Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho Exciton hai chiều trong điện trường đều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của đề tài là tìm hiểu tổng quan. Thiết lập Hamiltonian của hệ và đưa về dạng toán tử sinh hủy. Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và tính toán các yếu tố ma trận. Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số chính xác. Phân tích, so sánh, nhận xét kết quả. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho Exciton hai chiều trong điện trường đều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ MỸ HẢO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ TP. Hồ Chí Minh - 2019
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ MỸ HẢO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM TP. Hồ Chí Minh - 2019
Lời cảm ơn Trong quá trình làm luận văn tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và người thân. Trước tiên tôi xin phép gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn TS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm. Cảm ơn cô đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn thầy cô trong phòng Vật lý tính toán của Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn bạn bè và người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Mặc dù tôi đã cố gắng để hoàn thành luận văn nhưng chắc chắn tôi không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót trong quá trình hoàn thành. Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019.
MỤC LỤC MỤC LỤC .............................................................................................................. i DANH MỤC BẢNG ............................................................................................. ii DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................ ii MỞ ĐẦU ................................................................................................................1 Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU ............6 1.1 Phương pháp toán tử FK ......................................................................6 1.2 Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều .....10 1.3 Phép biến đổi Levi-Civita...................................................................13 1.4 Phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường 14 Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH .......................................................19 2.1 Chương trình tính toán .......................................................................19 2.2 Trường hợp điện trường bằng không  1  0,  2  0  .........................20 2.3 Trường hợp điện trường khác không  1  0,  2  0  .........................26 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ..............................................29 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ...............................................................................30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................31 PHỤ LỤC .............................................................................................................34 Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm Hˆ r , Hˆ G . ........34 Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrödinger về dạng không thứ nguyên. 36 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita. ..........................................................38 Phụ lục 4: Tính giao hoán tử của Hamiltonian và Lˆ z . .................................40 Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hoán aˆ, aˆ   , bˆ, bˆ  . .....................................42 Phụ lục 6: Biểu diễn H , Lˆz theo các toán tử aˆ, aˆ  , bˆ, bˆ . ...............................44 Phụ lục 7: Các công thức tác dụng và tìm các yếu tố ma trận H và R . .....47 i
DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 Giá trị năng lượng ở các trạng thái n được tính bằng phương pháp toán tử FK và trong công trình [7] ........................................................................................25 Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái cơ bản (n  1) phụ thuộc vào cường độ điện trường. ...........................................................................................................................26 Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất  n  2  phụ thuộc vào cường độ điện trường................................................................................................................26 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản  n  1 trong trường hợp nmax  50 ............................................................................................22 Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất  n  2  trong trường hợp nmax  50 . ......................................................................22 Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai  n  3 trong trường hợp nmax  50 . ..............................................................................23 Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất  n  2  trong trường hợp nmax  80 . ......................................................................24 Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai  n  3 trong trường hợp nmax  80 . ..............................................................................24 Hình 2.6 Phổ năng lượng của exciton theo điện trường. ....................................27 ii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật liệu hai chiều (2D) có tính chất vật lý và hóa học quan trọng đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ [27], [28], [30]. Kể từ báo cáo đầu tiên của Geim và Novoselov et al. vào năm 2004, graphene là một đơn lớp phẳng bao gồm các nguyên tử carbon được sắp xếp trong mạng tinh thể tổ ong hai chiều (2D), đã nhanh chóng trở thành một trong những chủ đề nóng nhất trong khoa học vật liệu vào thời điểm đó do tính chất hấp dẫn và có tiềm năng lớn. Do năng lượng vùng cấm bằng không, cấu trúc siêu mỏng và phẳng, graphene đã thể hiện các tính chất điện tử, nhiệt, quang và cơ học đáng chú ý như: tính di động cao của các hạt mang điện ở nhiệt độ phòng, dẫn nhiệt vượt trội, hệ số truyền quang học cao,... Dù graphene đã mang lại những tính chất độc đáo nhưng vì năng lượng vùng cấm bằng không nên nó được xem như một kim loại, đã làm hạn chế những ứng dụng của nó. Ngoài graphene còn có các chất bán dẫn hai chiều có cấu trúc tương tự ví dụ transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonal boron-nitride (h – BN),… Chất bán dẫn 2D là chất bán dẫn tự nhiên có kích thước nguyên tử. Khi mà kích thước của nó giảm đáng kể, các chất bán dẫn này thể hiện một số tính chất độc đáo, chẳng hạn như chuyển từ tính chất bán dẫn gián tiếp sang trực tiếp do đó được ứng dụng trong điện tử, lưu trữ năng lượng, cảm biến và vật liệu tổng hợp [27]. Trong các vật liệu 2D, two-dimensional transition metal dichalcogenides (TMDs) trở thành trọng tâm của nghiên cứu cơ bản và ứng dụng công nghệ do cấu trúc tinh thể của chúng, một loạt các thành phần hóa học và nhiều tính chất vật liệu [28]. Do đó, nghiên cứu về TMDs ngày càng tăng và chiếm tỉ lệ khá cao trong số lượng công bố nghiên cứu về vật liệu 2D [8]. 2D TMDs thường được kí hiệu MX2 trong đó M là nhóm kim loại chuyển tiếp (ví dụ như Ti, V, Nb, Mo, Hf, Ta, W) và X là nhóm chalcogen (S, Se và Te). TMDs đơn lớp sẽ bao gồm một lớp của nguyên tử kim loại chuyển tiếp được kẹp giữa là hai lớp nguyên tử chalcogen trong cấu trúc lăng trụ tam giác (trigonal prismatic structure) [20]. Do cấu trúc tinh thể dị hướng và độc đáo cao, các tính chất vật liệu của 2D TMD có thể được điều chỉnh một cách hiệu quả thông qua các phương pháp khác nhau bao gồm giảm kích thước, xen kẽ,… Cụ thể như ta có thể thay đổi cấu trúc dãy bằng cách làm mỏng lớp 2D thành đơn lớp [28]. Đơn lớp 1
TMDs với năng lượng vùng cấm “trực tiếp” nằm trong khoảng vùng gần hồng ngoại đến khả kiến. Hiện nay, các nghiên cứu về đơn lớp TMDs thuộc nhóm VI đang được chú ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, và WSe2. Đây là chất bán dẫn với những tính chất quang học và điện tử đặc biệt, hứa hẹn có nhiều ứng dụng quang điện tử ví dụ như tế bào quang điện, diode phát quang,…[8]. Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMDs là hình thành exciton [20]. Exciton là một chuẩn hạt được tạo thành khi có tương tác Coulomb giữa điện tử mang điện tích âm và lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro. Exciton thường được phân loại tùy vào tính chất vật liệu đang xét. Đối với chất bán dẫn thì exciton này được gọi là exciton Mott-Wannier, với chất cách điện thì người ta gọi là exciton Frenkel. Trong chất bán dẫn, exciton được tạo thành khi một photon bị hấp thụ, kích thích điện tử từ vùng hóa trị lên vùng dẫn và để lại một lỗ trống mang điện tích dương. Sau đó, điện tử và lỗ trống kết hợp với nhau bằng tương tác Coulomb tạo ra giả hạt exciton đồng thời sẽ phát ra một photon [23]. Đối với các chất bán dẫn hai chiều (2D), exciton càng có ý nghĩa đặc biệt, bởi khi số chiều giảm làm tăng tương tác Coulomb [30], đây là nguồn gốc của các hiệu ứng của exciton. Hiệu ứng của exciton lại tham gia nhiều quá trình hình thành cơ sở của một lượng lớn các thiết bị exciton ở kích thước nano và các hiệu ứng vật lý, ví dụ như nguồn photon đơn (single photon sources), laser exciton (excitonic lasers), transistor quang điện tử (optoelectronic transistors),… [29]. Phổ năng lượng của exciton là thông tin để tìm hiểu trực tiếp về tính chất vật lý trong chất bán dẫn. Nó cũng là nền tảng để nhận biết hiệu ứng của exciton trong thí nghiệm phổ quang học. Vì thế việc nghiên cứu phổ năng lượng rất có ý nghĩa. Khi số chiều của hệ giảm thì tương tác giữa điện tử và lỗ trống tăng đáng kể đi nên phổ exciton 2D sẽ có cấu trúc rõ nét hơn [16]. Tuy nhiên, năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích cao khó đo trong thực nghiệm [21]. Vì thế người ta thường tìm cách đặt trường ngoài bao gồm điện trường hoặc từ trường vào để dễ đo đạc phổ hơn. Ngoài ra, đặt điện trường song song có cường độ lớn vào các vật liệu khác nhau là một phương pháp hiệu quả để điều chỉnh tính chất quang học của chúng. Cụ thể ví dụ như ở công trình [15] khi khảo sát phổ quang phát quang của đơn lớp và hai lớp WS2 trong trường hợp đặt điện trường song song, kết quả cho thấy là khi tăng cường độ điện trường đối 2
với đơn lớp WS2 thì dẫn đến dập tắt quang phát quang (PL quenching) trong khi đối với hai lớp WS2 thì làm tăng phát xạ quang phát quang; khám phá này có thể giúp ích rất nhiều trong việc phát triển hiệu quả hơn các các thiết bị quang điện tử dựa trên cơ sở vật liệu 2D TMDs. Trong một số nghiên cứu, điện trường ngoài có cường độ lớn được sử dụng để điều chỉnh năng lượng vùng cấm của hai lớp graphene, hai lớp TMDs,… [25]. Đặc biệt, điện trường đóng vai trò quan trọng trong các quá trình ion hóa trong TMDs. Trong những vật liệu có năng lượng liên kết exciton lớn như TMDs, việc ion hóa bằng nhiệt không hiệu quả nên thay vào đó người ta thường sử dụng điện trường mạnh [22]. Ngoài ra, thì việc đặt điện trường ngoài vào giúp ta có thể quan sát hiệu ứng vật lý quen thuộc như hiệu ứng Stark [26]. Từ đó, ta có thể nói bài toán exciton hai chiều trong điện trường với các cường độ khác nhau đóng vai trò quan trọng đối với cả lý thuyết và thực nghiệm. Việc giải phương trình Schrödinger để tìm ra phổ năng lượng cho bài toán exciton trong điện trường đều đã được một số nhóm nghiên cứu thực hiện. Đối với trường hợp ba chiều (3D), một số nhóm thực hiện việc chuyển phương trình Schrödinger thành cặp hai phương trình trị riêng một chiều [9], [10]. Còn đối với trường hợp 2D, một số nhóm cũng sử dụng phương tương tự, tác giả đã phân tích phương trình Schrödinger thành hai phương trình trị riêng một chiều của dao động tuyến tính phi điều hòa nhưng có những điểm khác nhau, cụ thể như công trình [19] của tác giả A. J. Linssen và M. J. Gelten được đề cập đến năm 1974. Công trình này đã tính toán được ảnh hưởng của điện trường đều đến mức năng lượng của exciton Wannier hai chiều bằng cách đưa phương trình Schrödinger về tọa độ parabol chứa các tham số không thứ nguyên, sử dụng phương pháp tách biến, tách phương trình Schrödinger thành hai phương trình. Các trị riêng năng lượng của exciton ở trạng thái liên kết sẽ được tính gần đúng bằng phương pháp WKB. Trong công trình [18] được công bố bởi Frank L. Lederrnan and John D. Dow năm 1976, phương trình Schrödinger của exciton hai chiều đặt trong điện trường đều cũng được chuyển về tọa độ parabol tuy nhiên được định nghĩa khác với công trình của Linssen và được tách thành hai phương trình; kết hợp với công thức của Elliott về hệ số hấp thụ của exciton trong vật liệu phân lớp. Nhờ đó phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong điện trường đều có cường độ tùy ý được giải chính xác (bằng số) . Vào năm 2001, S. I. Pokutnyi et al đã tìm ra cách để giải quyết bài toán một exciton Wannier-Mott hai 3
chiều trong điện trường đều [24]. Tương tự như hai công trình trên, tác giả sử dụng tọa độ parabol được định nghĩa tương tự công trình của Linssen. Cuối cùng, để giải phương trình Schrödinger một chiều thu được tác giả sử dụng phương pháp số dựa trên công thức ma trận của phương pháp Numerov và đồng thời sử dụng phương pháp gần đúng WKB để tính toán được hệ số xuyên ngầm. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp toán tử FK để giải quyết bài toán trên. Phương pháp toán tử FK (viết tắt FK - OM) được đưa ra bởi nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov ở Đại học Belarus vào năm 1982 [12]. Phương pháp có ý tưởng chính dựa trên tư tưởng của thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành hai thành phần: phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn. Tuy nhiên, khác so với phương pháp nhiễu loạn thì việc tách Hamiltonian không chỉ phụ thuộc vào yếu tố vật lý mà phụ thuộc vào hình thức của các toán tử trong Hamiltonian. Phương pháp FK-OM đã ứng dụng thành công cho các bài toán vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và bài toán lý thuyết trường [5], [6], [11], [13]. Cụ thể hơn là phương pháp này đã giải quyết thành công cho các bài toán đặt trong từ trường ví như: nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kì [1], exciton hai chiều trong từ trường đều [2],… Vì thế kế thừa ý tưởng từ những công trình trước, chúng tôi tiếp tục phát triển FK – OM cho trường hợp trường ngoài là điện trường và bước đầu là áp dụng cho bài toán exciton hai chiều trong điện trường đều. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu Mục tiêu của đề tài này là phát triển phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường để xác định nghiệm chính xác bằng số. Mục tiêu trên được thực hiện thông qua những nội dung nghiên cứu sau:  Tìm hiểu tổng quan  Thiết lập Hamiltonian của hệ và đưa về dạng toán tử sinh hủy.  Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và tính toán các yếu tố ma trận.  Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số chính xác.  Phân tích, so sánh, nhận xét kết quả. 3. Phương pháp nghiên cứu  Tính toán lý thuyết sử dụng phương pháp toán tử FK 4
 Lập trình FORTRAN sử dụng gói LAPACK. 4. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận thì luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Exciton hai chiều trong điện trường đều. Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp toán tử FK và nguyên tắc chính của phương pháp này dựa vào các công trình trước. Phần tiếp theo là xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường và đưa nó về dạng không thứ nguyên. Sau đó, phép biến đổi Levi-Civita đã đưa phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường về phương trình cho dao động tử phi điều hòa. Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho bài toán exciton hai chiều để tìm ra yếu tố ma trận, sau đó chương trình tính toán được xây dựng dựa vào gói LAPACK của bài toán trị riêng hàm riêng. Chương 2: Kết quả và phân tích. Chương này, chúng tôi giới thiệu về các yếu tố cần quan tâm khi sử dụng chương trình tính toán đã xây dựng để tìm ra nghiệm chính xác của phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường và chú ý ở đây chính là phổ năng lượng của exciton. Chương trình tính toán được áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợp điện trường bằng không tức là bài toán trở thành exciton hai chiều, trường hợp điện trường “nhỏ”. Đối với trường hợp không điện trường, chương trình tính toán thu được nghiệm chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi viết về dạng chuẩn. Còn đối với trường hợp có điện trường, kết quả thu được phổ năng lượng của trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích giúp ta quan sát được hiệu ứng Stark. 5
Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU Phần đầu trong chương trình bày một cách tổng quan, ngắn gọn về phương pháp toán tử FK và quy trình áp dụng phương pháp vào các bài toán đã được trình bày ở các công trình [1], [2], [3], [17] bao gồm bốn bước :  Hamiltonian được đưa về dạng toán tử sinh hủy.  Hamiltonian được tách thành hai thành phần: thành phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn  Ta tìm nghiệm chính xác bậc zero  Ta tìm nghiệm số chính xác. Phần tiếp theo là xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều. Trong phần này, chuyển động của exciton được thành tách hai chuyển động :  Chuyển động tương đối giữa electron và lỗ trống trong trường xuyên tâm Coulomb chịu tác dụng của điện trường  Chuyển động của hạt tự do. Sau đó, phương trình Schrödinger mô tả chuyển động tương đối của lỗ trống và electron được đưa về dạng không thứ nguyên để thuận tiện cho việc tính toán. Hamiltonian trong phương trình thu được ở đây có số hạng gây khó khăn do có thành phần ở mẫu số, vấn đề này sẽ được giải quyết khi áp dụng phép biến đổi Levi-Civita. Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho exciton hai chiều trong điện trường để tìm ra nghiệm số chính xác. Đặc biệt, ở bước cuối trong quy trình áp dụng phương pháp ngoài việc sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm ra các bổ chính bậc cao để thu được nghiệm số chính xác, ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở phần sau. 1.1 Phương pháp toán tử FK Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản của cơ lượng tử, nó đóng vai trò tương tự phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Vì vậy các bài toán chuyển động phi tương đối tính của hệ vật lý trong thế giới vi mô đều dẫn tới việc giải phương trình này. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, nhờ đó ta có thể khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trường hợp phương trình Schrödinger có sự phân ly biến số 6
giữa thời gian và tọa độ người ta gọi là phương trình Schrödinger dừng, đây là trường hợp đặc biệt nhưng chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được nghiên cứu. Nghiệm của nó là hàm sóng mô tả trạng thái và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét [14]. Tuy nhiên, nghiệm giải tích chính xác của phương trình này chỉ được xác định trong một số trường hợp đơn giản tiêu biểu như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt chuyển động trong hố thế vuông góc,… Còn đối với bài toán phức tạp hơn thì phải dùng đến các phương pháp gần đúng có thể kể đến phương pháp nhiễu loạn và biến phân mà trong đó phương pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điển được sử dụng của cơ học lượng tử. Phương pháp toán tử FK được đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk và Komarov thuộc nhóm nghiên cứu ở đại học Belarus đã xây dựng phương pháp này vào những năm 1980 cho bài toán dao động tử điều hòa bậc bốn [12]. Phương pháp này đã được phát triển và ứng dụng thành công cho nhiều bài toán vật lý khác nhau như bài toán vật lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử và phân tử [5], [6], [11], [13]. Phương pháp toán tử FK là một trong những phương pháp tìm nghiệm số chính xác bao gồm cả hàm sóng lẫn năng lượng cho phương trình Schrödinger. Ý tưởng chính của phương pháp này tương tự như thuyết nhiễu loạn tức là tách thành phần Hamiltonian thành hai thành phần, trong đó thành phần chính đã có nghiệm chính xác và phần còn lại là nhiễu loạn. Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian trong lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương tác trường ngoài và phải đủ nhỏ mới áp dụng phương pháp này. Còn đối với phương pháp toán tử việc phân chia hai thành phần này chỉ dựa vào hình thức toán tử trong Hamiltonian. Ngoài ra, phương pháp toán tử FK còn đưa vào một tham số tự do  để hiệu chỉnh sự tương quan về độ lớn của thành phần chính và nhiễu loạn nhằm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn. Nhờ vậy, bán kính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn được làm tăng, cho phép xác định nghiệm số chính xác bằng số với độ chính xác tùy ý. Trong một số công trình trước [1], [3] việc áp dụng phương pháp này để giải phương trình Schrödinger thông thường tuân theo các bước sau: Bước một: Hamiltonian được đưa về biểu diễn đại số 7
 d   Hˆ  x,   Hˆ aˆ , aˆ  ,   dx   (1.1) bằng cách chuyển các biến số động lực qua các toán tử sinh hủy:  1 d   1 d  aˆ  x aˆ   x (1.2)  dx   dx  , , 2 2 trong đó  là tham số thực dương được đưa vào để tối ưu quá trình tính toán. Hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hủy:  aˆ , aˆ    1 (1.3) là công cụ chính trong quá trình tính toán. Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần:       Hˆ aˆ , aˆ  ,   Hˆ 0OM aˆ  aˆ ,  ,   Vˆ OM aˆ , aˆ  ,  ,  , (1.4) trong đó thành phần thứ nhất là Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   chỉ chứa toán tử trung hòa, đây là thành phần chính đã có nghiệm chính xác, thành phần còn lại là Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   được coi như là thành phần nhiễu loạn. Như vậy, tương tự phương pháp nhiễu loạn, trong phương pháp toán tử FK, Hamiltonian cũng được tách thành hai thành phần: thành phần chính Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   có nghiệm chính xác và thành phần Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   đóng vai trò thành phần nhiễu loạn. Tuy nhiên, việc phân chia lúc này chỉ dựa vào hình thức số hạng của Hamiltonian. Hệ số phi điều hòa  có mặt trong cả hai thành phần của Hamiltonian nên một tham số tự do  phải được đưa vào; tham số này không có mặt trong Hamiltonian toàn phần Hˆ  aˆ , aˆ  ,   nhưng xuất hiện trong hai thành phần trên. Ta có thể thay đổi giá trị  để làm cho thành phần Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   thực sự nhỏ nhằm thỏa mãn điều kiện của thuyết nhiễu loạn với độ lớn bất kì của trường ngoài . Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:   Hˆ 0OM aˆ  aˆ,  ,    0  E  0  0 . (1.5) Ta thấy toán tử Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   giao hoán với toán tử aˆ  aˆ cho nghiệm riêng là: 8
n    1   0   . n aˆ  (1.6) n! Ở đây ta sử dụng khái niệm và kí hiệu Dirac để định nghĩa, trong đó hàm sóng (1.6) được gọi là vector trạng thái và trạng thái chân không 0   được định nghĩa: aˆ   0  0, 0 0  1. (1.7) Từ hệ thức giao hoán (1.3) ta dễ dàng chứng minh được aˆ  aˆ n  n n từ đó có thể suy ra được trị riêng của Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   là năng lượng gần đúng bậc zero. Bước bốn: Xác định yếu tố ma trận tìm ra nghiệm số chính xác Bước này ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao chúng ta có thể sử dụng sơ đồ vòng lặp có ý tưởng sau: Hàm sóng chính xác của bài toán có thể được biểu diễn chồng chập các trạng thái (1.6) như sau:   n  n   Ck k . (1.8) k 0 k n Thay hàm sóng (1.8) vào phương trình Schrödinger, ta thu được hệ phương trình sau:  En  H nn   k  0, k  n CkVnk ,  (1.9) E n  H jj  C j  V jn   CkV jk ,  j  0,1, 2...  n . k 0, k  n Để có được một thuật toán nhanh và tiết kiệm tài nguyên, ta sử dụng sơ đồ dưới đây. Hàm sóng gần đúng ở vòng lặp thứ  s  được định nghĩa như sau: n s  n s   n   k  max  0, n  s  Ck s  k , (1.10) với các hệ số Ck  được xác định theo từng vòng lặp. Thay (1.10) vào phương trình s Schrödinger, ta thu được hệ phương trình ứng với gần đúng bậc  s  như sau: 9
n s En s   H nn   k  max(0, n  s ) Ck s Vnk , (1.11)   n s En s   H jj C j s   V jn   k  max(0, n  s ) Cn s V jk ,  j  0,1, 2,... n  s  n . (1.12) k n Các yếu tố ma trận trong các sơ đồ trên được kí hiệu như sau: H kk  k Hˆ 0OM k , V jk  j Vˆ OM k ; (1.13) các yếu tố ma trận này có thể xác định được bằng các biến đổi đại số dựa vào hệ thức (1.3) và (1.7). 1.2 Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đặt theo phương song song với bề mặt vật liệu   1 ,  2 ,0  là phương trình không dừng. Vì exciton có thể bị ion hóa và thời gian sống của nó là hữu hạn, nên cần phải sử dụng phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, giả thuyết rằng thời gian sống của exciton tương đối dài, nên ta có có thể áp dụng phương trình Schrödinger dừng có dạng như sau: Hˆ   x, y   E  x, y  , (1.14) Vì chuẩn hạt exciton bao gồm một lỗ trống mang điện tích dương và một electron mang điện tích âm tương tác với nhau qua thế Coulomb, về cấu tạo giả hạt này tương tự như nguyên tử hydro nên Hamiltonian lúc này bao gồm ba thành phần sau: 2 2 Z *e 2 Tˆ    2 h   2 e toán tử động năng của lỗ trống và exciton; Vˆ   là 2mh* 2me* 4 0 rh  re thế tương tác Coulomb và Uˆ  e  re  rh  là toán tử thế năng của lỗ trống và electron do điện trường gây ra. Phương trình Schrödinger của exciton 2D trong điện trường đều:     2 2  Ze2    x, y   E   x , y  , h  * e  2 2  e re  rh (1.15)  2mh* 2me 4 0 rh  re    với mh* , me* là khối lượng hiệu dụng của lỗ trống và electron,  0 là hằng số điện. 10
Ngoài ra, việc electron và lỗ trống trong exciton tương tác với nhau, các hạt này còn chịu tương tác của các vi hạt khác trong cấu trúc mạng tinh thể. Vì thế ở đây ta sử dụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, mối liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng với 1 d  k  2 2 1 năng lượng: *  2 trong đó k là vector số sóng có độ lớn k  , để mô tả m dk 2  chuyển động của điện tử và lỗ trống trong trường tinh thể. Khối lượng hiệu dụng tỉ lệ tuyến tính với khối lượng tĩnh của điện tử me có thể mang giá trị âm, dương hoặc vô cùng tùy vào trạng thái của điện tử. Hamiltonian bao gồm hai thành phần động năng và thế năng do điện trường gây ra nên có thể tách thành hai phần bao gồm của lỗ trống và electron, tuy nhiên thành phần thế Coulomb ta không thể thực hiện tương tự. Vì vậy, ta viết (1.15) trong hệ tọa độ chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối hai hạt. Với r , R lần lượt vector tọa độ mô tả chuyển động tương đối của electron và lỗ trống, chuyển động khối tâm của hệ giả hạt được định nghĩa như sau: me* re  mh* rh r  re  rh , R  . (1.16) me*  mh* Phương trình (1.15) được viết lại như sau: 2 2 Ze2 Hˆ    2   2  e r , (1.17) 2 * 4 0 r r G 2M * với me*mh* *  , M *  me*  mh* . (1.18) me  mh * * Lúc này, Hamiltonian của ta có thể tách thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ r  Hˆ G , (1.19) trong đó: 2 Ze2 Hˆ r    2r   e r , 2 * 4 0 r 2 Hˆ G   * G2 . 2M 11
Áp dụng phương pháp tách biến, phương trình (1.14) có thể tách thành hai phương trình trị riêng hàm riêng:     2 Ze 2    2   e  r  r r  Er r r , (1.20)  2 4 0 r * r   G  R   EG G  R  ; 2  (1.21) 2M * với năng lượng và hàm sóng của hệ lần lượt là E  Er  EG ,    r r  G R .    Ta có thể tách chuyển động của exciton thành hai chuyển động trong đó là chuyển động tương đối giữa electron, lỗ trống có khối lượng hiệu dụng  * trong trường xuyên tâm Coulomb; chịu tác dụng của điện trường có phương trình Schrödinger (1.20) và chuyển động của hạt có khối lượng M * có phương trình Schrödinger là phương trình (1.21) đã có nghiệm sẵn, do đó phương trình ta cần quan tâm đó là phương trình (1.20). Để đơn giản trong quá trình tính toán ta chuyển phương trình (1.20) về dạng không thứ nguyên với Z  1 , ta được:  1  2 2  1    2  2    1 x   2 y   x, y   E  x, y  . (1.22)  2  x y  x2  y 2  e4  * Ở đây đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R  * , đơn vị độ 16 2 02 2 4 0 2 dài là bán kính Bohr hiệu dụng a  2 * . Cường độ điện trường không thứ nguyên e ea1 ea 1 ,  2 lần lượt được xác định bằng biểu thức: 1  * , 2  * 2 . R R Ngoài ra, toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trong hệ đơn vị nguyên tử:     Lˆz  i  x  y  . (1.23)  y x  12
1.3 Phép biến đổi Levi-Civita Một trong những công đoạn quan trọng khi sử dụng phương pháp toán tử FK chính là đưa Hamiltonian về dạng toán tử sinh hủy, tuy nhiên trong bài toán này nói riêng và các bài toán về nguyên tử phân tử nói chung thì các số hạng biểu diễn tương tác Coulomb chứa thành phần tọa độ ở phía mẫu số gây khó khăn trong việc đưa về dạng chuẩn khi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy. Một trong những cách khắc phục khó khăn trên là sử dụng mối liên hệ giữa bài toán exciton hai chiều và dao động tử điều hòa hai chiều trong công trình [17]. Ta sẽ giải phương trình (1.22) bằng phương pháp toán tử FK dựa trên ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn với thành phần chính là dao động tử điều hòa. Các nghiên cứu trước [3], [17] đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử trong không gian ( x, y) với bài toán dao động tử phi điều hòa trong không gian (u, v) thông qua phép biến đổi Levi- Civita:  x  u 2  v2 ,  (1.24)  y  2uv, với d  x 2  y 2  u 2  v 2 , dxdy  4  x 2  y 2  dudv . Để đảm bảo tính Hermit của Hamiltonian trong tọa độ mới (u, v) phương trình (1.22) tương đương phương trình sau: H (u, v)  0, (1.25) trong đó:  H  d Hˆ  E  (1.26) có dạng Hamiltonian của dao động động tử phi điều hòa trong không gian (u, v) : 1  2 2       H    2  2   1 u 4  v 4  2 2uv u 2  v 2  E u 2  v 2  1. 8  u v   (1.27) Trong không gian (u, v) thì toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trở thành: 13
i    Lˆz    u  v  . (1.28) 2  v u  1.4 Phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong điện trường 1.4.1 Phương pháp đại số Phương pháp đại số sẽ được sử dụng để giải phương trình Schrödinger (1.25) – (1.27) thông qua các toán tử sinh, hủy Dirac được định nghĩa lần lượt sau đây: 1    1    uˆ  u  , uˆ   u  , 2 u  2 u  (1.29) 1    1    vˆ  v  , vˆ    v  . 2 v  2 v  Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán uˆ, uˆ    1, vˆ, vˆ    1 Khi sử dụng phương pháp toán tử FK người ta thường quan tâm đến tính đối xứng của bài toán. Trong các bài toán exciton hai chiều, exciton hai chiều trong từ trường vuông góc,…thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz bảo toàn, nghĩa là Hamiltonian và toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz  Lˆ  giao hoán với nhau. Vì thế ta sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của z toán tử Lˆ z . Cách đơn giản nhất để thực hiện điều này là định nghĩa toán tử sinh hủy mới là tổ hợp tuyến tính của toán tử sinh hủy cũ sao cho Lˆ z có dạng trung hòa. Mặc dù đối với bài toán này, do ảnh hưởng của điện trường nên đại lượng này không bảo toàn (Phụ lục 4), nhưng để thống nhất với công trình trước [3], ta vẫn sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của toán tử Lˆ z để tính toán. Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa Lˆ z như sau:    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    , 1 aˆ  2 2     1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   i vˆ    , 1 aˆ   2 2   (1.30)   1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    , 1 bˆ  2 2     1 uˆ  i vˆ     1  uˆ   i vˆ    .  1 b  2 2   14
Các toán tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hoán aˆ, aˆ    1, bˆ, bˆ   1.   Ở đây, các toán tử (1.30) được đưa vào một tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc độ hội tụ. Tham số này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả bài toán vì nó không có mặt trong Hamiltonian toàn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần nhiễu loạn, nó đóng vai trò điều chỉnh độ lớn của hai thành phần này để áp dụng điều kiện nhiễu loạn. Hamiltonian (1.27) được biểu diễn dưới dạng toán tử sinh hủy (1.30) như sau (xem phụ lục 6): H  H R  ER (1.31) với  ˆ ˆ ˆ  HR  8     N  M  M  12 Nˆ  Mˆ  Mˆ  aˆ 2  aˆ  2  bˆ2  bˆ 2  2ab 2 ˆ ˆ  2aˆ bˆ  (1.32) i    22 Nˆ  Mˆ  Mˆ  aˆ 2  aˆ  2  bˆ2  bˆ  2  2ab 2 ˆ ˆ   2aˆ bˆ  1,  và R   1 ˆ ˆ ˆ N M M ,  (1.33) trong đó các toán tử Nˆ , Mˆ , Mˆ  được định nghĩa như sau: ˆ ˆ, ˆ  ab M Mˆ   aˆ bˆ ,  Nˆ  aˆ  aˆ  bˆbˆ  1 , (1.34) thỏa mãn hệ thức giao hoán  Mˆ , Nˆ   2Mˆ ,  Nˆ , Mˆ    2Mˆ  ,  Mˆ , Mˆ    Nˆ . (1.35)       Khi đó, ta thu được toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo dưới dạng toán tử trung hòa: 1  Lˆz   aˆ  aˆ  bˆbˆ . 2  (1.36) 15