Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê momen

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận được chia làm 2 chương, nội dung chủ yếu của từng chương cụ thể như sau: Chương 1 trình bày sơ lược về cấu trúc của bán dẫn có cấu trúc ZnS và các ứng dụng quan trọng của chúng, chương 2 tìm hiểu cách xác định hằng số mạng của bán dẫn InAs khi tính đến ảnh hưởng của áp suất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRỊNH THỊ NGỌC NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRỊNH THỊ NGỌC NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Phạm Thị Minh Hạnh, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho em những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Thiếu sự giúp đỡ của cô, luận văn này đã không thể hoàn thành. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân đã dành tình cảm, cổ vũ, động viên giúp đỡ tôi vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 28 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Trịnh Thị Ngọc
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Minh Hạnh cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong luận văn là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 28 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Trịnh Thị Ngọc
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài .......................................................................... 2 7. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................. 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS. ................... 3 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc ZnS .......................................... 3 1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc ZnS ..................................................... 4 1.3. Phương pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc ZnS ............. 4 1.3.1. Các công thức tổng quát về momen. ....................................................... 4 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do. ........................................... 8 1.3.3. Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc ZnS. ................................................................................................................... 9 1.3.3.1.Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. .................................... 9 1.3.3.2. Năng lượng tự do của tinh thể có cấu trúc ZnS. ................................ 15 1.4. Kết luận chương I ..................................................................................... 17 Chương 2: ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA 19 BÁN DẪN InAs. ............................................................................................. 19 2.1. Phương trình trạng thái của bán dẫn có cấu trúc ZnS .............................. 19 2.2. Thế năng tương tác của các hạt trong tinh thể ......................................... 21 2.3. Hằng số mạng InAs ở các áp suất khác nhau........................................... 24 2.3.1. Cách xác định thông số. ........................................................................ 24
2.3.2.Các giá trị hằng số mạng của bán dẫn InAs ở áp suất khác nhau. ......... 26 2.4. Kết luận chương 2. ................................................................................... 27 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 29
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay nước ta đang trong thời kì Công nghiệp hóa - Hiện đại hóa và để góp phần cho sự phát triển đó thì không thể không nhắc tới khoa học và công nghệ vật liệu chất rắn. Nhờ vào sự phát triển của nó mà nước ta đang từng bước trở nên tiên tiến và hiện đại hơn rất nhiều, cuộc sống con người cũng ngày được nâng cao. Vì vậy, vật liệu chất rắn trong đó có chất bán dẫn đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Kẽm sunfua (ZnS) là một trong những bán dẫn điển hình cho bán dẫn hợp chất được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng quan trọng. Chẳng hạn như: ZnS được sử dụng rộng rãi làm chất tạo màu hoặc làm cửa sổ trong kính ánh sáng khả kiến hay kính hồng ngoại. Bên cạnh đó khi nghiên cứu các vật liệu chất rắn nói chung, ZnS nói riêng thì thực tế cho thấy, những tác động từ môi trường bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, độ biến dạng… có ảnh hưởng đáng kể đến các tính chất vật lí của vật liệu. Chính vì thế việc nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên các tính chất của vật liệu là thực sự cần thiết. Có nhiều phương pháp nghiên cứu về bán dẫn có cấu trúc ZnS, tuy nhiên phương pháp momen có nhiều thành công khi nghiên cứu tính chất nhiệt động, tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc ZnS dưới ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất. Vì vậy mà em đã chọn đề tài nghiên cứu là : “ Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê momen. ” 2. Mục đích nghiên cứu Áp dụng phương pháp thống kê momen để xác định các hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc ZnS khi xét đến ảnh hưởng của áp suất. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: tinh thể InAs. 1
- Phạm vi nghiên cứu: ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn InAs. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc ZnS. - Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen. - Xác định ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn InAs. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp thống kê momen. - Sưu tầm tài liệu. 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài - Đề tài giúp cho tác giả và người đọc biết rõ hơn về bán dẫn có cấu trúc ZnS và các ứng dụng quan trọng của nó. 7. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia làm 2 chương, 12 mục. Nội dung chủ yếu của từng chương cụ thể như sau: Chƣơng 1: Chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc của bán dẫn có cấu trúc ZnS và các ứng dụng quan trọng của chúng. Trong chương này, chúng tôi còn trình bày các kết quả nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc ZnS. Cụ thể chúng tôi đã thu được biểu thức độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng, hằng số mạng, năng lượng tự do. Chƣơng 2: Tìm hiểu cách xác định hằng số mạng của bán dẫn InAs khi tính đến ảnh hưởng của áp suất. Đồng thời sử dụng phần mềm Pascal để tính hằng số mạng của bán dẫn InAs khi xét đến ảnh hưởng của áp suất. 2
NỘI DUNG Chƣơng 1: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC ZnS. 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc ZnS Đối với các bán dẫn hợp chất A III BV hoặc A II BVI , như InAs, ZnS, thường kết tinh dưới dạng lập phương kiểu giả kẽm ( Zinc Blend – ZnS ). Cấu trúc ZnS thuộc loại cấu trúc tứ diện, nghĩa là cấu trúc mà trong đó mỗi nguyên tử là tâm của một tứ diện cấu tạo từ bốn nguyên tử gần nhất [2]. Tinh thể của bán dẫn có cấu trúc ZnS thuộc mạng lập phương tâm mặt trong đó các tứ diện là đều và hai tứ diện cạnh nhau quay tương đối với nhau góc 600. Tuy nhiên, gốc mạng gồm hai nguyên tử khác loại. Vì vậy, cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc ZnS được xem là gồm hai mạng lập phương tâm mặt lồng vào nhau, mạng thứ hai dịch chuyển so với mạng thứ nhất một vecto    , ,  với a là hằng số mạng lập phương tâm mặt [3]. Mạng thứ .. a a a 4 4 4 nhất cấu tạo từ một loại nguyên tử, In chẳng hạn, thì mạng thứ hai cấu tạo từ loại nguyên tử khác, As chẳng hạn. Hình 1.1: Tinh thể InAs 3
Trong tinh thể InAs, mỗi nguyên tử In là tâm của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử As xung quanh. Ngược lại, mỗi nguyên tử As lại là tâm của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử In xung quanh. 1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc ZnS Vật liệu bán dẫn có cấu trúc ZnS được nghiên cứu và ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học, kĩ thuật, công nghiệp [2]. Và ứng dụng quan trọng nhất, phổ biến nhất của chúng là dùng để chế tạo linh kiện điện tử. Chúng có thể chế tạo được các linh kiện vô cùng nhỏ, cho nên người ta đã dùng vật liệu này để chế tạo ra các mạch tích hợp (IC), điốt, transistor. Sự phát triển của các linh kiện này dẫn đến những khả năng đáng kinh ngạc trong thời đại công nghệ thông tin ngày nay. IC được sử dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày, chẳng hạn như đầu đọc đĩa CD, máy Fax, điện thoại di động… Các điốt phát quang (LED) được tìm thấy trong truyền thông quang học và hệ thống kiểm soát. Ngoài ra các vật liệu bán dẫn có cấu trúc ZnS có các thành phần có ích ở tần số radio cực cao và trong các ứng dụng điện tử chuyển đổi nhanh chóng. Chúng rất hữu ích trong các ứng dụng khuếch đại tín hiệu yếu bằng cách tạo ra ít tiếng ồn hơn so với hầu hết các linh kiện bán dẫn. 1.3. Phƣơng pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc ZnS 1.3.1. Các công thức tổng quát về momen. Trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê, định nghĩa về momen được đưa ra như sau [5] : Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1,q2,…,qn tuân theo quy luật thống kê và được mô tả bởi hàm phân bố q1 , q2 ,..., qn  . Hàm này thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lý thuyết xác suất momen cấp m được người ta định nghĩa như sau: 4
q1m   ... q  (q , q2 ,..., qn )dq1 ...dqn m 1 1 (1.1) ( q1 , q2 ,...,qn ) Momen này còn được gọi là momen gốc. Ngoài ra, momen trung tâm cấp m còn được định nghĩa như sau [5] :  (q1   q1 ) m   ... (q   q ( q1 , q2 ,...,qn ) 1 1 ) m  (q1 , q2 ,..., qn )dq1 ...dqn (1.2) Như vậy đại lượng trung bình thống kê  q  là momen cấp một và phương sai  (q1   q1 ) 2  là momen trung tâm cấp hai. Như vậy, nếu biết được hàm phân bố q1 , q2 ,..., qn  thì ta hoàn toàn có thể xác định được các momen. Trong vật lí thống kê ta cũng có các định nghĩa tương tự. Nhưng riêng đối ^ với hệ lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê  , các momen được định nghĩa như sau: ^  ^m ^   q  Tr q  , m   (1.3) ^ ^  m  ^ ^  m ^   q   q    Tr  q   q         ^ với toán tử  tuân theo phương trình Liouville lượng tử: ^   ^ ^ i  H,  t   trong đó […,…] là dấu ngoặc poisson lượng tử. ^ Ta có thể thấy, nếu biết toán tử thống kê  thì ta có thể tìm được momen. Nhưng việc tính các momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay cả đối với ^ hệ cân bằng nhiệt động, dạng của  thường đã biết ( phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn, …) , nhưng việc tìm ra các momen cũng vô cùng phức tạp. Giữa các momen cũng có quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể được biểu diễn qua momen cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các momen đã được trình bày trong [20], [21]. 5
Giả sử, xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa độ suy rộng Qi . Như vậy Hamiltonian của hệ sẽ có dạng:    H  H o   ai Q i (1.4) i trong đó H0 là Hamiltonial của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Bằng một số phép biến đổi, trong [20] các tác giả đã thu được hệ thức tổng   quát biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ F và tọa độ Qk của hệ với Hamiltonian H:     F  ( 2m) F  2m 1      B  i  F , Qk  F Qk  a    2m   (1.5) 2   a k m  0 ( 2m)!    a k   a a a a Với , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2m là hệ số Becnuli và ... a biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với Halmiltonian H. ^ Hệ thức cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa độ Qk . ^ (2m) ^ F Muốn vậy ta cần phải xác định các đại lượng  F  a và .Với đại a k a ^ lượng  F  a ta có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đại lượng ^ (2m) F từ các phương trình động lực. a k a Ta có biểu thức chính xác đối với phương sai trong trường hợp đặc biệt F  Qk là : ^ ^ ( 2m)   Qk  a  Qk 2  2m  ^ ^  B  i   Qk   Qk  a      2m   (1.6)   a k m  0 ( 2m)!   a k a a 6
Vì Qk không phụ thuộc tường minh vào a k nên trong hệ cổ điển, biểu thức (1.6) trở nên đơn giản : ^   Qk  a 2  ^ ^   Qk   Qk  a   (1.7)   a a k Ngoài ra, công thức (1.5) còn cho ta xác định định hàm tương quan giữa F và Qk đối với hệ có Halmiltonian H0 :  ^   F 2m   ^ ( 2m)      (1.8) 1      B    i  F  F , Qk  F Qk  a     2m    k  2    a k  m  0 ( 2m)!    a k         a 0 a 0 ^ với biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian H 0 . Các tác giả trong công trình [20] còn thu được hệ thức chính xác khác : ^ ( 2 m n ) F  2m 1 ^ ^  B  i  F , Qk   (1) n 1  2 m   (1.9) 2   a m 0 ( 2m)!    a k Chúng ta thu được hệ thức cho phép xác định thăng giáng của xung trong ^ ^ . trường hợp đặc biệt F  Q : ^ ^ ( 2 m 1)  Qk  2m . B2 m  i   2 Qk   (1.10) m  0 ( 2m)!   a k a a Ngoài ra, công thức (1.5) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen cấp cao [16]. Muốn vậy, tác giả đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp n:  1        Kn  ... Q , Q Q ...Q (1.11) 2 n 1    1 2 3 n       n 1 Nếu trong công thức (1.5) thay ̂ ̂ thì ta thu được công thức truy chứng : 7
  Kn  ( 2m)  Kn  2m    B  i  K n 1  Kn Qn 1  a    2m   (1.12) a a a a n 1 m  0 ( 2m)!    a n 1 a Công thức này là một công thức tổng quát của momen cho phép xác định các momen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định momen cấp cao qua momen cấp thấp hơn, có thể biểu diễn qua cả momen cấp 1. Khi đó, ta thu được biểu thức khá cồng kềnh, nhưng đối với hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản hơn. 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do. Trong vật lý thống kê, khi biết năng lượng tự do ta sẽ có đầy đủ thông tin về tính chất nhiệt động của hệ, vì thế việc xác định nó đóng vai trò quan trọng. Trong vật lý thống kê, năng lượng tự do liên kết với tổng trạng thái bởi hệ thức sau :    ln Z  H  (1.13) Z  Tr e      Tuy nhiên, tìm  không đơn giản. Đối với một số hệ đơn giản thì có thể tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do, ngoài ra chỉ có thể tìm nó dưới dạng gần đúng. Trong [20] phương pháp momen đã được áp dụng trong việc xác định công thức tổng quát tính năng lượng tự do: Xét 1 hệ lượng tử được đặc trưng bởi Hamiltonian có dạng :    H  H0  V (1.14)  với  là thông số và V là toán tử tùy ý, ̂ toán tử Hamilton xem như đã biết. Dựa vào biểu thức đã thu được bằng phương pháp momen đối với hệ cân bằng nhiệt động trong [20]:   Qk  , a a k ta có thể viết được biểu thức : 8
 ( ) V  (1.15) a  Như vậy năng lượng tự do của hệ bằng :   ( )   0   V  d , (1.16) 0 ^ với  0 là năng lượng tự do của hệ với Hamilton H 0 xem như đã biết. Bằng cách nào đó tìm được  V  thì từ (1.8) ta thu được biểu thức với năng lượng tự do  ( ) . Đại lượng  V  có thể tìm được nhờ công thức momen. Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách nó thành:    H  H o   ai V i (1.17) i    sao cho H 0  1 V1   2 V2 ,... Giả sử biết rằng năng lượng tự do  0 ứng với     Hamiltonian H 0 của hệ, khi đó tìm năng lượng tự do  1 ứng H1  H 0  1 V1 .    Sau đấy tìm năng lượng tự do  2 ứng H 2  H 0   2 V2 v.v…Cuối cùng chúng ta thu được biểu thức đối với năng lượng tự do  của hệ. 1.3.3. Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc ZnS. 1.3.3.1.Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc ZnS thì ngoài tương tác cặp chủ yếu còn phải kể đến đóng góp của tương tác ba hạt [1]. Do đó khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, thế năng tương tác có dạng: 1 1 E   Ei    ij  Wijk (1.18) i 2 i, j 6 i , j ,k 1 1 Ei   2 j ij  Wijk 6 j ,k (1.19) 9
trong đó Ei là thế năng tương tác của hạt thứ i ; ij là thế năng tương tác giữa hạt thứ i và hạt j; Wijk là thế tương tác giữa các hạt i, j và k. Trong trường hợp các hạt dao động mạnh, chúng ta khai triển thế năng Ei theo độ dời ui. Ở phép gần đúng bậc 4, thế năng tương tác của hạt i có dạng: 1   2 Ei   u j u j  1     3 Ei  Ei  E   o  u j u j u j 2  ,   u j u j  6  ,  ,  u j u j u j  i  eq  eq (1.20) 1   4 Ei     24  ,  , ,  u j u j u j u j  u j u j u j u j  ...   eq  ,  ,  ,  x, y, z; (1.21)   1 2 j  1 Ei0  Ei a j  ij a j  W 6 j ,k   ijk  a  j với aj là vị trí cân bằng của hạt thứ j.   2 Ei  Dạng của các số hạng   vv... được xác định như trong [19]:   u j u j  eq   2 Ei    u u       2 Ei a j a j   2 Ei      j j  eq   3 Ei    u u u        3 Ei a j a j a j   2 Ei a j    a j    a j      j j j  eq   4 Ei    u u u u      4 Ei a j a j a j a j   (1.22)  j j j j  eq  E a 3 i j a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j      E  2 i            a   trong đó:  (1)  Ei    ij a j   3 Wijk a j  1 1 (1) aj  k   ( 2)  1  (1)   E   2 i 1  ij a j   3 Wijk a j   a 3 1 ( 2)  ij a j   3 Wijk a j  1 (1) a 2j  k  j  k  10
 ( 3)  3  ( 2)   E   3 i 1  ij a j   3 Wijk a j   a 4 1 ( 3)  ij a j   3 Wijk a j  1 ( 2) a 3j  k  j  k   (1)   ij a j   3 Wijk a j  3 1  (1) a 5j  k   ( 4)  6  ( 3)   E   4 i 1  ij a j   3 Wijk a j   a 5 1 ( 4)  ij a j   3 Wijk a j  1 ( 3) a 4j  k  j  k  (1.23) 15   15    6  ij( 2) a j   Wijk( 2) a j   7  ij(1) a j   Wijk(1) a j  1 1 aj  3 k  aj  3 k  Với các ký hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm a j , W a j  là các đạo hàm các cấp tương ứng. Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i là:   2 Ei    3 Ei    4 Ei     u j  1    u j u j  1    u j u j u j    u j u j  2  ,   u j u j u j  6  , ,  u j u j u j u j   eq  eq  eq Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p  thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình:   2 Ei  1   3 Ei       u j u j  u j  a   2  ,  u j u j u j  u j u j  a  eq  eq (1.24) 1   4 Ei     u j u j u j a 0 6  ,  ,  u j u j u j   eq a Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc ZnS nên các số hạng sau đều bằng 0:   2 Ei    3 Ei    3 Ei    4 Ei    4 Ei    ;  ;  ;  ;  (1.25)  u u   u 2 u   u 3   u 3 u   u 2 u u   j j  eq  j j  eq  j  eq  j j  eq  j j j  eq Từ công thức tổng quát về momen (1.12), ta biểu diễn momen bậc 4 u j u j u j u j p ; momen bậc 3  u j u j u j p ; moemn bậc 2  u j u j p  qua momen bậc 1 như sau: 11
 u j     u j    p u j u j u j cth p p p a 2m 2 m 2  u j  2 u j  u j  3 u j  p 2 p u j  u j u j u j u j p p p p p a a a  u j   u j   p p cth 2m 2 m 2  u j  u j  6 u j p u j u j u j u j u j u j u j u j p p p p p p p a j 2  2 u j   u j     4 2 u j  3 2  p p  (1.26) p a j a j  a j    3 u j 2 2 2    3 p u j u j a j a j a j 2m 2 p m 2 p Sử dụng (1.26) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.25) , ta có thể viết lại phương trình (1.24) như sau: dy d2y  dy  y 3  3y   2 2  ( xcthx  1) y  y 2    ( xcthx  1)  ky  p  0 (1.27) dp dp m 2 dp m 2   2 Ei  trong đó: k   2   m 2   u jx  eq   4 E   4   1    i   6  Ei    6  u jx 4   u 2 u 2     eq  jx jy  eq  (1.28)   Ei 3        u jx u jy u jz  eq Phương trình (1.28) nhận được khi coi rằng: u j p  u j p  u j p  u p  Giải (1.27) bằng cách đặt: y'  y  (1.29) 3 Khi đó (1.27) có dạng: 12
dy ' 2 '  y '  3y '  2 d y  xcthx  1 y '  Ky  p *  0 3 *  2 (1.30) dp dp * k trong đó: 2 K k 3 p*  p  K * (1.31) k  2 2 1 2  K*     2 ( xcthx  1)   27k 3 3k  Phương trình (1.30) là một phương trình vi phân tuyến tính, chúng ta tìm nghiệm của nó dưới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p* là tùy ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn giản: 2 y '  y0  A1 p *  A2 p * ' (1.32) với y0 là độ dời tương ứng với trường hợp không có ngoại lực p*. Thay (1.17) vào (1.16) ta thu được phương trình với A1, A2: '3  2 2 A2  3y 0 A1  y 0  Ky 0  ( xchtx  1) y o  0 ' ' ' k (1.33) '2  6y 0 A2  3A1  3y 0 A1  KA1  ( xcthx  2) A1  1  0 ' 2 k Hệ này cho nghiệm: 1  2 2 2  xcthx   A1  1  1  (1  xcthx ) K  K4  2   3 (1.34) x( xcthx  1) y 0' ' 3 y 0 A1 y 0' Ky 0' A2    2   2  2 2 2 2k Ở vùng nhiệt độ cao, khi xcthx ~ 1, phương trình (1.16) trở về dạng quen thuộc trong [4]: d 2 y' dy '  2  3y '  y '  Ky  p *  0 3 2 * (1.35) dp * dp Nghiệm của (1.35) đã đưa ra trong [4]: 13
2 2 y  ' 0 A (1.36) 3K 3  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6 Với A  a1  a2  a3  a4  a5  a6 (1.37) K4 K6 K8 K 10 K 12 xcthx a1  1  ; 2 13 47 23 2 2 1 a2   xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x 3 6 6 2  25 121 169 2 2 83 22 4 4 1  a3    xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x  x cth x  x 5 cth 5 x   3 6 3 3 3 2  43 93 169 2 2 83 22 4 4 1 a4   xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x  x cth x  x 5 cth 5 x 3 2 3 3 3 2  103 749 363 2 2 391 3 3 148 4 4 53 1  a5    xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x 5 cth 5 x  x 6 cth 6 x   3 6 2 3 3 6 2  561 1489 2 2 927 3 3 733 4 4 a6  65  xcthx  x cth x  x cth x  x cth x 2 3 2 3 (1.38) 145 5 5 31 1  x cth x  x 6 cth 6 x  x 7 cth 7 x 2 3 2 Nghiệm của phương trình (1.35) ứng với trường hợp không có ngoại lực tác dụng có dạng:   1  6 2 2  1 2 2  2  k y0  y y '   yo  '  1    ( xcthx  1)   p 0 p*   K * 3 3 K  K 4  3 3k 27k   (1.39) Khi độ dời y0 được xác định, chúng ta sẽ tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T: a = a0 + y0 (1.40) với a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 00K. Từ đó ta xác định được giá trị của hằng số mạng a h . Đối với bán dẫn có cấu trúc ZnS ta có: 4 ah  ao (1.41) 3 14