Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận bao gồm ba chương cụ thể như sau: Chương 1: những khái niệm cơ bản; chương 2: lý thuyết biểu diễn; chương 3: một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô. Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn –Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tham gia khóa luận. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khoa luận này. Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Đối tƣợng nghiên cứu.................................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................... 3 1.1. Tọa độ ......................................................................................................... 3 1.2. Xung lƣợng................................................................................................. 4 1.3. Mômen xung lƣợng .................................................................................... 5 1.4. Năng lƣợng ................................................................................................. 7 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................. 9 CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ....................................................... 10 2.1. Biểu diễn tọa độ ....................................................................................... 10 2.2. Biểu diễn xung lƣợng ............................................................................... 11 2.3. Biểu diễn năng lƣợng ............................................................................... 13 2.4. Biểu diễn Schrodinger .............................................................................. 16 2.5. Biểu diễn Heisenberg ............................................................................... 16 2.6. Biểu diễn tƣơng tác .................................................................................. 20 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 22 CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ........................................................................................... 23 3.1. Bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau ........... 23
3.2. Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau .............................. 29 Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................... 38 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thế kỷ XX là thế kỷ của, vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng xâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé nhƣ nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản...Cho đến nay, một trong những đối tƣợng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại là thế giới vi mô mà cơ học lƣợng tử là cơ sở đầu tiên giúp con ngƣời tìm hiểu và chinh phục thế giới đó. Cơ học lƣợng tử là một phần khá trừu tƣợng trong vật lý lý thuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển. Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lƣợng tử là lý thuyết của những nguyên tử và hạt nhân. Nguyên tử có kích thƣớc vào cỡ 10-8cm, còn hạt nhân có kích thƣớc vào cỡ 10-13cm. Những vật có kích thƣớc nhƣ vậy và nhỏ hơn đƣợc gọi là những vật vi mô. Để nghiên cứu các đại lƣợng động lực của hệ các hạt vi mô, ngƣời ta có thể dùng các biểu diễn khác nhau. Mỗi bài toán trong cơ học lƣợng tử thì sẽ có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyết bài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng. Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn để củng cố lý thuyết. Phải nắm đƣợc lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan. Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyết sâu sắc hơn. Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử”. 2. Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyết của các hạt vi mô. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các đại lƣợng động lực trong cơ học lƣợng tử. Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ học lƣợng tử. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Các đại lƣợng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác nhau. Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học. Phƣơng pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lƣợng tử. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm ba chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN. CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN. CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ. 2
NỘI DUNG CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Tọa độ Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đại lƣợng động lực mô tả trạng thái của hạt nhƣ tọa độ, xung lƣợng, momen xung lƣợng, năng lƣợng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nó không tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lƣợng tử tức là các trạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định. Để mô tả đƣợc trạng thái của các hạt vi mô thì các đại lƣợng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a do đó các đại lƣợng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tƣơng ứng. Để tìm dạng tƣờng minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trƣờng hợp giới hạn của cơ học lƣợng tử (khi kích thƣớc của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô). Nhƣ vậy ta có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng: Những toán tử cơ học lƣợng tử thỏa mãn những hệ thức giống nhƣ hệ thức giữa các đại lƣợng động lực tƣơng ứng trong cơ học cổ điển (không chứa đạo hàm). Đó là nguyên lý tƣơng ứng. Toán tử tọa độ ̂. Xét trƣờng hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng x) đã đƣợc chuẩn hóa. Toán tử tọa độ ̂ phải là ecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức: ̅ ∫ ̂ (1.1.1) Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình của x là: ̅ ∫ Theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa của hàm sóng thì: P(x)=| | Vậy ̅ ∫ 3
Ta có: ∫ ̂ ∫ Vậy ̂ (1.1.2) Nhƣ vậy toán tử ̂ là một phép nhân với x. Ta có thể viết: ̂ (1.1.3) Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán tử tọa độ ̂ ̂ (1.1.4) ̂ 1.2. Xung lƣợng Theo nguyên lý tƣơng ứng thì xung lƣợng của các hạt vi mô là một toán tử: ̂ ̂ ̂    (i  j k ) x y z Toán tử xung lƣợng: Đối với hạt vi mô có xung lƣợng ̂ và năng lƣợng E chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng: Et  pr ψ= ( i ) ħ Ta xét toán tử ̂. Hàm sóng ψ viết ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó có giá trị xác định, vì thế hàm ấy phải là hàm riêng của toán tử ̂, nghĩa là: ̂ ψ= ψ. Muốn thế thì phải chọn:  ̂ iħ (1.2.1) x Thực vậy 4
⃗ * ( )+ i Et  pr = (  px ) ( i ) ħ ħ đó là điều cần chứng minh Cũng tƣơng tự nhƣ vậy ta có thể chứng minh rằng: ̂ ̂ Tóm lại.    ⃗̂ = (i  j k ) (1.2.2) x y z 1.3. Mômen xung lƣợng Trong cơ học lƣợng tử, cũng nhƣ trong cơ học cổ điển mômen xung lƣợng L đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ⃗̂ ̂ ⃗̂ (1.3.1) Trong đó là vectơ tia nối từ gốc tọa độ đến vị trí của hạt (coi là một điểm). Đó là một toán tử vectơ có ba thành phần: ̂ ̂̂ ̂̂ {̂ ̂̂ ̂̂ (1.3.2) ̂ ̂̂ ̂̂ Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ mômen xung lƣợng lên các trục x,y,z. Nếu chọn ̂ ̂ ̂ 5
 ̂ iħ x  ̂ iħ y  ̂ iħ z Thì các hình chiếu của toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ Đêcac có biểu thức nhƣ sau: ̂   iħ ( y z ) z y ̂   iħ ( z x ) (1.3.3) x z ̂   iħ ( x  y ) { y x Ngƣời ta còn định nghĩa toán tử bình phƣơng mômen xung lƣợng: ̂ ̂ ̂ ̂ (1.3.4) Các thành phần của toán tử mômen xung lƣợng tuân theo những hệ thức giao hoán quan trọng sau đây: [̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂] ̂ (1.3.5) [̂ ̂ ] ̂ Đồng thời: [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] (1.3.6) Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đƣợc một cách chính xác đồng thời hình chiếu của mômen xung lƣợng lên hai trong ba trục tọa độ vuông góc. Nếu đã đo đƣợc chính xác chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo 6
đƣợc chính xác hoặc . Có thể đo đƣợc chính xác đồng thời bình phƣơng của mômen xung lƣợng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì. Đôi khi để cho thuận tiện, ngƣời ta đƣa vào các toán tử sau đây: ̂ ̂+ ̂ ; ̂ ̂ ̂ (1.3.7) Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán: [̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ (1.3.8) [ ̂ ̂] ̂ Và ̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂+ ̂ (1.3.9) Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ cầu thì ta có: ̂ ( )     L y  iħ  cos φ  cotgθsin φ  (1.3.10)  θ φ  ̂ Còn đối với ̂ thì ̂ 1   1 2 [  sinθ   2 2 ] (1.3.11) sinθ θ θ sin θ φ Hay, có thể viết: ̂ (1.3.12) 1.4. Năng lƣợng Trong cơ học cổ điển, năng lƣợng toàn phần đƣợc biểu diễn qua tọa độ x và xung lƣợng p theo biểu thức sau đây: 7
p2 H  V  x, y,z  (1.4.1) 2m Trong đó m là khối lƣợng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng, Theo nguyên lý tƣơng ứng thì toán tử năng lƣợng toàn phần (hay toán tử Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tƣơng tự biểu thức (1.4.1), trong đó các đại lƣợng động lực đƣợc thay thế bằng các toán tử tƣơng ứng: p2 ˆ H  V  x, ˆ zˆ  , ˆ y, (1.4.2) 2m Trong đó ̂ ̂ ̂ ̂    =( iħ ) +( iħ ) ( iħ ) x y z 2 2 2 = (   ) x 2 y2 z 2 = Và ̂ ̂ ̂ ħ Vậy: ̂ = (1.4.3) 2m 8
Kết luận chƣơng 1 Ở trong chƣơng 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ, Xung lƣợng, Mômen xung lƣợng, Năng lƣợng. Trong cơ học lƣợng tử, thì các đại lƣợng động lực này đã có biểu thức có dạng giống nhƣ trong cơ học cổ điển nhƣng viết đối với các toán tử. Các đại lƣợng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên không thể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái. Sai số của phép đo các đại lƣợng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg. 9
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 2.1. Biểu diễn tọa độ Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt. Ta gọi ψ(x) là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn. Cho một toán tử ̂ biểu diễn một biến số động lực. Các hàm riêng của toán tử ̂ đƣợc kí hiệu là (x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ. Nói cách khác ta có thể biểu diễn ψ(x) dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng (x): ψ(x)=∑ (x) (2.1.1) tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n. Nếu biết tất cả các hệ số thì ta có thể xây dựng đƣợc tổng ở (2.1.1), tức là biết đƣợc biểu thức ψ(x). Tập hợp các hệ số hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để mô tả trạng thái của hạt, ngƣời ta nói rằng: tập hợp các hệ số là hàm sóng của hạt trong L-biểu diễn. Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật lý nào, đƣợc gọi là việc chọn biểu diễn. Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lƣợng tử bởi chỉ số a. Hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ và kí hiệu là (chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọa độ). Bình phƣơng mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằng mật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định. Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là: | | Và do đó: ∫ ̂ ∫| | ∫ Nghĩa là: ̂ Nhƣ vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân. 10
Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thƣờng: ̂ 2.2. Biểu diễn xung lƣợng Biểu diễn xung lƣợng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử xung lƣợng có giá trị liên tục. Hàm riêng của toán tử xung lƣợng, ứng với trị riêng p, trong biểu diễn tọa độ là: (x) Hàm này đƣợc chuẩn hóa: ∫ (x)dx= (p- ) (2.2.1) Bây giờ phân tích hàm sóng (x) của trạng thái a trong x-biểu diễn theo hệ đủ các hàm (x): (x)=∫ (x)dp (2.2.2) Hệ số phân tích c(p) dƣới dấu tích phân chính là hàm sóng của trạng thái a trong p-biểu diễn và có thể kí hiệu nhƣ sau: c(p) (p) (2.2.3) Có thể viết lại công thức (2.2.2) nhƣ sau: (x)=∫ dp (2.2.4) Bình phƣơng môđun của hàm sóng bằng mật độ xác suất để xung lƣợng có giá trị p dW  p  = =| | (2.2.5) dp Biến đổi ngƣợc với (2.2.4), tức là biến đổi hàm sóng từ x-biểu diễn sang p- biểu diễn, nhƣ sau: (p)= ∫ dx (2.2.6) Ta xét dạng cụ thể của hàm . Đối với hạt chuyển động tự do, thì phần phụ thuộc tọa độ của hàm sóng có dạng: 11
1 ipx (x)= exp( ) (2.2.7) 2πħ ħ 1 Hệ số xuất hiện do điều kiện chuẩn hóa. Nếu xét trong không gian 3 2πħ chiều thì: 3  ipr  ψp  x    2πħ  2 exp   (2.2.8)  ħ  Nhƣ vậy hàm biến đổi từ x-biểu diễn sang p-biểu diễn có dạng 1  ipx  = exp   (2.2.9) 2πħ  ħ  * Ta tìm dạng của các toán tử động lực trong biểu diễn xung lƣợng Toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau: ∫ ̂ = ∫ Đó là một ma trận chéo liên tục. Phƣơng trình toán tử trong p-biểu diễn: ∫ =∫  ̂ Nhƣ vậy,trong biểu diễn xung lƣợng, toán tử vectơ xung lƣợng vẫn chỉ là phép nhân với xung lƣợng. -Toán tử tọa độ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau: ∫ ̂ 12
Ta đã biết trong biểu diễn tọa độ: ̂  Tác dụng toán tử iħ lên hàm có: p   1 ipx   1 ipx  iħ    x ħ  exp exp  p  2πħ ħ   2πħ  Vậy iħ ∫ p  iħ p Hàm sóng trong p biểu diễn sau khi chịu tác dụng của toán tử ̂ ̂ ∫  = ∫ p  iħ p   ̂ iħ p Nhƣ vậy, trong biểu diễn xung lƣợng, thành phần của toán tử vectơ tọa độ bằng nhân với đạo hàm theo biến xung lƣợng liên hợp chính tắc. Trong trƣờng hợp một hạt ,không gian là 3 chiều, khi đó:  ̂ iħ và ⃗  px 2.3. Biểu diễn năng lƣợng 13
Biểu diễn năng lƣợng hay E-biểu diễn. Để đơn giản, ta xét trạng thái của một hạt chuyển động trong một trƣờng ngoài có năng lƣợng âm, nhƣ vậy trị riêng của năng lƣợng là gián đoạn. Kí hiệu các trị riêng ấy là . Các hàm riêng tƣơng ứng là (x). Các hàm ấy là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng là , nên có thể viết: (x)= (x) Theo định lí về tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử (năng lƣợng) hecmit, ta có giống nhƣ (2.1.1): (x)= c ψn n En ( x) (2.3.1) Các hệ số phân tích gọi là hàm sóng trong E-biểu diễn, ta có thể kí hiệu chúng nhƣ sau: ( ) (2.3.2) Bây giờ biến số độc lập của hàm sóng trong E-biểu diễn có những giá trị gián đoạn. Bình phƣơng môđun của hàm sóng xác định xác suất để năng lƣợng có giá trị E: W( =| | (2.3.3) Nếu hàm sóng trong biểu diễn mới cũng đƣợc chuẩn hóa. Thực vậy, trong phƣơng trình chuẩn hóa vừa viết trên nếu ta thay (x) bằng biểu thức phân tích của nó: (x)= φ  E  ψ n a n En (x) (x)= φ  E  ψ m * a m * Em (x) Thì ta sẽ có: φ  E  φ  E  ψ  x  ψ  x  dx  1 n m * a m a n * Em En Vì hàm sóng trong x-biểu diễn đƣợc chuẩn hóa, nên tích phân ở vế đầu có giá trị là . Sau khi lấy tổng theo m thì phƣơng trình trở thành: 14