Khóa luận tốt nghiệp đại học: Lý thuyết hàm mật độ và các cách tiếp cận khi nghiên cứu bán dẫn

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết hàm mật độ có rất nhiều ưu điểm trong việc tính toán các tính chất vật lý cho các hệ cụ thể xuất phát từ những phương trình rất cơ bản của vật lý lượng tử. Việc nghiên cứu lý thuyết hàm mật độ đã đóng góp hữu dụng cho lý thuyết về nguyên tử và phân tử trong liên kết kim loại; khiếm khuyết trong kim loại; và những tính chất vật lý của vật liệu bán dẫn... Đề tài này được thực hiện nhằm mục đích tìm hiểu sâu về lý thuyết hàm mật độ và các kỹ thuật tính toán để tính toán các tính chất vi mô của các vật liệu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Lý thuyết hàm mật độ và các cách tiếp cận khi nghiên cứu bán dẫn

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN VĂN HƢNG LÝ THUYẾT PHIẾM HÀM MẬT ĐỘ VÀ CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHI NGHIÊN CỨU BÁN DẪN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN VĂN HƢNG LÝ THUYẾT PHIẾM HÀM MẬT ĐỘ VÀ CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHI NGHIÊN CỨU BÁN DẪN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Minh Hạnh Hà Nội – 2018
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đƣợc khóa luận tốt nghiệp này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận đƣợc sự giúp đỡ, quan tâm tận tình từ phía các thầy cô giáo và bạn bè. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: - Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2. - Các thầy cô giáo trong khoa Vật lý nói chung và trong tổ vật lý lý thuyết nói riêng đã hết sức tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận này. Đặc biêt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ: Phạm Thị Minh Hạnh, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và chỉ bảo tôi trong thời gian tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận này. Bản thân là sinh viên mới bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, chính vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu sót. Để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn tôi mong nhận đƣợc sự đóng góp từ phía thầy cô giáo và bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Nguyễn Văn Hƣng
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu khoa học của riêng tôi dựa trên cở sở đã học về môn Vật lý chất rắn và tham khảo nghiên cứu tài liệu dƣới sự hƣớng dẫn của giảng viên – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh. Nó không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kì tác giả nào khác. Các kết quả trong đề tài là trung thực. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Nguyễn Văn Hƣng
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài. ..................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu. .............................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................................................. 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu. ....................................................................................... 2 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài. .................................................................................. 2 NỘI DUNG ................................................................................................................. 3 CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA BÁN DẪN .................................... 3 1.1. Đối xứng tinh thể .................................................................................................. 3 1.1.1. Mạng tinh thể ..................................................................................................... 3 1.1.2. Nhóm điểm tinh thể .......................................................................................... 4 1.1.3. Nhóm không gian (Fedorov) ........................................................................... 5 1.1.4. Chỉ số Miller....................................................................................................... 8 1.1.5. Định luật nhiễu xạ Vulf-Bragg ....................................................................... 8 1.1.6. Mạng đảo và vùng Brillouin .......................................................................... 11 1.2. Liên kết trong tinh thể ........................................................................................ 13 1.2.1. Liên kết ion ....................................................................................................... 13 1.2.3. Liên kết kim loại .............................................................................................. 15 1.2.4. Liên kết Van Der Waalsc ............................................................................... 17 1.3. Sai hỏng trong tinh thể....................................................................................... 18 1.3.1. Sai hỏng điểm. ................................................................................................. 18 1.3.2. Sai hỏng đƣờng ................................................................................................ 19 1.4. Kết luận chƣơng 1. ............................................................................................. 22 CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT PHIẾM HÀM MẬT ĐỘ VÀ CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHI NGHIÊN CỨU BÁN DẪN.......................................... 23 2.1. Lý thuyết phiếm hàm mật độ. ........................................................................... 23
2.1.1. Các phƣơng trình Kohn – Sham. .................................................................. 26 2.1.2. Phép đo gần đúng mật độ địa phƣơng. ........................................................ 28 2.2. Các cách tiếp cận lý thuyết phiếm hàm mật độ khi nghiên cứu bán dẫn.. 29 2.2.1. Các sóng phẳng và giả thế. ............................................................................ 29 2.2.2. Các giả thế siêu mềm. ..................................................................................... 32 2.2.3. Các cách tiếp cận hoàn toàn điện tử trên cơ sở các hệ cơ sở định xứ .... 33 2.2.4. Các cách tiếp cận điện môi. ........................................................................... 34 2.2.5. Các phonon đông lạnh (đóng băng nhân). .................................................. 35 2.2.6. Các tính chất dao động từ động lực học phân tử. ...................................... 38 2.3. Kết luận chƣơng 2. ............................................................................................. 40 KẾT LUẬN ............................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 42
DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Giải thích cách tìm chỉ số Miller của mặt mạng .................................... 8 Hình 1.2: Tán xạ tia X trên tinh thể........................................................................... 9 Hình1.3: Cách dựng vùng Brillouin ........................................................................ 12 Hình 1.4: Tinh thể NaCl ............................................................................................ 13 Hình 1.5: Mô hình nguyên tử H2 ............................................................................. 14 Hình 1.6: a) Cơ chế Frenkel hình thành nút khuyết và nguyên tử xen kẽ........ 18 b) cơ chế Shotky hình thành nút khuyết ................................................................. 18 Hình 1.7: a) Một phần tinh thể bị trƣợt đi một chu kỳ mạng ............................. 20 b) Cấu trúc mạng với mặt cắt vuông góc với AA’ ............................................... 20 Hình 1.8: Tinh thể biến dạng với lệch mạng xoắn. .............................................. 21
DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Bảy tinh hệ có thể có ................................................................................. 6 Bảng 1.2: Năng lƣợng liên kết của một số tinh thể kim loại .............................. 17
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong khuôn khổ của lý thuyết lƣợng tử, các tính chất của hệ electron trong nguyên tử, phân tử, vật rắn…đƣợc mô tả bởi các lý thuyết hàm mật độ. Ý tƣởng dùng hàm mật độ để mô tả các tính chất của hệ electron có trong các công trình của Llewellyn Hilleth Thomas và Enrico Fermi từ khi cơ học lƣợng tử mới ra đời. Đến năm 1964, Pierre Hohenberg và Walter Kohn đã chứng minh một cách chặt chẽ rằng hai định lý cơ bản là nền tảng của lý thuyết phiếm hàm mật độ. Hai định lý khẳng định năng lƣợng ở trạng thái cơ bản là một phiếm hàm của mật độ electron, nên về nguyên tắc có thể mô tả hầu hết các tính chất vật lý của hệ điện tử qua hàm mật độ. Một năm sau, W. Kohn và Lu Jeu Sham nêu ra quy trình tính toán để thu đƣợc gần đúng mật độ electron ở trạng thái cơ bản trong khuôn khổ lý thuyết DFT. Từ năm 1980 đến nay, cùng với sự phát triển tốc độ tính toán của máy tính điện tử, lý thuyết DFT đƣợc sử dụng rộng rãi và hiệu quả trong các ngành khoa học nhƣ: vật lý chất rắn, hóa học lƣợng tử, vật lý sinh học, khoa học vật liệu,... . Những đóng góp của W. Kohn đã đƣợc ghi nhận cho việc phát triển lý thuyết phiếm hàm mật độ bằng giải thƣởng Nobel Hóa học năm 1998. Lý thuyết phiếm hàm mật độ đã đánh dấu một bƣớc tiến mới trong lĩnh vực tính toán mô phỏng. Lý thuyết phiếm hàm mật độ bao hàm một lƣợng lớn các phƣơng pháp tính toán đƣợc sử dụng để tính năng lƣợng tổng cộng của hệ phân tử, nguyên tử bằng cách sử dụng một phiếm hàm năng lƣợng của mật độ electron và vị trí các nguyên tử. Nhờ sự phát triển nhanh chóng của các thuật toán chính xác và hơn thế là sự cải tiến về lý thuyết, đã làm cho DFT trở thành phƣơng pháp trung tâm của vật lý chất rắn khi nghiên cứu hệ có kích cỡ từ một vài nguyên tử đến hàng trăm nguyên tử. 1
Lý thuyết hàm mật độ có rất nhiều ƣu điểm trong việc tính toán các tính chất vật lý cho các hệ cụ thể xuất phát từ những phƣơng trình rất cơ bản của vật lý lƣợng tử. Việc nghiên cứu lý thuyết hàm mật độ đã đóng góp hữu dụng cho lý thuyết về nguyên tử và phân tử trong liên kết kim loại; khiếm khuyết trong kim loại; và những tính chất vật lý của vật liệu bán dẫn... Do đó, việc tìm hiểu lý thuyết hàm mật độ là một trong những vấn đề quan trọng của vật lý chất rắn. Vì vậy tôi chọn đề tài: “Lý thuyết hàm mật độ và các cách tiếp cận khi nghiên cứu bán dẫn” với mục đích tìm hiểu sâu về lý thuyết hàm mật độ và các kỹ thuật tính toán để tính toán các tính chất vi mô của các vật liệu. 2. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiểu lý thuyết hàm mật độ và các cách tiếp cận khi nghiên cứu bán dẫn 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Cấu trúc tinh thể của bán dẫn. - Các cách tiếp cận lý thuyết hàm mật độ. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu. - Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo. - Thống kê, lập luận, diễn giải. 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài. - Đề tài giúp cho tác giả và ngƣời đọc biết rõ hơn về lý thuyết phiếm hàm mật độ - Biết đƣợc các cách tiếp cận khi nghiên cứu bán dẫn. 2
NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA BÁN DẪN Vật liệu bán dẫn là các chất rắn và các chất rắn đơn tinh thể, đa tinh thể hoặc vô định hình. Trong đó, vật liệu bán dẫn dƣới dạng đơn tinh thể lại là quan trọng và đƣợc ứng dụng rộng rãi nhất. Trong tinh thể có chứa số lƣợng nguyên tử vô cùng lớn tuy nhiên thì các nguyên tử này tuân theo một trật tự tuần hoàn đồng nhất. Do đó, khi nghiên cứu tinh thể chúng ta chỉ cần khảo sát một nhóm nguyên tử lân cận nhau giống nhƣ là một cấu trúc cơ bản của tinh thể và việc lặp lại cấu trúc này một cách tuần hoàn trong không gian thì ta có đƣợc mạng tinh thể. Khi khảo sát cấu trúc tinh thể thì ngƣời ta đã đƣa ra khái niệm về đối xứng tinh thể, coi tinh thể nhƣ là một mạng điểm tuần hoàn trong không gian ba chiều, xung quanh các điểm đó là những nhóm nguyên tử đồng nhất đƣợc sắp xếp giống nhau. 1.1. Đối xứng tinh thể 1.1.1. Mạng tinh thể Mạng điểm (point lattice) là một khái niệm thuần túy theo toán học, là tập hợp các điểm gọi là nút mạng mà vị trí đặc trƣng bởi các vectơ tọa độ ⃗ , gọi là vectơ mạng ( lattice vectors) [1]. ⃗ = n1⃗⃗⃗ + n2 ⃗⃗⃗⃗ + n3 ⃗⃗⃗⃗ (1-1) Với n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì, ba vectơ không gian: ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ là ba vectơ không nằm cùng trên một mặt phẳng gọi là ba vectơ cơ sở. Dựa vào ba vectơ cơ sở có thể dựng đƣợc một hình hộp có các cạnh từng đôi một song song và dài bằng nhau, hình hộp này gọi là ô mạng nguyên thủy (primitive cell). Các nút mạng nằm ở các đỉnh của ô mạng nguyên thủy, mỗi nút mạng là nút chung của 8 ô liền kề. Vậy nên mỗi một ô nguyên thủy chỉ chứa một nút mạng. Do tính tuần hoàn, nếu ta tịnh tiến một ô nguyên thủy 3
theo vectơ mạng ⃗ khác nhau, ta sẽ nhận đƣợc toàn bộ mạng điểm. Khi đó, khái niệm mạng điểm một chiều (linear lattice) đƣợc đặc trƣng bởi các vectơ mạng ⃗ = n1⃗⃗⃗⃗ + n2 ⃗⃗⃗⃗ . Đối với mạng điểm hai chiều và ba chiều, chúng ta có thể chọn nhiều ô mạng nguyên thủy khác nhau đặc trƣng cho một mạng. Tuy nhiên, thể tích các ô nguyên thủy cùng một mạng phải bằng nhau [1]. Trong mạng điểm, những đƣờng thẳng chứa các nút mạng gọi là đƣờng thẳng mạng, mặt phẳng chứa các nút mạng gọi là mặt mạng. Nếu ta gắn vào mỗi nút mạng một nguyên tử hay một nhóm nguyên tử đƣợc gọi là gốc (Basis) của tinh thể thì mạng điểm sẽ trở thành mạng tinh thể. Gốc của tinh thể có thể gồm một hay nhiều nguyên tử cùng loại hay khác loại sắp xếp bao quanh các nút mạng một cách trật tự. Mạng điểm là mạng tuần hoàn lý tƣởng và vô hạn nên mạng tinh thể cũng là một mạng tuần hoàn lý tƣởng và vô hạn. Tinh thể có cấu trúc tuần hoàn khác mạng tinh thể lý tƣởng ở những điểm sau: Tinh thể thực có kích thƣớc hữu hạn, có thể có những sai hỏng, khuyết tật trong trật tự sắp xếp, các nguyên tử trong tinh thể thì luôn dao động quanh vị trí cân bằng mà không đứng im tuyệt đối [1]. 1.1.2. Nhóm điểm tinh thể Dựa vào tính đối xứng của cấu trúc tinh thể, ta có thể phân loại chúng. Tính đối xứng biểu hiện qua phép biến đổi đối xứng. Phép biến đổi đối xứng là phép biến đổi mà khi tác dụng lên tinh thể lại cho một tinh thể trùng với tinh thể ban đầu. Tinh thể xét ở đây là mạng tinh thể lý tƣởng vô hạn. Theo phƣơng diện toán học, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng phép biến đổi đối xứng có thể hợp thành một nhóm đối xứng, khi đó mỗi phép biến đổi đối xứng là một phần tử của nhóm, phép biến đổi đồng nhất là phần tử đơn vị E của nhóm. Các phép biến đổi đối xứng cũng nhƣ các phép quay quanh một trục (với góc quay là ), các phép phản chiếu đối xứng qua một mặt phẳng 4
(gọi là mặt phẳng gƣơng) và tổ hợp của hai loại biến đổi đối xứng này tạo thành một nhóm đối xứng gọi là nhóm điểm tinh thể. Phần tử của nhóm ứng với phép quay gọi là CK, trong đó K = , là góc quay, K chỉ có thể nhận giá trị là 1,2,3,4,6. Phần tử nhóm ứng với phép phản chiếu đƣợc kí hiệu là m và m.m=m2= E. Đối với một nhóm điểm có thể bao gồm cả trục đối xứng và mặt phẳng gƣơng, nếu mặt phẳng gƣơng đi qua trục đối xứng thì phép phản chiếu kí hiệu là mv, nếu mặt phẳng gƣơng vuông góc với trục đối xứng thì phần tử ứng với phép phản chiếu kí hiệu là mh. Khi đó tích của CK và mh cũng tạo nên một phép đối xứng đƣợc kí hiệu là SK, với SK = CK.mh. Phép đối xứng S2 = C2.mh chính xác là phép nghịch đảo kí hiệu là I. Phép nghịch đảo đặc trƣng bởi tâm đối xứng, I là giao điểm của trục bậc 2 và mặt phẳng gƣơng vuông góc với nó. Khi thực hiện các phép biến đổi đối xứng ứng với các phần tử nhóm điểm luôn có một điểm cố định chính vì thế nhóm này đối xứng, gọi là nhóm điểm tinh thể. Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng chỉ có thể có 32 nhóm điểm tinh thể, nhóm ít nhất có 1 phần tử, nhóm nhiều nhất bao gồm 48 phần tử [1]. 1.1.3. Nhóm không gian (Fedorov) Phép tịnh tiến theo một vectơ mạng ⃗ nhƣ ở công thức (1) cũng là một phép biến đổi đối xứng. Những phép tịnh tiến này tạo thành một nhóm gọi là nhóm tịnh tiến, nhóm tịnh tiến có số phần tử vô hạn. Chúng ta có thể coi những vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ là những vectơ chuyển dời của những phép tịnh tiến cơ bản, những phép tịnh tiến nào khác cũng là tổ hợp bậc nhất của phép tịnh tiến cơ bản này. Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng có 7 quan hệ khác nhau giữa ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , nghĩa là có 7 ô cơ bản khác nhau. Những mạng tinh thể có cấu trúc ứng với một trong 7 trƣờng hợp trên thuộc 1 tinh hệ [1]. 5
Bảng 1.1: Bảy tinh hệ có thể có STT Tên tinh hệ Quan hệ giữa Góc hợp thành các vectơ cơ sở giữa các vectơ 1 Ba nghiêng (triclinic) a1, a2, a3 2 Một nghiêng a1, a2, a3 , (monoclinic) 3 Thoi (orthorhombic) a1 a2 a3 = 90o 4 Bốn phƣơng (tetragonal) a1= a2 a3 = 90o 5 Ba phƣơng (rhombohedral) a1 = a2 = a3 90o 6 Sáu phƣơng a1= a2 , a3 =90o, (hexagonal) 7 Lập phƣơng (cubic) a1 = a2 = a3 = 90o Nếu chúng ta tịnh tiến các ô cơ sở này theo các vectơ mạng sẽ nhận đƣợc toàn bộ mạng tinh thể. Bảng 1.1 biểu diễn các ô cơ bản thuộc bảy tinh hệ, trong đó các ô cơ bản kí hiệu là 1,2,3,4,5,6,7 thuộc 7 tinh hệ khác nhau là các ô nguyên thủy, trong các ô này chỉ có các nút mạng ở đỉnh. Các mạng tƣơng ứng với 7 ô nguyên thủy này gọi là các mạng đơn giản. Tuy nhiên có những ô cơ bản có nút mạng ở ngoài các đỉnh, nghĩa là không phải ô nguyên thủy, đó là các ô cơ bản kí hiệu 2a, 3a, 3b, 3c, 4a, 7a, 7b. Từ các ô cơ bản của các mạng đơn giản có thể thêm các nút mạng vào tâm của hai đáy, vào tâm của các mặt bên hay tâm của ô, khi đó ta đƣợc các ô cơ bản mới gọi là tâm đáy, tâm mặt, tâm khối trong cùng tinh hệ với ô nguyên thủy xuất phát từ mạng đơn giản. Tuy nhiên không phải bất kì ô nguyên thủy nào ta cũng có thể thêm vào các nút mạng. Sự thêm các nút mạng phải đảm bảo cho mạng mới nhận đƣợc có đối xứng không thấp hơn (không ít phần tử đối xứng hơn) mạng 6
ban đầu và với mọi cách chọn vectơ cơ sở không thể nào đƣa ô mạng đó về ô mạng đã xét. Kết quả là có tất cả 14 ô cơ bản thuộc 7 tinh hệ với các nhóm tịnh tiến khác nhau. Cùng ứng với một dạng ô cơ bản (một mạng Bravais) tùy thuộc vào nhóm đối xứng của nhóm nguyên tử xếp vào nút mạng (gốc mạng) mạng tinh thể có thể có nhóm điểm khác nhau, và ngƣời ta đã chỉ ra đƣợc 32 nhóm điểm. Nhƣ vậy, khi chỉ để ý đến phép quay và phép phản chiếu ta đƣợc 32 lớp tinh thể (ứng với 32 nhóm điểm), khi chỉ để ý đến các phép tinh tiến nguyên (tịnh tiến theo vectơ mạng ⃗ = n1⃗⃗⃗⃗ + n2 ⃗⃗⃗⃗ + n3 ⃗⃗⃗⃗ với n1, n2, n3 là những số nguyên) ta đƣợc 7 tinh hệ hồm 14 mạng Bravais. Khi đồng thời để ý đến tất cả các phần tử nhóm điểm, nhóm tịnh tiến và phối hợp giữa chúng với nhau ta đƣợc nhóm đối xứng đầy đủ hơn của tinh thể gọi là nhóm không gian tinh thể hay nhóm Feđorov. Mỗi nhóm không gian tƣơng ứng với một loại mạng Bravais và một lớp tinh thể xác định. Nhƣng ngƣợc lại, biết mạng Bravais và nhóm điểm chƣa đủ để xác định nhóm không gian. Mỗi phép biến đổi đối xứng của nhóm không gian đều có những biểu diễn dƣới dạng tích của một phép quay và phép tịnh tiến. Phép quay hiểu theo nghĩa rộng bao gồm phép quay thông thƣờng và các phép quay kết hợp phép phản chiếu. Phép tịnh tiến ở đây nói chung là phép tịnh tiến không nguyên. Trong nhóm không gian tinh thể có những phép biến đổi đối xứng mà đến bây giờ chƣa xét đến. Đó là những phép biến đổi liên quan đến trục xoắn ốc (vừa quay vừa tịnh tiến). Tinh thể có trục xoắn ốc bậc K khi quay xung quanh trục đó 1 góc và tiếp theo tịnh tiến song song với trục đó 1 đoạn bằng (am/k) sẽ tự trùng với nó, a là chu kì tinh thể theo phƣơng của trục, theo chiều quay ta có trục xoắn ốc phải hoặc trái. Cũng nhƣ trục quay thông thƣờng, trục xoắn ốc cũng chỉ có bậc K = 1,2,3,4,6 và phần tử đối xứng đƣợc kí hiệu là Km. 7
Ngƣời ta đã chứng minh rằng có tất cả 230 nhóm không gian tinh thể, nhóm không gian là nhóm có số phần tử vô hạn. Mỗi cấu trúc tinh thể ứng với một nhóm không gian nhất định, bởi vậy chỉ có tất cả 230 cấu trúc tinh thể khác nhau [1]. 1.1.4. Chỉ số Miller Để kí hiệu các mặt mạng và các phƣơng mạng ngƣời ta dùng các chỉ số Miller đƣợc xác định theo các bƣớc sau: 1. Chọn hệ trục tọa độ cùng với 3 vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ với đơn vị là độ lớn của 3 vectơ (a1, a2, a3). 2. Xác định 3 giao điểm (M,N, P) của mặt mạng với ba trục tọa độ. 3. Xác định các đoạn thẳng từ gốc tọa độ đến các giao điểm theo đơn vị trên các trục ( OM = ma1, ON = na2, OP = pa3) 4. Tìm ba số nguyên h, k ,l sao cho: h:k:l= Khi đó (h, k, l) là chỉ số Miller của mặt Hình 1.1 Giải thích cách tìm mạng [1]. chỉ số Miller của mặt mạng 1.1.5. Định luật nhiễu xạ Vulf-Bragg Chúng ta biết rằng các nguyên tử trong tinh thể sắp xếp một cách có trật tự tuần hoàn, khoảng cách giữa 2 nguyên tử cỡ vài Ao nghĩa là cỡ bƣớc sóng của tia X, của tia điện tử. Chính vì vậy tinh thể chất rắn có thể đóng vai trò nhƣ một cách tử nhiễu xạ đối với tia X và tia điện tử. Mặt khác hiện tƣợng nhiễu xạ tia X và nhiễu xạ điện tử đƣợc dùng làm phƣơng pháp nghiên cứu cấu trúc của chất rắn. Chúng ta tìm điều kiện nhiễu xạ tia X theo Laue, bằng cách xét sự tán xạ tia X trên hai nguyên tử ở điểm O và A cách nhau một vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ 8
(hình 1). Giả sử tia tới lan truyền theo hƣớng vectơ ⃗⃗ ( với m=1 ) từ các điểm IK nằm trên mặt sóng đồng pha và bị tán xạ bởi hai nguyên tử theo mọi phƣơng. Xét tia tán xạ về phía các điểm RS theo hƣớng xác định bởi vectơ ⃗⃗⃗⃗ với (m’= 1), trong đó IAR và KOS tăng cƣờng lẫn nhau do giao thoa, nghĩa là đáp ứng điều kiện giao thoa, điều kiện đó đối với ví dụ hình 1.1 là: BO + OC = Hình 1.2: Tán xạ tia X trên tinh thể Với g1 là số nguyên bất kì. Nếu biểu diễn BO và OC dƣới dạng tích 2 vectơ ta có điều kiện giao thoa dƣới dạng: -⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = g1 Trong mạng tinh thể ba chiều, điều kiện giao thao sẽ là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = g1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = g2 (1-2) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = g3 Trong đó gi là các số nguyên, chúng ta gọi các vectơ sóng của tia tới là ⃗ , vectơ sóng của tia tán xạ là ⃗ , nghĩa là: ⃗ = ⃗⃗ ; ⃗ = ⃗⃗ (1-3) Bây giờ ta đƣa ra khái niệm vectơ mạng đảo ⃗ , sao cho: ⃗ 1= 2 g1 ; ⃗ 2= 2 g2 ; ⃗ 3= 2 g3 (1-4) Có thể chứng minh vectơ mạng đảo ⃗ có dạng: ⃗ = g1⃗⃗⃗ + g2⃗⃗⃗⃗ + g3⃗⃗⃗⃗ (1-5) 9
Trong đó, ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ là 3 vectơ cơ sở của mạng đảo đó, đƣợc xác định từ ba vectơ cơ sở của mạng tinh thể (mạng thuận) theo các nguyên tắc: ⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] (1-6) ⃗⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] Trong đó Vo = (⃗⃗⃗ . [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] ) là thể tích ô nguyên thủy của mạng tinh thể. Sử dụng các biểu thức (1-4), (1-5) và từ điều kiện giao thoa (1-2) ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ = 2 g1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ = 2 g2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ = 2 g3 Và ta rút ra đƣợc: ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) hay là: ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) =g1⃗⃗⃗ + g2⃗⃗⃗⃗ + g3 ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗ Vậy điều kiện giao thoa laue có thể viết dƣới dạng: ⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗ = ⃗ hay ⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗⃗⃗ Vì K’ = K nên (⃗⃗⃗⃗ )2 = ⃗⃗⃗ 2 = ( ⃗ + ⃗⃗⃗ )2 Kết quả là: (⃗⃗⃗⃗ )2 = ⃗ 2 + ⃗⃗⃗ 2 + 2( ⃗ ⃗⃗⃗ Hay là: ⃗ 2 + ⃗ ⃗⃗⃗ = 0 (1-7) Nhƣ vậy điều kiện giao thoa theo Laue cuối cùng có thể biểu diễn bằng mối quan hệ giữa vectơ sóng K của tia X và vectơ mạng đảo đƣợc định nghĩa bằng (1-5) và (1-6). Từ các vectơ cơ sở của mạng đảo đƣợc định nghĩa bằng (1-6) ta có thể xây dựng ô nguyên thủy của mạng đảo và toàn bộ mạng đảo nhƣ một khái niệm toán học liên quan đến mạng tinh thể. Chúng ta biểu diễn 10
điều kiện nhiễu xạ Laue bằng hình học trong không gian mạng đảo có thể xác định đƣợc hƣớng của các cực đại giao thoa [1]. 1.1.6. Mạng đảo và vùng Brillouin Khi nghiên cứu nhiễu xạ tia X và sự lan truyền của các loại sóng trong tinh thể ngƣời ta đƣa ra khái niệm mạng đảo. Theo đó, mỗi mạng tinh thể với các vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ gắn liền với một mạng đảo với các vectơ cơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ đƣợc xác định bởi các công thức (1-6): ⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] (1-8) ⃗⃗⃗⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] Trong đó Vo = (⃗⃗⃗⃗ . [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ]) là thể tích ô nguyên thủy của mạng tinh thể. Ba vectơ cơ sở mạng đảo ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ tạo nên ô nguyên thủy của mạng đảo. Thể tích ô nguyên thủy của mạng đảo cũng đƣợc tính theo công thức: Vo* = (⃗⃗⃗ . [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ]) (1-9) trong mạng đảo, ta cũng xác định đƣợc các vectơ mạng đảo: ⃗ = g1⃗⃗⃗ + g2⃗⃗⃗⃗ + g3⃗⃗⃗⃗ Nếu ta tịnh tiến ô nguyên thủy theo các vectơ mạng đảo ⃗ , ta nhận đƣợc cả mạng đảo. Mạng đảo là một khái niệm toán học đƣợc dựng lên trong không gian đảo nhƣng nó cũng là những mạng Bravais và phụ thuộc vào tinh hệ của mạng thuận. Ta có thể chứng minh đƣợc các kết luận sau đây: - Mạng lập phƣơng đơn giản có mạng đảo cũng là mạng lập phƣơng đơn giản - Mạng lập phƣơng tâm mặt có mạng đảo là mạng lập phƣơng tâm khối. - Mạng sáu phƣơng (lục giác) có mạng đảo cũng là mạng sáu phƣơng. 11
Vì mạng đảo cũng là mạng Bravais nên nó đƣợc mô tả bằng những ô nguyên thủy hoặc ô cơ bản không phải là ô nguyên thủy, hằng số mạng trong trƣờng hợp này phụ thuộc vào hằng số mạng thuận. Mặt trung trực của vectơ mạng đảo tạo thành bờ của vùng Brillouin thứ nhất. Bỏ qua những chứng minh chính xác có thể giới thiệu dƣới đây cách dựng vùng Brillouin của một mạng vuông hai chiều với mạng đảo tƣơng ứng cũng là một mạng vuông (biểu diễn ở hình 1.3). - Chọn một nút mạng đảo làm gốc O. - Dựng các vectơ mạng đảo xuất phát từ O lần lƣợt từ ngắn nhất, đến ngắn thứ 2... - Vẽ mặt trung trực ( trong hình là đƣờng trung trực) của các vectơ mạng đảo đã vẽ. - Chọn khối đa diện (trong hình vẽ là đa giác) nhỏ nhất tạo bởi các mặt trung trực bao quanh gốc O. Đó chính là vùng Brilouin thứ 1 (Trên hình vẽ là hình vuông Hình1.3: Cách dựng vùng nhỏ nhất) Brillouin - Chọn khối đa diện tiếp theo bao quanh gốc O, trừ đi vùng Brilouin thứ nhất ta đƣợc vùng Brillouin thứ 2 (trên hình phần gạch là vùng Brillouin thứ 2). - Tiếp tục nhƣ vậy ta dựng đƣợc các vùng Brillouin bậc 3, bậc 4... Các vùng Brillouin bậc khác nhau có thể tích nhƣ nhau. Các vùng Brillouin có các tính chất sau đây: - Các vùng Brillouin có bậc khác nhau có cùng một “thể tích” và bằng thể tích của ô nguyên thủy mạng đảo: Vo* = (⃗⃗⃗ . [ ⃗⃗⃗⃗ x ⃗⃗⃗⃗ ] ) 12