Khóa luận tốt nghiệp đại học: Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong đề tài này, trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein, tác giả tiến hành nghiên cứu sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên robin. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VĂN THÚY HÀ SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 -
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VĂN THÚY HÀ SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Hoàng Văn Quyết ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Văn Thúy Hà
LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng với điều kiện biên Robin” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. Trong khi nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Văn Thúy Hà
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................ 3 6. Đóng góp của đề tài .................................................................................... 3 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN ......................................................................................................... 4 1.1. Hệ hạt đồng nhất ........................................................................................ 4 1.2. Thống kê Bose – Einstein .......................................................................... 5 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein ................................. 15 1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein ............................................... 18 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium .................... 18 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ............................................... 20 1.4.3. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ................................................ 22 1.4.4. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion ......................................................................................................................... 24 1.4.5. Chất siêu dẫn mới ................................................................................. 27 1.4.6. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose - Einstein ............................................................................................................ 28 CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU ...................................................... 31 2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii ................................................................. 31 2.1.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ............................. 31 2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ............ 32
2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) .......... 35 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép ....................................... 37 CHƢƠNG 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG TRONG GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP ........................................................ 42 3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ............................................................ 42 3.2. Suất căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng.................................................................................... 46 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào đầu thế kỉ XVII, các môn khoa học tự nhiên nổi lên nhƣ các ngành nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao nhau với nhiều lĩnh vực nghiên cứu, các phát hiện mới trong vật lý thƣờng giải thích những cơ chế cơ bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những hƣớng nghiên cứu mới trong đó có trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein (BEC). Xuất phát từ ý tƣởng của nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra năm 1924 để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối. Năm 1925 nhà vật lí ngƣời Đức Albert Einstein đƣa ra dự đoán về BEC cho các nguyên tử với spin toàn phần có giá trị nguyên đó là: khi làm lạnh các nguyên tử, bƣớc sóng của chúng tăng lên đến mức có thể so sánh với kích thƣớc không gian giữa các nguyên tử, các bó sóng nguyên tử sẽ chồng chất lên nhau, các nguyên tử mất nhận dạng các nhân, tạo nên một trạng thái lƣợng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử tức là một BEC. BEC đƣợc đề xuất nhƣ một cơ chế chính để giải thích các hiện tƣợng lƣợng tử vĩ mô nhƣ siêu chảy và siêu dẫn. Mãi tới năm 1980 kỹ thuật laser phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện đƣợc và đến năm 1995 mới quan sát đƣợc bằng thực nghiệm, một loạt tính chất quan trọng chƣa từng biết đến trƣớc đây đã đƣợc phát hiện. Trạng thái vật chất này hoàn toàn mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, không giống với trạng thái vật chất nào mà con ngƣời đƣợc biết. BEC đƣợc tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lƣợng tử dựa trên thống kê Bose - Einstein vì thế nó đƣợc coi là vật chất lƣợng tử với các tính chất rất đặc biệt: là 1 chất lỏng lƣợng tử với tính kết hợp rất cao nhƣ các tia laser. Từ các tính chất cơ bản của BEC ngƣời ta có thể suy ra nhiều loại 1
linh kiện thiết bị tinh vi, chế tạo các chíp nguyên tử, thực hiện các chức năng đa dạng trong giao thoa kế, máy kĩ thuật toàn ảnh, kính hiển vi đầu dò xét và xử lí thông tin lƣợng tử. Đây là lĩnh vực khoa học hay và có hƣớng phát triển mạnh mẽ, chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng vật lý mà các dạng vật chất khác không có, nó mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật lý. Nhận thức đƣợc việc tìm hiểu về BEC đối với sinh viên là điều cần thiết, mặt khác muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy kiến thức cho bản thân. Do điều kiện về thời gian, kinh phí và kiến thức còn hạn hẹp nên đối với sinh viên chỉ có thể tìm hiểu một khía cạnh nhỏ của BEC vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng với điều kiện biên robin. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của hệ BEC hai thành phần. Phạm vi: chỉ nghiên cứu trƣờng hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan đƣợc các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BEC. Trình bày hệ phƣơng trình Gross – Pitaevskii. 2
Trình bày về phƣơng pháp gần đúng Parabol kép. Áp dụng phƣơng pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc sách và tra cứu tài liệụ. Đàm thoại và trao đổi với giảng viên. Trong khuôn khổ lý thuyết Gross - Pitaevskii áp dụng phƣơng pháp gần đúng Parabol kép. 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính. Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng N Pˆ i2 ˆ (1.1) H  ˆ ˆ  V (r1 , r2 ,..., rN )  W, i 1 2 m i trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ ˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng của tất cả các hạt, W tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài… Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng    (1.2) i  Hˆ  (1,2,..., N , t )  0,  t  với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3,…, N. Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin,…không phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử. Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. 4
Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là: + Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermion, đó là các hạt có spin bán 1 3  nguyên  , ,...  ; ví dụ nhƣ electron, các nucleon,… Hệ này bị chi phối bởi 2 2  nguyên lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng trên các fermion. + Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt boson, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ nhƣ photon,  - meson, K - meson… Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí. Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc. 1.2. Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử 5
1   Ek  (1.3) Wk  exp   gk , N!    trong đó g k là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có  (1.4) Ek   nl l , l 0 ở đây,  l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lƣợng  l . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ suy biến g k trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng 1    W (n0 , n1...)  exp    N   nl l  g k (1.5) N!  l 0   trong đó N   nl ,  thế nhiệt động lớn,  là thế hóa. l 0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính N! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu đƣợc do hoán vị các hạt. Ta kí hiệu 6
gk (1.6)  G (n0 , n1 ,...). N! Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau        nl (    l )  W(n0 , n1...)  exp  l 0 (1.7)  G (n0 , n1 ,...).      Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau: Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt nằm trên mức  l , đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng nl  ...nl W(n 0 , n1,...) n0 n1        nl (    l )  (1.8)   ...nl exp  l 0  G (n0 , n1 ,...). n0 n1      Hai là đại lƣợng G(n0 , n1,...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có 7
1 (1.9) G (n0 , n1 ,...)  . n0 !n1!... Tìm g k Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng  l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho n0 !n1 !... Khi đó N! (1.10) gk  , n0 !n1 !... thay giá trị của g k vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn cho đại lƣợng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa học l . Và cuối phép tính ta cho l   . Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau   (1.11) ...W(n , n ,...)  exp   Z  1, n0 n1 0 1 với      nl (  l   l )  Z   ...exp  l 0 G (n0 , n1 ,...), (1.12) n0 n1      8
nghĩa là    ln Z . (1.13) Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.12) và (1.13)        nl ( l   l )   1 Z       ...nk .exp  l 0 G (n0 , n1 ,...). (1.14 l Z l n0 n1    )     Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l   thì theo (1.8) vế phải của công thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc  (1.15) nl    . l Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0   ) và G(n0 , n1,...)  1 do đó theo (1.11) ta có      nl (  l   l )     l   l   Z   ...exp  l 0     exp   n n0 n1    l 0 n 0        (1.16) 1   ,      l 0 1  exp  l l     khi đó            ln 1  exp  l l . l 0     (1.17) Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình 9
1 nl  , l    (1.18) exp   1    ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học  trong công thức (1.18) đƣợc xác định từ điều kiện  n l 0 l  N. (1.19) Đối với khí lí tƣởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ     d bằng dN ( ) dn( )  ,     (1.20) exp   1    trong đó dN ( ) là số các mức năng lƣợng trong khoảng     d . Tìm dN ( ) Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN ( ) bằng cách áp dụng công thức k 2V dN (k )  2 dk , 2 cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k  k  dk k 2 dk (1.21) dN (k )  V. 2 2 Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k 10
p  k. (1.22) khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng p 2 dp (1.23) dN ( p)  V. 2 2 3 p2 Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc thì   2m suy ra p 2  2m , p 2 dp  2m3 d  . do đó (1.23) có dạng 2m3V dN ( )   d . 2 2 3 Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1. Do đó, số các mức năng lƣợng trong khoảng     d là 2m3Vg (1.24) dN ( )   d . 2 2 3 Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng     d là 2m3Vg  d dn( )  . 2 2 3     (1.25) exp   1    Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau 11
  2m3Vg  N   dn( )  2 2 3 0   d . (1.26) 0 e kT 1 Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng   0. (1.27) Thực vậy, số hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo (1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa     là khi   0 , để cho exp   luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).    Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:         N 0 kT d 0 T  kT  d T   e 1   T  e 1   T N              0 kT d     d e 1    0  e kT  1        1 (   )e kT (   )e kT 0 kT 2    2  d     2  d  e  1  1 0 e kT kT     1   . (1.28)      kT T  1 e e kT 0 kT    2  d     2  d  e  1  1 0 e kT kT     12
Nhƣng do (1.26) nên     0 , do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế  phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy  0 . Từ các tính T  chất   0 và  0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá T trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max  0 ). Xác định nhiệt độ T0 Chọn   0 và T  T0 . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành   2m3Vg  N   dn( )  2 2 3 0  d . 0 e kT0  1  Đặt x  suy ra kT0  m3/2Vg x N 2 2 3 kT0 kT0 0 e x  1dx (1.29) 3/2 3/2  3/2  m Vg (kT0 ) x (mkT0 ) Vg x  2 2 3 e 0 x 1 dx  2 2 3  0 e x  1 dx.  x Mà ta biết  dx  2.31, nên từ (1.29) và0  kT0 , ta đƣợc 0 e  1x 0 (2 4 )1/3 2  N  2/3 (1.30) T0     . k (2.31g )2/3 mk  V  Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn nhƣ đối với 4He, ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta đƣợc T0  2,19K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T  0 có ý nghĩa 13
rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0  T  T0. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max  0 , mà   0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0  T  T0 thì T   0. Với nhiệt độ T  T0 số hạt có năng lƣợng là   2m3Vg  (m kT )3/2Vg x 2 2 3 0  N (  0)   d  dx  N '. (1.31) 2 2 3 e x  1 e kT 1 0 So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy 3/2 3/2 T  N' T  N (  0)  N   hay   .  0 T N  T0  Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T  T0 thì N '  N chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N ' có thể phân bố theo các mức năng lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là m3/2Vg  d N'  d dn( )   . 2 2 3   (2.31)0 3/2   (1.32) exp    1 exp    1     Các hạt còn lại N  N ' , cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi, chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ. Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ 14