HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Chia sẻ: Nguyen Minh Tien | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

6.897
lượt xem 323
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ngày soạn :……… /………./ 2009 CHỦ ĐỀ 1: Ngày giảng:…….. /………../ 2009 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo. II/ Nội dung: I. Kiến thức cơ bản: 1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Định lí 1: b2 = a. c’ ; c2 = a .c’ A - Định lí 2: h = b’ .c’ 2 b c - Định lí 3: b.c = a.h ` h C 1 1 1 B a - Định lí 4: 2 = 2 + H h b c2 2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.SinB = a.CosC c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB - Nếu biết 1 góc nhọn α thì góc còn lại là 900 - α - Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc ⇒ Tìm góc đó bằng cách tra bảng - Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn - Từ hệ thức : b = a.SinB = a . CosC A b b ⇒ a= = c b SinB CosC c = a. SinC = a . CosB C C B C ⇒ a= = a SinC CosB 30 Ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho ∆ vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền là A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác Ví dụ2: Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường cao là A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác Ví dụ3: Cho ∆ có các độ dài các cạnh như sau. ∆ nào là ∆ vuông ? 1
A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 ) ˆ Ví dụ4: Cho ∆ ABC ( A = 1v), AH ⊥ BC ; AB = 6, AC = 8 Tính AH = ? HB = ? HC = ? ˆ Theo pi ta go : ∆ ABC ( A = 1v) A BC = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 - Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC AB. AC 6.8 ⇒ AH = = = 4,8 BC 10 B C Từ đ/lí 1: H AB2 = BC. HB AB 2 62 ⇒ HB = = = 3,6 BC 10 AC2 = BC . HC AC 2 8 2 ⇒ HC = = = 6,4 BC 10 Ví dụ5: ˆ ∆ ABC( A = 1v) ; AH ⊥ BC A GT AH = 16 ; HC = 25 KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? Hướng Dẫn 16 C ˆ - Pi ta go ∆ AHC ( H = 1v) B H 25 AC = AH 2 + HC 2 = 16 2 + 25 2 = 881 = 29,68 Từ đ/lí 1: AC2 = BC.HC AC 2 (29,68) 2 BC = = ≈ 35,24 HC 25 ˆ Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v) AB = BC 2 − AC 2 = 35,24 2 − 29,68 2 ≈ 18,99 A Từ đ/lí 2: AH2 = HB.HC AH 2 16 2 ⇒ HB = = = 10,24 3 4 HC 25 Ví dụ6: ˆ Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 C ˆ B a) Tính tỉ số lượng giác của C H b) Từ KQ ( a) ⇒ các tỉ số lượng giác của góc B Hướng Dẫn ˆ a. Theo Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v) BC = AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 2
AB 3 AC 4 AB 3 AC 4 SinC = = ; CosC = = ; tgC = = ; CotgC = = BC 5 BC 5 AC 4 AB 3 Do B ˆ ˆ và C là hai góc phụ nhau 4 3 SinB = cosC = ; cosB = sinC = 5 4 4 3 gB = cotgC = ; cotgB = tgC = 3 4 5 Ví dụ7: Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = 6 ; B = α tg α = ˆ ˆ . Tính 12 a) AC = ? A b) BC = ? 6 AC 5 a. tg α = = AB 12 B α 5. AB 6.5 C ⇒ AC = = = 2,5 (cm) AC 12 ˆ b) Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v) BC = AB 2 + AC 2 = 6 2 + (2,5) 2 = 42,25 = 6,5 (cm) Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức 1). 1 – Sin2 α = ? 2). (1 - cos α ).(1+ cos α ) = ? 3). 1+ sin2 α + cos2 α = ? 4). sin α - sin α .cos2 α = ? 5). sin4 α + cos4 α + 2sin2 α .cos2 α = ? 6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620 Gợi ý a) sin2 α + cos2 α = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2 α b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 α c) Đs : = 2 d) đặt thừa số chung Đs : sin3 α e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1 Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 750 Hướng Dẫn Kẻ AH ; BK ⊥ CD A B Ta có : AB = KH = 12 (cm) ⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6 6 DH = = 3 (cm) 2 AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196 C H K D 3
( AB + DC ). AH (12 + 18).11,196 SABCD = = 2 2 = 167,94 (cm) ˆ Ví dụ9: Cho ∆ ABC có góc A = 200 ; B = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm B a) AP ? ; BP ? b) CP ? P 60 A C Hướng Dẫn a) Kẻ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ tại H ⇒ AH = AB . SinB 1 B = 60.Sin300 = 60. = 30 2 P ˆ ∆ AHC ( H = 1v) 60 AH = AC. Cos400 AH 30 ⇒ AC = 0 = = 39,164 Cos 40 0,7660 A ˆ C ∆ APC có ( P = 1v) AP = AC.Cos 200 H = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 ˆ b) ∆ APC ( P = 1v) CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 4
HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ các vũng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Lời giải sơ lược: A Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được: 20 ? 2 2 AB = BH. BC hay 20 = x(x + 9). Thu gọn ta được phương trỡnh : x2 + 9x – 400 = 0B x H 9 C Giải phương trỡnh này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm Lưu ý : Giải PT bậc 2 nờn dựng mỏy tớnh để giải cho nhanh. Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu µ Bài 2: Cho tam giỏc ABC , B = 600 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Lời giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và AH = x 3 ; HC = 8 – x A Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H ( x 3) 2 + ( 8 − x) = 2 Ta cú: AC = 4 x 2 − 16 x + 64 2x ° 60 Do AB + AC = 12 nờn 2x + 4 x 2 − 16 x + 64 = 12 B x H 8cm C Giải PT trên ta được : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm . Diện tớch tam giỏc ABC = 10 3 cm. Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BD là phõn giỏc. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập A phân) 1cm Bài giải sơ lược D 10 cm Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. B Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = x 2 − 9 . C Do AD = 1 nờn DC = x 2 − 9 – 1 x Tam giỏc ABC cú BD là phõn giỏc gúc ABC nờn : 5
AB AD 3 1 = hay x = . Từ đó ta được phương trỡnh 8x2 – 6x – 90 = BC DC x2 − 9 −1 0 Xử dụng mỏy tớnh tỡm được x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm A 4 Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; BD là phõn giỏc . Biết AD = 4cm; 4 10 D BD = 4 10 cm . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. B C (Nhập kết quả dưới dạng phân số) x - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả theo yờu cầu. Bài 5: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hỡnh thang cõn đó. Bài giải sơ lược: A X B Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) X 10 − x Suy ra : DH = CK = . D H K C 2 10cm 10 − x x + 10 Vậy HC = HK + CK = x + = 2 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH 10 − x 10 + x Ta cú : AH2 = DH . CH hay x 2 = . ⇔ 5x2 = 100 2 2 Giải phương trỡnh trờn ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại) Vậy : AH = 2 5 Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Bài giải sơ lược: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x A Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15, 62 + x 2 Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: BC KB 2x 12 = hay = 15,6 AC AH 15, 6 + x 2 2 15, 6 K Đưa về phương trỡnh 15,6 + x = 6,76x 2 2 2 12 Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5 B // H // C Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) 2x Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức : 1 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 2 6
2 Hướng dẫn: α + β = 900 ⇒ sin α = cos β ; cos α = sin β ; ..... và cos450 = ta được: 2 1 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 2 1 = (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0  2 2 0 1 = (cos 1 + sin 1 ) + (cos 2 + sin 2 ) + .... + (cos 44 + sin 44 ) +  ÷ –  2 ÷   2 = 1.44 = 44 Bài tập tương tự: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 1 a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – . 2 b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 . c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 . Bài 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tớnh chu vi của hỡnh chữ nhật ABCD ? Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy A x B ra chu vi của hỡnh chữ nhật bằng 2(x + y) Cỏch 1: Ta cú SABCD = x.y hay x.y = 108 108 cm2 108cm 2 y Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y) = 9 hay (x + y) – 4xy = 9 (1) 2 2 C Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 ⇒ x + y = 21D Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9 Vậy chu vi của hỡnh chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm Cỏch 2: Từ x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trỡnh: x (x – 3) = 108 ⇔ x2 – 3x – 108 = 0 (1) ⇔ x2 – 12x + 9x – 108 = 0 ⇔ ( x – 12)(x + 9) = 0 Nghiệm dương của phương trỡnh x = 9. Từ đó tỡm y và trả lời kết quả. Lưu ý: Giải phương trỡnh (1) trờn mỏy tớnh để đưa ra kết quả nhanh hơn. Bài tập tương tự: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú diện tớch 504 dm2. Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC. Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trỡnh: x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = 3 5 cm. Hỡnh vuụng ADEF cạnh bằng 2 cm cú 4 D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC. Biết AB > AC và S ADEF = S ABC . Tớnh AB ; AC. 9 7
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2 + y2 = ( 3 5 ) = 45. (1) 2 C Hỡnh vuụng ADEF cú cạnh bằng 2 nờn S ADEF = 4 F // E 4 Mà S ADEF = S ABC nờn SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) = = 9 // Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9 A D B Do x > y > 0 nờn x + y = 9 và x – y = 3 Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác , · M là trung điểm BC. Cho biết BIM = 900 . Tớnh BC : AC : AB ? · Hướng dẫn: Chỳ ý BIM = 900 ; I là giao điểm các đường phân giác A · ta tính được DIC = 45 , từ đó chứng minh được BC = 2CD 0 D b c I và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD 1 2 kết hợp với định lý pitago ta tỡm được mối quan hệ giữa B 1 // M // C ba cạnh tam giỏc. a Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI I AC . µ µ µ I 2 = B1 + C1 (gúc ngoài tam giỏc BIC) = 2 ( 1 · ABC + · ) 1 ACB = .900 = 450 (do BI và CI là phõn giỏc của cỏc gúc B và C và ∆ ABC 2 · µ vuụng ở A); kết hợp với giả thiết BIM = 900 ta được I1 = 450 . Vậy ∆ CIM = ∆ CID (g.c.g) Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1) AB AD AB BC BD là phõn giỏc của tam giỏc ABC nờn = hay = = 2. BC DC AD CD Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2) Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) b Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = (4) 2 5b 5b 3b Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = . Vậy a = . Do đó c = . 2 4 4 5b 3b 5 3 5 3 Vậy a : b : c = : b : = :1: = ( .4 ): (1.4) : ( .4) = 5 : 4 : 3 4 4 4 4 4 4 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3 Lưu ý: Bài toỏn này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bỡnh” cú sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn: Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = 2y. Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2.6 = 12 cm A Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A / Ta được: x + 4y = 144 (1) và x + y = 81 2 2 2 2 ⇔ y2 = 81 – x2 (2) 6 N Thay (2) vào (1) ta được phương trỡnh : 9 / // // C B M 8
x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 Thu gọn phương trỡnh trờn ta được phương trỡnh : 3x2 = 180 Nghiệm dương của phương trỡnh : x = 2 5 Trả lời: AB = 2 5 cm A Bài 12: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tớnh cos A . Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được 13 50 119 AK 119 119 CK = ⇒ AK = Vậy cos A = = : 13 = K 13 13 AB 13 169 119 Trả lời: cos A = B // H // C 169 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HèNH 9 CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG • Hệ thức lượng trong tam giác vuông A- Nhắc lại lớ thuyết : Cho tam giỏc ABC cú Â = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau: A b 2 = ab' c 2 = ac ' c h b C bc = ah B c' H b' h 2 = b' c ' 1 1 1 = + h2 b2 c 2 B- Một số bài tập ỏp dụng: BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hóy tớnh cỏc cạnh gúc của tam giỏc này? HD: C c - 1=a; a+b- c =4; a 2+b 2=c 2 Suy r a b =5 ; Thay a = c - 1 & b =5 b a → ( c - 1) 2+5 2=c 2 A B c Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC HD: Gọi chu vi ∆AHB, ∆CHA, ∆CAB lần lượt là p1 ,p2 , p3 9
p1 AB 3 BC A AHB ∼ CHA → = = =. . . . . = p2 AC 4 5 AB AC BC C Suy r a = = & AHB ∼ CHA ∼ CAB 3 4 5 B H Từ đó tính được chu vi ∆ABC bằng 50 cm. BT 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC ? HD: Theo tính chất của đường phõn giỏc trong thỡ AB DB 3 AB AC AB 2 AC 2 BC 2 49 = = suyra = = = = = . Từ đó tính được AB, BC, AC . AC DC 4 3 4 9 16 25 25 Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 . HD: Áp dụng Pytago cho cỏc tam giỏc ADC, ABE C CD2=AD2+AC2 & BE 2= AB2+AE 2 CD2+BE 2=AD2+ AC2+AB2+AE 2 m AC2+AB2=BC2& AD2+AE 2=DE 2 a E A D B BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: 3 FB  AB  A a) = ÷ F FC  AC  b) BC . BE . CF = AH3 E C HD: Hỡnh vẽ bờn B H a) Trong ∆AHB cú HB2 = BE . BA (1) ; ∆AHC cú HC2 = CF . CA (2 ) HB 2 BE AB Từ (1) và (2) cú : = . . Trong ∆ABC cú :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC HC 2 FC AC 2 4 HB AB 2  HB   AB  suy ra = ⇔ ÷ = ÷ HC AC 2  HC   AC  3 EB  AB  Vậy = ÷. FC  AC  BE BH AB 2 AB 3 b) ∆ABC : ∆EBH → = . Thay BH = → BE = (3) BA BC BC BC 2 10
AC 3 Tương tự ta cũng có CF = ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta cú BC 2 AB 3 . AC 3 BE .CF = . Mà AB. AC = BC . AH nờn BC . BE . CF = AH3 BC 4 • VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG. A- Lớ thuyết Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông . Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông ) 1 1 1 +S = bc . sin A = ca. sinB = ab .sin C (1) 2 2 2 +S = p ( p − a )( p − b)( p − c) (2) Cụng thức Heron ; p là nửa chu vi tam giỏc abc +S = (3) 4R + S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường trũn ngoại tiếp tam giỏc, r là bán kính đường trũn nội tiếp tam giỏc + Nếu a2 < b2 + c2 thỡ gúc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập ) + a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC +Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thỡ trong ∆AHB có AH = c.sin B. Do đó diện tích ∆ABC là : 1 1 1 S = AH . BC = c.sinB . a = ac. sinB 2 2 2 1 Hay S = ac.sinB . Đối với các góc khác thỡ tương tự 2 A b c C B H c BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm. a) Chứng minh cỏc gúc B và C nhọn ? b) Tớnh AB, AC ? Hướng dẫn: 11
A b c 12cm C B H 14cm a) Ta cú c > 12 mà c + b = 28 suy ra b
A b c h x ax B H C 2 2 2 2 2 AH = c – x = b – ( a – x ) Trong ∆AHB cú AH2 = AB2 – HB2 ⇔ AH 2 = c 2 − x 2 (1) và Trong ∆AHC cú AH2 = AC2 – HC2 ⇔ AH 2 = b 2 − ( a − x ) (2) . Từ (1) và (2) ta cú c2 – x2 = b2 2 c2 + a2 − b2 2 – a + 2ax – x suy ra x = 2 = k ( tạm gọi vậy ) 2a 2  c2 + a 2 − b2  Từ đó có AH = c – k = c –  2 2 2 2 ÷ . Do đó diện tích tam giác ABC là  2a  1 1 S= AH .BC = . c 2 − k 2 .a . sau khi thay k vào và rút gọn ta được 2 2 4a 2c 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) S = 1. .a . (HS có thể về nhà rút gọn đẹp hơn ) 2 2a 4a 2 c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 1 Gợi ý: Hay ta cũng cú S = . BC .AH = 2 2 2 4 16 Tử có thể biến đổi tử thành (2ab) – ( a + b – c ) = ( 2ab + a2 + b2 – c2 )( 2ab – a2 – b2 +c2 )= 2 2 2 2 2 ( a + b + c) ( a + b − c) ( c + a − b) ( c − a + b) = = 2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a) = 16 p (p – c )( p – b )( p – a ) Vậy S2 = p(p – c )( p – b )( p – a ). Trong đó 2p = a+ b + c Đây chính là công thức Heron µ µ BT 4: Cho tam giỏc ABC cú C − B = 900 , AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB . HC ? HD: Ta nhận thấy góc C tù .Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC . Ta cú ∆ACD cõn tại A nờn µ1 = µ 2 A A A 1 2 B C H D · ACB = µ1 + 900 → · A ACB − µ1 = 900 & · A µ ACB − B = 900 Suy ra B = µ = µ & Do µ + D = 900 . Từ đó ta có µ A A A µ1 2 2 ∆BAD vuụng tại A, với AH là đường cao ứng với cạnh huyền , vậy AH2 = HB . HD = HB . HC 13
+ cỏch 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng ( HS về nhà nghiên cứu ) Hỡnh vẽ gợi ý A 1 B C H Để ý rằng ∆HAC : ∆HBA µ µ BT 5: Cho tam giỏc ABC biết a = 3 + 3 , B = 450 ; C = 600 . a) Tính độ dài đườnh cao AH? b) Tính Â ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC? c) Từ cỏc kết quả trờn, tớnh cos 750 ? HD: A 45 60 B H C ∆ AHB vuụng cõn ,dễ thấy AH = BH = x ( do ta đặt ). Trong ∆ AHC cú CH = xcotgC = x. 3 3+ 3 3+ 3 suy ra a = BH + CH = x. ⇔ 3 + 3 = x. . 3 3 3 Do đó x = 3. b) Có đường cao rồi thỡ cỏc em tớnh dược tất cả . ĐS: c = 3 2 ; b = 2 3 ; Â = 750 ; SABC = . 3 + 3 3 2 ( ) c) Do gúc A nhọn . ỏp dung cụng thức a2 = b2 + c2 – 2bccos A ( ) = ( 2 3) + ( 3 2 ) 2 2 2 ⇔ 3+ 3 − 2.3 2.2 3.cos750 18 − 6 3 3 − 3 Từ đó có cos750 = = 12 6 2 6 • Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác Áp dụng cho hỡnh thang. Ta cú thể vẽ thờm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hỡnh thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm. Tính diện tích hỡnh thang ABCD ? HD: Cần vẽ thêm BE // AC , để có hỡnh bỡnh hành ABEC 14
A 3cm B 15cm 15cm 8cm D 14cm 3cm C E Lỳc này ABEC là hỡnh bỡnh hành nờn BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17 cm .Áp dụng Pytago đảo thấy ∆BDE vuông tại B ( HS tự thử lại . Lại ve thêm đường cao BH, 120 áp dụng hệ thức lượng cho ∆BDE thỡ BH == BD. BE : DE = 8.15 : 17 = . Từ đó có 17 diện tích hỡnh thang ABCD là 1 120 S = . ( 3 + 14 ) . = 60cm 2 2 17 BT 2 : Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hỡnh thang ABCD ? HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thỡ tam giỏc BDE vuụng tại B BT 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, gúc BAD = 1250 . Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q. a) Chứng minh ∆APB và ∆CQD là những tam giỏc vuụng? b) Tớnh AP, BP , PQ ? HD: Hỡnh vẽ A H B A H B K K P Q P Q D M L C D M L C µ +B A µ a)Để ý rằng = 900 , do đó ∆APB vuông tại P. Tương tự ∆CQD vuụng tại Q. 2 · b) Trong ∆APB cú AP = AB. cos PAB = 25. cos 62030’= … (HS tự tính được ) · và BP = AB. sin PAB = 25. sin 62030’ =…. ( HS tự tính được ) Vẽ thờm PH ⊥ AD ; PK ⊥ AB; PM ⊥ BC QL ⊥ BC , từ đó chứng minh được LC = AH = AK , BM = BK Ta cú PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm Đáp số : PA ≈ 11,54 cm; PB ≈ 22,17 cm ; PQ =10 cm 15
BT 4 : Một hỡnh thang cõn cú đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích hỡnh thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm. HD: 14cm A B D H 50cm C Do tớnh chất hỡnh thang cõn , vẽ thờm AH vuụng gúc với CD; BK vuụng gúc với CD, ta cú HD = ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm. ĐS: Chu vi hỡnh thang bằng 124 cm, diện tớch hỡnh thang bằng 768cm2 BT 5: Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD . Gọi AB = a , CD = b, AD =d , BC = c .Chứng minh AC2 + BD2 = c2 + d2 + 2ab HD : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Áp dụng tính chất trung tuyến của tam 1 giác ABC ta có a2 + c2 = 2BM2 + AC2 2 Tương tự áp dung tính chất trung tuyến cho tam giỏc ADC ta cú 1 b2 + d2 = 2DM2 + AC2 . 2 A a B c d N M D b C Cộng từng vế ta cú a2 +b2 +c2 +d2 =m (BM2 + DN2 ) + AC2 .(1) 1 1 Ta lại cú BM2 + DM2 = 2MN2 + BD2 = 2( b – a / 2)2 + BD2 . Thay vào (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A +b +c +d = (b – a) + BD +AC Tđ BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab Chỳ ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giác như sau: 16
A A b c ma ma C B H M H B M C a a2 b 2 + c 2 = 2ma 2 + 2 HS công nhận hệ thức này ( sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số - hệ thức Chasles ) Ngày soạn :……… /………./ 2009 CHỦ ĐỀ 2 : Ngày giảng:…….. /………../ 2009 Sự xác định đường tròn Đường kính và dây của đường tròn I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo. *Củng cố về cách xác định đường tròn *Vận dụng kt vào chứng minh bài tập về đường kính và dây của ( 0 ) *Rèn luyện kĩ năng vẽ hìng và chứng minh hình học II/ Nội dung I. Kiến thức cơ bản: 1) Sự xác định đường tròn – t/ c của đường tròn - Định nghĩa : - Kí hiệu : ( 0; R ) hoặc ( 0 ) *Các cách xđ đường tròn : Biết + Tâm và R + Một đoạn thẳng là đường kính của nó + Ba điểm không thẳng hàng *Tâm đối xứng : Là tâm đường tròn đó 17
* Trục đối xứng : Là đường kính 2) vị trí tương đối của hai đương tròn 1) Hai đường tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r 2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau a. Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r b. Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 0 3) Hai đường tròn không giao nhau: a. Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r b. Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r 3) Các Ví Dụ minh hoạ: Ví dụ1: ABCD là hình vuông. O giao 2 đường chéo , OA = 2 cm . Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm A,B, C, D , O. Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đường tròn ? Hướng Dẫn OA = 2 〈 2 = R ⇒ O nằm bên trong (A) AB = AD = 2 = R ⇒ B , D nằm trên (A) AC = 2 2 〉 2 = R ⇒ C nằm ngoài (A) Ví dụ2: ∆ ABC cân nội tiếp (O) GT AH ⊥ BC ; BC= 24; AC = 20 a) AD là đường kính A KL b) sđ ACD c) AH ? R ? Hướng Dẫn a) ∆ ABC cân tại A (gt) 0 AH ⊥ BC (gt) ⇒ AH là trung trực của BC (1) H C B ⇒ AD là trung trực của BC (2) Vì O nằm trên trung trực của BC D Nên O nằm trên trung trực của AD Vậy : AD là đường kính (O) 1 b) ∆ ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD ⇒ OC = AD ⇒ ACD = 900 2 BC 24 c) Ta có : BH = HC = = = 12 2 2 ˆ Pi ta go : ∆ AHC( H = 1v) AH = AC – HC = 202 – 122 = 256 2 2 2 ⇒ AH = 256 = 16 Đ/lí 1: b2 = a.b’ 18
AC 2 20 2 AC2 = AD .AH ⇒ AD = = = 25 AH 16 AD 25 ⇒ R= = = 12,5 2 2 Ví dụ3 : Cho (O) có bán kính OA = 3cm ; Dây BC của đường tròn ⊥ OA tại trung điểm của OA . Tính BC ? Hướng Dẫn Gọi H là trung điểm OA Có : OH = HA (gt) B Và BC ⊥ OA tại H ⇒ ∆ OBA cân tại B ⇒ OB = BA = R (1) Mà OB = OA = R (2) Từ (1) và (2) ⇒ 0 A ⇒ OB = BA = OA = R H ⇒ ∆ OBA là ∆ đều ⇒ O = 600 (đpcm) ˆ ˆ 3 HB = OB.Sin O = 3.Sin600 = 3. 2 Vậy : BC = 2.BH = 2. 3 3 = 3 3 (cm) C 2 Ví dụ4: Cho nửa (O) đường kính AB và dây E F không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường ⊥ kẻ từ A, B đến E F CMR: IE = KF Hướng Dẫn Kẻ OH ⊥ E F F Ta có : tứ giác AIKB là hình thang H OB = OA = R (1) E AI // BK (2) ⇒ OH là đường trung bình ⇒ HI = HK (2) Mà HE = H F Đ/lí đường kính dây cung (3) B A I 0 K Từ (1) , (2) và (3) ⇒ IE = F K ( đpcm) Ví dụ5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Dây CD , các đường ⊥ với CD tại C và D t/ứng cắt AB ở M,N CMR: AB = BN Hướng Dẫn D H Từ O kẻ OI ⊥ CD ⇒ IC = ID ( đ/lí đường kính) C Tứ giác CDNM là hình thang có IC = ID (1) OI // CM // DN ⇒ OI là đường TB ⇒ OM = ON ( 1) mà OA = OB = R (2) B A M 0 N Từ (1) và (2) ⇒ AM = BN (đpcm) 19
Ví dụ6: Cho (O) , A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M,N là tiếp điểm) Chứng minh: OA ⊥ MN Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng : MC//AO Tính độ dài các cạnh ∆ AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm Chứng minh: a) Chứng minh: OA ⊥ MN ∆ AMN cân tại A ( vì MA = NA ; t/c t2 ) C M ˆ OA là p/giác A (t/c tiếp tuyến) ⇒ OA là đường cao nên OA ⊥ MN A b) H là giao điểm MN và OA 0 Có ON = OC = R HM = NM ( OA là trung tuyến ) ⇒ HO là đường trung bình ∆ MNC ⇒ HO // MC N Pi ta go ∆ vuông AON AN = OA 2 − ON 2 = 5 2 − 3 2 = 16 = 4 Từ hệ thức lượng : AN.ON = AO . HN Hay : 4.3 = 5 HN 12 ⇒ HN = = 2,4 5 Mà HM = HN ⇒ MN= 2.HN = 2. 2,4 = 4,8 AM = AN = 4 cm Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C∈ nửa đường tròn . Kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn . Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng a) CE = CF b) AC là tia p/giác của BAE c) CH2 = AE.BF Chứng minh: a) Ta có: AE ⊥ d ; BF ⊥ d ⇒ AE // BF ⇒ Tứ giác AEFB là hình thang Mà : OA = OB = R d OC // AE // BF ⇒ CE = CF ( Đ/ lí đường TB ) F b) ∆ AOC có : C OC = OA = R ⇒ ∆ AOC cân tại O ˆ C1 = A2 ˆ E ˆ ˆ A1 = C1 ( so le vì AE // OC ) ˆ ˆ ⇒ A1 = A2 Nên AC là phân giác B A C ˆ B ˆ = 1v) và ∆ CAH ( H = 1v) có ˆ A H 0 c) ∆ CAE ( E AC ( cạnh huyền chung ) ˆ ˆ A1 = A2 ⇒ ∆ CAE = ∆ CAH ⇒ AE = AH 20