Khóa luận tốt nghiệp đại học: Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài gồm có: Tìm hiểu về trường vector, Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trường vector ( điện trường và trong từ trường), phương pháp giải một số bài toán vật lí. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Luận văn này đƣợc hoàn thành tại khoa Vật lí, ngành Sƣ phạm Vật lí – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành công trình nghiên cứu này. Do những điều kiện chủ quan và khách quan chắc chắn luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan những gì viết trong khóa luận “Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí” là kết quả nghiên cứu của cá nhân dƣới sự hƣớng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng… năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh
DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ đầy đủ Rota Rotation Dive Divergence O–G Ostrogradsky – Gauss
DANH MỤC HÌNH Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dƣới tác động của từ trƣờng tạo thành từ phổ và biểu đồ gió Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo Hình 1.5: Hình ảnh của của trƣờng lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) Hình 1.6: Minh họa chiều dƣơng của chu tuyến Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy Hình 1.8: Đƣờng sức trong điện trƣờng Hình 1.9: Đƣờng dòng của dòng nƣớc Hình 1.10: Ống dòng Hình 1.8: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S  ndS Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu........................................................................................ 2 CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR ....................................................................... 4 1.1 Trƣờng vector .................................................................................................. 4 1.1.1. Khái niệm trƣờng vector ............................................................................. 4 1.1.2. Ví dụ cụ thể về trƣờng vector...................................................................... 5 1.2. Rotation .......................................................................................................... 7 1.3. Đƣờng dòng .................................................................................................. 11 1.3.1. Trƣờng vận tốc .......................................................................................... 11 1.3.2. Đƣờng dòng ............................................................................................... 12 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector ........................................... 15 1.4.1. Thông lƣợng của một trƣờng vector ......................................................... 15 1.4.2. Divergence của trƣờng vector ................................................................... 16 1.4.3. Ý nghĩa của divergence ............................................................................. 19 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR ............................................................................................................. 20 2.1. Đinh lí Ostrogradsky- Gauss ........................................................................ 20 2.2. Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng ............................................. 21 2.3. Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng ................................................ 26 Chƣơng 3. Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector vào giải các bài toán vật lí ................................................................................................. 30 3.1. Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ . 32 3.2. Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu ............................................................................................................................. 40 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 51
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài tập vật lí có vai trò rất quan trọng trong nhận thức và phát triển tƣ duy cho ngƣời học. Nó giúp cho ngƣời học đào sâu và mở rộng kiến thức đã học, từ đó sẽ hình thành những kĩ năng kĩ xảo để giải từng lạo bài tập. Vì vậy việc đƣa ra các dạng và phƣơng pháp giải chung cho từng dạng đó là rất cần thiết. Vật lí lí thuyết là bộ môn khoa học nghiên cứu về các vấn đề nhƣ cơ học lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, cơ học lƣợng tử. Là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí . Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí , các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí .Thuyết vật lí là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lí nhất định. Dựa trên một mô hình vật lí tƣởng tƣợng, các nhà vật lí lí thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lí vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Sau khi tìm hiểu bộ môn tôi đã biết một số nguyên lí đặc trƣng và trong đó có định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector là một định lí quan trọng. Tôi nhận thấy đây là một phần khó phải biết đƣợc bản chất vật lí và phƣơng pháp toán học ( giải tích vector hay tính các loại tích phân,.....) trong khi đó kiến thức toán học còn hạn chế. Do vậy việc giải các bài toán vật lí sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì lí do đó nên tôi chọn đề tài:“ Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí ” 2. Mục đích nghiên cứu 1
Tìm hiểu về trƣờng vector Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trƣờng vector ( điện trƣờng và trong từ trƣờng) Phƣơng pháp giải một số bài toán vật lí 3. Đối tƣợng nghiên cứu Trƣờng vector Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện trƣờng và từ trƣờng) Một số bài toán vật lí 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về trƣờng vector Nghiên cứu về định lí Otragradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện trƣờng và từ trƣờng) Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải các bài toán vật lí 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo Thống kê, lập luận, diễn giải 6.Cấu trúc của đề tài Chƣơng 1.Trƣờng véc tơ 1.1. Khái niệm trƣờng véc tơ 1.2. Rotation 1.3. Đƣờng dòng 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector Chƣơng 2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector 2.1. Định lí Ostrogradsky – Gauss 2.2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong điện trƣờng 2.3. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong từ trƣờng 2
Chƣơng 3 . Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector vào giải các bài toán vật lí 3.1. Dạng 1 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ 3.2. Dạng 2 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu 3.3. Dạng 3 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng phẳng 3
CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR 1.1 Trƣờng vector 1.1.1. Khái niệm trường vector Một số hình ảnh của trƣờng vector Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dưới tác động của từ trường tạo thành từ phổ và biểu đồ gió Trƣờng vector có thể hiểu đơn giản một sơ đồ cho biết chiều và độ lớn của vector ( nhƣ lực, vận tốc,…) ở mỗi điểm khác nhau trong không gian. Trƣờng vector là phần không gian mà tại mỗi điểm M(x, y, z) trong đó ứng với một vector xác định: A  A(M )  A( x, y, z ) Cho một trƣờng vector tức là cho hàm A( x, y, z ) đƣợc xác định trên miền không gian cụ thể. Vì vậy để nghiên cứu các đặc trƣng của trƣờng ta chỉ cần nghiên cứu hàm vector A . Trong vật lí chúng ta bắt gặp rất nhiều đại lƣợng có hƣớng đƣợc mô tả thông qua trƣờng vector. 4
Ví dụ: Khi xét chuyển động của chất lỏng, vận tốc v của phần tử chất lỏng tại M đƣợc biểu diễn nhƣ sau: v  v(M )  v( x, y, z) . Nhƣ vậy trong chất lỏng có một trƣờng vận tốc v . Ta đã biết gradient của một vô hƣớng là một vector, vì vậy khi cho một trƣờng vô hƣớng thì ta cũng có tƣơng ứng một trƣờng vector qua phép biến đổi gradient. Trƣờng vector biểu thị thông qua những phần sau: - Điểm gốc (nơi vector đi ra từ 1 điểm) - Điểm chìm (nơi vector biến mất trong một cái hố, nhƣ hiệu ứng lỗ đen vũ trụ) - Điểm uốn (nằm trên đƣờng có hình cong nhƣ yên ngựa) và điểm xoay (nơi vật thể xoay quanh 1 điểm nào đó, giống nhƣ hệ thống các hành tinh). Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo 1.1.2. Ví dụ cụ thể về trường vector Giả sử D là tập hợp các điểm trong R2 (không gian hai chiều). Một trƣờng vector trên R2 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y) trong tập D với vector hai chiều F ( x, y) . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần P,Q nhƣ sau: 5
F ( x, y)  P( x, y)i  Q( x, y) j với i , j là các vector đơn vị hƣớng theo trục x và y. Tại mỗi điểm trong trƣờng vector đều có 1 vector có chiều và độ lớn xác định. Ví dụ:Xét một trƣờng lực f có dạng: f ( x, y)   yi  3x j với i, j là vector đơn vị theo hƣớng trục x và y a) Tại gốc tọa độ (0,0) ta có lực f(0,0)= −0i+3.0j suy ra f ( x, y)  0 tức là không có lực nào ở gốc tọa độ. b) Tại điểm (1,1) ta có lực f(1,1)=−1i+3j, chiều hƣớng lên, lệch trái có độ lớn là √ . c) Tại điểm (−1,2) ta có lực f(-1,2)= −2i−3j hƣớng xuống, lệch trái và độ lớn là √ . d) Tại điểm (−2,−4) ta có lực f(−2,−4)=4i−6j có độ lớn là √ chỉ xuống, lệch phải. e) Điểm (4,4) ta có lực f(4,4)=−4i+12j hƣớng lên, lệch trái và độ lớn là √ Nhƣ vậy lực ở giữa trƣờng vector rất nhỏ và nó sẽ lớn hơn khi ta tính thêm nhiều vector hơn. Hình 1.5: Hình ảnh của của trường lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) 6
Giả sử E là tập hợp các điểm trong R3 (không gian ba chiều). Một trƣờng vector trên R3 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y, z) trong tập E với vector ba chiều F ( x, y, z) . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần P, Q, R nhƣ sau: F ( x, y, z )  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k với i, j , k lần lƣợt là các vector đơn vị theo hƣớng trục x, y, z 1.2. Rotation Rota của một vector là một toán tử vector mô tả độ xoáy của trƣờng vector và nó đƣợc biểu diễn bằng một vector. Các thuộc tính của rota nhƣ độ dài và hƣớng sẽ nói lên bản chất của độ xoáy tại điểm đó. Hƣớng của rota chính là trục xoay của nó và đƣợc xác định bởi quy tắc bàn tay phải và độ lớn của rota biểu thị mức độ xoáy của trƣờng. Nếu trƣờng vector tƣợng trƣng cho vận tốc dòng chảy của một chất lỏng đang lƣu chuyển thì rota chính là mật độ xoáy của chất lỏng đó. Một trƣờng vector E có rot E = 0 đƣợc gọi là trƣờng không xoáy. Trong trƣờng vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng có pháp tuyến n ngƣời ta định nghĩa lƣu thông Q (hay lƣu số) của trƣờng vector A dọc theo đƣờng cong kín L đƣợc tính theo tích phân đƣờng loại 2: Q  ( L) Ad l (1.1) Với dl là vi phân của vector dịch chuyển trên L. 7
Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến Lƣu thông không chỉ phụ thuộc vào A và L mà còn phụ thuộc vào hƣớng của L. Khi thay đổi chiều của L thì lƣu thông cũng đổi dấu. Nếu A vuông góc với tiếp tuyến của L thì tại điểm đó Adl  0 . Trong trƣờng vector A , xét một điểm M bất kì đƣợc bao quanh bằng một đƣờng cong kín L vô cùng bé và có diện tích giới hạn bởi L là S . Tỉ số Q/ S là mật độ lƣu thông trung bình của trƣờng vector A trên diện tích S . Vậy định nghĩa rotation (viết tắt là rota) của A tại M(x, y, z) đƣợc kí hiệu là rot A đặc trƣng cho độ xoáy tại M nhƣ sau:  Ad l rotn A  lim ( L) (1.2) S 0 S trong đó rotn A là hình chiếu của vector rot A lên phƣơng pháp tuyến n của mặt S. Giả sử một điểm M(x, y, z) nằm trong trƣờng vector A đƣợc xác định bởi: A  Ax i  Ay j  Az k (với i, j , k là các vector đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz) Để tính rot A tại điểm M thì ta cần tính các hình chiếu của rot A lên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz và chọn S là mặt tạo bởi hình hộp chữ nhật qua M có cạnh rất bé là x, y, z 8
*Tính hình chiếu của rot A lên phƣơng z: Chọn chu tuyến (L) nằm trong mặt Oxy nhƣ hình (1.7) Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy Hình chiếu của A lên hƣớng đoạn 1 là Ax(x,y) nên ta có:  Ad l  A ( y )x 1 x Hình chiếu của A lên hƣớng đoạn 3 là -Ax(x,y+ y ) nên ta có:  Ad l   A ( y  y )x 3 x  Ad l   A y (x)y Tƣơng tự ta có trên đoạn 4 và 2 là: 4  Ad l  A 2 y (x   x) y Vậy lƣu thông của A dọc theo đƣờng cong kín (L) là:  Adl  A ( y)x  A ( y  y)x  A (x)y  A (x x)y ( L) x x y y Chia biểu thức trên cho S  xy và cho S tiến đến 0 ta đƣợc:  Adl Ay ( x  x)  Ay ( x) Ax ( y  y)  Ax ( y) rot z A  lim  lim [ ]  lim [ ( L) ] S 0 S x 0 x y 0 y 9
Ay Ax Hay rot z A   x y Az Ay rot x A   y z Làm tƣơng tự ta có: A A rot y A  x  z z x Viết lại dƣới dạng vector ta có: i j k Az Ay A A Ay Ax rot A  (  )i  ( x  z ) j  (  )k =    y z z x x y x y z Ax Ay Az Nhƣ vậy điểm M(x, y, z) trong trƣờng vector A ta xét một vector mà có Az Ay Ax Az Ay Ax các thành phần { (  );(  );(  )} y z z x x y thì vector đó gọi là vector rota (hay vector xoáy) của trƣờng vector A tại điểm M(x, y, z) và đƣợc kí hiệu là rot A(M ) là một vector. Lƣu số của trƣờng vector dọc theo chu tuyến L là: C ( L)  A(M )dS   rot A(M )dS S (1.3) Kết luận: Vậy (1.3) là lƣu số của trƣờng vector A dọc theo đƣờng cong kín L thì đúng bằng thông lƣợng của trƣờng vector A qua mặt cong S nào đó đƣợc giới hạn bởi đƣờng cong kín L Nếu rot A(M )  0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm xoáy của trƣờng A Nếu rot A(M)  0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm không xoáy của trƣờng A 10
Một trƣờng vector mà tại mọi điểm của nó đều có rot A  0 thì từ trƣờng A này đƣợc gọi là trƣờng không xoáy hay trƣờng thế. Điều kiện cần và điều kiện đủ để trƣờng vector A là một trƣờng thế là rotV  0 q Ví dụ: Tính rot E E = r r3 qx qy qz Ex  ; E y  ; E z  r3 r3 r3 Ta có: Ez  qz  3qzy  ( 3) qz ( x 2  y 2  z 2 )   5 y y r y r E y  qy  3qzy  ( 3) qy ( x 2  y 2  z 2 )   5 z z r z r Từ kết quả trên ta thấy: Làm tƣơng tự ta có: : rot E = 0. Từ đây suy ra trƣờng vector E là một trƣờng thế 1.3. Đƣờng dòng 1.3.1. Trường vận tốc Nhƣ đã tìm hiểu ở trên, chúng ta đã biết khái niệm của trƣờng vector. Một trong số trƣờng vector thƣờng gặp nhất đó là trƣờng vận tốc – đó là không gian tại mỗi điểm , vào mỗi thời gian vector vận tốc đƣợc xác định bởi: V  ui  v j  pk 11
Khi nghiên cứu về sự chuyển động ta đã đƣa ra nhiều cách phân loại . Trong đó có cách phân loại ra hai loại là chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định. Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố trong chuyển động phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là: h = h(x, y, z, t); k = k(x, y, z, t) v.v... h k Hay 0 0 t t Còn chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động không phụ thuộc thời gian. h = h(x, y, z); k = k(x, y, z) v.v... h k Hay 0 0 t t Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng có trƣờng vận tốc ( trƣờng vector) không ổn định là những trƣờng phụ thuộc vào thời gian. V  V (t , x, y, z ) Trƣờng vector ổn định là trƣờng vector dừng hay những trƣờng vector không phụ thuộc vào thời gian. V  V ( x, y, z ) Đặc trƣng quan trọng của trƣờng vận tốc là khái niệm đƣờng dòng. 1.3.2. Đường dòng Ta đã biết quỹ đạo là đƣờng đi của một phần tử trong không gian. Ðƣờng dòng là đƣờng cong tại một thời điểm cho trƣớc– đó là đƣờng cong C trong trƣờng dòng chảy mà tại mỗi điểm trên đó vector tiếp tuyến có phƣơng trùng với phƣơng của vector vận tốc tại điểm đó. 12
Ví dụ : Các đƣờng sức trong điện trƣờng, từ trƣờng đều là các đƣờng dòng hoặc trên một dòng chảy ổn định thì đƣờng dòng của dòng nƣớc là đƣờng dòng của trƣờng vector vận tốc dòng nƣớc Hình 1.8: Đường sức trong điện trường Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước Có thể vẽ đƣờng dòng trong môi trƣờng nhƣ sau: Tại một thời điểm t phần tử M có tốc độ u, cũng tại thời điểm đó phần tử M1 ở sát phần tử chất lỏng M và nằm trên vector u có tốc độ u1, tƣơng tự nhƣ vậy cũng ở cùng thời điểm ta cũng có M2 có tốc độ u2…Mi có tốc độ ui. Đƣờng cong C nối tất cả các điểm M1, M2 ... Mi ... và lấy tốc độ u1, u2 ... ui làm tiếp tuyến chính là một đường dòng ở thời điểm t. Từ đây ta có ứng với những thời điểm khác nhau sẽ có những đƣờng dòng khác nhau. Và đƣờng dòng có liên quan mật thiết đến thời gian vì vận tốc có thể thay đổi theo thời gian. Trong không gian 3- chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đƣờng dòng đƣợc xác đinh theo phƣơng trình sau: Ta thấy đƣờng dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng ta thuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trƣờng dòng chảy. Đối 13