Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mômen

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này gồm: Tìm hiểu về bán dẫn có cấu trúc kim cương, tìm hiểu về phương pháp mômen, nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên hằng số mạng Ge. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mômen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ----------------------- NGUYỄN THỊ DIỆU LINH NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ----------------------- NGUYỄN THỊ DIỆU LINH NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Phạm Thị Minh Hạnh, ngƣời đã tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí – Trƣờng đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi cũng xin cảm ơn đến gia đình, những ngƣời thân và bạn bè đã cổ vũ, đóng góp ý kiến giúp tôi vƣợt qua khó khăn để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Diệu Linh
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, với sự giúp đỡ và hƣớng dẫn vô cùng quý báu của TS. Phạm Thị Minh Hạnh và sự tự cố gắng của bản thân. Tuy nhiên, khóa luận này có tham khảo một số loại tài liệu và các tài liệu tham khảo đã đƣợc chú thích ở phần: tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Diệu Linh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài .......................... 2 Chƣơng 1 ................................................................................................... 3 SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG ........................ 3 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng ........................ 3 1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .................................. 4 1. 3. Phƣơng pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng ......................................................................... 4 1.3.1. Các công thức tổng quát về mômen .................................................. 5 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do ...................................... 8 1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng ................................ 10 1.3.4. Năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ........................ 15 1.4. Kết luận chƣơng 1 ............................................................................. 17 Chƣơng 2 ................................................................................................. 19 ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA GE . 19 2.1. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt ........................................................ 19 2.2. Giá trị của hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và khuyết tật ở áp suất P=0 ....................................................................................... 22 2.2.1. Cách xác định các thông số của Ge................................................. 22 2.2.2. Giá trị của hắng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng ở áp suất P = 0 ......................................................................................................... 24
2.2.3. Giá trị hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp khuyết tật ở áp suất P = 0 ............................................................................................................ 24 2.2.4. Giá trị hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và khuyết tật ................................................................................................................. 24 2.3. Kết luận chƣơng 2 ............................................................................. 26 KẾT LUẬN .............................................................................................. 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 28
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nền công nghiệp hóa hiện đại hóa của nƣớc ta đang phát triển một cách mạnh mẽ và nhanh chóng. Nhờ có sự phát triển không ngừng của các ngành vật liệu mà khoa học kĩ thuật cũng từng bƣớc trở lên hiện đại, mang lại nhiều lợi ích to lớn phục vụ đời sống, sản xuất của con ngƣời. Trong đó, không thể không kể đến những đóng góp quan trọng của bán dẫn nói chung và bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng nói riêng trong sự phát triển của ngành vật liệu. Vì vậy, việc nghiên cứu về hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng đang đƣợc các nhà khoa học dành nhiều sự quan tâm, chú ý. Trong tự nhiên, không tồn tại tinh thể hoàn hảo một cách lí tƣởng. Vì vậy, việc nghiên cứu khuyết tật cũng nhƣ ảnh hƣởng của nó lên các tính chất nhiệt động, đàn hồi, thu hút đƣợc sự quan tâm của các nhà nghiên cứu cả lí thuyết lẫn thực nghiệm. Phƣơng pháp mômen là phƣơng pháp đƣợc nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động, đàn hồi, cũng nhƣ ảnh hƣởng của khuyết tật lên các tính chất đó. Các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp mômen có sự phù hợp với thực nghiệm. Đó là lí do tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mômen”. 2. Mục đích nghiên cứu  Tìm hiểu về bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.  Tìm hiểu về phƣơng pháp mômen.  Nghiên cứu ảnh hƣởng của khuyết tật lên hằng số mạng Ge. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu một số lí thuyết tổng quan về bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.  Áp dụng phƣơng pháp thống kê mômen để tìm hiểu về ảnh hƣởng của khuyết tật lên hằng số mạng của Ge. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  Nghiên cứu về hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và khuyết tật. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp thống kê mômen. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài  Xác định hằng số mạng của bán dẫn Ge trong trƣờng hợp có khuyết tật.  So sánh các kết quả của hằng số mạng của Ge với trƣờng hợp lí thuyết và thực nghiệm. 2
Chƣơng 1 SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng Thông thƣờng, các bán dẫn quan trọng thƣờng có dạng kết tinh theo mạng lập phƣơng tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng đƣợc gắn với một gốc basic gồm hai nguyên tử. Hai nguyên tử có thể cùng loại nếu nó là bán dẫn đơn chất nhƣ: Si, Ge, Se, Te,… và hai nguyên tử có thể khác loại nếu nó là bán dẫn hợp chất nhƣ: ZnS, CdS, GaAs,…[2] Một trong những bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng điển hình là Si. Đơn tinh thể Si thuộc mạng lập phƣơng tâm mặt, gồm hai phân mạng lập phƣơng 1 tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở đƣờng chéo chính của phân 4 mạng kia. Ta thấy rằng, mỗi nguyên tử Si có 4 nguyên tử lân cận, bốn nguyên tử này tạo thành một tứ diện đều. Hằng số mạng của Si với a  5, 43 A0 , khoảng 3 cách giữa hai nguyên tử gần nhất là a  2, 43 A0 .[2] (hình 1.1) 4 Hình 1.1: Tinh thể Si 3
1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. Vật liệu bán dẫn nói chung và vật liệu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng nói riêng có vai trò quan trọng trong nghành công nghiệp điện tử cũng nhƣ nhiều nghành khoa học, kĩ thuật khác. Trong những thập niên gần đây, những thành tựu về vật liệu bán dẫn đã dẫn đến sự phát triển một lĩnh vực rộng lớn của linh kiện điện tử, vi điện tử, quang điện tử…Có thể kể đến nhƣ là các linh kiện nhƣ : điốt, tranzito, mạch tích hợp IC,…Điốt là một linh kiện không thể thiếu trong nghành thông tin quang học và kĩ thuật tự động.Vì nó có đặc tính chỉ dẫn điện theo 1 chiều từ Anot đến Knot khi phân cực thuận, nên điot dùng để chỉnh lƣu các dòng điện xoay chiều thành dòng điện 1 chiều. Nó đƣợc sử dụng rộng rãi trong các bộ đèn led, đèn tín hiệu, màn hình của các loại thiết bị điện. Hiên nay, có rất nhiều loại điot nhƣ: điot chỉnh lƣu, điot Zener, Led…..Tranzito nằm trong khối đơn vị cơ bản để tạo thành một cấu trúc mạch ở máy tinh điện tử và tất cả các thiết bị điện tử hiện đại khác.Tranzito đƣợc sử dụng trong nhiều ứng dụng tƣơng tự và số nhƣ: khuếch đại, đóng ngắt mạch, điều chỉnh điện áp, điều khiển tín hiệu và tạo dao động. Vi mạch hay vi mạch tích hợp gọi tắt là IC, nó là tập hợp các mạch điện mang các linh kiện bán dẫn và linh kiện điện tử , có tác dụng kết nối chúng với nhau. IC thâm nhập vào trong mọi mặt của cuộc sống hàng ngày nhƣ: đầu lọc đĩa CD, máy fax, máy quét….Đó chỉ là một vài các ứng dụng quan trọng của các chất bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, vì các ứng dụng trong đời sống của nó là không thể kể hết.Do đó các bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng có vai trò không thể thiếu trong cuộc sống công nghệ hiện đại nhƣ ngày nay. 1. 3. Phƣơng pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng GS. Nguyễn Hà Tăng đã đề xuất [8] ra phƣơng pháp mômen để nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các tinh thể phi điều hòa [9, 10, 11].Các tác 4
giả Nguyễn Văn Tăng, Vũ Văn Hùng, đã bằng phƣơng pháp mômen đối với các tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối, đã tìm ra đƣợc biểu thức giải tích đối với một loạt các đại lƣợng nhiệt động nhƣ: độ dời của hạt khỏi nút mạng, năng lƣợng tự do của hệ, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, nhiệt dung đẳng tích, nhiệt dung đẳng áp… và các tính chất đàn hồi của các tinh thể. Chính vì vậy, trong bài khóa luận này, tôi xin trình bày các kết quả mà các tác giả này thu đƣợc nhờ sử dụng phƣơng pháp thống kê mômen. 1.3.1. Các công thức tổng quát về mômen Mômen theo lí thuyết xác suất và vật lí thống kê đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Giả sử một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên: (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) tuân theo quy luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố  (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) . Hàm này thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lí thuyết xác suất mômen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  q1m   ( q1 , q2 ,...qn ) ... q1m (q1 ,q2 ,..., qn )dq1...dqn (1.3.1) Mômen này đƣợc gọi là mômen gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa về mômen cấp m nhƣ sau:  (q1   q1 ) m   ( q1 , q2 ,...qn ) ... (q1   q1 ) m  ( q1 , q2 ,...qn ) dq1...dqn (1.3.2) Vậy đại lƣợng trung bình thống kê q chính là mômen cấp một và q   2 phƣơng sai 1 q1 là mômen trung tâm cấp 2. Từ các định nghĩa trên, chúng ta thấy, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố  (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) thì hoàn toàn có thể xác định đƣợc các mômen. Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự. Riêng với hệ lƣợng tử, đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê , các mômen đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 5
qˆ m  Tr  qˆ m   (1.3.3)   (q  q )m  Tr (q  q )m   trong đó: toán tử  tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử và:  i .   Hˆ , ˆ  t  với ...,... là dấu ngoặc Poisson lƣợng tử. Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm đƣợc mômen. Tuy nhiên việc tính toán mômen không phải là bài toán đơn giản, ngay cả với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của  thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn,...) nhƣng việc tìm các mômen cũng rất phức tạp. Giữa các mômen có mối quan hệ với nhau. Mômen cấp cao có thể đƣợc biểu diễn bởi mômen cấp thấp hơn. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các mômen đã đƣợc xây dựng trong [16, 17] sẽ đƣợc xây dựng lại ở dƣới đây: Trƣớc hết, ta xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hƣớng tọa độ suy rộng Qi . Nhƣ vậy, Hamilton của hệ có dạng: H  H 0   ai Qi (1.3.4) i với H là Hamilton của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Bằng các phép biến đổi [16] mà các tác giả đã thu đƣợc hệ thức tổng quát, chính xác, biểu thị mối liên hệ giữa các toán tử bất kì F và tọa độ Qk của hệ với toán tử Hamilton H nhƣ sau: 1   F  B i  2m F (2 m ) F , Qk   F Q  a    2m   (1.3.5) 2   a a a ak m o (2m)!    ak a 6
Trong đó:  = k BT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2n là hệ số Becnouli và ... a biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với hàm Hamilton H 0 . Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa hai đại lƣợng F và (2 m ) F tọa độ Qk . Muốn vậy, ta cần phải biết các đại lƣợng F và . Đại a ak a lƣợng F có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đại lƣợng a (2 m ) F xác định từ phƣơng trình động lực. ak a Trong trƣờng hợp đặc biệt, F  Qk ta có biểu thức chính xác đối với phƣơng sai:  Qk Q  Q  (2 m ) Qk  2m 2 B i   a    2m   (1.3.6) ak mo (2m)!    ak k k a 2 a Vì Qk không phụ thuộc tƣờng minh vào ak nên đối với hệ thức cổ điển, công thức (1.3.6) trở nên đơn giản:  Qk Q  Q  2  a (1.3.7) ak k k a 2 công thức (1.3.7) là một công thức quen thuộc trong hệ thống kê cơ học cổ điển. Ngoài ra công thức (1.3.5) còn cho ta xác định đƣợc hàm tƣơng quan giữa F và Qk đối với hệ có Hamilton H 0 , nhƣ sau:  F   2m  F m  1  B2 m  i  F , Qk   F        a Qk   (1.3.8) 2    ak  m o (2m)!     ak    a 0   a 0 trong đó biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamilton H 0 . Các tác giả còn thu đƣợc hệ thức chính xác khác: 7
(2 m  n ) F  2m 1  B i  F , Qk   (1) n 1  2 m   (n) (1.3.9) 2    m  o (2m)!    ak a Xét trƣờng hợp đặc biệt: F  Q , chúng ta thu đƣợc hệ thức thăng giáng cho phép xác định thăng giáng của xung, có dạng: 2 (2 m 1) Q k  2m B i  Qk    2m   (1.3.10) m  o (2m)!    ak a a Công thức (1.3.5) còn đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mômen cấp cao [12], muốn vậy, tác giả đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n: 1   Kn  ... Q1 , Q2  Q3  ... Qn  (1.3.11) 2n 1      n 1 Nếu trong công thức (1.3.5) ta thay F  Kn thì thu đƣợc công thức truy chứng:  Kn i  2m (2 m ) K n K n1  Kn Qn1    a (1.3.12) a (2m)!    an1 a Công thức này là một công thức tổng quát của mômen. Về nghuyên tắc, công thức trên cho phép xác định các mômen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định mômen cấp cao hơn dựa vào mômen cấp thấp hơn, thậm chí là dựa vào mômen cấp 1. 1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do Đối với vật lí thống kê, năng lƣợng tự do  cho ta thông tin đầy đủ về tính chất nhiệt động của hệ, do đó việc xác định  đóng vai trò quan trọng. Trong vật lí thống kê, năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái bằng hệ thức: 8
   ln Z  H  (1.3.13) Z  Tr  e    Tuy nhiên, để tìm  không hề đơn giản. Đối với một số hệ đơn giản, có thể tìm đƣợc biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do, còn nói chung chỉ có thể tìm đƣợc dƣới dạng gần đúng.Trong phƣơng pháp mômen đã đƣợc áp dụng để viết công thức tính năng lƣợng tự do, áp dụng vào các bài toán dao động điều hòa và phi điều hòa lƣợng tử. Xét một hệ lƣợng tử đƣợc đặc trƣng bởi hàm Hamilton có dạng: H  H 0  V (1.3.14) với α là thông số và V là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức đã thu đƣợc bằng phƣơng pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động:  Qk  , a  k (1.3.15)  ( ) V  a  Và năng lƣợng tự do của hệ là: a  ( )   0   V a d (1.3.16) 0 với  0 là năng lƣợng tự do của hệ với hàm Hamilton H 0 , đƣợc xem nhƣ đã biết. Bằng cách nào đó tìm đƣợc V a thì từ (1.3.16) ta có thể tìm đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do  ( ) , trong đó đại lƣợng V a có thể tìm đƣợc nhờ công thức mômen. Nếu Hamilton H có dạng phức tạp thì tách nó thành: H  H 0    i Vi (1.3.17) i sao cho H 0 - 1V1  2V2 ,… Giả sử biết năng lƣợng tự do  0 ứng với Hamiltonian H 0 của hệ, khi đó tìm đƣợc năng lƣợng tự do  1 ứng với 9
H 1  H 0  1V1 , ta tìm đƣợc năng lƣợng tự do  2 ứng với H 2  H 1   2V2 … cuối cùng ta thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do của hệ. 1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng Xét các tinh thể có cấu trúc kim cƣơng và cấu trúc ZnS thì ngoài tƣơng tác cặp là chủ yếu còn phải chú ý đến tƣơng tác 3 hạt. Do vậy, khi sử dụng theo phƣơng pháp quả cầu phối vị, thế năng tƣơng tác có dạng: 1 1 E   Ei   ij   Wijk i 2 i, j 6 i,j,k (1.3.18) 1 1 Ei   2 j ij   Wijk 6 j ,k (1.3.19) với: Ei là thế năng tƣơng tác của hạt thứ i;  ij là thế năng tƣơng tác giữa hạt thứ i và thứ j; Wijk là thế tƣơng tác giữa các hạt i, j, k. Đối với trƣờng hợp các hạt dao động mạnh, thế năng Ei đƣợc khai triển theo độ dời ui . Ở gần đúng bậc 4, thế năng tƣơng tác của hạt thứ i có dạng: 1   2 Ei  1   3 Ei  Ei  Ei0   2  ,   u j u j  u j u j     6  ,  ,  u j u j u j  u j u j  u j eq eq (1.3.20) 1   4 Ei    24  ,  , ,  u j u j  u j u j  u j u j  u j u j  .... eq Đặt:  ,  ,   x, y, z   Ei0  Ei a j  1  2 j 1   ij a j   Wijk a j 6 j ,k   (1.3.21) ở đây a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j.   2 Ei  Dạng của các số hạng:   …vv đƣợc xác định nhƣ trong [15] .  u j u j  10
  2 Ei       Ei  a j a j    Ei   2  u j u j eq   3 Ei       Ei  a j a j  a j    Ei   a j   a j    a j    3 2  u j u j u j eq (1.3.22)   4 Ei       Ei  a j a j  a j a j    Ei  (a j a j     a j a j   4 3  u j u j u j u j eq  a j a j    a j  a j   a j  a j   a j a j  )   2 Ei  (           ) với:  1   ij  a j   3  Wijk  a j   1 1 1 Ei  aj  k    2  1  1   ij  a j   3  Wijk  a j   a 3  ij  a j   3  Wijk  a j  1 1  2 1 1 Ei  a 2j  k  j  k    3  3   2   ij  a j   3  Wijk  a j   a 4  ij  a j   3  Wijk  a j  1 1  3 1  2 Ei  a 3j  k  j  k  (1.3.23)  1   ij  a j   3  Wijk  a j   3 1 1  5 aj  k    4  6   3   ij  a j   3  Wijk  a j    a 5  ij  a j   3  Wijk  a j  1 1  4 1  3 4 Ei  a 4j  k  j  k  15   2  15   6  ij  j   a   Wijk2  a j    7  ij1  a j    Wij1k  a j  1 1  aj  3 k  aj  3 k  với các kí hiệu (1), (2), (3), (4), trên đầu hàm   a j  , W  a j  là đạo hàm các cấp tƣơng ứng. Do đó, tổng lực của các hạt tác dụng lên hạt thứ i là:   2 Ei  1   3 Ei  1   4 Ei      u j u j   u j    2  ,  u j u j  u j  u j u j    6  , ,  u j u j  u j u j  u j u j u j eq eq eq Trong trƣờng hợp hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p  thì ở trạng thái không đổi cân bằng nhiệt động, ta có phƣơng trình: 11
  2 Ei  1   3 Ei      u j u j   u j p   2  ,  u j u j u j  u j u j p eq eq (1.3.24) 1   4 Ei     u j u j u j  p  0 6  , ,  u j u j  u j u j eq p Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cƣơng hoặc cấu trúc ZnS, các số hạng sau đều có giá trị bằng 0:   2 Ei    3 Ei    3 Ei    4 Ei    4 Ei    ;  2  ;  3  ;  3  ;  2  (1.3.25)  u j u j  eq  u j u j  eq  u j eq  u j u j  eq  u j u j  u j eq Nhờ có công thức tổng quát của mômen (1.3.12) mà chúng ta có thể biểu diễn mômen bậc 4: u j u j u j u j p  , mômen bậc 3:  u j u j u j p  , mômen bậc 2: u j u j p  , qua mômen bậc 1 nhƣ sau:  u j   u j u j  u j u j  p  cth  p p p a 2m 2 m 2  u j  2 u j u j u j u j  u j u j u j  3 u j p  2 p p p p p p a a a u j   u j  p cth  p 2m 2 m 2 (1.3.26)  u j u j u j u j u j  u j u j u j u j  6 u j  u j p p p p p p p a j 2   u j  2  2 u j  3 u j 2 u j 2   4 2 u j p  3 p 3 p  p p a j a j  a j  a j a j a j 2m 2   2  u j m 2 p Sử dụng (1.3.20) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.3.19), phƣơng trình (1.3.18) đƣợc viết lại nhƣ sau: dy 2 2 d y  dy  2   y  3 y   3  xcthx  1 y   y 2     xcthx  1 dp dp 2 m dp m 2 (1.3.27)  ky  p  0 12
  2 Ei  k  2   m 2  u jx  eq 1   4 Ei    4 Ei  trong đó:   4    2 2  (1.3.28) 6  u jx eq  u jx  jy eq   3 Ei       u jx u jy u jz eq phƣơng trình (1.3.27) nhận đƣợc khi coi rằng: u j p ,= u j p = u j p = u p . Để giải (1.3.27), chúng tôi thực hiện phép biến đổi mới bằng cách:  Đặt: y  y  (1.3.29) 3 Với cách biến đổi nhƣ vậy, phƣơng trình (1.3.27) biến đổi về dạng: dy 2 d y 2   y3  3 y    2   xcthx  1 y  Ky  p  0 (1.3.30) dp dp k trong đó: 2 K k 3 p  p  K  (1.3.31)  k  2 2 1 2  K     2  xcthx  1    27 k 3 3k  Phƣơng trình (1.3.30) là một phƣơng trình vi phân tuyến tính, chúng ta đi tìm nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p  là tùy ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản: y  y0  A1 p  A2 p 2 (1.3.32) Trong đó, yo là độ dời ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực tác dụng p ( p  0; p  K  ) . Thay (1.3.32) vào (1.3.30), ta thu đƣợc phƣơng trình:  2 2 A2  3 y0 A1   y0 3  Ky0  ( xcthx  1) y0  0 k (1.3.33)  6 y0 A2  3 A  3 y0 A1  KA1  1 2 2 ( xcthx  1) A1  1  0 k 13
Hệ này cho nghiệm:  2 2 2  xcthx  1  A1  1  K 4 1  2  1  xcthx    K    (1.3.34) 3 y0 A1 y03 Ky0 x  xcthx  1 y0 A2    2  2  2 2 2 2 k Đối với vùng nhiệt độ cao, khi: xcthx 1, phƣơng trình (1.3.30) trở về dạng quen thuộc [3] d 2 y dy  2 2  3 y    ( y3 )  Ky  p  0 (1.3.35) dp dp Nghiệm của (1.3.35) đã đƣợc tìm ra trong [3] 2 2 y0  A (1.3.36) 3K 3 Mà có:  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6 A=a1  a2  a3  a4  a5  a6 (1.3.37) K4 K6 K8 K 10 K 12 xcthx a1  1  2 13 47 23 1 a2   xcthx  x 2 cth 2 x  x 3cth3 x 3 6 6 2  25 121 169 2 2 83 3 3 22 4 4 1  a3     xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x5cth5 x   3 6 3 3 3 2  43 93 169 2 2 83 3 3 22 4 4 1 a4   xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x 5cth5 x 3 2 3 3 3 2  103 749 363 2 2 391 3 3 148 4 4 53 5 5 1 6 6  a5     xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x cth x  x cth x   3 6 2 3 3 6 2  561 1489 2 2 927 3 3 733 4 4 145 5 5 a6  65  xcthx  x cth x  x cth x  x cth x  x cth x 2 3 2 3 2 31 1  x 6cth6 x  x7 cth7 x 3 2  trong đó : x  2 14