Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải một số bài toán cực trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải một số bài toán cực trị" được nghiên cứu với mục tiêu: Tìm hiểu về bất đẳng thức; Hệ thống một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức; Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải một số bài toán cực trị

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài. ‘’MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ’’ Sinh viên thực hiện SOMCHAI PHOMMAVONG MSSV: 2113010136 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. HOÀNG MỸ HẠNH MSCB: 1049 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 1
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải bài toán cực trị là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải một số bài toán cực trị có nhiều dạng và một số bài toán rất khó, gây nhiều lúng túng khi tìm cách giải bài toán. Trong những năm gần đây,dạng toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải bài toán cực trị cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Với mong muốn tìm hiểu thêm một số nội dung về bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức tôi chọn đề tài “Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải một số bài toán cực trị’’ để nghiên cứu. 2. Mục tiêu của đề tài  Tìm hiểu về bất đẳng thức.  Hệ thống một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức.  Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.  Ứng dụng bất đẳng thức để giải bài toán cực trị. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu  Hệ thống một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức.  Giải một số bài tập liên quan bằng các phương pháp. 5. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu tài liệu (phân tích, tổng hợp). 2
6. Phạm vi nghiên cứu Các bài toán về bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức giải bài toán cực trị trong chương trình trung học phổ thông và các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. 7. Đóng góp của đề tài  Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học sinh.  Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần đại số sơ cấp cho sinh viên. 8. Cấu trúc đề tài Phần I. Mở đầu. Phần II. Nội dung nghiên cứu. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng giải bài toán cực trị. Phần III. Kết luận. Phần IV. Tài liệu tham khảo. 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số , thuộc ( là trường số hữu tỷ ℚ hay trường số thực ). Ta nói lớn hơn và kí hiệu nếu là một số dương. Khi đó ta cũng nói bé hơn và kí hiệu . Ta nói lớn hơn hay bằng và viết nếu là một số dương hay bằng không. Khi đó ta cũng nói bé hơn hay bằng và viết . Ví dụ. 4 3; √2 1,414; 2 3 6 là các bất đẳng thức. 1.2. Một số tính chất về bất đẳng thức Ta chứng minh được dễ dàng các bất đẳng thức sau đây, trong đó , , , , … là các số hoặc các biểu thức toán học của cùng một số đối số xét trên cùng một trường số . 1. ⟺ . 2. và ⟹ ( tính chất bắt cầu ). 3. ⟹ . 4. ⟹ . 0 5. ⟹ . 0 0 6. ⟹ . . . 0 ∗ 7. 0⟹ ∀ ∈ . ∗ 8. 0⟹ √ √ ∀ ∈ . 0 9. ⟹ . 0 1 10. 0⟹ . 0 1 1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản 1.3.1. Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối 4
Định lý. Cho , ,… , là số thực. Thế thì | ⋯ | | | | | ⋯ | |. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các cùng dấu. Chứng minh Trường hợp 1. Các số cùng dấu  Cùng dương: | ⋯ | ⋯ | | | | ⋯ | |.  Cùng âm: | ⋯ | ⋯ ⋯ | | | | ⋯ | |. Vậy | ⋯ | | | | | ⋯ | | (1). Trường hợp 2. Các số không cùng dấu Giả sử ,…, là các số dương; ,…, là các số âm. Nhận xét. Nếu , là hai số thực trái dấu, tức là . 0 thì | | | | | |. Thật vậy, | | | | | |⟺ | | | | | | ⟺ 2 2| | ⟺ | | (thỏa mãn ∀ , ∈ , 0 . Khi đó | ⋯ | | ⋯ ⋯ | | ⋯ | | ⋯ | | | ⋯ | | | | ⋯ | | (2). Từ (1) và (2) suy ra | ⋯ | | | | | ⋯ | |. 1.3.2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Định lý. Cho , ,…, là các số thực không âm. Thế thì ⋯ … . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⋯ . Chứng minh Đặt ⋯ , .…. . 5
Ta cần chứng minh √ . Trường hợp 1. ⋯ Khi đó ⋯ ; . .…. . Từ đó suy ra √ 1 . Trường hợp 2. Các không bằng nhau. Khi đó ∃ , . Không mất tính tổng quát, giả sử , . Đặt ′ , ′ . Khi đó, ta có dãy số ′ , ′ , …, . Nhận xét ′ ′ … ; ′ . ′ .…. . Thật vậy, xét hiệu . . . 0. Do đó . ′ ′ hay . Tiếp tục quá trình trên, vì hữu hạn nên giả sử sau bước ta thu được dãy ∗ ∗ ∗ ⋯ . 6
∗ ∗ ∗ Khi đó … . Mà ⋯ . Nên √ (2). Từ (1) và (2) suy ra … … . 1.3.3. Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski Định lý. Cho hai dãy số thực , ,…, ; , ,…, . Thế thì ( ⋯ ⋯ ⋯ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại ∈ : . , 1, . Chứng minh Nếu ⋯ 0 thì bất đẳng thức đã cho đúng. Nếu các không đồng thời bằng không, nghĩa là: ⋯ 0. Đặt ⋯ ; ⋯ ; ⋯ . Xét . . , ∀ ∈ . Khi đó ⋯ 2 ⋯ ⋯ 2 2 ⋯ 2 ⋯ 0, ∀ ∈ . Mà 0 nên ∆ 0 hay 0⟺ . Suy ra 7
⋯ ⋯ ⋯ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 0. 0 Hay ∃ ∈ sao cho , 1, . 1.3.4. Bất đẳng thức Bernoulli Định lý. Cho ∈ , 0, ∈ ℚ, 1. Thế thì: 1 1 . Chứng minh Do ∈ ℚ à 1 nên trong đó , , ∈ . Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho số: 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 1 .1 ( không xảy ra dấu " " vì 1 1) ⁄ Hay 1 1 . Nhưng , vậy ta có 1 1 . Hay 1 1 . Vậy 1 1 . 8
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 2.1. Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức 2.1.1. Phương pháp sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương * Phương pháp dựa vào định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức hoặc ta chứng minh 0 (hoặc 0 . Lưu ý dùng tính chất 0 với mọi . Ví dụ 1. Cho , , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh . Giải Ta có 2 . Vì , , là ba cạnh của một tam giác nên 0 0. 0 Do đó 0. Suy ra 0. Hay . Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số thực , , ta luôn có 9
. Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 , ∀ , , . Do đó ∀ , , . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ví dụ 3. Cho , , là ba số thực. Chứng minh 3 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 10
2 2 2 . 1 0 ∀ , , ∈ 2 Do đó 3 ∀ , , ∈ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . * Phương pháp biến đổi tương đương Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Ví dụ 4. Cho , là hai số thực bất kỳ. Chứng minh 1 . 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải 1 ⟺ 2 ⟺ 2 2 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 3 ⟺ 0 2 . 2 4 Vì (2) đúng ∀ , ∈ nên (1) đúng ∀ , ∈ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 3 ⟺ 0⟺ ⟺ . 0 2 0 2 4 0 11
Ví dụ 5. Cho , là hai số thực thỏa mãn 1. Chứng minh 1 1 2 1 . 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có 1 ⟺ 0 ⟺ 1 1 1 1 2 1 1 0 ⟺ 1 0 2 . Vì 1 nên 1 0, do đó (2) đúng. Suy ra (1) đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1 Ví dụ 6. Cho , là hai số thực dương thỏa ; , là hai số thực tự nhiên sao cho . Chứng minh 1 . Giải. 1 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 2 0 ⟺ 2 0 ⟺ 0 2 Vì nên , suy ra (2) đúng; suy ra (1) đúng. Ví dụ 7. Cho , , , , là các số thực. Chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có 12
⟺ 4 4 ⟺ 4 4 4 4 4 4 4 4 0 ⟺ 2 2 2 2 0 (*). Bất đẳng thức (*) đúng với mọi số , , , , . Do đó bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số thực , , , , . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 ⟺ . 2 2 2 Ví dụ 8. Cho , là hai số thực. Chứng minh . Giải Ta có ⟺ ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ∗ . Bất đẳng thức (*) đúng với mọi số thực , . Vậy ,∀ , ∈ . Ví dụ 9. Cho , là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh 2√2. Đẳng thức xảy ra khi nào? 13
Giải Ta có nên 0. Khi đó 2√2 ⟺ 2√2 ⟺ 2√2 2√2 ⟺ 2 2√2 2√2 2 0 ⟺ √2 2√2 2√2 2 0 (vì . 1 nên 2 2) ⟺ √2 0 (luôn đúng với mọi , ). Do đó 2√2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √2 0. Kết hợp với điều kiện 1 và , ta suy ra √2 √6 √2 √6 2 ặ 2 . √2 √6 √2 √6 2 2 Ví dụ 10. Cho , , , là các số thực dương. Chứng minh √ √ (1). Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có: 1 ⟺ 2 2 2 ⟺ ⟺ 2 14
⟺ 2 0 ⟺ 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực dương , , , . Vậy √ √ , với mọi số thực dương , , , . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⟺ . Ví dụ 11. Cho , là hai số thực dương. Chứng minh (1). Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có: 1 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực dương , . Vậy , với mọi số thực dương , . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ví dụ 12. Cho , là hai số thực thỏa mãn điều kiện | | 1, | | 1. Chứng minh | | |1 |. Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta có | | |1 | ⟺ 2 1 2 ⟺1 0 ⟺1 1 0 ⟺ 1 1 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi , ∈ : | | 1, | | 1. 15
Vậy | | |1 |, với mọi , ∈ : | | 1, | | 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 0⟺ 1 . 1 0 1 1 2.1.2. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tam thức bậc hai, cụ thể ta vận dụng kiến thức về xét dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai 0 . Khi đó 0 0, ∀ ⟺ ; ∆ 0 0 0, ∀ ⟺ ; ∆ 0 0 0, ∀ ⟺ ; ∆ 0 0 0, ∀ ⟺ . ∆ 0 Ví dụ 13. Cho , là hai số thực. Chứng minh 5 4 2 6 3 0. Giải Đặt 5 4 2 6 3 2 2 1 5 6 3 Ta có ∆′ 2 1 5 6 3 4 4 1 5 6 3 2 2 2 1 1 1 1 0, ∀ ∈ . 16
Do đó 0, ∀ ∈ . Vậy 5 4 2 6 3 0, ∀ , ∈ . Ví dụ 14. Cho , là hai số thực. Chứng minh 4 2 2 . Đẳng thức xảy là khi nào? Giải Đặt 4 2 2 2 2 4 Ta có ∆ 2 4 2 4 4 4 4 8 16 3 4 4 3 2 0, ∀ ∈ . Do đó 0, ∀ ∈ . Vậy 4 2 2 , ∀ , ∈ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2. Ví dụ 15. Cho , , , là các số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh 8 . Giải Ta có 1 ⟺ 2 2 2 8 8 0 ⟺ 2 2 2 2 2 2 8 8 0 ⟺ 2 3 2 2 6 0 Đặt 2 3 6 Do đó ∆ 3 2 2 6 9 6 2 6 2 2 6 17
8 8 8 8 8 8 8 0 Suy ra ∆ 0, ∀ , , ∈ : . Do đó luôn cùng dấu với 1 nên 0, ∀ ∈ . Vậy 8 . Ví dụ 16. Cho , là hai số thực. Chứng minh 1 √3. Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Đặt 1 √3 √3 √3 1. Khi đó là tam thức bậc hai theo , có biệt thức ∆ √3 4 √3 1 2√3. 3 4 4√3. 4 3 2√3 1 √3 1 0, ∀ ∈ . Vậy có hệ số của bằng 1, ∆ 0 ê 0, ∀ ∈ . Hay 1 √3, ∀ , ∈ . √ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ví dụ 17. Cho , , , là ba cạnh của tam giác và , , là ba số thỏa mãn điều kiện 0. Chứng minh 0 (1). Giải Từ điều kiện 0 suy ra . 18
Khi đó 1 ⟺ 0 ⟺ 0 ⟺ 0 (2). Nếu 0 thì (2) ⟺ 0. Vậy (2) đúng. Nếu 0, khi đó: 2 ⟺ 0 (3). Đây là một tam thức bậc hai theo có hệ số cao nhất bằng 1. Và ∆ 4 2 2 2 Vì , , là đó dài ba cạnh của một tam giác nên từ | | ⟹ 2 ; | | ⟹ 2 ; | | ⟹ 2 . Vậy 2 2 2 . Do đó ∆ 0, với , , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Suy ra 0. Vậy 0, ∀ , ∈ : 0. 2.1.3. Phương pháp sử dụng qui nạp toán học Phương pháp này có thể sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức có chứa số tự nhiên . Để chứng minh bất đẳng thức đúng với , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Kiểm tra bất đẳng thức đúng với . Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với (thay vào bất đẳng thức cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp). 19
Bước 3. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 1 (thay 1 vào bất đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp). Bước 4. Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi . Ví dụ 18. Cho , là hai số thực dương, là một số nguyên dương. Chứng minh 1 . 2 2 Giải Với 1, ta có: 1 ⟺ ô đú . 2 2 Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với , tức là: 2 . 2 2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với 1, tức là ta cần chứng minh: 3 . 2 2 Thật vậy, ta có: . . . 2 2 2 2 2 . 4 Xét 2 4 20