Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein môt thành phần trong thống kê chính tắc lớn

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn" gồm có 2 chương như sau: Chương I lý thuyết chung của ngưng tụ bose-einstein, chương II: sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein môt thành phần trong thống kê chính tắc lớn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THI ̣ THẮM NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THI ̣ THẮM NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nô ̣i dung chính của khóa luâ ̣n tố t nghiê ̣p, tôi xin gửi lời cám ơn tới PGS. TS Nguyễn Văn Thu ̣ người đã đinh ̣ hướng cho ̣n đề tài và đã hướng dẫn tôi rấ t tâ ̣n tình để tôi làm tố t khóa luâ ̣n. Đồ ng thời tôi cám ơn giảng viên của bô ̣ môn Vâ ̣t lý lý thuyế t của trường Đa ̣i ho ̣c sư pha ̣m Hà Nô ̣i 2 đã hỗ trơ ̣ và giúp đỡ tôi trong thời gian ho ̣c tâ ̣p cũng như thực hiêṇ khóa luâ ̣n. Hà nô ̣i, tháng 5, năm 2018. Tác giả ̣ Trầ n Thi Thắ m
LỜI CAM ĐOAN Cùng với hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Văn Thu ̣ khóa luâ ̣n tố t nghiê ̣p chuyên ngành Vâ ̣t lý lý thuyế t, đề tài “Nghiên cứu sức căng mă ̣t ngoài của ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê chiń h tắ c lớn” đươ ̣c cá ̣ Các số liê ̣u và kế t quả nêu trong đây là trung thực và chưa nhân tôi thực hiên. đươ ̣c công bố ở tài liê ̣u khoa ho ̣c nào. Nế u điề u đó không đúng, tôi sẽ hoàn toàn chiụ trách nhiê ̣m. Hà nô ̣i, tháng 5, năm 2018. Tác giả ̣ Trầ n Thi Thắ m
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT BEC (Bose-Einstein condensate) Ngưng tu ̣ Bose-Einstein GPE (Gross-Pitaevskii equation) Phương trình Gross-Pitaevskii DPA (Double-parabola approximation) Gầ n đúng parabol kép GCE (Grand canoical ensemble) Tâ ̣p hơ ̣p chính tắ c lớn
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do cho ̣n đề tài. .......................................................................................... 1 2. Mu ̣c đích nghiên cứu. .................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2 5. Những đóng góp mới của đề tài. ................................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. . 3 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. ...................................................... 3 1.1.1. Về mă ̣t lý thuyết. ..................................................................................... 3 1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm. ........................................................................ 4 1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium. ................................................... 4 1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. ............................................. 5 1.2. Lý thuyết trường trung bình. ...................................................................... 6 1.2.1. Thế tương tác........................................................................................... 6 1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phu ̣ thuô ̣c vào thời gian. ........................ 9 1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép......................................................... 11 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1................................................................................ 13 CHƯƠNG 2 SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN. ................ 14 2.1. Các hệ thống kê. ....................................................................................... 14 2.1.1. Nghiên cứu hệ hạt đồng nhất. ............................................................... 14 2.1.2. Nghiên cứu hệ vi chính tắc.................................................................... 16 2.1.3. Nghiên cứu hệ chính tắc. ....................................................................... 17 2.1.4. Hệ chính tắc lớn. ................................................................................... 22 2.2. Trạng thái cơ bản gần đúng parabol kép. ................................................. 24
2.3. Sức căng mặt ngoài trong thố ng kê chính tắc lớn. ................................... 25 2.3.1. Sức căng mă ̣t ngoài. .............................................................................. 25 2.3.2. Sức căng mă ̣t ngoài trong thố ng kê chính tắ c lớn. ................................ 27 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2................................................................................ 29 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31
MỞ ĐẦU 1. Lý do cho ̣n đề tài. Albert Einstein(1987-1995)-một nhà vật lý lý thuyết người Đức, ông đã phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại. Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vi ̃ đại có sức ảnh hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ Bose- Einstein (Bose-Einstein Condansate-BEC). 1995, ở trạng thái này các nguyên tử sơ khai đươ ̣c ngưng tu ̣ thành công bằ ng cách làm la ̣nh tới nhiê ̣t đô ̣ thấ p nhấ t, với các tính chất khác biêt.̣ Thấy rằng việc nghiên cứu ra đươ ̣c nguyên tử ở trạng thái BEC mang đế n ý nghĩa quan tro ̣ng là tạo ra đươ ̣c tra ̣ng thái tồ n ta ̣i mới của vâ ̣t chấ t. Mà chúng bị nhố t ta ̣i năng lượng cực tiể u , bên ca ̣nh đó còn đem đế n vô số triển vọng đố i với vật lý cơ bản và với công cuô ̣c nghiên cứu khoa học cho loài người. Ngoài ra, ở tra ̣ng thái BEC ta còn thấ y được các hiệu ứng vật lý mà không thể tìm thấ y ở những tra ̣ng thái khác, ví du ̣: siêu dẫn, siêu chảy… Nhiǹ ra vô số ý nghiã của viê ̣c nghiên cứu trạng thái BEC cũng như mong muốn nghiên cứu nhiề u hơn về trạng thái BEC tôi chọn “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mu ̣c đích nghiên cứu. Tìm đươ ̣c sức căng mă ̣t ngoài của BEC mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê ́ h tắ c lớn. chin 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Xây dựng phương trình Gross-Pitaevskii tổng quát và phương pháp gầ n đúng parabol kép. 1
Nghiên cứu về sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Hê ̣ ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê chiń h tắ c lớn. 5. Những đóng góp mới của đề tài. Nghiên cứu trạng thái BEC một thành phần trong thống kê chính tắc lớn góp phầ n mang la ̣i mô ̣t số ý nghiã cho Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và cả Vật lý lý thuyết. 6. Phương pháp nghiên cứu. Phương trình Gross-Pitaevskii. Sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép. Tính toán và trình bày hình nhờ vào phần mềm Mathematica. 2
CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. 1.1.1. Về mă ̣t lý thuyết. BEC được phát hiện bởi Satyendra Nath Bose và Einstein. Từ năm 1924 tư tưởng về BEC đã đươ ̣c một nhà vật lý và toán học ở Ấn Độ là Satyendra Nath Bose hình thành, khi Bose xem xét các nhóm photon hành xử như thế nào. Photon thuộc về một trong hai lớp lớn của các hạt cơ bản hoặc siêu nhỏ xác định bởi dù lượng tử của nó quay là một số nguyên hay bán nguyên. Bao gồ m hai loa ̣i: thứ nhất được gọi là boson bao gồm các photon mà spin của nó là 1, thứ hai gọi là fermions bao gồm các electron mà spin của nó là ½ và hai lớp hành xử khác nhau. Theo nguyên tắc lọai trừ Pauli, hạt fermions có xu hướng tránh lẫn nhau, ngược lại một số lượng không giới hạn của boson có thể cùng một trạng thái năng lượng và chia sẻ trạng thái lượng tử duy nhất [2]. Ý tưởng của Bose đươ ̣c Einstein phát triể n và tổng quát lý thuyết cho một khí lý tưởng các nguyên tử. Ông dự đoán khi làm la ̣nh các nguyên tử đến mô ̣t nhiệt độ cực thấp thì bước sóng của chúng sẽ lớn đến mức xế p chồ ng lên nhau. Các nguyên tử khi ấ y sẽ hình thành ra trạng thái lượng tử vĩ mô hay là một siêu nguyên tử-tức là một BEC. Vào năm 1925, Albert Einstein đã thể hiêṇ đươ ̣c quan điể m cơ bản của một ngưng tụ Bose–Einstein, theo quan điể m của ông một lươ ̣ng lớn các hạt nằ m ta ̣i tra ̣ng thái mức thấp nhất và nhiệt độ thấp. Đối với 4He lỏng các nhà nghiên cứu phát hiêṇ ra sự thay đổi trạng thái vô cùng đă ̣c biêṭ ở 2,19oK và đươ ̣c được coi như sự ngưng tụ của khí boson [3]. 3
Năm 1938, Fritz London đã giải thích tính siêu lỏng của 4He bằ ng cách đề xuất trạng thái BEC và tính chấ t siêu dẫn của một số vật liệu ở gầ n đô ̣ không tuyê ̣t đố i. Năm 1947 Bogoliubov xây dựng thành công lý thuyế t về tương tác khí bose ở lĩnh vực BEC, ông đưa ra cách tính tương tác giữa những nguyên tử khi nhố t chúng la ̣i. 1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm. 1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium. Dựa và những đă ̣c trưng quan tro ̣ng của chấ t khí lươ ̣ng tử ta ̣i nhiêṭ đô ̣ cực thấ p hỗ trơ ̣ viêc̣ làm cho mô ̣t số hiêṇ tươ ̣ng vâ ̣t lý dễ hiể u hơn. Nhóm nghiên cứu của Francesca Ferlaino quyế t đinh ̣ nghiên cứu về nguyên tố Erbium, do ́ h chấ t đă ̣c trưng của nó giúp giải quyế t đươ ̣c nghi ngờ trong vâ ̣t lý mô ̣t số tin cơ bản. “Erbium tương đối nặng và có tính từ mạnh. Những tính chất này dẫn tới một hành trạng lưỡng cực cực độ của hệ các lượng tử” Francesca Ferlaino nói. Bà và nhóm nghiên cứu của bà đã làm lạnh nguyên tố phức tạp này nhờ vào phương tiện laser và kỹ thuật giúp làm lạnh bay hơi. Một đám mây chứa lươ ̣ng lớn erbium có thể ta ̣o một ngưng tụ Bose-Einstein từ tính ta ̣i nhiê ̣t đô ̣ gầ n đô ̣ không kenvil. Ta ̣i đây, tính chất đơn lẻ của các ha ̣t bi ̣xóa bỏ và chúng sẽ đươ ̣c đồng bộ hóa hành trạng. “Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Francesca Ferlaino nói. Ba nguyên tố hóa học Cesium, Strontium và Erbiu đã đươ ̣c các nhà Vật lý ta ̣i Innsbruck ngưng tụ thành công da ̣o gầ n đây. Vào năm 2002 Rudolf Grimm 4
và nhóm của ông có thành công là thu đươ ̣c ngưng tụ của Cesium. Cũng là mô ̣t thành viên trong nhóm đó, Florian Schreck là người trước tiên ngưng tụ thành công Strontium hồi 2009. Và Francesca Ferlaino tiế p tu ̣c thành công với nguyên tố Erbium. Hiê ̣n nay có 13 nguyên tố được làm cho ngưng tụ, mười trong số đó được nghiên cứu từ mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4]. 1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. Mô ̣t số nhà khoa ho ̣c đế n từ Đức hóa la ̣nh phân tử photon để nó chuyể n sang da ̣ng đố m màu nhờ đó tìm ra đươ ̣c loa ̣i ánh sáng mới. Từ đó người ta đã khám phá ra tra ̣ng thái vâ ̣t chấ t mới “trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein” đã đươ ̣c tìm dựa vào viêc̣ làm la ̣nh nguyên tử của chất khí năm 1995, nhưng ho ̣ cho rằ ng từ hạt photon không thể ta ̣o ra nó (quang tử). Nhưng Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz là những nhà vật lý thuộc đại học Bonn (Đức) gầ n đây đã thành công và go ̣i tên hạt đó là “các siêu photon”. Làm cho ha ̣t tồ n ta ̣i ở tra ̣ng thái BEC truyề n thố ng thành da ̣ng siêu la ̣nh cho tới khi hòa vào nhau, không thể phân biệt được với nhau rồ i tạo ra một hạt khổng lồ. Những photon từng bi ̣dự đoán sẽ không thể đạt được da ̣ng trên vì mô ̣t điề u không thể làm đó là làm la ̣nh và ngưng tu ̣ ánh sáng cùng mô ̣t lúc. Photon khi bi ̣làm la ̣nh sẽ bi ̣hấ p thu ̣ vào môi trường quanh nó để rồ i biế n mấ t vì khố i lươ ̣ng của nó là không đáng kể . Nhưng rồ i bố n nhà vâ ̣t lý người Đức kia đã làm la ̣nh đươ ̣c đươ ̣c photon mà nó không bi ̣biế n mấ t. Ho ̣ chế ra một thùng nhố t giữ photon làm bằng những tấm gương, những tấ m gương đó chỉ cách nhau một khoảng phần triệu của một mét (1micron). Các phầ n nhỏ các phân tử “thuốc nhuộm” đươ ̣c bỏ vào các khoảng vô cùng nhỏ ấ y.Khi photon va cha ̣m với các phân tử thuố c nhuô ̣m sẽ bi ̣hấ p thu ̣ rồ i tái phát. 5
̀ h va cha ̣m các photon bi ̣ các tấ m gương giữ chỉ đươ ̣c dich Trong quá trin ̣ chuyể n trong khoảng giới ha ̣n. Khi va cha ̣m các photon có thể đa ̣t tới mức nhiêṭ đô ̣ phòng nhờ trao đổ i nhiêṭ với phân tử thuố c nhuô ̣m và ta ̣i đó chúng sẽ ta ̣o thành mô ̣t tra ̣ng thái BEC. Thử nghiệm trên đươ ̣c nhâ ̣n xét là “một thử nghiệm mang tính bước ngoặt” đươ ̣c James Anglin nói trong ta ̣p trí Nature. Thử nghiêm ̣ trên còn hỗ trơ ̣ viê ̣c ứng dụng trong để tạo ra mô ̣t số laser mới sinh ra đươ ̣c ánh sáng với bước sóng cực ngắn trong dải tia X hoặc tia cực tím. 1.2. Lý thuyết trường trung bình. 1.2.1. Thế tương tác. Xét hê ̣ BEC thu đươ ̣c từ viê ̣c làm la ̣nh boson xuố ng nhiê ̣t đô ̣ cực thấ p(0oK). Để khảo sát một hệ bất kỳ ta sử du ̣ng biể u thức năng lươ ̣ng ở tra ̣ng thái cơ bản. Phương trình tổ ng quát của toán tử Hamilton [3]:  pi2  1 N N () ( ) N H =  + Vext ri  + V ri − rj , (1.1) i =1  2m  2 i =1 j i với: số hạng thứ nhấ t bên phải biể u thi ̣động năng của hạt thứ i và thứ hai biể u thi ̣tương tác ngoài, thứ ba biể u thi ̣tương tác giữa N hạt của hệ. Phương pháp cực trị đươ ̣c dùng để tìm ra năng lượng. Dựa vào năng lượng tự do thì ta có năng lượng cần làm cho nhỏ nhấ t F = E −  N với E là năng lượng còn µ là thế hóa học. Năng lươ ̣ng đươ ̣c viế t la ̣i thông qua Hˆ và ψ  Hˆ  E ( ) = . (1.2)  Dựa vào công thức (1.2) ta đi tìm năng lươ ̣ng tự do F. Hê ̣ đang khảo sát cho phép liên hợp hàm sóng ψi với bất kỳ hàm sóng nào cùng hệ. Nhưng để giải đươ ̣c chúng ta cầ n dựa vào phương pháp gần đúng trường trung bình. 6
Để làm đươ ̣c thì trong không gian của hàm sóng thì năng lươ ̣ng tự do của nó cầ n đươ ̣c cực tiể u hóa, có da ̣ng  =     .....   với  là tenxơ, có  là tích tenxơ của N hàm sóng các hạt (điều kiện chuẩn hóa   = 1). Viê ̣c giải bài toán đươ ̣c quy về tìm cực tiể u của F (  ) =  H  −    , bây giờ đi tính từng thành phần của biểu thức 2 ( r ) ( r ) d r N N 2 pi   =   * i i i i =1 2 m i =1 2 m ( ) dr 2 2 =N 2m   ri i (1.3) ( r )   ( r ) d r. 2 2m  = −N  * 2 Nghiê ̣m của (1.3) có đươ ̣c nhờ vào tính chấ t của hàm Green Số hạng mô tả thế năng đươ ̣c viết lại (r )  () () n  V i =1 ext i = N  * r Vext r d r. (1.4) Tương tác giữa các ha ̣t của hê ̣ đươ ̣c biể u thi ̣ 1 N N  V ri − rj  2 i =1 j i ( ) 1 N N () ( ) ( =   d ri  * ri  * rj V ri − rj  ri  rj d rj 2 i =1 j i ) () () (1.5) N ( N − 1) ) = 2  () ( )( d r  * r  r  V r − r   r  r  d r , ) () ( ) Trong công thức năng lươ ̣ng tự do, số ha ̣ng cuố i ( () () ) N    =   * r  r d r . (1.6) 7
Tính cực tiểu của các công thức trên, hay là khảo sát sự thay đổ i nhỏ của () các  r , thực tế là khảo sát sự thay đổ i của các thành phần thực và ảo của  ... ()  r nhưng ta coi  và  * độc lập đố i với biến số. Ta đươ ̣c  * cho (1.3) và (1.4). Ở (1.5), đã có đạo hàm bâ ̣c hai hàm sóng  * nhưng r vị trí có thể biế n đổ i nên   *  1 n n V ri − rj  2 i =1 i =1 ( ) (1.7) () r    r () ( ) () V r − r   r d r. 2 = N ( N − 1)   *   Giố ng như thế hóa, ta có   ( () () ) ( r ) ( r ) d r N −1 = N  * r  r d r   *  * (1.8) = N   * ( r ) ( r ) d r. Thế tất cả các công thức trên vào năng lượng tự do F sau đó lấ y biế n phân F =0  *   ( ) ( ) ( ) 2  − 2m   r + V r  r + 2  = N   *,(1.9) ext    (  + ( N − 1)   ( r ) V r − r ' d r ' ( r ) −  ( r )  2  ) đa số thế năng tương tác đươ ̣c lấ y là ( V r − r = ) 4 2 m  r − r  , ( ) (1.10) với α là chiều dài tán xạ sóng s, gần đúng N − 1 N cuối cùng ta có: − 2 2 4 2 () () () () () () 2   r + Vext r  r + N   r  r =  r . (1.11) 2m m 8
(1.11) đươ ̣c go ̣i là phương trình Gross–Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Các boson có cường đô ̣ tương tác với nhau đươ ̣c biể u thi ̣ qua α, α < 0 biể u thi ̣ tương tác hút và α > 0 biể u thi ̣ tương tác đẩ y. Kế t luâ ̣n năng lượng E bi ̣ cực tiể u hóa tương đương với năng lượng tự do F = E −  N bi ̣ cực tiểu hóa. 1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. Khảo sát hệ BEC một thành phần, hàm S S   =  dtL =  dtdrL1 , (1.12) trong gầ n đúng trường trung bình mật độ hàm Lagragian có dạng  L1    = i  * −  (), (1.13) t và hàm Hamiton 2 g 4  () = − *2  +  , (1.14) 2m 2 ở đây ta có: hàm sóng  =  ( r , t ) ở tra ̣ng thái cơ bản; m-khối lượng hạt; g- hằng số tương tác dương và chúng phu ̣ thuô ̣c vào đô ̣ dài tán xa ̣ sóng 1 g = 4 2 as . (1.15) m Cực tiểu hóa hàm S theo  * S = 0, (1.16)  * tìm ra phương trình GP phụ thuộc vào thời gian   2 2 2 i = −  + U + g   , (1.17) t  2m  với U là thế năng tương tác. Bây giờ hàm sóng viế t la ̣i thành ( ) ()  r , t =  r e − it / . (1.18) 9
Thế (1.18) vào (1.17) có phương triǹ h − 2 2   −  + g  = 0. 3 (1.19) 2m Lúc này thế tương tác sẽ có da ̣ng sau g 4 V = −  +  . 2 (1.20) 2 Khi các thành phầ n ngưng tu ̣ đươ ̣c phân bố do ̣c theo phương Oz và có tiń h chấ t đố i xứng tinh ̣ tiế n theo các phương Ox, Oy thì (1.19) sẽ dươ ̣c viế t la ̣i − 2 d 2 −  + g  = 0. 3 2 (1.21) 2m dz Bây giờ ta đi đưa phương trình về da ̣ng không thứ nguyên bằ ng cách đưa vào mô ̣t số đa ̣i lươ ̣ng: - Đô ̣ dài đă ̣c trưng:  = . 2m - Thời gian đă ̣c trưng: t = .  Sử du ̣ng các biế n không thứ nguyên là to ̣a đô ̣  = z  , thời gian t, hàm sóng rút go ̣n  =  n0 với no là mâ ̣t đô ̣ khố i của ha ̣t n0 =  g . 2 d 2 d 2 d 2  1 d 2 Ta có: = , 2 = = , 2m dz 2 d  2 dz 2  2 d  2 1 d 2 nên (1.21) thành −  2 −  + g  = 0, 2 3  d 2 mà  = gn0 , =  n0 nên từ phương trình (1.21) đươ ̣c 1 d 2 − gn0 2 n0 − gn0 n0  + gn0 n0  3 = 0 2 d 2 −d 2  −  +  3 = 0, (1.22) d 2 10
và thế năng tương tác (1.20) đươ ̣c viế t la ̣i thành g 2 4 V = − gn0 n0  + n0  , 2 2  4 V  2 =− + = VGP . 2 (1.23) gn0 2 1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép. Khi muố n đi sâu hơn về DPA ta đi xét BEC mô ̣t thành phầ n giới ha ̣n bởi tường cứng. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (1.23) viế t la ̣i như sau  4 VGP = −  + 2 . (1.24) 2 Ở gầ n mă ̣t thoáng, giá tri ̣mâ ̣t đô ̣ khố i giảm dầ n từ 1 nên ở gầ n đúng bâ ̣c thấ p nhấ t lấ y   1 + a, (1.25) Trong đó a phải nhỏ và là số thực. Thế (1.25) vào (1.24) có 1 VGP = − (1 + a ) + (1 + a ) 2 4 2 = −1 − 2a − a 2 + (1 + 4a + 6a 2 + 4a 3 + a 4 ) 1 2 1 1 = − + 2a 2 + 2a 3 + a 4 . 2 2 Khai triể n VGP lấ y đế n gầ n đúng bâ ̣c hai đươ ̣c 1 1 VDPA = 2a 2 −  2 ( − 1) − , 2 (1.26) 2 2 với VDPA là thế gầ n đúng trong parabol kép. 11
0.4 0.2 V 0.0 0.2 0.4 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Hình 1.1: Đồ thi ̣ biể u diễn thế tương tác theo tham số trâ ̣t tự ϕ, đường nét liề n ứng với thế GP và nét đứt ứng với thế DPA. Thấ y rằ ng thế GP đươ ̣c thay bằ ng hai đường parabol nên go ̣i đây là gầ n đúng parabol kép. 12
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương này tôi đã trình bày về tổ ng quan của BEC, đưa ra đươ ̣c thế tương tác của hê ̣ BEC mô ̣t thành phầ n và phương triǹ h GP phu ̣ thuô ̣c cũng như không phu ̣ thuô ̣c vào thời gian, đồ ng thời tôi cũng triǹ h bày đươ ̣c phương pháp gầ n đúng parabol kép. 13