Khóa luận tốt nghiệp đại học: Năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong khóa luận này, tác giả tiến hành nghiên cứu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần ở gần đúng nhiệt độ thấp dựa trên thế hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng, nghiên cứu kịch bản chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi trong mọi công việc. Hà Nội, tháng 5, năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tố Uyên
LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “Năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng, biết ơn. Hà Nội, tháng 5, năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tố Uyên
KÍ HIỆU VIẾT TẮT BEC Bose – Einstein Condensate Ngƣng tụ Bose – Einstein SR Symmetry Restoration Phục hồi đối xứng SNR Symmetry Non - Restoration Không phục hồi đối xứng ISB Inverse Symmetry Breaking Phá vỡ đối xứng nghịch đảo SD Schwinger – Dyson CJT Cornwall – Jackiw – Tombolis
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài ......................................................... 2 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN .............................................................................. 3 1.1.Giới thiệu về chuyển pha .................................................................. 3 1.2.Ngƣng tụ Bose – Einstein.................................................................. 9 1.3.Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu hạn 13 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................... 20 CHƢƠNG 2 NĂNG LƢỢNG CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP .............................................................................................................. 21 2.1. Thế hiệu dụng trong gần hai vòng ................................................... 22 2.2. Phƣơng trình khe và phƣơng trình Schwinger-Dyson. ....................... 26 2.2.1. Phƣơng trình khe ................................................................................... 26 2.2.2. Phƣơng trình Schwinger-Dyson đối với hàm truyền ............................ 26 2.2.3. Phƣơng trình khe mới............................................................................ 27 2.2.4. Phƣơng trình SD mới ............................................................................ 28 2.3. Năng lƣợng tự do .......................................................................... 29 2.4. Gần đúng nhiệt độ thấp .................................................................. 30 Kết luận chƣơng 2 ............................................................................... 32 KẾT LUẬN ........................................................................................ 33
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC – Bose – Einstein Condenstate) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đƣợc tạo ra đầu tiên trên thế giới vào năm 1995 đã làm biến đổi nguyên tử vật lý. Điều này, có nghĩa rất lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, mở ra nhiều triển vọng cho vật lý. Và ở trạng thái BEC, có nhiều hiện tƣợng tƣợng lạ, lôi cuốn, do đó nghiên cứu tính chất vật lý của BEC tạo nên khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một trong lĩnh vực hấp dẫn vật lý hiện đại. BEC là vật chất lƣợng tử, sóng vật chất lƣợng tử có đặc tính rất quan trọng của sóng laser, đó là tính kết hợp. Nghiên cứu sóng vật chất dựa trên BEC đóng vai trò chủ yếu khi xác lập nguyên lý làm việc của máy tính lƣợng tử. Để phát hiện các hiệu ứng lƣợng tử có liên quan trực tiếp đến tin học lƣợng tử ngƣời ta đã tiến hành nhiều nghiên cứu về thực nghiệm và lý thuyết các tính chất vật lý của cả BEC một thành phần và BEC hai thành phần. Và các nghiên cứu này đã mang lại nhiều kết quả quan trọng đối với toàn bộ ngành vật lý, đặc biệt đối với công nghệ lƣợng tử đƣợc hình thành từ ba thành phần chính là: thông tin lƣợng tử, máy tính lƣợng tử và vật chất lƣợng tử. Về mặt lý thuyết, có nhiều thành tựu về việc mô tả các hiện tƣợng khác nhau đã quan sát đƣợc, đồng thời tiên đoán các hiệu ứng lƣợng tử mới. Việc nghiên cứu cấu trúc pha của BEC ở nhiệt độ cực thấp đóng một vai trò quan trọng vì cấu trúc pha cho ta thông tin đầy đủ các tính chất vật lý, các trạng thái của vật chất lƣợng tử ứng với các miền khác nhau của tham số vật lý nhƣ hằng số tƣơng tác, nhiệt độ, thế hóa học. Trong đó, việc nghiên cứu năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần ở gần đúng nhiệt độ thấp cũng đóng góp quan trọng về mặt lý thuyết. 1
Xuất phát từ triển vọng trên tôi đã lựa chọn đề tài :" Năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp" 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết ngƣng tụ Bose – Einstein nghiên cứu năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần ở gần đúng nhiệt độ thấp dựa trên thế hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng, nghiên cứu kịch bản chuyển pha nhiệt và chuyển pha lƣợng tử. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu là ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn. Phạm vi nghiên cứu là xét hệ khí Bose ở nhiệt độ cực thấp trong gần đúng hai vòng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng. - Tính số bằng phần mềm máy tính. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Nghiên cứu về năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp có những đóng góp quan trọng trong cơ học lƣợng tử nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung. 2
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1. Giới thiệu về chuyển pha Đối với hệ nhiệt động, thông thƣờng để biểu diễn trạng thái rắn, lỏng hoặc khí ta dùng khái niệm pha. Trong vật lý thống kê, pha là một trạng thái của hệ vĩ mô có các đặc trƣng khác về chất so với các trạng thái khác của chính hệ đó và cấu trúc pha của hệ xác định các tính chất vật lý cơ bản của hệ. Trạng thái vi mô của hệ đƣợc đặc trƣng bởi các thông số trạng thái nhƣ nhiệt độ (T), áp suất (P), thể tích (V), entropy (S),… mà các đại lƣợng này đƣợc xác định thông qua các hàm nhiệt động ( là hàm của trạng thái) nhƣ thế nhiệt động (Ω), năng lƣợng tự do E,… Khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt, các thông số trạng có mối liên hệ với nhau, chúng đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình trạng thái. Bởi vậy, đối với hệ đồng chất, trạng thái cân bằng sẽ đƣợc xác định bằng hai đại lƣợng nhiệt động bất kỳ cho trƣớc, ví dụ nhƣ thể tích V và năng lƣợng E. Nhƣng, nếu cho trƣớc một cặp các giá trị bất kì của E và V thì không thể khẳng định đƣợc rằng trạng thái đồng chất đó của vật chất sẽ tƣơng ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt. Bởi vì, có thể xảy ra trƣờng hợp trong trạng thái cân bằng nhiệt, hệ không là đồng chất mà tách ra thành hai thành phần đồng chất tiếp giáp nhau nhƣng chúng ở những trạng thái khác nhau. Những pha khác nhau của vật chất gồm các trạng thái khác nhau của vật chất có thể đồng thời tồn tại, cân bằng với nhau và tiếp giáp nhau. Hai pha có nhiệt độ, áp suất, thế hóa bằng nhau gọi là hai pha cân bằng, nghĩa là: T1 = T2; P1 = P2; μ1 = μ2 . (1.1) Nếu biểu diễn nhiệt độ và áp suất trên các trục tọa độ thì tập hợp những điểm mà ở đó có cân bằng pha tạo thành một đƣờng cong, gọi là đƣờng cong 3
cân bằng pha. Những điểm nằm hai bên đƣờng cong là những trạng thái đồng chất của hệ, nghĩa là thuộc một pha xác định. Khi trạng thái của hệ biến đổi dọc theo một đƣờng cắt đƣờng cong cân bằng thì tại giao điểm của hai đƣờng đó sẽ có sự chuyển từ pha này sang pha khác. Nếu sự cân bằng pha đối với một lƣợng chất xác định đƣợc biểu diễn bằng giản đồ trong mặt phẳng (T, V) thì sẽ có một miền mặt phẳng bị chiếm bởi các trạng thái trong đó đồng thời có hai pha. Giống nhƣ điều kiện của hai pha cân bằng, sự cân bằng ba pha cũng đƣợc xác định bằng 3 đẳng thức: T1 = T2 = T3; P1 = P2 = P3; μ1 = μ2 = μ3 . (1.2) Trong lý thuyết Landau, nếu các bất đẳng thức nhiệt động sau đây đƣợc thỏa mãn: nhiệt dung đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt dung đẳng tích (Cp > Cv), nhiệt dung đẳng tích luôn dƣơng (Cv > 0) và đạo hàm của áp suất theo thể tích P khi nhiệt độ không đổi luôn âm ( T  const
Trong tự nhiên chuyển pha là một hiện tƣợng vật lý phổ biến nhƣ chuyển pha khí – lỏng, chuyển pha trong các hệ lƣợng tử: chuyển pha chiral trong vũ trụ và chuyển pha hadron – quark trong các phản ứng ion nặng. Từ lâu chuyển pha là đề tài nghiên cứu đƣợc rất nhiều nhà khoa học quan tâm. Vào thế kỉ 19 Andrew phát hiện ra tính chất của trạng thái lỏng và khí trở nên không phân biệt và hệ ở trong trạng thái tới hạn, có mầu trắng sữa trên mặt phẳng P – T của CO2. Đây là quan sát đầu tiên về điểm tới hạn (điểm chuyển pha). Trên mặt phẳng (P,T), điểm dừng của đƣờng cong cân bằng pha gọi là điểm tới hạn. Nhiệt độ và áp suất tại điểm đó đƣợc gọi là nhiệt độ và áp suất tới hạn (Tc, Pc). Nghĩa là hệ trở nên đồng chất, không còn có các pha khác nhau của vật chất khi nhiệt độ T > Tc và áp suất P > Pc. Thông thƣờng một điểm chuyển pha không phải là một kỳ dị toán học của các đại lƣợng nhiệt động của hệ. Mỗi pha có thể tồn tại dƣới điểm chuyển pha nếu bất đẳng thức nhiệt động phải không bị vi phạm tại điểm chuyển pha. Sau đó khoảng 30 năm, P. Curie đã phát hiện sự chuyển pha sắt từ (ferromagnetic) trong sắt và thấy đƣợc sự tƣơng đồng giữa hai hiện tƣợng này. Nhƣng cho đến khi Landau lần đầu tiên đề xuất một mô hình tổng quát cho phép giải thích một cách thống nhất các hiện tƣợng chuyển pha trong các chất lỏng và từ thì lý thuyết chuyển pha mới thực sự đƣợc ra đời. Tuy nhiên, lời giải thích chính xác về mô hình Ising hai chiều của Onsager và các kết quả về đƣờng cong đồng tồn tại của các chất lỏng đơn của Guggenhein đã chỉ ra rằng lý thuyết Landau không cho các kết quả định lƣợng đúng. Vậy, để có kiến thức đầy đủ về lý thuyết chuyển pha thì ngoài lý thuyết Landau cần bổ sung thêm các hệ thức Scaling cho các chỉ số tới hạn, phƣơng trình trạng thái, ngoài ra kết hợp thêm lý thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff và nhà vật lý lý thuyết Mỹ K. Wilson. Dựa vào nguyên nhân, chuyển pha đƣợc chia làm hai loại: 5
chuyển pha nhiệt và chuyển pha lƣợng tử. Dƣới đây là những lý thuyết chính về các loại chuyển pha này: Chuyển pha nhiệt Khi nhiệt độ thay đổi đạt đến giá trị tới hạn thì có sự thay đổi về chất trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha gọi là chuyển pha nhiệt. Khi có sự thăng giáng nhiệt của các đại lƣợng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở nên rất lớn tại điểm chuyển pha thì chuyển pha nhiệt xảy ra và khi đó độ dài tƣơng quan trở nên lớn vô hạn. Đến thời điểm hiện tại, có hai quan điểm về chuyển pha nhiệt, đó là chuyển pha theo lý thuyết Ehrenfest và theo lý thuyết của Landau. Trong lý thuyết Ehrenfest, Chuyển pha nhiệt theo lý thuyết này còn đƣợc gọi là chuyển pha cổ điển. Ở đây, chuyển pha nhiệt của hệ xảy ra tại điểm tới hạn ứng với sự không liên tục của đạo hàm năng lƣợng tự do theo nhiệt độ. Nếu đạo hàm bậc nhất của năng lƣợng tự do E theo nhiệt độ không liên tục tại điểm chuyển pha thì gọi là chuyển pha loại một (hình I.1) E ∆E 0 T = TC T Hình I.1: Năng lƣợng tự do gián đoạn tại điểm tới hạn, tƣơng ứng với chuyển pha xảy ra là loại một. 6
Theo lý thuyết Landau, khi nhiệt độ tăng, tham số trật tự Φ(T) – Order Parameter biến đổi có bƣớc nhảy (có từ một giá trị hữu hạn nào đó đến không) thì sự chuyển của tinh thể là từ có trật tự thành không trật tự hay sự chuyển pha là loại một còn nếu tham số trật tự dẫn đến không một cách liên tục, tức là không có bƣớc nhảy thì sẽ có sự chuyển pha loại hai. Điểm cần lƣu ý ở đây là khi xuất hiện tham số trật tự: nhƣng không có sự thay đổi đối xứng tinh thể thì không thể có chuyển pha loại hai nhƣng có thể xảy ra chuyển pha loại một; còn nếu có xảy ra sự chuyển tinh thể từ trật tự thành không trật tự một cách liên tục nhƣng lại không thể có bƣớc nhảy của nhiệt dung thì cũng không xảy ra chuyển pha loại hai. Trong chuyển pha loại hai, sự thay đổi đối xứng của hệ có một tính chất tổng quất rất quan trọng là đối xứng của một pha cao hơn đối xứng của pha kia, nghĩa là pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ đối xứng cao hơn. Từ điều kiện không có bƣớc nhảy trạng thái tại điểm chuyển pha loại hai ta thu đƣợc kết quả: các hàm nhiệt động của hệ (entropi, năng lƣợng, thể tích,…) vẫn giữ liên tục khi đi qua điểm chuyển pha. Từ đó thấy đƣợc điểm chuyển pha loại hai có sự khác biết so với điểm chuyển pha loại một ở điểm là nó xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhƣng sẽ có sự thay đổi nhƣ có bƣớc nhảy ở điểm chuyển pha loại hai của đạo hàm bậc nhất của các đại lƣợng nhiệt động (theo áp suất, thể tích). Tóm lại, theo lý thuyết Landau: - Chuyển pha loại một: tham số trật tự có bƣớc nhảy tại T = Tc. Chuyển pha loại một không gắn liền với các đối xứng của hệ. - Chuyển pha loại hai: tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt độ và tiến tới không khi nhiệt độ T tiến tới Tc. Điểm đáng chú ý nhất trong lý thuyết này là gắn chặt sự chuyển pha loại hai với tính đối xứng của hệ đối với các phép biến đổi của tham số trật tự. Khi chuyển pha loại hai , tham số trật tự Φ(T) 7
của hệ giảm liên tục về không theo ba cách nhƣ ở hình I.2a; I.2b; I.2c và nhiệt dung có sự kỳ dị tại điểm chuyển pha. Φ(T) Φ(T) 0 T = Tc T (b) T (a) Φ(T) 0 T = Tc T (c) Hình I.2: sự phụ thuộc nhiệt độ T của tham số trật tự Φ: (a) Đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 và đƣợc phục hồi tại T = Tc > 0 đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện tƣợng SR; (b) đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 nhƣng không đƣợc phục hồi khi T tăng đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện tƣợng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0 đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện tƣợng ISB. 8
Chuyển pha lƣợng tử Trong lý thuyết lƣợng tử, pha lƣợng tử là các trạng thái khác nhau mà khi hệ ở cùng một pha vật chất nhƣng vẫn có thể ở các trạng thái lƣợng tử đó. Khi có sự thăng giáng lƣợng tử của các đại lƣợng vật lý ở nhiệt độ xác định thì chuyển pha lƣợng tử xảy ra và có mật độ số hạt trở nên rất lớn khi tiến tới điểm chuyển pha. Thăng giáng lƣợng tử xảy ra do nguyên lý bất định Heisenberg. Vì vậy nên khi khảo sát thăng giáng của tham số: hằng số tƣơng tác, thế hóa học, mất độ hạt của hệ lƣợng tử ở nhiệt độ xác định thu đƣợc thông tin về chuyển pha lƣợng tử. Ví dụ: khi thế hóa học thay đổi đến giá trị tới hạn μc thì thăng giáng lƣợng tử của mật độ hạt trở nên vô cùng lớn, tại đó xảy ra chuyển pha lƣợng tử, khi đó hệ chuyển từ trạng thái lƣợng tử này sang trạng thái lƣợng tử khác ở nhiệt độ không đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử không đổi. Hiểu một cách đơn giản, chuyển pha nhiệt là hệ chuyển từ trạng thái nhiệt động này sang trạng thái nhiệt động khác khi đi qua T= Tc còn chuyển pha lƣợng tử là hệ chuyển từ trạng thái lƣợng tử này sang trạng thái lƣợng tử khác khi đi qua điểm chuyển pha ở nhiệt độ cực thấp cố định. Thực tế, có các kịch bản pha ứng với các hiện tƣợng sau đây: SR là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không và đƣợc phục hồi ở nhiệt độ cao hơn; SNR là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không nhƣng không đƣợc phục hồi ở nhiệt độ cao hơn và trƣờng hợp cuối cùng là kịch bản pha ISB – kịch bản xảy ra sự phá vỡ đối xứng ở nhiệt độ lớn hơn 0oK. 1.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein Boson là các hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose – Einstein. Hệ Bose có thể gồm các hạt boson hoặc gồm các cặp hạt Fermi liên kết. Hệ 9
Bose tƣơng tác yếu đƣợc gọi là khí Bose, có thể là khí Bose một thành phần hoặc nhiều thành phần. Khí Bose không tƣơng tác (g = 0), gọi là khí Bose lý tƣởng. Trạng thái của hệ Bose đƣợc biểu diễn bằng hàm sóng đối xứng, số lấp đầy không bị hạn chế bởi nguyên lý Pauli, có thể nhận giá trị tùy ý. Thế nhiệt động Ω của hệ là:    k k  T ln  (e T )n , k (1.3) n 0   k khi e T  1 có sự hội tụ, nên có thể viết:   k k  T ln(1  e T ) . (1.4) Vì năng lƣợng Ek của nk hạt ở trạng thái lƣợng tử thứ k gấp nk lần năng lƣợng εk của một hạt ở trạng thái đó (Ek = nk εk) nên số hạt boson (nk) ở trạng thái có năng lƣợng Ek tuân theo hàm phân bố Bose:  1 nk      . (1.5)  e T  1k Do đó, ở một trạng thái lƣợng tử của hệ Bose số hạt là bất kì. Từ những năm (1924 – 1925), Einstein dự đoán về mặt lý thuyết rằng ở nhiệt độ T = 0K, các hạt trong hệ không có chuyển động nhiệt nên không có động lƣợng và hàm sóng ѱ(k) mô tả hệ các hạt trở thành ѱ(0). Cho nên, năng lƣợng của hệ các hạt Bose ở trạng thái lƣợng tử ứng với T = 0K là thấp nhất, gọi là trạng thái cơ bản. Vì các Boson không bị chi phối bởi nguyên lý Pauli nên ở trạng thái lƣợng tử này, trong một thể tích xác định có thể tồn tại một số tùy ý các hạt không có chuyển động nhiệt. Đó là một trạng thái rất đặc biệt với mật độ hạt rất lớn, có thể tƣởng tƣợng nhƣ một đám mây lạnh đậm đặc 10
chứa vô số hạt trong một thể tích nhỏ, xác định. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC). Và đây cũng là trạng thái mới của vật chất xảy ra khi nhiệt độ đƣợc hạ xuống đến gần nhiệt độ tới hạn 0K. Khi ngƣng tụ có ngƣng tụ, mật độ hạt tăng đột biến. Mô hình Lagangian cho khí Bose một thành phần đƣợc đƣa ra bởi Bogoliubov (Nga) vào năm 1948 và đến năm 1963, Gross – Pitaevskii đã đƣa ra mô hình Lagangian cho khí Bose hai thành phần. Đến thời điểm hiện tại, trong nghiên cứu lý thuyết đã hình thành một số cách tiếp cận BEC khác nhau ở nhiệt độ hữu hạn nhƣ cách tiếp cận dựa trên thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree – Fork,… Tuy vậy, do chƣa hạ đƣợc nhiệt độ xuống đến gần 0K, dƣới 10-6K nên thực nghiệm chƣa chứng minh đƣợc sự tồn tại của BEC. Mãi đến năm 1995, sau khi tìm ra kỹ thuật là lạnh mới và bằng cách sử dụng Laser lạnh, lần đầu tiên các nhà nghiên cứu mới thực hiện đƣợc BEC đối với khí Bose loãng, tƣơng tác yếu một thành phần nhƣ 87Rb và 23Na, 7Li ở nhiệt độ cực thấp. Vào năm 1997, giải Nobel đã trao cho nhóm nghiên cứu gồm Steven Chu, Claude Cohen – Tannoudji (lý thuyết) và William Phillips về kỹ thuật bẫy và làm lạnh tia laser. Ngay sau đó, thành tựu này đƣợc ứng dụng để thí nghiệm phát hiện BEC. Cụ thể quá trình thí nghiệm về BEC trải qua các bƣớc sau đây: đầu tiên làm lạnh tia Laser, sau đó bẫy từ trƣờng và cuối cùng là làm bay hơi lạnh các nguyên tử kiềm. Tính chất của ngƣng tụ Bose – Einstein Với hệ các hạt Bose đồng nhất, bƣớc sóng de Broglie phụ thuộc nhiệt độ đƣợc xác định bởi công thức: 2 2 T  , (1.6) mkT 11
trong đó: m là khối lƣợng của một hạt, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ. Vậy trong BEC, các hạt Bose có cùng một bƣớc sóng de Broglie. Nhƣ vậy, khi nhiệt độ đƣợc hạ xuống đến giá trị tới hạn thì BEC là vật chất lƣợng tử có tính chất kết hợp. Công thức xác định nhiệt độ tới hạn: 2/3 2 2  n  Tc  (1.7) mk   (3 / 2)  , trong đó: n là mật độ hạt của hệ,  (3 / 2) = 2,612 là hàm zeta Riemann. Từ biểu thức (1.7) ta thấy, nhiệt độ tới hạn đƣợc dự đoán theo lý thuyết là thấp hơn 10-6K. Khí Bose đƣợc làm lạnh sẽ chuyển sang pha lỏng, khi đó hệ khí Bose trở thành chất lỏng lƣợng tử đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Gross – Pitaevskii. Hàm sóng biểu diễn trạng thái của hệ khí Bose là hàm có tính đối xứng đƣợc xác định bởi các thông số trạng thái là áp suất, nhiệt độ, năng lƣợng, mật độ hạt. Đặc biệt, ở nhiệt độ cực thấp, xung lƣợng k
1.3. Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu hạn Trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử, phƣơng pháp khai triển nhiễu loạn đƣợc xem là phƣơng pháp rất hữu ích khi biểu diễn các quá trình tƣơng tác và giải các phƣơng trình động lực học. Phƣơng pháp này đã rất thành công trong điện động lực học lƣợng tử, sắc động học lƣợng tử và một số bài toán cụ thể khác. Tuy nhiên có nhiều hiện tƣợng vật lý quan trọng nhƣ sự vi phạm đối xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha và các hiệu ứng tập thể lại không dễ dàng thấy đƣợc trong chuỗi nhiễu loạn. Do đó, đòi hỏi một phƣơng pháp mới không dựa vào khai triển nhiễu loạn, vừa bao gồm tất cả các bậc khai triển ứng với lý thuyết nhiễu loạn, vừa giữ đƣợc những tính chất phi tuyến của lý thuyết trƣờng đối với các hiệu ứng tập thể. Trong những nghiên cứu lý thuyết lƣợng tử về ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) của khí Bose, các nhà nghiên cứu đã sử dụng các phép gần đúng nhƣ phƣơng pháp trƣờng tự hợp Hatree – Fork để giải phƣơng trình Schodinger tìm ra hàm sóng mô tả hệ và năng lƣợng tƣơng ứng và phƣơng pháp thống kê Fecmi – Dirac để giải bài toán hệ có số hạt lớn hoặc phƣơng pháp gần đúng Popov cho các hệ khí trộn lẫn. Mặc dù vậy, khi nghiên cứu lý thuyết về các tính chất của BEC cần chú ý rằng, phƣơng pháp nghiên cứu phải đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến của các hiệu ứng tập thể và liên kết của ngƣng tụ. Vào năm 1962, phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng do J.Golstone, A.Salam và S.Weinberge đƣợc đƣa ra dựa trên tích phân phiếm hàm là phƣơng pháp không nhiễu loạn và đáp ứng đƣợc các điều kiện trên, đặc biệt trong việc khảo sát các hiệu ứng tập thể. Trên cơ sở đó, Cornwall – Jackiw – Tombolis tiếp tục phát triển phƣơng pháp này và đã mở rộng tác dụng hiệu dụng cho các toán tử đa hợp gọi tắt là phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng CJT. Ƣu điểm của phƣơng pháp này là tính ƣu việt khi giải quyết các vấn đề của lý 13
thuyết trƣờng lƣợng tử, đặc biệt trong nghiên cứu về các tính chất lƣợng tử của quá trình chuyển pha. Gọi tác dụng hiệu dụng CJT là Г[  , G]. Trong đó:  ( x) là giá trị trung bình của trƣờng lƣợng tử, hàm truyền G( x, y ) là giá trị trung bình của tích chuẩn hai trƣờng lƣợng tử tƣơng ứng T(  ( x)  ( y ) ). Tác dụng hiệu dụng lƣợng tử CJT Trong mọi quá trình vật lý, những trạng thái của hệ có thời điểm ban đầu t   và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t   đƣợc xem nhƣ những trạng thái ứng với năng lƣợng thấp nhất, tƣơng ứng là các chân không O  và O  . Khi đó biên độ xác suất để hệ thay đổi từ chân không O  đến chân không O  khi có các nguồn ngoài J, K là phiếm hàm sinh: 1 i (  S  . J   . K . ) Z J, K  O O   J ,K  N  De 2 , (1.8) trong đó:  .J    ( x) J ( x) d 4 x , .K .    ( x) K ( x, y) ( y)d 4 xd 4 y , đƣợc gọi là các tích chấm đƣợc thực hiện trên tất cả quá trình bên trong và không thời gian, N là thừa số chuẩn hóa; S   là tác dụng thông thƣờng. Tích phân phiếm hàm đƣợc xác định trên toàn bộ các cấu hình trƣờng của hệ vật lý. Sự đóng góp của mỗi đƣờng vào tích phân lấy từ tác dụng thông thƣờng đặc trƣng cho các quá trình vật lý của hệ. Phiếm hàm sinh Z[J, K] nêu ở trên sinh ra các hàm Green tổng quát bao gồm các giản đồ liên kết và không liên kết. Phiếm hàm W[J, K] chỉ bao 14