Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài tập trung giải quyết những vấn đề sau: Tìm hiểu, nghiên cứu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cương; tìm hiểu về phương pháp thống kê momen, ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương; nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của Ge.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ KHUÊ NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ KHUÊ NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH Hà Nội – 2018
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi rất nhiều để hoàn thành khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý và các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết- khoa Vật lý – trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K40B – Sƣ phạm Vật lý – khoa Vật lý – trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà nội 2 đã đóng góp thêm nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận này. Hà Nội, ngày , tháng 5, năm 2018 Sinh Viên Đinh Thị Khuê
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dƣới sự hƣớng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS Phạm Thị Minh Hạnh. Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực. Hà Nội, ngày ,tháng 5 , năm 2018 Sinh Viên Đinh Thị Khuê
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu. .................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG I SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG ....... 3 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ............................... 3 1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .............................. 4 1.3. Phƣơng pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. . 5 1.3.1. Các công thức tổng quát về momen. ....................................................... 5 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do. ........................................... 8 1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. ...................................... 9 1.3.4. Năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ........................ 15 1.4. Kết luận chƣơng I ..................................................................................... 17 CHƢƠNG II ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA Ge .................................................................................................................... 18 2.1. Phƣơng trình trạng thái của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .................. 19 2.2. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong tinh thể. ....................................... 20 2.3. Hằng số mạng của Ge ở các áp suât khác nhau ....................................... 23 2.3.1. Cách xác định thông số. ........................................................................ 23 2.3.2. Giá trị hằng số mạng của Ge có các áp suất khác nhau. ....................... 24 2.4. Kết luận chƣơng II. .................................................................................. 26 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 28
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Với sự phát triển mạnh mẽ của ngành khoa học công nghệ nhƣ hiện nay thì việc quan tâm nghiên cứu nhằm nâng cao chất lƣợng của vật liệu là một điều hết sức cần thiết. Trong tất cả các vật liệu chất rắn thì bán dẫn luôn đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển ngành khoa học vật liệu. Các nhà khoa học đã quan tâm nghiên cứu các tính chất, cơ chế vật lý xảy ra trong chất các chất bán dẫn để từ đó đƣa vào làm cơ sở nghiên cứu chế tạo vật liệu mới, ứng dụng vào trong khoa học, kỹ thuật cũng nhƣ ứng dụng vào trong đời sống của con ngƣời nhƣ: dựa vào tính chất của các hạt mang điện electron, các ion và các lỗ trống trong lớp điện tử trong lớp tiếp xúc này là cơ sở tạo nên các điot, bóng bán dẫn và các thiết bị điện tử hiện đại nhƣ ngày nay. Và với những thành tựu to lớn của việc nghiên cứu bán dẫn đem lại, nó đã thực sự làm một cuộc cách mạng trong trong ngành công nghiệp điện tử nói riêng cũng nhƣ trong nhiều ngành khoa học nói chung. Tuy nhiên các tính chất vật lý bên trong bán dẫn luôn chịu ảnh hƣởng của các tác động bên ngoài nhƣ: nhiệt độ, áp suất, độ biến dạng…, làm cho vật liệu có sự thay đổi nhất định nào đó. Vì vậy việc nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn là thực sự cần thiết và có ý nghĩa khoa học. Dựa vào lý do trên em quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen. 2. Mục đích nghiên cứu. - Nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng bằng phƣơng pháp thống kê momen. 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là: nghiên cứu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng Ge. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu của đề tài ta cần thực hiện những nhiệm vụ sau: -Tìm hiểu, nghiên cứu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. -Tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen, ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. -Nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của Ge. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu. -Sử dụng phƣơng pháp thống kê momen để nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. 2
NỘI DUNG CHƢƠNG I SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. Các bán dẫn có cấu tạo tinh thể có thể là các nguyên tố nhƣ Si, Ge, P, As,… và các hợp chất nhƣ CuO, ZnO, GeTe, GeS,… Ta xét đến cấu trúc tinh thể của vật liệu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng: Cấu tạo nguyên tử của chúng là có 4 electron hóa trị ngoài cùng, giữa các nguyên tử ấy có sự liên kết đồng hóa trị, mỗi nguyên tử này sẽ liên kết với 4 nguyên tử xung quanh bằng cách chúng sẽ trao đổi các electron chung với nhau. Cấu trúc tinh thể của Silic và Germanni trong không gian ba chiều có cấu trúc lập phƣơng giống với cấu trúc của kim cƣơng. Bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng sẽ gồm hai mạng lập phƣơng tâm diện lồng vào nhau, cách nhau ¼ đƣờng chéo trong không gian (hình 1.1). Mỗi nguyên tử là tâm của một tứ diện cấu tạo từ 4 nguyên tử gần nhất xung quanh. Trong cấu trúc kim cƣơng thì nguyên tử ở tâm và nguyên tử ở 4 đỉnh của tứ diện là cùng loại [2]. Hình 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng 3
1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. Có thể nói nhờ có các bán dẫn mà các kỹ thuật hiện đại nhƣ trong ngành công nghiệp điện tử máy tính, thông tin,… ngày càng phát triển với trình độ cao. Nhờ có các bán dẫn mà con ngƣời mới phát minh ra hàng loạt các loại máy móc phục phụ nhu cầu sử dụng cho con ngƣời và xã hội.Trong đó các bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng đƣợc sử dụng rộng rãi nhất trong việc sản xuất chế tạo các linh kiện dùng trong các thiết bị điện, các thiết bị quang học,... Các tính chất của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng (nhƣ silic, germani) dùng để sản xuất các bộ chỉnh lƣu dòng điện, các loại Tranzitor, ... Do các bán dẫn có thể chế tạo đƣợc các linh kiện vô cùng nhỏ nên ngƣời ta dùng nó chế tạo các mạch tổ hợp (mạch IC) hoặc các mạch IC siêu lớn. Silic là vật liệu quan trọng đƣợc sử dụng nhiều nhất trong công nghiệp điện tử [2]. Nó cũng đƣợc dùng để sản xuất các dụng cụ bán dẫn nhƣ điot, tranzitor, pin mặt trời, … Silic trong hợp kim với sắt đƣợc dùng dƣới dạng các thép tấm làm máy biến áp với mục đích giảm tổn thất trong lõi thép Silic tinh thể dùng để làm các chất bán dẫn điện để sản xuất các loại máy tách sóng, máy khuếch đại. Silic còn đƣợc sử dụng nhƣ chất nhƣ chất khử oxy trong luyện kim. Germani là một bán dẫn đƣợc nghiên cứu ứng dụng rất sớm cùng với silic để chế tạo các linh kiện điện tử nhƣ diode, transistor [2]. Germani dùng để sản xuất các bộ chỉnh lƣu dòng điện xoay chiều với các công suất khác nhau, các loại tranzitor. Germani còn dùng để chế tạo ra bộ cảm biến sức điện động Hall và các hiệu ứng từ điện để đo cƣờng độ từ trƣờng, dòng điện công suất,…Đối với tính chất quang của Germani cho phép dùng nó để làm các Tranzitor quang, điện trở quang, thấu kính quang mạnh (đối với tia hồng ngoại), các bộ lọc quang học, điều biến ánh sáng và sóng vô tuyến ngắn. Germani có hiệu ứng quang điện cả trong trƣờng hợp hấp thụ các điện tử trung bình và nhanh cũng nhƣ khi hãm các nguyên tố khối lƣợng lớn. 4
Ngoài ra Germani cũng là tác nhân trong sản xuất các hợp kim, các đĩa bán dẫn với nền là Germani cho các tế bào quang điện hiệu suất cao đa kết nối trong các ứng dụng cho tàu vũ trụ, …. 1.3. Phƣơng pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. 1.3.1. Các công thức tổng quát về momen. Ta có định nghĩa về momen trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê: Tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2,...qn tuân theo qui luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố  q1, q2, ..., qn  . Hàm này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Ngƣời ta định nghĩa mô men cấp m trong lý thuyết xác suất nhƣ sau: q1m   ... q q , q ,..., q n dq1 ...dq n m 1 1 2 (1.3.1) ( q1 , q2 ,...,qn ) momen này gọi là momen gốc. Momen trung tâm cấp m đƣợc định nghĩa: q1  q1  m   ...q 1  q1  q , q ,..., q dq ...dq m 1 1 n 1 n (1.3.2) q1 ,q2 ,...,qn Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê q chính là momen cấp một và phƣơng sai q 1  q1  2 là momen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên thấy rằng, nếu biết hàm phân bố  q1, ..., qn  hoàn toàn có thể xác định đƣợc các momen. Trong vật lý thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự nhƣ vậy. Riêng ^ đối với hệ lƣợng tử, đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê  , các momen đƣợc xác định nhƣ sau: 〈̂ 〉 ( ̂ ̂) 〈( ̂ 〈 ̂ 〉) 〉 *( ̂ 〈 ̂ 〉) ̂+ (1.3.3) Với toán tử ̂ tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử: 5
^   ^ ^ i  H,  t   Với ...,... là dấu ngoặc Poisson lƣợng tử. ^ Nhƣ vậy nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy nhiên việc tính momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ cân ^ bằng nhiệt động, dạng của  thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn,v.v…), nhƣng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp. Giữa các momen có quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu diễn qua momen cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các momen đã đƣợc xây dựng trong [17, 18]. Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến và đƣợc trình bày nhƣ sau: Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi a i theo hƣớng tọa độ suy rộng Qi . Hamiltonian của hệ có dạng: ̂ ̂ ^  ai Qi i (1.3.4) Với ̂ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Từ một số phép biến đổi trong [17] các tác giả đã thu đƣợc hệ thức tổng quát ^ ^ biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kì F , và tọa độ Q k của hệ với Hamiltonian H:  ̂( ) 〈 ̂〉 B2 m 〈[ ̂ ̂ ] 〉 〈 ̂〉 〈 ̂ 〉   2m  ! . m 0 / 〈 〉 (1.3.5) Với là hệ số Becnouli, , k B là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối. 6
Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ Qk . ^ ^  F ( 2m) ^ Muốn vậy phải biết đƣợc đại lƣợng F và . Đại lƣợng F xác a a k a a ^  F ( 2m) định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn từ phƣơng trình động lực. a k a Trong trƣờng hợp đặc biệt F  Qk , đƣợc biểu thức chính xác đối với phƣơng sai : ^  Qk( 2 m ) 2m 〈̂ 〉  B 2 m  i  〈( ̂ 〈̂ 〉 ) 〉    (1.3.6) m 0 2m !    a k a Qk không phụ thuộc tƣờng minh vào a k nên đối với hệ cổ điển công thức (1.3.6) trở nên đơn giản hơn : 〈̂ 〉 〈( ̂ 〈̂ 〉 ) 〉 (1.3.7) Công thức trên là công thức trong cơ học thống kê cổ điển [19]. Từ công thức (1.3.5) chúng ta còn xác định đƣợc hàm tƣơng quan giữa F và Qk đối với hệ có Hamiltonian H 0 :  ^  ^ 2 m   F  2m   1          2 m     ^ ^ ^ ^ B i F F , Qk   F Qk  a  (1.3.8) 2    a k  m 0 2m !    ak       a 0 a 0 ^ trong đó biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian H 0 . Các tác giả thu đƣợc hệ thức chính xác khác từ công trình [17]: ^ ( 2m n ) 1  ^ ^( n )  F  2m B  i    1   2m   n 1 (1.3.9) 2  F , Qk   a m  0 2m !   a k a 7
^ ^ . Trong trƣờng hợp đặc biệt: F  Q , chúng ta đƣợc hệ thức cho phép xác định thăng giáng của xung lƣợng: ^ ^ ( 2 m 1)  Qk  2m . B  i  Q 2    2m   (1.3.10) m  0 2m !   a k k a a Biểu thức (1.3.5) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mô men tƣơng quan cấp cao [13]. Tác giả đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n: ^ 1 ^ ^ ^ ^ Kn  [...[Q1 , Q2 ] Q3 ] ... Qn ] (1.3.11) 2 n1  n 1 ^ ^ Trong công thức (1.3.5) thay F = K n thu đƣợc: 〈̂ 〉  B2 m ̂( ) 〈[ ̂ ̂ ] 〉 〈̂ 〉 〈 ̂ 〉  m  0  2m  ! ( ) 〈 〉 Thay k = n+1, ta thu đƣợc công thức truy chứng : 〈̂ 〉  ̂( ) 〈̂ 〈̂ 〉 〈 ̂ B2 m 〉 〉  m  0  2m  ! . / 〈 〉 (1.3.12) Công thức (1.3.12) là công thức tổng quát về mô men cho phép xác định các mô men cấp tùy ý. Đây là công thức xác định mô men cấp cao qua mô men cấp thấp hơn, có thể biểu diễn qua cả mô men cấp 1. 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do. Giả sử Hamilton của hệ lƣợng tử có dạng : ̂ ̂ ̂ 1.3.13) Với là thông số, ̂ là một toán tử tùy ý, ̂ toán tử Hamilton xem nhƣ đã biết. Dựa vào biểu thức đã thu đƣợc bằng phƣơng pháp mô men đối với hệ cân bằng nhiệt động trong [17] : 〈̂ 〉 8
Từ đó thu đƣợc biểu thức : ( ) 〈 〉 (1.3.14) Năng lƣợng tự do của hệ :  ( ) V 0  (1.3.15) Với là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian ̂ xem nhƣ đã biết. Ta tìm đƣợc 〈 〉 thì từ (1.3.15) ta thu đƣợc biểu thức với năng lƣợng tự do ( ). ^ Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách thành: ^ ^ ^ H  H 0    i Vi (1.3.16) i ^ ^ ^ sao cho H 0  1 V1  2 V2 Giả sử biết năng lƣợng tự do  0 ứng với Hamilton ̂ của hệ, khi đó ^ ^ ^ năng lƣợng tự do  1 ứng H 1  H 0  1 V1 , tiếp theo tìm năng lƣợng tự do  2 ứng ^ ^ ^ H 2  H 1   2 V2 v.v…Cuối cùng thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do  của hệ. 1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. Ta xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, tƣơng tác giữa các nguyên tử ngoài tƣơng tác cặp, thì còn kể đến đóng góp của tƣơng tác 3 hạt. Do vậy khi sử dụng phƣơng pháp quả cầu phối vị, thế năng tƣơng tác có dạng: 1 1 E   Ei    ij  Wijk , (1.3.17) i 2 i, j 6 i , j ,k 1 1 Ei   2 j ij  Wijk 6 j ,k (1.3.18) Với E i là thế năng tƣơng tác của hạt thứ i; ij là thế năng tƣơng tác giữa hạt thứ i và hạt thứ j; Wijk là thế năng tƣơng tác giữa các hạt thứ i, j, k. 9
Trong trƣờng hợp dao động mạnh, có thể khai triển thế năng E i theo độ dời u i . Ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của hạt i có dạng: 1   2 Ei   u j u j  1     3 Ei  Ei  Ei0   2  ,   u j u j  6  ,  ,  u j u j u j  u j u j u j    eq  eq 1   4 Ei     24  ,  , ,  u j u j u j u j  u j u j u j u j  ...  (1.3.19)  eq  ,  ,  ,  x , y , z ;   Ei0  Ei a j  1  2 j   1 ij a j   Wijk a j 6 j ,k   Với a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j   2 Ei  Dạng của   vv... đƣợc xác định nhƣ trong [16]:   u j u j  eq   2 Ei    u u       2 Ei a j a j  Ei    j j  eq   3 Ei    u u u        3 Ei a j a j a j   2 Ei a j    a j    a j      j j j  eq   4 Ei    u u u u      4 E i a j  a j  a j a j    (1.3.20)  j j j j  eq  E a 3 i j a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j      E  2 i            a   trong đó: 10
 1  ij a j   3  Wijk a j  1 1 1 Ei  aj  k   2   2 Ei  1  ij a j   1  W 2  ijk a j   13  1 1  ij a j   3  Wijk a j  1 a 2j  3 k  aj  k   3   3  2   ij a j   3  Wijk a j   a 4 ij a j   3  Wijk a j  1 1 3  1 2   3 Ei  a 3j  k  j  k   1  ij a j   3  Wijk a j  3 1 1  a 5j  k   4  6  3   ij a j   3  Wijk a j   a 5 ij a j   3  Wijk a j  1 1 4  1 3   4 Ei  (1.3.21) a 4j  k  j  k  15  2   15  1   a j    Wijk2  a j   7  ij a j   3  Wijk a j  1 1 1  6  ij aj  3 k  aj  k  Với các ký hiệu (1), (2), (3), (4) là đạo hàm các cấp tƣơng ứng. Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i:   2 Ei    3 Ei   4 Ei    u j  1    u j u j  1  ( ) eq u j u j u j    u j u j  2  ,  u j u j u j  6 u u u u  eq  eq  , , j j j j Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p  thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phƣơng trình:   2 Ei  1   3 Ei       u j u j  u j  a   2  ,  u j u j u j  u j u j  a  eq  eq (1.3.22) 1   4 Ei      u j u j  u j   p  0 6  ,  ,  u j u j u j   eq a Do mạng tinh thể có cấu trúc kim cƣơng có tính đối xứng nên các số hạng sau đều bằng không:   2 Ei     3    0;   Ei   0;   Ei 3    0;  u u   u 2 j u   u 3   j  j  eq  j  eq  j  eq (1.3.23)   4 Ei    4 Ei     0;   0  u 3 u   u 2 u u   j  j  eq  j  j j   eq 11
Từ công thức tổng quát về momen (1.3.12), có thể biểu diễn momen bậc 4 u j u j u j u j  ; momen bậc 3  u j u j u j  ; mô men bậc 2  u j u j  ; qua bậc 1 nhƣ sau:  u j    u j u j  u j u j    cth     a 2m 2 m 2  u j  2 u j  u j   u j  u j u j u j  u j u j u j  3 u j   2    cth     eq  a a a 2m 2 m 2  u j  u j  6 u j p u j u j u j u j u j u j u j u j p p p p p p p a j 2  2 u j   u j  2   4 2 u j  3  p p  (1.3.24) p a j a j  a j    3 u j 2 2 2    3 p u j u j a j a j a j 2m 2 p m 2 p Từ (1.3.24) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.3.23), lúc này (1.3.22) đƣợc viết lại nhƣ sau: dy 2 2 d y   y  3 y   3  2  xcthx  1 y   y 2  dp dp m 2 dy  (1.3.25)    2  xcthx  1  ky  p  0 dp m Với:  2E   4   4     k   2i   m 2 ;   1   Ei   6  Ei  ;     3 Ei  (1.3.26)  u  6  u 4jx   u 2 u 2    u u u   jx  eq   eq  jx jy  eq   jx jy jz  eq Phƣơng trình (1.3.25) nhận đƣợc khi coi rằng: u j  = u j  = u j  = u . 12
Để giải (1.3.25) thực hiện phép biến đổi mới bằng cách đặt:  y'  y  (1.3.27) 3 Lúc này (1.3.25) có dạng: dy ' 2 '  y '3  3y '    2 d y 2  xcthx  1 y '  Ky  p   0 (1.3.28) dp dp k Trong đó : 2 k  2 2 1 2  K k ; p  p  K  ; K      2 xcthx  1 (1.3.29) 3   27k 3 3k  Phƣơng trình (1.3.28) là phƣơng trình vi phân phi tuyến, chúng ta sẽ tìm nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Do ngoại lực p  là tùy ý và nhỏ nên có thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản: y '  y0'  A1 p   A2 p 2 (1.3.30) trong đó y 0 là độ dời tƣơng ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực p  Thay (1.3.30) vào (1.3.28), thu đƣợc phƣơng trình đối với A1 , A2  2 2 A2  3y0' A1  y0'3  Ky 0'  xcthx  1y0'  0 k (1.3.31)  6y A2  3A  3y A1  KA1  ' 0 1 2 '2 0 xcthx  1A1  1  0 k Lúc này thu đƣợc nghiệm:  2 2 2  xcthx   1  xcthx  1 A1  1  1   K K  4 2   (1.3.32) ' 3 y0 A1 y0 '3 Ky 0 xxcthx  1 y0' ' A2    2  2  2 2 2 2k Khi xcthx  1 , thì (1.3.28) trở về dạng quen thuộc trong [3]: d 2 y' ' dy '  2 2  3y   y '3  Ky  p   0 (1.3.33) dp dp Nghiệm của (1.3.33) đã đƣợc đƣa ra trong [3]: 13
2 2 y  ' 0 A (1.3.34) 3K 3 ở đây:  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6 A  a1  a2  a3  a4  a5  a6 (1.3.35) K4 K6 K8 K 10 K 12 với: xcthx a1  1  ; 2 13 47 23 2 2 1 a2   xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x 3 6 6 2  25 121 169 2 2 83 22 4 4 1  a3    xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x  x cth x  x 5 cth 5 x   3 6 3 3 3 2  43 93 169 2 2 83 22 4 4 1 a4   xcthx  x cth x  x 3 cth 3 x  x cth x  x 5 cth 5 x 3 2 3 3 3 2  103 749 363 2 2 391 3 3 148 4 4 53 1  a5    xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x 5 cth 5 x  x 6 cth 6 x   3 6 2 3 3 6 2  561 1489 2 2 927 3 3 733 4 4 a6  65  xcthx  x cth x  x cth x  x cth x 2 3 2 3 (1.3.36) 145 5 5 31 1  x cth x  x 6 cth 6 x  x 7 cth 7 x 2 3 2  trong đó: x  2 Nghiệm của (1.3.33) ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực tác dụng:  y 0  y p 0  y '  p   K  3 (1.3.37)  1  6 2 2  1 2 2 2  k y '  1      xcthx  1   3 K  K 4   3 3k 27k   0 Khi độ dời y 0 đƣợc xác định, ta sẽ tìm đƣợc khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T: a  a0  y 0 (1.3.38) 14
với a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0 K Từ đó ta xác định đƣợc giá trị của hắng số mạng ah . Đối với bán dẫn có cấu 4 trúc kim cƣơng ah  a. 3 1.3.4. Năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cương. Trong phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng có dạng:  0 1   Ei    3 Ei  2 E    Ei    u j u j  1    u j u j u j   i  2  ,   u j u j   eq 6  ,  ,  u j u j u j   eq (1.3.39)   4 Ei    1    u j u j u j u j  ... 24  ,  , ,  u j u j u j u j   eq  Lúc này thế năng tƣơng tác trung bình có dạng : k 2   E  U 0  3N  u 2   1 u 4   2 u 2  u jx u jy u jz  (1.3.40) 2 3  với : 1   4 Ei   ; 1  24  u 4jx   eq (1.3.41) 6  4E  2   2 i 2  . 24  u jx u jy   eq Sử dụng công thức (1.3.15) ta thu đƣợc :     1   V d 0   (1.3.42)    1   u jx u jy u jz d 0  với  1 chính là năng lƣợng tự do đƣợc xác định từ công trình [3]. Ta có : 15