Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của khóa luận được chia làm 3 chương như sau: Chương 1: những khái niệm cơ bản, chương 2: dao động tử điều hòa, chương 3: nhiệt độ suy biến của hệ dao động tử lượng tử. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THU HÀ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO DỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN ThS. ĐỖ THỊ THU THỦY HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật lí, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin cảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận của em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo ). Em xin cam đoan rằng những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng với các đề tài khác. Nếu sai em chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 1 4. Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................ 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ..................................................................................... 2 NỘI DUNG......................................................................................................... 4 CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN .............................................. 4 1.1. Hàm phân bố ............................................................................................. 4 1.2. Nội năng .................................................................................................... 9 1.3. Nhiệt độ suy biến .................................................................................... 10 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ................................................. 12 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử............................................................ 12 2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử ............................................................ 17 CHƢƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ ..................................................................................................................... 26 3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa .............................................. 26 3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử ........................................... 27 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 36
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cùng với sự phát triển của tri thức nhân loại, Vật lí học ngày càng phát triển. Các đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ngày càng mở rộng. Và để nghiên cứu hệ nhiều hạt, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp của vật lí thống kê. Vật lí thống kê áp dụng các phƣơng pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Vật lí thống kê cổ điển chỉ đúng với hệ hạt vĩ mô, do đó để giải thích nhiều tính chất của hệ hạt vi mô mà vật lý thống kê cổ điển chƣa giải thích đƣợc, ta sẽ áp dụng các thống kê lƣợng tử. Mô hình lƣợng tử đƣợc áp dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại đó là dao động tử. Nó đƣợc coi là mô hình gần đúng của các phân tử thực, các nguyên tử thực và của các hạt thực khác. Các mô hình đó đƣợc áp dụng cho các hạt tự do cũng nhƣ cho các hạt cấu thành hệ vật lý. Một trong những tính chất đặc trƣng của hệ lƣợng tử này đó là nhiệt độ suy biến. Tính chất này là gì? Và tại sao tính chất này lại đƣợc nghiên cứu trong hệ lƣợng tử? Trong bài viết này em muốn làm sáng tỏ vấn đề đó. Vì vậy, em đã chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
- Nghiên cứu về dao động tử điều hòa - Nghiên cứu nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và chất rắn 4. Đối tƣợng nghiên cứu - Tích phân trạng thái của dao động tử - Năng lƣợng trung bình của dao động tử - Nhiệt độ suy biến của dao động tử 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý thống kê - Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán 6. Cấu trúc khóa luận - Đề tài “Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận. - Phần nội dung đƣợc chia làm 3 chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm phân bố 1.1.1. Phân bố chính tắc lƣợng tử 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử 1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử 1.2. Nội năng của hệ 2
1.3. Nhiệt độ suy biến CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử 2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa 3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử 3.2.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa 3.2.2. Nhiệt độ suy biến của chất rắn 3
NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm phân bố 1.1.1. Phân bố chính tắc lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng :  H (q, p)  ( q, p )  e kT (1.1) trong đó  là năng lƣợng tự do của hệ Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :   Hˆ ˆ  e kT (1.2) Kí hiệu  n (q) là hệ hàm riêng của toán tử Hamilton Hˆ . Ta có : Hˆ  n  E n n suy ra ( Hˆ ) m n  ( E n ) m n (1.3) 1 khi n  m  n (q) m (q)dq   nm   * và (1.4) 0 khi n  m Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :  nn   n* (q )ˆ  n (q )dq (1.5) Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.2) dƣới dạng : 4
   m 1 H  ˆ  e     kT (1.6) m 0 m! kT  Thay (1.6) vào (1.5), kết hợp với (1.3), (1.4) và phép biến đổi Taylor, ta đƣợc :  m 1  H   nn   (q)e kT    * n   n (q )dq m 0 m !  kT    m 1  1   e   kT   * n (q)( Hˆ ) m n (q)dq m 0 m !  kT   m 1  E    e kT    n   * n (q ) n (q )dq m 0 m !  kT     m   En 1  En  E  n  e   kT   e e kT  e kT kT m 0 m !  kT  Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử có dạng :   En  nn  e kT Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử :  En   1    nn    ( E n )  e kT e kT e Z kT n n n En  Đại lƣợng Z   e kT đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n   kT ln Z 5
En  Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z   e kT . Do đó nếu n mức năng lƣợng E n suy biến bội g ( En ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : En  Z   g ( E n )e kT n 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt và có số hạt N thay đổi, hàm phân bố chính tắc lớn cổ điển có dạng :   N  H ( q , p , N )  ( q, p, N )  e kT (1.7) trong đó  là thế nhiệt động,  là thế hóa học của hạt Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :   Nˆ  Hˆ ˆ  e kT (1.8) Vì có thể đo đƣợc đồng thời năng lƣợng và số hạt của hệ nên toán tử Hamilton Hˆ và toán tử số hạt Nˆ giao hoán với nhau. Do đó toán tử Hamilton Hˆ và toán tử số hạt Nˆ có chung hệ hàm riêng. Kí hiệu  nN (q) là hệ hàm riêng chung của toán tử Hˆ và Nˆ . Ta có : Hˆ  nN  E nN nN Nˆ  nN  N nN Nˆ  nN  N nN 6
( Nˆ  Hˆ ) nN  ( N  E nN ) n suy ra ( Nˆ  Hˆ ) m nN  ( N  E nN ) m n (1.9)  (q ) m M (q )dq   nm NM * và nN (1.10) Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :  nN   nN * (q)ˆ  nN (q)dq (1.11) Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.8) dƣới dạng :  m 1  Nˆ  H    ˆ  e   kT   (1.12) m 0 m! kT  Thay (1.12) vào (1.11), kết hợp với (1.9), (1.10) và phép biến đổi Taylor, ta đƣợc m 1   Nˆ  H    nN   nN (q)e   * kT   nN (q)dq m 0 m !  kT    m 1  1  e    kT  * nN (q)(  Nˆ  Hˆ ) m nN (q)dq m  0 m !  kT    1   N  EnN  m e   kT   * nN (q) nN (q)dq m 0 m !  kT      N  EnN   N  EnN 1   N  EnN  m e   kT   e kT e kT e kT m 0 m !  kT  Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử có dạng :  N  EnN  nN   ( EnN , N )  e kT 7
Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử :  N  EnN  1    nN    ( E nN , N )  e kT e kT e Z kT n, N n, N n, N N  EnN Đại lƣợng Z   e kT đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n, N   kT ln Z N  EnN Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z   e kT . Do đó nếu n, N mức năng lƣợng E nN suy biến bội g ( E nN ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : N  EnN Z   g ( E nN )e kT n, N 1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử Khảo sát hệ các hạt không tƣơng tác. Năng lƣợng của hệ bằng tổng năng lƣợng của các hạt riêng lẻ : E    i . Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái i với năng lƣợng E bằng :  E     i      Wi W (E)  e kT  exp  i (1.13)  kT  i   Trong đó Wi là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng lƣợng i : i  Wi  ae kT (1.14) Điều kiện chuẩn hóa : 8
i  1   Wi  a  e kT i i i  1 Đặt Z   e kT , ta đƣợc a  . Trong trƣờng hợp mức năng lƣợng  i suy biến i Z bội g ( i ) thì i  Z   g ( i )e kT i Khi đó (1.14) trở thành :  g ( i )  kTi Wi  e Z Đây chính là phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử. 1.2. Nội năng Mọi hệ nhiệt động đều bao gồm một số rất lớn các hạt. Các hạt này chuyển động và tƣơng tác với nhau. Tổng năng lƣợng của các hạt này là năng lƣợng của hệ. Năng lƣợng toàn phần của hệ bao gồm nội năng và ngoại năng. Nhƣng trong nhiệt động lực học, chúng ta không khảo sát chuyển động của toàn bộ hệ và độ biến thiên thế năng của hệ trong chuyển động đó. Vì vậy, năng lƣợng của hệ trong nhiệt động lực học chính là nội năng của hệ. Nội năng của hệ bao gồm năng lƣợng của tất cả các dạng chuyển động và tƣơng tác của các hạt cấu thành hệ: năng lƣợng của chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử, năng lƣợng tƣơng tác phân tử, năng lƣợng nội nguyên tử của các lớp chứa đầy electron, năng lƣợng nội hạt nhân và các năng lƣợng khác. 9
Nội năng U là một thông số nội và, do đó khi có cân bằng nó phụ thuộc vào các thông số ngoại ai và vào nhiệt độ T: U=U (a1,a2,…an,T) 1.3. Nhiệt độ suy biến Nhiệt độ suy biến là nhiệt độ mà ở đó, hệ thống các hạt trở thành suy biến (x. Suy biến), nghĩa là trạng thái dao động của các hạt bị phá vỡ hay trạng thái vật chất của hệ bị thay đổi. 10
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Ở chƣơng này, em đã tìm hiểu và trình bày về một số khái niệm cơ bản của Vật lí thống kê. Đó là hàm phân bố, nội năng và nhiệt độ suy biến của dao động tử. Trên cơ sở đó, em sẽ tìm hiếu kĩ hơn về dao động tử điều hòa. 11
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử Trong Cơ học cổ điển chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt khối lƣợng m, chịu tác dụng của lực đàn hồi F= -Kx (k là hệ số đàn hồi) đƣợc diễn tả bằng phƣơng trình Newton d 2x m 2  Kx  0 dt và hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó x  a sin(t   ) với pha  , tần số góc K  m và biên độ dao động 2E a m 2 trong đó E là năng lƣợng toàn phần. Vận tốc của hạt nhƣ một hàm của tọa độ là dx x2 v   a 1  2 dt a 12
2 Gọi   là chu kỳ dao động, xác suất dW (CD ) ( x) mà hạt vĩ mô nằm trong  khoảng từ x đến x +dx với dx= vdt bằng dt 1 dx dW (CD ) ( x)dx    2 a x2 1 2 a Trong Cơ học lƣợng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là 1 2 V ( x)  Kx 2 và do đó trạng thái lƣợng tử của hạt với năng lƣợng E đƣợc diễn tả bằng hàm sóng  ( x) thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger  2 d2 1 2  2  Kx  ( x)  E ( x) (2.1)  2 m dx 2  Đặt 1  mK  4 m 2E m 2E   2   ,   (2.2)   K  và dùng biến không thứ nguyên   x ta viết lại đƣợc phƣơng trình (2.1) dƣới dạng  d2 2 (2.3)  2     ( )  0  d  13
trong đó            phải hữu hạn tại   0 và giới nội khi    . Vì lời giải tiệm cận của phƣơng trình (2.3) khi  lớn là  ( )  exp( 2 / 2) Nên ta tìm lời giải chính xác dƣới dạng        exp( 2 / 2) (2.4) với    là hàm cần xác định. Thay thế biểu thức (2.4) vào phƣơng trình (2.3), ta thu đƣợc      2     ( 1)    0 (2.5) trong đó d   d 2 ( )   ,    d d 2 Tìm hàm    dƣới dạng chuỗi       a  , a0 ≠ 0  0 dễ dàng tính đƣợc công thức móc xích cho các hệ số khai triển 2  1  a  2  a (2.6)   2  1  14
Từ phƣơng trình (2.6), ta suy ra  2n  1 do đó, theo các hệ thức (2.2) năng lƣợng E của dao động tử điều hòa chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn  1 E  En   n    , n=0,1,2,…  2 Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n=0 1 E0   0 2 đƣợc gọi là năng lƣợng không. Sự tồn tại năng lƣợng hữu hạn thấp nhất E0 chỉ có thể giải thích đƣợc trên cơ sở của Vật lý lƣợng tử. Thật vậy, gọi các độ bất định của năng lƣợng, xung lƣợng và tọa độ là E, p và x. Sự tồn tại E0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lƣợng của hạt: px  / 2 , vì p 2 K x 2 K 1 E    px   2m 2 m 2 Có thể quy ƣớc chọn gốc tính năng lƣợng trùng với năng lƣợng không E0. Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lƣợng là bội của năng lƣợng  : En  n  Đó chính là giả thuyết Planck: Năng lƣợng của một dao động tử điều hòa bằng bội nguyên của lƣợng tử năng lƣợng  . Để xác định dạng tƣờng minh của hàm sóng   x  ta lƣu ý rằng với  2n  1 phƣơng trình (2.5) trở thành      2     2nH n    0 Mặt khác, từ toán học ta lại biết đa thức Hermit H n   thỏa mãn phƣơng trình 15
H n    2 H n    2nH n    0 So sánh hai phƣơng trình trên, ta rút ra      n    N n H n   với Nn là hệ số chuẩn hóa do đó  2 x2    x   n  x   Nn H n   x  e 2 Chuẩn hóa hàm  n  x  sao cho 2  Nn    n  x  dx   H n2   e  d   1 2 2    và sử dụng tính chất của đa thức Hermite   H n2   e d  2n n !  2  ta tính đƣợc  Nn  2 n!  n Đa thức Hermite có dạng tƣờng minh  n  2 H n     1 e 2 n e  n Thí dụ nhƣ H 0  x   1, H1  x   2,... Ta có các hàm chuẩn hóa tƣơng ứng là 16