Kế hoạch dạy học Toán 11: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

Chia sẻ: Mã Thiên Vũ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kế hoạch dạy học Toán 11: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm với mục tiêu giúp học sinh: nhận biết được 2 bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm (vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời); nhận biết được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm; hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kế hoạch dạy học Toán 11: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

KẾ HOẠCH DẠY HỌC ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM I. Mục tiêu 1. Kiến thức: Nhận biết được 2 bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm(vận tốc tức thời,cường độ dòng điện tức thời). Nhận biết được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm. 2. Kỹ năng: Tính được đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa của các hàm số đơn giản . Tính được vận tốc tức thời của chuyển động tại 1 thời điểm Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm. 3. Thái độ: Liên hệ thực tế: Hãy giải thích làm thế nào máy bắn tốc độ có thể đo được tốc độ của xe chạy quá tốc độ cho phép? Tìm các ví dụ trong cuộc sống có thể giải thích bằng kiến thức bài học? 4. Đinh hướng phát triển năng lực: Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. Máy chiếu, bảng phụ, phiếu hoc tâp cua h ̣ ̣ ̉ ọc sinh. III. Chuỗi các hoạt động học: TIẾT 1. Hoạt động 1: Nhận biết 2 bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Học sinh nhận biết được vận tốc tức thời qua bài toán sau: Quãng đường đi được của 1 vận động viên được tính theo công thức S = f ( x) = x 2 , S(m) là một hàm số theo thời gian x (giây) Học sinh thực hiện các thao tác sau: ∆y f ( x) − f ( x0 ) + Hoàn thành bảng tính vận tốc trung bình vtb = = trong những khoảng thời ∆x x − x0 gian ∆x = x − x0 kể từ thời điểm x0 = 3giây. Các giá trị của ∆x = x − x0 trong ô trống cần được điền sao cho giá trị sau nhỏ hơn giá trị trước và nhỏ hơn 0,0001: (ngày càng giảm dần) 1
∆x = x − 3 0,1 0,01 0,001 0,0001 ∆y = (3 + ∆x) − 9 2 ∆y vtb = ∆x ∆y + Nhận xét về các kết quả thu được của vtb = khi x tiến về x0 = 3 ∆x Học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau: + Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi . Viết kết quả vào bảng phụ. + Báo cáo, thảo luận Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. GV quan sát, lắng nghe, ghi chép, đánh giá, nhận xét, tổng hợp. Dự kiến các câu trả lời: ∆x = x − 3 0,1 0,01 0,001 0,0001 ∆y = (3 + ∆x) − 9 0,61 2 0,0601 0,006001 0,00060001 ∆y 6,1 6,01 6,001 6,0001 v = tb ∆x Vận tốc trung bình của vận động viên trong khoảng thời gian đó là ∆y f ( x) − f ( x0 ) vtb = = . (1) ∆x x − x0 Nếu x − x0 càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của VĐV tại thời f ( x) − f ( x0 ) điểm x0 . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số khi x dần đến x0 là vận tốc tức x − x0 thời tại thời điểm x0 của VĐV, kí hiệu là v( x0 ). f ( x) − f ( x0 ) + Nói cách khác, vận tốc tức thời tại thời điểm x0 là v( x0 ) = xlimx . 0 x − x0 Hình thành kiến thức: Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t : S = f(t) f ( x) − f ( x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) xlimx đgl vận tốc tức thời của chuyển động tại thời 0 x − x0 điểm x0 . 2
b) Học sinh nhận biết bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t :Q = Q(t). Trong Q(t ) − Q(t0 ) khoảng thời gian t − t0 cường độ trung bình được tính theo công thức t − t0 . Tìm cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0. Học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau: Q(t ) − Q(t0) + Nhận ra được cường độ tức thời tại thời điểm t0 là lim . t t0 t − t0 + Nhận ra được sự tương tự của bài toán vận tốc tức thời và cường độ tức thời là f (x) − f (x 0 ) cùng tính giới hạn hữu hạn (nếu có) xlimx 0 x1 − x0 của hàm số y = f(x) tại điểm x0. + Từ đó hình thành: “Định nghĩa đạo hàm”. Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề: Nhiều vấn đề của toán f ( x) − f ( x0 ) học, vật lí, hóa học, sinh học, ... dẫn đến bài toán tìm giới hạn: xlimx Trong 0 x − x0 toán học người ta gọi giới hạn trên là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 (nếu giới hạn này là hữu hạn). Đó chính là nội dung bài học “Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm”. Hoạt động 2 : Hình thành định nghĩa đạo hàm f (x) − f (x 0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) xlimx 0 x − x0 của hàm số y = f(x) tại điểm x0 được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và được ký hiệu là f’(x0). Ký hiệu: ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0 , Ta có ∆y = f ( x) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) gọi là số gia tương ứng của hàm số tại ∆y điểm x0 . Ta có: f’(x0)= ∆lim . x 0 ∆x Hoạt động 3 : Tính đạo hàm bằng định nghĩa Học sinh tính được đạo hàm bằng định nghĩa thông qua ví dụ sau: Tính đạo hàm của các hàm số y = f ( x) = 2 x − 3 tại điểm x0 =1 bằng định nghĩa. Học sinh thực hiện các thao tác sau: + Nhận ra được công thức tính đạo hàm tại một điểm + Thực hiện các bước tính: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 , tính ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = f ( ∆x + 1) − f (1) = 2(∆x + 1) − 3 + 1 = 2∆x 3
∆y 2 ∆x Lập tỉ số = = 2. ∆x ∆x ∆y Tìm ∆lim = 2. Vậy, y’(1) = 2. x 0 ∆x Hình thành kiến thức: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau : Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 , tính ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ). ∆y Bước 2: Lập tỉ số . ∆x ∆y Bước 3: Tính ∆lim . kết luận. x 0 ∆x Hoạt động 4 : Vận dụng kiến thức vào vật lý Học sinh nhận biết được vận tốc tức thời thông qua ví dụ sau: Một vật chuyển động với phương trình S = t 2 + 2t − 3 ( t tính theo giây, S tính theo mét). Tính vận tốc tức thời v tại thời điểm t =2s ( v tính theo m/s)? Học sinh thực hiện các thao tác sau: + Nhận ra được công thức tính vận tốc tức thời tại thời điểm t = 2s S (t ) − S (2) S (2 + ∆t ) − S (2) v(2) = lim hoặc v(2) = S '(2) = ∆lim t 2 t−2 t 0 ∆t + Tính được vận tốc tức thời tại thời điểm t = 2s. S (t ) − S (2) t 2 + 2t − 3 − 5 v(2) = lim = lim = lim(t + 4) = 6 t 2 t−2 t 2 t −2 t 2 Hoạt động 5 : Nhận biết được mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Học sinh nhận biết được mối quan hệ thông qua ví dụ sau: 2 Xét hàm số f (x ) = x + 1 neu�x 0 x �x < 0 neu H1. Tính xlim0 f (x ) ? 4
H2. Nếu hàm số y = f (x ) gián đoạn tại x 0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó không? H3. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm có thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không? Học sinh thực hiện các thao tác sau: Đ1. Tính xlim f (x ) = 1, lim− f (x ) = 0 không tồn tại lim f (x ) 0+ x 0 x 0 Đ 2. KL: không có f (0). Đ 3. Nếu hàm số y = f (x ) gián đoạn tại x 0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm chưa thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không. Hình thành kiến thức Định lí. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý: a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0. b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0. Hoạt động 6 : Hướng dẫn tự học ở nhà a) Học sinh ôn tập các nội dung bài học Nêu những kiến thức trọng tâm trong bài Liên hệ thực tế: Hãy giải thích làm thế nào máy bắn tốc độ có thể đo được tốc độ ? Tìm các ví dụ trong cuộc sống có thể giải thích bằng kiến thức bài học? 5
Súng bắn tốc độ dùng tia laser Súng bắn tốc độ sử dụng tia laser đo thời gian kể từ lúc máy phát ra tia sáng hồng ngoại, đến khi tia sáng tiếp xúc với xe và phản hồi lại. Lặp lại quá trình này liên tục, hệ thống laser sẽ đo được khoảng cách của xe. Để tính toán khoảng cách, hệ thống laser sẽ phát đi liên tục những tia laser hồng ngoại trong một khoảng thời gian ngắn để có các khoảng cách khác nhau. Bằng cách so sánh những kết quả khoảng cách thu được này, hệ thống có thể tính toán chính xác tốc độ của xe. Những hệ thống bắn sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trăm khoảng cách khác nhau chỉ trong không đầy nửa giây, vì vậy kết quả thu được có thể nói khá là chính xác b) Giải bài tập SGK lớp 11: Bài tập cần làm (tr 156):2, 3a, 5, 7 Hoạt động 7 : Nhận biết Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM * Mục tiêu: Học sinh nhận biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm. Biết vận dụng công thức để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. * Nội dung, phương thức tổ chức: 6
Khởi động. GỢI Ý 1. Cho hàm số f(x) có đồ thị (C), một điểm M0(x0; f(x0)) cố định thuộc (C). Với mọi điểm M(xM;f(xM)) di động trên (C), kh á c M 0. Đường thẳng M0M gọi là một cát tuyến của (C). 2. Khi x  x0 thì M di chuyển trên (C) tiến về điểm M0. Ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M chuyển dọc theo (C) đến M0. Đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 và M0 gọi là tiếp điểm 7
3. Gọi kM là hệ số góc của cát tuyến M0M, k0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T. Thì f ( xM ) − f ( x0 ) kM = xM − x0 Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó f ( xM ) − f ( x0 ) f ' ( x 0 ) = lim xM x0 xM − x0 = lim k M = k 0 xM x0 Hình thành kiến thức. Cho đường cong (C) và M0 (C). M là điểm di động trên (C). Vị trí giới hạn M0T (nếu có) của cát tuyến M0M đgl tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 đgl tiếp điểm. Chú ý: Không xét tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2: Đạo hàm của y = f(x) (C) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)). b) Phương trình tiếp tuyến Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y – y0 = f (x0).(x – x0) trong đó y0 = f(x0). Củng cố. GỢI Ý 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của HĐ 3.1 : Gọi ∆x là số gia tại điểm x0 = 2, ta có: đồ thị hàm số y = − x 2 + 3x − 2 tại điểm ∆y = f (∆x − 2) − f ( −2) = −( ∆x − 2) 2 + 3(∆x − 2) − 2 + 12 có hoành độ 2. = −∆ x + 7∆x 2 ∆y −∆ 2 x + 7∆x Suy ra: lim = lim = lim ( −∆x + 7 ) = 7 ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x ∆x 0 Vậy, y’(2) = 7. 8
2. Cho hàm số y = − x 2 + 3x - 2. Viết HĐ3.2: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm pttt của đồ thị hàm số trên tại điểm có Ta có x0 = −2 � y0 = −12 hoành độ 2. Hệ số góc tiếp tuyến k=7. Vậy phương trình tiếp tuyến y=7(x+2)12=7x+2. Hoạt động 8 : Nhận biết Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM * Mục tiêu: Học sinh biết được ý nghĩa vật lí của đạo hàm. Biết vận dụng công thức để tính vận tốc tức thời, cường độ tức thời tại thời điểm t0. * Nội dung, phương thức tổ chức: Khởi động. GỢI Ý 1. Theo định nghĩa f (t ) − f (t0) V (t0 ) = lim = s '(t0) t t0 t − t0 2. Điện lượng Q = Q ( t ) cường độ dòng I (t 0 ) = Q '(t 0 ) điện I (t 0 ) = ? GỢI Ý Hoạt động 9 : Nhận biết ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Mục tiêu: Tiếp cận định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Hình thành định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Nội dung, phương thức tổ chức:Tổ chức cho học sinh hoạt động nhóm. + Chuyển giao: NV: * Học sinh làm ví dụ. * Từ đó HS đọc đạo hàm bằng định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một 9
khoảng Khởi động (Tiếp cận). Gợi ý Cho các hàm số sau a. y = f ( x ) = x 2 tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm a. y '( x0 ) = 2 x0 x0 b. y = c tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm x0 , với c b. y '( x0 ) = 0 là hằng số c. y = x tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm x0 > 0 , 1 c. y '( x0 ) = 2 x0 + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu định nghĩa và đạo hàm trên một khoảng , quy tắc tính đạo hàm của 4 hàm số thường gặp. HS viết bài vào vở. .Định nghĩa: Đạo hàm trên một khoảng Hàm số y = f ( x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.Khi đó, ta gọi hàm số f ' : (a; b) ? x a f '( x) là đạo hàm của hàm số y = f ( x) trên khoảng (a; b) , kí hiệu là y ' hay f '( x). Hoạt động10 : Học sinh làm Bài tập củng cố Câu 1: Số gia của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = 5 là: A. 9 + 2∆x − 4 B. 9 + 2∆x − 3 C. 9 + 2∆x − 5 D. 9 + 2∆x − 1 ∆y x2 + x Câu 2: Tỉ số của hàm số f ( x ) = ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = 1 là: ∆x x−2 5 + ∆x 6 + ∆x 5 + ∆x 4 + ∆x A. B. C. D. ∆x − 1 ∆x − 1 ∆x − 2 ∆x − 1 Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = − x 2 + 3x − 2 tại điểm có hoành độ x0 = 2 là: 10
A. y = − x + 3 B. y = − x + 1 C. y = − x + 2 D. y = − x − 2 2x +1 Câu 4: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x ) = tại điểm có hoành độ x0 = 2 x+4 là: 9 5 1 7 A. B. C. D. 36 36 36 36 Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x 2 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 0; −1) là: A. y = 3x − 1 và y = −3 x − 1 B. y = 4 x − 1 và y = −4 x − 1 C. y = 2 x − 1 và y = −2 x − 1 D. y = x − 1 và y = − x − 1 11