Khóa luận tốt nghiệp đại học: Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong 20 năm trở lại đây, có một phương pháp thống kê mới gọi là phương pháp thống kê momen được xây dựng từ phương pháp thống kê lượng tử. Đây là một phương pháp thống kê mới đã và đang được áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể. Việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phương pháp thống kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Đề tài này được thực hiện nhằm tìm hiểu về phương pháp thống kê momen cũng như mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phương pháp này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU TÌM HIỂU VỀ PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI – 2017
LỜI CẢM ƠN Đề tài: “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo hƣớng dẫn – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành đề tài. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen với phƣơng pháp nghiên cƣú khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu
LỜI CAM ĐOAN Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do em thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của cô Phạm Thị Minh Hạnh. Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác. Em cũng xin cam đoan rằng sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN .................................. 3 1.1. Momen và hàm tƣơng quan ....................................................................... 3 1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lƣợng tự do ........................................................................................................ 4 1.1.2. Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q ................ 7 1.2. Công thức tổng quát về momen ............................................................... 14 1.2.1. Công thức tổng quát về momen ............................................................ 14 1.2.2. Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao ............................................. 15 1.3. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do ............................................. 18 Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 20 CHƢƠNG 2. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN.......................................................................................................... 21 2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể ............................................................................................................. 21 2.1.1. Trƣờng hợp mạch thẳng ........................................................................ 21 2.1.2. Trƣờng hợp lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối .................. 29
2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của tinh thể. ............................................................................................................ 37 2.2.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 37 2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi ............................... 40 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 46 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 48
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đã biết rằng khi sử dụng phƣơng pháp thống kê lƣợng tử để nghiên cứu dao động điều hòa của mạng tinh thể, nhiệt dung riêng đẳng tích của vật rắn theo mô hình Einstein và Debye vẫn có sự sai khác so với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ cao do không tính đến đóng góp phi điều hòa của dao động mạng. Trong 20 năm trở lại đây, có một phƣơng pháp thống kê mới gọi là phƣơng pháp thống kê momen đƣợc xây dựng từ phƣơng pháp thống kê lƣợng tử. Đây là một phƣơng pháp thống kê mới đã và đang đƣợc áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể. Việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phƣơng pháp thống kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Với mong muốn tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen cũng nhƣ mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phƣơng pháp này. Đồng thời, bƣớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề tài :“ Tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen“ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đ ch nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của khóa luận là: Tìm hiểu hƣơng pháp thống kê momen và ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu và tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen. - Áp dụng các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp thống kê momen để ứng dụng trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu. - Đọc và tra cứu tài liệu. 2
CHƢƠNG 1 PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 1.1. Momen và hàm tƣơng quan Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1, q2, …, qn tuân theo quy luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn). Hàm này thỏa mãn điều kiện chuẩn. Trong lí thuyết xác suất momen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ sau: q1m   ... q1m q1,q 2 ,...,q n  dq1...dq n (1.1)  q1 ,q2 ,...,qn  Momen này còn gọi là momen gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa momen trung tâm cấp m:  q1    q1    q1,q 2 ,...,q n  dq1...dq n (1.2) m m q1   ... q1  q1 ,q2 ,...,q n  Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê chính là momen cấp một và  q1   2 phƣơng sai q1 chính là momen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên ta thấy rằng, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn) hoàn toàn có thể xác định đƣợc các momen. Trong vật lí thống kê cũng có định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với hệ lƣợng tử đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê ˆ , các momen xác định nhƣ sau: qˆ m  Tr qˆ mˆ     (1.3)  qˆ  qˆ   Tr  qˆ  qˆ  m m ˆ Toán tử ˆ tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử. ˆ ˆ ˆ  i   H, t   trong đó […, …] là dấu ngoặc poisson lƣợng tử. 3
Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê ˆ thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy nhiên việc tính các momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của ˆ thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, chính tắc lớn, …) nhƣng việc tìm các momen cũng rất phức tạp. Giữa các momen có mối quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu diễn qua momen cấp thấp hơn. Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các momen sẽ đƣợc xây dựng trong phần này. Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hƣớng tọa độ suy rộng Qi. Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng: ˆ H H ˆ ˆ  a Q (1.4) 0 i i i ˆ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. với H 0 Dƣới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng nhiệt động mới, đƣợc mô tả phân bố chính tắc: ˆ   H ˆ  exp  ;   k BT (1.5)    trong đó ψ là năng lƣợng tự do của hệ, kB là hằng số Boltzmann. 1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lượng tự do Thực hiện đạo hàm theo ngoại lực aK đối với điều kiện chuẩn của toán tử thống kê. Trˆ  1 (1.6) Sử dụng các công thức toán tử: 4
ˆ   n 1 A    bˆ   [cˆ  bˆ cˆ  b... ˆ ˆ  ...  ˆ cˆ  b,b ˆ A       n  1 !       n 1  (1.7) Aˆ     n 1      A     b   ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ ˆ   [c  b c  b... c  b,b  ...  ˆ ˆ ˆ n 1  n  1!        trong đó: A     ˆ     exp   cˆ  bˆ  ; c,b ˆ ˆ là các toán tử tùy ý, λ và τ là các thông số. Đạo hàm theo aK biểu thức (1.6), ta đƣợc:  ˆ Trˆ  0  Tr a K a K ˆ  H ˆ a Q  H ˆ   0 K K  Tr e   Tr e  a K a K   H ˆ  Hˆ      e   (1.8)  Tr  e .e  e    a K  a K     ˆ  H  H 0 K K  ˆ ˆ  a Q  1   K   Tr  .e   e  e     a K a K    1 ˆ Đặt   , H ˆ    a K và bˆ  Q 0  c, ˆ . Áp dụng công thức đạo hàm theo K  K thông số của toán tử (1.7) cho số hạng thứ 2 trong (1.8) ta đƣợc: 5
  1 n 1  ˆ  H      1  1ˆ  [H 0  Tr  .e   e  Q   ˆ ˆ  a Q ˆ K K [  H0    a K   K n 1  n  1 ! 0 K    Hˆ  ˆ [...[  H   a KQ ˆ ]...] e ˆ ,Q ˆ  a Q    K 0 K K K  K K   ˆ ˆ   Q Chú ý rằng:  H,Q ˆ ˆ K   K ,H  , do đó ta có:   1 n 1           1    ˆ   Qˆ k     ... Qˆ k , Hˆ  ...Hˆ   ˆ  1 0  Tr  n 1  n  1    ak        (1.9)    1   1   n i  1 1   Tr ˆ  Tr  Qk ˆ     ˆ Qˆ k( n ) ˆ   ak  n 1     ( n  1)!  ˆ n  trong đó: Q 1 ˆ [Q [Q ˆ ...[Q ˆ ,H]...]H] ˆ ˆ (1.10) i  K n K K K n 1 ˆ ˆ  1 ˆ Tr  Q K  QK Vì:    a Tr Q ˆ  n ˆ  Q K K ˆ n a và Trˆ  1 nên (1.9) đƣợc viết lại dƣới dạng: 1  1    n  ˆ 1 i  ˆ n   Q    Q  0 (1.11)  a K   n 1  n  1!    K K a a   ˆ  a Q   H ˆ    0 K K trong đó a biểu thị trung bình theo ˆ  exp  K .      6
ˆ n  0 . ˆ ˆ   0 và do đó Q Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có  H,  K Nhƣ vậy ta thu đƣợc hệ thức: ˆ  Q K  (1.12) a a K Công thức (1.12) cho phép tính năng lƣợng tự do của hệ lƣợng tử khi có ngoại lực tác dụng. 1.1.2. Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q Để xác định hàm tƣơng quan giữa một đại lƣợng tùy ý F và tọa độ suy rộng Q, trƣớc hết ta lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của F theo ngoại lực aK:  ˆ  a K F a  a K  TrFˆ ˆ   Fˆ   ˆ   Tr  ˆ   Tr Fˆ  (1.13)  a K   a K   ˆ  a Q   H ˆ  Fˆ    0 K K    Tr Fˆ exp  K  a K a  a   K    Đạo hàm toán tử ˆ theo aK bằng: 1ˆ  1  i  ˆ n  n ˆ 1   ˆ  QKˆ     QK ˆ  a K  a K   n 1  n  1!   nên ta có:   ˆ 1   n Tr  a K  a K 1 Trˆ  Tr Q  K   ˆ ˆ  1  1  i  Tr Q    n 1  n  1!    ˆ  n ˆ K (1.14) Thế (1.14) vào (1.13) ta đƣợc: 7
 ˆ Fˆ 1     a K F  a K  Tr  Fˆ  ˆ ˆ ˆ  ˆ   Tr FQ     a K  a K a     n 1 i  ˆ ˆ n     Tr FQ K ˆ  n 1  n  1!      ˆ  Mặt khác, từ (1.12) ta có: Q K  nên a a K  Fˆ Fˆ 1 ˆ 1 ˆˆ a   F ˆ Q  FQ K  a K a K   a K a a a (1.15)  1 i  n  1  ˆ ˆ n   FQ  n 1  n  1!    K a Kết quả này cho phép xác định hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ suy rộng Q dƣới dạng:   Fˆ  Fˆ ˆˆ FQ  Fˆ ˆ Q    a    K a a K a  a K a K   a  (1.16)  1 i  n  ˆ ˆ n   FQ n 1  n  1!    K a ˆ , thay vào (1.16) ta đƣợc: Xét trƣờng hợp Fˆ  Q1  Q ˆ ˆ  Q    1 ˆ Q Q ˆ ˆ  Q ˆ Q a  1 1 K a 1 a K a  a K a K   a (1.17)  1 i  n  ˆ n ˆ Q   Q n 1  n  1!    1 K a Cho k = 1, từ phƣơng trình (1.16) ta có: 8
  Fˆ  Fˆ ˆˆ FQ  Fˆ ˆ Q   a    a1 a1 1 1 a a a   a (1.18)  1 i  n  ˆ ˆ n   FQ n 1  n  1!    1 a ˆ thu đƣợc: Trong phƣơng trình (1.18), thay Fˆ  Q K  Q ˆ ˆ  ˆ Qˆ ˆ ˆ  K Q  Q  Q Q  a  K K 1 a K a 1 a  a1 a1   a (1.19)  1 i  n  ˆ Qˆ n   Q n 1  n  1!    K 1 a Cộng vế với vế các phƣơng trình (1.17) và (1.19) ta đƣợc:  Q ˆ ˆ  Q  1 K ˆ Q Q ˆ ˆ Q  Q ˆ ˆ 2 Q ˆ Q  a  a  1 K a K 1 a K a 1 a  a K a1    Qˆ Qˆ   1 i  n  1  K   ˆ ˆ n ˆ Q  Q ˆ n   Q1QK a K a1  n 1  n  1!    K 1 a a a a Qˆ Qˆ  Chú ý rằng: K  1 ˆ  0 và Q  K a1 a a K a a a K suy ra:   2  2    ˆ 2 Q ˆ Q  Q ˆ Q ˆ ˆ Q  Q ˆ  K 1 a   a K a1 a1a K  1 a K a  1 K a   Qˆ Qˆ   1 i  n n ˆ Qˆ n     Q n 1  n  1!    1 K K 1 a a Từ đó ta có: 9
1    n 1 i  ˆ n ˆ Q ˆ Qˆ n ˆ ˆ  2    2 n 1  n  1!    Q1 K a  Q K 1 a  Q 1 a Q K a  a K a1 (1.20) (1.20) chính là kết quả thu đƣợc bởi Cramononvich bằng phƣơng pháp thông số trật tự của Feymann. Trong công thức (1.18) toán tử Fˆ là tùy ý, do đó có thể thay thế Fˆ bởi toán dFˆ tử Fˆ  : dt   Fˆ  ˆˆ  Fˆ  FQ K  Fˆ ˆ Q K    a    a  a a K a  a a K    (1.21)  1 i  n  ˆ ˆ n   FQ n 1  n  1!    K a Ta có đối với hệ cân bằng nhiệt động Fˆ  n   0 , trong đó: a Fˆ    n 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [F...[F,H]...]H] i  n n (1.22) Thực vậy, với n = 1, ta có: Fˆ  Fˆ     F,H 1 ˆ ˆ 1 0 i  suy ra Fˆ  0 . Vậy ta có: a Fˆ  n ˆˆ 1 i  ˆ ˆ n FQ      FQ a K n 1  n  1!    K K a a a (1.23) Áp dụng tính chất không phụ thuộc thời gian của trung bình đạo hàm theo thời gian, ta đƣợc: 10
d ˆ ˆ n ˆ ˆ n ˆ ˆ  n 1 FQK  FQ K  FQ K 0 dt a a a suy ra: ˆ ˆ n FQ ˆ ˆ  n 1   FQ (1.24) K K a a Đặt n = 0 vào (1.24) ta có: ˆˆ FQ ˆ ˆ 1   FQ ˆˆ   FQ (1.25) K K K a a a Kết hợp (1.23), (1.24) và (1.25) ta đƣợc: Fˆ  n ˆˆ ˆˆ 1 i  ˆ ˆ  n 1  FQ   FQ     FQ a K n 1  n  1!    K K K a a a a Tƣơng tự ta có: Fˆ  Q ˆˆ ˆ ˆ  2 2 ˆ K   FQ K  FQ K (1.26) a a a Thực vậy, vì:  Fˆ  Q ˆˆ d ˆˆ 2 ˆ FQK K  FQ K 0 dt a a a ˆˆ Áp dụng (1.24), suy ra: FQ ˆ ˆ  2   FQ   Fˆ  Q 2 ˆ K K K a a a Thay Fˆ bởi Fˆ  Fˆ   vào (1.23) ta đƣợc: 2 Fˆ    2 n 1 i  2 ˆ n Fˆ  Q Fˆ  Q 2 ˆ      (1.27) a K n 1  n  1!    K K a a a Kết hợp (1.24), (1.26) và (1.27) ta đƣợc: Fˆ    2 n 1 i  ˆ ˆ  n  2 ˆ ˆ2  Fˆ  Q 2 ˆ FQ      FQ a K n 1  n  1!    K K K a a a a Tƣơng tự trên, trƣờng hợp tổng quát ta có hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng ˆ n : Fˆ và Q K 11
Fˆ   n  n ˆ ˆ n n 1 1 i  ˆ ˆ  n  n FQ   1     FQ a K n  1  n  1!    K K a a a (1.28) Nhờ phƣơng trình (1.28) ta viết lại phƣơng trình (1.16) nhƣ sau:   Fˆ    1 n Fˆ   Fˆ   n n ˆˆ ˆ     i  FQ  Fˆ  Q a       a K a K a   n 1  n  1!    a K K a K a a   a n  n  n  n ˆ  n  n      1 i    F  n 1n  1  n  1! n  1!    a K a  n  n  n   Fˆ  n  n   n  n  n   n         1 i     ... (1.29) n 1n  1n  1  n  1! n  1! n   1!    a K a Nếu cộng các số hạng cùng bậc của (1.29) ta đƣợc:   Fˆ  Fˆ ˆˆ FQ  Fˆ ˆ Q    a    K a a K a  a K a K   a    1m B Fˆ   m m i   m  m 1 m!  a K a  Fˆ  Bm  i  m Fˆ   m  Fˆ ˆ     1 1.30  m Q  a   a K m!    a K a K a m 1 a Tƣơng tự ta có:  Fˆ   1m B  i  m Fˆ   m ˆ Fˆ Q K ˆ  Q K Fˆ  a  m  1.31 a a a a K m 1 m!    a K a Cộng các phƣơng trình (1.30) và (1.31) vế với vế ta đƣợc: 12
1 ˆ ˆ  Fˆ  B i  2m Fˆ   2m  F,QK   Fˆ ˆ Q  a    2m   1.32  2   m  0  2m !    K a a a a K a K a trong đó B2m là hệ số Becnulli. Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ Fˆ   2m QK. Muốn vậy cần phải biết các đại lƣợng Fˆ và . Đại lƣợng a a K a Fˆ   2m Fˆ có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đƣợc xác a a K a định từ các phƣơng trình động lực. ˆ ta có biểu thức xác định chính xác đối với Trƣờng hợp đặc biệt Fˆ  Q K phƣơng sai: ˆ  Q ˆ  2m    2 K  B i  2m Q ˆ  Q Q ˆ  a    2m   K (1.33) a K m  0  2m !    a K K K a a Chú ý rằng QK không phụ thuộc rõ ràng vào aK, nên đối với hệ cổ điển công thức (1.33) trở nên đơn giản: ˆ  Q   2 K ˆ  Q Q ˆ  a a K K K a (1.34) ˆ ta thu đƣợc hệ thức cho phép xác định thăng Trƣờng hợp đặc biệt Fˆ  Q K giáng của xung lƣợng: ˆ2  B i  2m ˆ  Q 2m 1 Q    2m   K (1.34a) m  0  2m !    a K K a a ˆ đối với Ngoài ra, từ (1.32) có thể xác định hàm tƣơng quan giữa Fˆ và Q K ˆ : hệ có Hamiltonian H 0 13
  Fˆ  1 ˆ ˆ ˆ   a  F,QK   Fˆ Q 2    K  a K    a 0 (1.35)  B2m  i  2m  Fˆ  2m     2m   m 0  !     a K  a 0 Trong đó biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonan ˆ . H 0 1.2. Công thức tổng quát về momen 1.2.1. Công thức tổng quát về momen (1.32) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen tƣơng quan cấp cao. Muốn vậy, ta đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n: ˆ  1 [...[Q K ˆ ,Q ˆ ] Qˆ ˆ n n 1 1 2  3 ] ...Q n ] (1.36) 2 n 1 ˆ . Toán tử Ví dụ toán tử tƣơng quan cấp 1 chính là tọa độ suy rộng Fˆ1  Q1 tƣơng quan cấp 2 có dạng: 1 ˆ ˆ Fˆ2  Q 2 1 ,Q  2   1 ˆ ˆ 2  ˆ Q Q1Q2  Q ˆ 2 1  (1.37) Tƣơng tự ta có: 1 ˆ ˆ ˆ   1 Q Fˆ2   Q ,Q2  Q ˆ Q ˆ ˆ ˆ ˆ  1 2  Q 2Q1,Q3   4  3  4 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   Q 1Q 2Q3  Q 2Q1Q3  Q3Q1Q 2  Q3Q 2Q1  (1.38) 4 Thay Fˆ  K ˆ trong (1.32) ta thu đƣợc: n 14
ˆ  K  2m ˆ  2m  1 ˆ ˆ B i  K 1.39  n  K n ,QK  ˆ  K ˆ Q  a    2m   n 2   m  0  2m !    n K a a a a K a K a 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ Kˆ ˆ Lƣu ý rằng  K n ,QK   K n QK  Q  K và thay k = 2   K n n 1 a 2 a a n + 1 vào phƣơng trình (1.39) ta đƣợc công thức truy chứng: ˆ  K  2m ˆ  2m  ˆ ˆ ˆ n B i  K K  K Q  a    2m   n (1.40) m  0  2m !    n 1 n n 1 a a a a n 1 a n 1 a Công thức này là công thức tổng quát của momen cho phép xác định các momen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định momen cấp cao qua momen cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua momen cấp 1. Nhƣng biểu thức thu đƣợc khá phức tạp. Đối với các hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản hơn. 1.2.2. Các ví dụ về momen tương quan bậc cao Thay n = 1 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 2: ˆ  K  2m ˆ  2m  ˆ ˆ ˆ 1 B i  K K  K Q  a    2m   1 a 2 m  0  2m !    a 2 2 a 1 a 2 a a ˆ  Q  2m ˆ  2m  1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 B i  Q Q1,Q2   Q   Q  a    2m   1 a 2 m  0  2m !    a 2  1 2 2 a a a hay: ˆ  Q 2  1 ˆ ˆ Q1Q2 a ˆ Q  Q ˆ 2 1 a  ˆ  Q 1 a ˆ Q 2 a  1 a 2 a  B i  2m ˆ  2m  Q    2m   1 1.41 m  0  2m !    a 2 a Thay n = 2 vào (1.40) ta đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 3: 15