Khóa luận tốt nghiệp đại học: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh và điều kiện biên Robin trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS.Nguyễn Văn Thụ - người thầy hướng dẫn đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này. Em cũng xin bày tỏ lời lòng biết ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý cùng các bạn sinh viên trong quá trình học tập và trau dồi kiến thức tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và cho em nhiều kiến thức trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga
LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và không trùng với bất kì khoá luận nào khác. Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đ ch nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Đóng góp của đề tài....................................................................................... 2 CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN ... 3 1.1. Hệ hạt đồng nhất ............................................................................................. 3 1.1.1. Nguyên lí đồng nhất................................................................................... 3 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ................................................ 4 1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu. ................................. 6 1.2 Thống kê Bose-Einsstein .............................................................................. 7 1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einsstein ..................................... 17 1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein .................................................... 21 1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium. ....................... 21 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. ................................................ 22 1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion...............................................................................................................24 CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN .............................................................................................................................. 28 2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii .................................................................... 28 2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. ...................... 28
2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian............. 29 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA). .............. 32 2.3. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin. 34 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 41
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trước đây, t ai nghĩ rằng có thể tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein và chất ngưng tụ này lại hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ. Ngưng tụ Bose – Einstein là một công trình khoa học nổi tiếng của Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC- Bose- Einstein Condensation) từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Ngưng tụ Bose- Einstein là một trạng thái vật chất của kh boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ 0oK tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0oK hay - 273oC). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson cùng tồn tại ở trạng thái lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Trạng thái vật chất này lần đầu tiên được Bose- Einsstein tiên đoán về sự tồn tại trong những năm 1924- 1925. Bose đầu tiên gửi một bài báo đến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tử ánh sáng. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này t ch tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất. Với việc tạo ra trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, có ý nghĩa lớn trong vật lý như giải th ch được nhiều hiện tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy,... Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein tôi chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ làm đề tài nghiên cứu của mình. 1
2. Mục đ ch nghiên c u Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh và điều kiện biên Robin trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên c u - Các phương trình Gross-Pitavskii. - Nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin. 4. Nhiệm vụ nghiên c u Tìm hiểu “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ xuất phát từ các hệ hạt đồng chất, thống kê Bose-Einstein đối với các boson là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian. 5. Phƣơng pháp nghiên c u - Đọc sách và tra cứu tài liệu. - T nh số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica. - Sử dụng gần đúng parabol kép. - Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương pháp giải t ch toán học. 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 2
CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất 1.1.1. Nguyên lí đồng nhất Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tương đối t nh. Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng: (1.1) trong đó là toán tử tương tác giữa các hạt, nó là hàm toạ độ của tất cả các hạt; là toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài; là toán tử xung lượng; m là khối lượng của hạt. Hàm sóng của phương trình Schrodinger (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3,…, N . Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,…không phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử. Chẳng hạn hai electron 3
ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một “rào thế”, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lượng tử dẫn tới nguyên lý về t nh đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Ta k hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là ij và k hiệu trạng thái của hệ N hạt đồng chất là (1,…,i,…,j,…,N,t) ≡ (i,j). Nếu thế ; ; (1.3) Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ij . (1.4) Chú ý đến (1.4) . Từ đây suy ra trị riêng của toán tử là là λ= . Thành thử các hàm riêng của toán tử hoán vị được chia làm hai lớp: a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì 4
ij =- , (1.5) tương ứng với trị riêng λ= . b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì , (1.6) tương ứng với trị riêng λ= . Các hàm (1.5) được gọi là các hàm phản đối xứng, các hàm (1.6) được gọi là các hàm đối xứng. T nh đối xứng và phản đối xứng của một hệ hạt là t ch phân chuyển động. Thật vậy, vì không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( , nên: , Từ đây (đpcm). Các th nghiệm đã chứng tỏ rằng, t nh chất đối xứng và phản đối xứng của các hàm sóng liên quan đến t nh chất nội tại của các hạt. Các hạt có các hàm sóng đối xứng được gọi là các hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có hàm sóng phản đối xứng được gọi là các hạt Fermi hay các Fermion, tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Các boson là các hạt có spin nguyên (photon, -meson, K-meson,…). Các fermion là các hạt có spin bán nguyên (electron, các nucleon,…). 5
1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu. Đối với các fermion có một nguyên l cấm do Pauli đưa ra. Nguyên l này được phát biểu như sau: Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực (L1,L2,L3,Sz) bất kì đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số (L1,L2,L3,Sz) giống nhau. Nguyên l này được rút ra từ t nh phản đối xứng của hàm sóng của các fermion. Thật vậy, giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau . Theo giả thiết , cho nên . Từ đây và , nghĩa là một trạng thái của hệ như thế không có. Bây giờ chúng ta xét một hệ đồng chất mà các hạt trong hệ tương tác yếu với nhau. Trong một phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau. Giả sử hàm là nghiệm của phương trình . 6
Ở đây là toán tử Hamilton cho hạt thứ Ɩ (Ɩ=1,2,…,N), là tập hợp các số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l. Khi đó các hàm riêng của toán tử của cả hệ (tương ứng với năng lượng sẽ là các tổ hợp tuyến t nh của các t ch dạng Đối với hệ các boson, hàm sóng phải có dạng của t ch đã đối xứng hóa (1.7) Ở đây, là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các t ch khác nhau từng đôi một, N1, N2,…, Ns là số các hạt ở trong các trạng thái lượng tử n1, n2, ..., ns tương ứng khác nhau từng đôi một và N1+ N2+…+Ns=N. Đối với hệ các fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng . (1.8) Từ (1.8) chúng ta có thể suy ra nguyên l Pauli. Thật vậy, nếu hai hạt có trạng thái giống nhau, hai dòng định thức sẽ giống nhau, như vậy định thức sẽ bằng 0. 1.2 Thống kê Bose-Einsstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2], 7
(1.9) trong đó g k là độ suy biến, Ek là năng lượng ở trạng thái k, N là số hạt đồng nhất, θ và Ѱ là các thông số của phân bố. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có  (1.10) Ek   nl l , l 0 ở đây,  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng  l . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0   với xác suất khác nhau. Độ suy biến g k trong (1.9) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó ch nh là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng (1.11) trong đó , Ω là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa. Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.11) là vì có kể đến t nh đồng nhất của các hạt và t nh không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. 8
Ta k hiệu (1.12) Khi đó (1.11) được viết lại như sau (1.13) Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.13) như sau: Một là vế phải của (1.13) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 , nl hạt nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng (1.14) Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có . Nhưng trong thống kê Maxwell-Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt nhau về 9
phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái mới), ta có (1.15) Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt (tức ) đều sẽ cho các trang thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1!... Khi đó: (1.16) thay giá trị của vào (1.12) ta thu được (1.15). Để t nh trị trung bình của các số lấp đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng trong công thức (1.13) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa học . Và cuối phép tính ta cho . Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau (1.17) với 10
    nl  l    l   l 0  (1.18) Z   ...exp   G  n0 , n1,..., n0 n1      nghĩa là (1.19) Khi đó đạo hàm của theo dựa vào (1.12) và (1.13) (1.20) Nếu trong biểu thức (1.20) ta đặt thì theo (1.14) vế phải của công thức (1.20) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được . (1.21) Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ ) và do đó theo (1.18) ta có     nl  l   l        l   l   Z   ...exp  l 0     exp   n n0 n1    l 0 n 0        1   , (1.22) l 0  l   l  1  exp      11
khi đó            ln 1  exp  l l . (1.23) l 0     Theo (1.21) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 nl  , (1.24) l    exp   1    ta có (1.24) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong công thức (1.24) được xác định từ điều kiện   nl  N . (1.25) l 0 Đối với khí bose l tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ     d bằng dN    dn     , (1.26)     exp  1    trong đó dN   là số các mức năng lượng trong khoảng     d . Tìm dN   . Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể t ch V có thể xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định dN   bằng cách áp dụng công thức k 2dk dN  k   V. (1.27) 2 2 Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véc tơ sóng k 12
p  k, (1.28) khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng p 2dp dN  p   V. (1.29) 2 2 3 p2 Đối với các hạt phi tương đối t nh tức là hạt có vận tốc thì   suy 2m ra p 2  2m , p 2dp  2m3 d , do đó (1.29) có dạng 2m3V dN      d . 2 2 3 Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g  2s  1 . Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng     d là 2m3Vg dN      d . (1.30) 2 2 3 Theo (1.26) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng     d là 2m3Vg  d dn     . (1.31) 2 2 3     exp 1    Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau 13
 2m3Vg   N   dn        d . (1.32) 0 2 2 3 0 e kT 1 Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí bose l tưởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng   0. (1.33) Thực vậy, số hạt trung bình dn    chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.31), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.31) luôn luôn dương (nghĩa là     khi   0, để cho exp   luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).    Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.32) ta có:           N T 0    d  T      d  0  kT    T  e kT  1   e 1 T N         0     d           d e kT 1 0  kT  e 1 14