ® m Ó êng th¼ng y = kx + 1 c¾t ® thÞ : y = å x2 + 4x + 3  t¹ i ha i ® i m  ph© n b i t.     Ó Ö x+ 2   Bµi2: T× m ® ® thÞ : y = x3 + 3x2 + mx + 1 c¾t ®êng th¼ng y  m Óå = 1 t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt.       Bµi3: Cho (C m): y = x3 ­ 2mx2 + (2m2 ­ 1)x + m(1 ­ m2) T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d¬ng    Bµi4: Cho (C m): y = f(x) = x3 ­ 3mx2 + 3(m2 ­ 1)x ­ (m2 ­ 1)  T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d¬ng    Bµi5: Cho (C m): y = f(x) = x3 ­ 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x ­ (m3 +  1) T×m m ®Ó (Cm) c¾t Ox t¹i ®óng mét ®iÓm.   Bµi6: T× m ® (C m): y = x3 + m(x2 ­ 1) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n  m Ó biÖt 1    Bµi7: T× m ® (C m): y =  x 3  ­ x + m c¾t Ox t¹i ba ®iÓm ph©n  m Ó 3 biÖt    Bµi8: T× m ® (C m): y = x3 + 3x2 ­ 9x + m c¾t Ox t¹i 3  ®iÓm  m Ó ph©n biÖt    Bµi9: T× m ® (C m): y = x3 ­ 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x ­ m3 ­ 1  m Ó c¾t Ox t¹i ®óng 1 ®iÓm  Bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c giao ®iÓm Bµi1: T× m ® (C m): y = f(x) = x3 ­ 3mx2 + 4m3 c¾t ®êng th¼ng  m Ó y = x t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt lËp thµnh cÊp sè céng.       Trang:    13
  14. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng   Bµi2: T× m ® (C m): y = f(x) = x3 ­ (2m + 1)x2 ­ 9x c¾t trôc  m Ó Ox t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt lËp thµnh cÊp sè céng.       Bµi3: T× m ® ® m Ó êng th¼ng y = m c¾t ® thÞ hµ sè (C ) : y = x4  å m 2 ­ 5x  + 4 t¹i A, B, C, D ph©n biÖt mµ AB = BC = CD     3) C¸c ®iÓm ®Æc biÖt:    Bµi1: T× ®iÓ cè ® m m Þnh cña (C m): y = x3 ­ (m + 1)x2 ­ (2m2 ­  3m + 2)x + 2m(2m ­ 1)       Bµi2: CMR: (C m): y = (m + 2)x3 ­ 3(m + 2)x2 ­ 4x + 2m ­ 1 cã 3  ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ba  ®iÓm cè ®Þnh ®ã.       Bµi3: CMR: (C m): y = (m + 3)x3 ­ 3(m + 3)x2 ­ (6m + 1)x + m +  1 cã 3 ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i  qua ba ®iÓm cè ®Þnh ®ã.        x2 − 2m x + m + 2   Bµi4: Cho hä ® thÞ (C m): y =  å x− m T×m c¸c  ®iÓm  trªn Oy  mµ  kh«ng cã   ®å  thÞ  nµo cña (Cm)  ®i  qua.    2   Bµi5: Cho hä (C m): y =  x − 2m x + m + 2 x− m T×m c¸c ®iÓm ∈ Oxy mµ kh«ng cã ®å thÞ nµo cña (Cm) ®i qua     Bµi6: Cho (C m): y = 2x3  ­ 3(m + 3)x2  + 18mx + 6. CMR: trªn  Parabol (P): y = x2 + 14 cã  2  ®iÓm mµ  kh«ng cã   ®å  thÞ  nµo cña  (Cm) ®i qua.     2 2   Bµi7: Cho hä ® thÞ (C m): y =  − x + m x − m å x− m T×m c¸c ®iÓm ∈ Oxy cã ®óng 2 ®êng cong cña hä (Cm) ®i qua.  x2 + x − 1   Bµi8: T× M ∈ ( C ) : y = m  cã  to ¹ ® é lµ  c¸c sè  nguyªn .  x+ 2 4) quü tÝch ®¹i sè:   Bµi1: Cho (C m): y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C): y = x3 + 2x2 + 7 CMR:   (Cm)   lu«n   c¾t   (C)   t¹i   A,   B   ph©n   biÖt.   T×m   quü   tÝch  trung ®iÓm I cña AB     2   Bµi2: Cho (C ) : y = x + 4x + 3  vµ ®êng th¼ ng (D ): y = m x + 1 . x+ 2   Trang:    14
  15. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng T×m  m  ®Ó (D ) c t (C ) t¹ i ha i  ® i m  A , B ph© n b i t. T×m  quü  ¾ Ó Ö tÝ ch trung ® i m  I cñ a AB .     Ó 2    Bµi3:   T×m  m  ® Ó (C m): y =   x − ( 2m + 3) x + 6   cã  cùc  ®¹i, cùc tiÓu  x− 2 vµ t×m quü tÝch cùc ®¹i, cùc tiÓu.     x2 − ( 2m + 1) x + m 2 − m    Bµi4: Cho hä ® thÞ (C m): y =   å . T×m   quü  2 2 x + m + 4m + 5 tÝch giao ®iÓm cña (Cm) víi c¸c trôc Ox, Oy khi m thay ®æi.       Bµi5: Cho (C ) : y = x3 ­ 3x2 vµ ®êng th¼ng d: y = mx. T×m m ®Ó  d c¾t (C) t¹i ba  ®iÓm ph©m biÖt A, O, B. T×m quü  tÝch trung   ®iÓm I cña AB.     2   Bµi6: T× quü t Ých cùc ®¹ i , cùc t iÓu cña y = x + m x − m − 1      m x+ 1   Bµi7: T× quü t Ých t© ® xøng cña (C m): y = mx  ­ 2(m + 1)x2  m m èi 3 + 2(m ­ 3)x + m ­ 1     5) t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: x3    Bµi1: T× m ≠ 0 ® (C ) : y = - m Ó  + 3m x2 ­ 2  NhËn I(1; 0) lµ  m t©m ®èi xøng.      Bµi2: Cho (C m): y = x3 + mx2 + 9x + 4    T×m m ®Ó trªn (Cm) cã  mét cÆp ®iÓm ®èi xøng nhau qua gèc to¹ ®é.     2    Bµi3: T× t r ªn (C ) : y = x + x + 2   c¸c c p  ® i m   ® è i m Æ Ó  xøng nhau  x−1 5 qua I  0;          2   Bµi4: CMR: ® êng th¼ng y = x + 2 l µ t rôc ® xøng cña ® thÞ : èi å x− 1 y=      x+ 1 2   Bµi5: Cho hµ sè : y = x m x− 1 T×m  ha i  ® i m  A , B n»m  trªn   ® å th Þ  vµ   ® è i Ó  xøng nhau qua  ®­ êng th¼ ng : y = x ­ 1         ng III: TÝch ph©  Ch¬ n I) nguyªn hµm:   Trang:    15
  16. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 1) X¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng c«ng thøc:    Bµi1: CMR hµ sè : F (x ) = x − l ( 1 + x )   lµ   m ét  nguyªn   hµm   cña  m n x hsè : f(x ) =       1+ x x2 a x + a + l x + x2 + a     v íi a ≠  0   Bµi2: CMR hµ sè : y = m n 2 2 lµ  m ét nguyªn hµm  cñ a hµm  sè : f(x ) =  x2 + a      ( )    Bµi3: X¸c ®Þnh a , b , c ® hµ sè : F (x ) = ax2 + bx + c 2x − 3  lµ   Óm 2 m ét nguyªn hµm  cña hµm  sè : f(x ) =  20 x − 30 x + 7      2x − 3   Bµi4: TÝnh c¸c nguyªn hµ sau ® m ©y: 2 5 4 2 )  ∫ 4x − 3x − 1 dx   1) ∫  x + 1  dx  3 x4  x 3 ( )3 3 )  ∫  x + 1  dx x + 23 x dx 4 )  ∫    x ( 3 x + 1) ( x ­ 3 x + 2) dx 6 )  ∫  x + 1  dx 5 )  ∫    x 4 2 8 )  ∫ x + 4x dx 7 )  ∫  x2 + 1  dx    x x x4 + x− 4 + 2 ( ) 2 3 10 )  ∫ 9 )  ∫ ax + b dx dx   3 x 11 )  ∫ x( x + a) ( x + b) dx       12 )  ∫ 2x exdx  ( )2 14 )  ∫ ex + e­x + 2dx 13 )  ∫ 2 x − ex dx   e2­ + 1 5x x ­x 16 )  ∫ 15 )  ∫ e + e − 2dx dx ex x ­1 17 )  ∫ 18 )  ∫ 1 ­cos2x dx dx x+1 4si 2x n 19 )  ∫ dx 1 + cosx 2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: TÝnh c¸c nguyªn hµm  sau ®© y:   Trang:    16
  17. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 2x − 4 2)  ∫ 2 1)  ∫ ( 3x + 1) 4 dx    dx  x − 4x + 2 2x dx 4)  ∫ dx 3)  ∫   2 xl nx x+ x − 1 ( )3 5)  ∫ x x + 1dx 6)  ∫ ex + 1 dx x+ 4 x 7)  ∫ 8)  ∫ dx   dx 2 2 1+ x x − 2x + 1 x3 x+ 1 10)  ∫ 9)  ∫ dx dx    x− 2 x2 − 2x + 1 xdx 11)  ∫ 12)  ∫ x x2 + 1dx 3 ( x + 1) dx 14)  ∫ 4 13)  ∫ cos xdx si 2xcos x 2 n x3 dx 16)  ∫ 15)  ∫ x 2x ­1dx (x4 − 4)2 ( )3 18)  ∫ si 5 xcos 17)  ∫ 2x3 + 1 x2dx n xdx 1x 19)  ∫ t 3 xdx 20)  ∫ e dx g x 1+ x etgx 1 22)  ∫ l n dx 21)  ∫ dx 1− x 2 2 1− x cos x dx 24)  ∫ 23)  ∫ x3 3 1 + x2 dx xl x.n( l x) nln 25)  ∫ x x ­1dx   3) Ph¬ng ph¸p nguyªn hµm tõng phÇn: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: 1)  ∫ ( 2x + 1) cos 2)  ∫ x2 exdx xdx 4)  ∫ ex si xdx 3)  ∫ l xdx n n 5)  ∫ cosl x) dx (n 6)  ∫ xe xdx 1 1 8)  ∫ e2x si 2 xdx 7)  ∫  2 − dx n  l x l x n n 1 + x 9)  ∫ xl  n dx   1 − x 4) Nguyªn hµm hµm h÷u tû:   Trang:    17
  18. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng   Bµi1: TÝnh c¸c nguyªn hµ sau ® m ©y: x2 dx 2 )  ∫ ∫ 1) dx    x2 + x + 1 x2 + 1 x dx 3 )  ∫ 4 )  ∫ 2 dx x − a2 x2 + x + 1 x2 + x + 1 dx 5 )  ∫ 6 )  ∫ dx x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 x+ 1 dx 7 )  ∫ 2 8 )  ∫ 3 dx ( ≠ 0)  a   x − a2 x −1 x+ 1 dx 9 )  ∫ 3 10 )  ∫ 4 dx    x + 4 x2 + 3 x −1 x+ 1 dx 11 )  ∫ 2 12 )  ∫ 2 dx     x ( x ­1) x + 2x ­3 x3 − 1 xdx 14 )  ∫ 13 )  ∫ dx x4 − 3x2 + 2 4x3 − x x7 15 )  ∫ dx (x ) 2 4 +1 2   Bµi2: 1 ) Cho hµ sè y = 3x + 3x + 3 m x3 − 3x + 2 a ) X¸c ® Þnh c¸c h»ng sè  A , B , C ® Ó : A B C + + y =  ( x − 1) 2 ( x − 1) x + 2 b ) T×m  hä nguyªn hµm  cñ a hµm  y   Bµi3: a ) X¸c ® Þnh c¸c h»ng sè A, B sao cho 3x + 1 A B = + 3 3 ( x + 1) 2 ( x + 1) ( x + 1) b ) D ùa vµo kÕ t qu¶ trªn ®Ó t m  hä nguyªn hµm  cñ a hµm  sè  :  × 3x + 1 f(x ) =  ( x + 1) 3 5) Nguyªn hµm hµm lîng gi¸c: TÝnh c¸c nguyªn hµm  sau ®© y: dx 2 )  ∫ si 2xdx 1 )  ∫ n si x. x n cos   Trang:    18
  19. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng dx x 3 )  ∫ 4 )  ∫ cos . x cos dx cosx 2 dx dx 6 )  ∫ 5 )  ∫ si 2x + 2si ­2 4si + 2cosx 5 + nx n nxcosxcos x 6 8 )  ∫ t 5 xdx 7 )  ∫ cos xdx g dx dx 9 )  ∫ 10 )  ∫ 6 si 6x cos x n cos2x dx 11 )  ∫ 12 )  ∫ dx si 2 x. 2 x 2 si 2 cos x. n x n cos 13 )  ∫ si 14 )  ∫ cosx. n2x. xdx cos3 cos2x n4xdx .si 3 2 15 )  ∫ cos x. n8xdx 16 )  ∫ cos xdx si 17 )  ∫ si 3xdx 18 )  ∫ t 2xdx n g tgx 20 )  ∫ 19 )  ∫ si 2x. dx n cosxdx 3 cos x 2 4 cos x + 1 21 )  ∫   si x + 3 cos n x 6) Nguyªn hµm hµm v« tû: TÝnh c¸c nguyªn hµm  sau ®© y: dx dx 1 )  ∫ 2 )  ∫ 4 − x2 x+ 1 x−1 dx dx 3 )  ∫ 4 )  ∫ x( x + 2) x 1 ­x x+ 1+ 2 5 )  ∫ 3 x + 1 dx 6 )  ∫ dx ( x + 1) 2 − x + 1 x ­1 x + 1 dx dx 8 )  ∫ 7 )  ∫ x+ 1 + 3 x+ 1 x + 1 + x+ 1 9 )  ∫ 4 − x2 dx  10 )  ∫ − 4x − x2 dx dx 11 )  ∫ − 3x2 + 4x − 1 II) tÝch ph©n : 1) Dïng c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n:   Trang:    19
  20. Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng   Bµi1: TÝnh c¸c t Ých ph ©n sau : π π ( ) 4 2 ∫ cos xdx 1) 2 )  cos x cos x + si 4 x dx 4 ∫2 n 0 0 π π 2 3 3 )  si x + 7 cos + 6 dx 4 )  ∫ x cos x cos xdx n x 5 ∫ 4 si x + 3 cos + 5 n x 0 0 π π 2 4 5 )  cos x si 2 xdx 6 )  si 4 xdx 3 ∫ ∫n n 0 0 si x n   Bµi2: Cho f ( x ) = si x + cos n x cos − si x  x n 1 ) T×m  A , B sao cho f(x ) = A + B     cos + si x  x n π 3 2 ) TÝnh : I =  f( x) dx ∫ 0 si 2x n   Bµi3: Cho hµ sè : h(x ) = m ( 2 + si x) 2 n A cosx B +   1 ) T×m  A , B ®Ó h (x ) =  2 + si x ( 2 + si x) 2 n n 0 2 ) TÝnh : I =  ∫ h( x) dx π 2   Bµi4: Cho hµ sè : f ( x ) = 4cosx + 3s inx m ; g(x ) = cosx + 2s inx 1) T× A, B ® g(x ) = A. f ( x ) + B. f ' ( x ) m Ó π 4 g( x) 2) TÝnh : I =   ∫ f( x) dx 0   Bµi5: TÝnh c¸c t Ých ph©n sau : ( )5 1 1 xdx 34 ∫ 2 )  ∫ x x − 1 dx 1) 2 +1 0x 0 2 e exdx 2 3 )  ∫ x 4 − x dx 4 )  ∫ x −1 1e 0   Trang:    20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2