Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý, nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong việc nghiên cứu vật lý, tìm hiểu kí hiệu Christoffel; tìm hiểu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU LÝ ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo: TS. Hà Thanh Hùng người đã tận tình hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn hiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy: TS Hà Thanh Hùng. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 2. Lý do chọn đề tài ........................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu: .................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................ 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: ................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu: .............................................................. 2 6. Cấu trúc của khóa luận: ................................................................. 3 NỘI DUNG........................................................................................ 4 CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL ........................................... 4 1.1. Kí hiệu Christoffel ...................................................................... 4 1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: ........................................................ 4 1.1.2. Kí hiệu Christoffel ................................................................... 6 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ ...................................... 7 1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. .................. 7 1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ.............................. 8 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel. ......................................... 9 1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2 .................................................................................................. 9 k 1.3.2. Kí hiệu Christoffel  ij đối xứng với các chỉ số i, j .................. 9
k 1.3.3. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel  ij trong hệ tọa độ tổng quát. ................................................................................................. 10 1.3.4. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba. ................... 10 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. ............................... 11 1.5 Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxo........................... 21 CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ ............................................................................. 26 2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel ................................ 26 2.2. Phương trình trắc địa: ............................................................... 31 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 37
MỞ ĐẦU 2. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý. Tính chất cơ bản của vật lý là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn đến một ngành vật lý mới: Vật lý lí thuyết. Từ lâu con người đã biết sử dụng toán học để giải những khúc mắc của vật lý. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân, đại số tuyến tính,...Các kiến thức này không chỉ cung cấp cho các bạn học sinh, sinh viên để giải các bài tập mà còn dùng để nghiên cứu, thực hành đối với các môn học khác trong khi học tại trường, là công cụ toán hữu ích cho công việc của ta người học sau khi ra trường. Phương pháp toán học rất cần thiết cho tất cả lĩnh vực trong cuộc sống đặc biệt khi nghiên cứu trong vật lý, nó dùng để giải quyết hầu hết những khó khăn của vật lý. Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng,..Để giải quyết những vấn đề này người ta sử dụng nhiều phương pháp khác nhau trong đó có sử dụng kí hiệu Christoffel. Do đó để tìm hiểu rõ hơn về kí hiệu này cũng như ứng dụng 1
của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý”. Đây cũng là một trong số các công cụ, phương pháp toán học để nghiên cứu sâu hơn những đặc điểm của trường Tenxơ. Nó giúp chúng ta tìm hiểu và giải quyết những bài tập vật lý một cách đơn giản hơn, từ đó có thể tổng hợp các phương pháp toán học dùng trong vật lí nói chung cũng như vật lý lí thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu: - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong việc nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel. - Tìm hiểu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Kí hiệu Christoffel và ứng dụng trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu các phương pháp toán học cho vật lý. - Nghiên cứu kí hiệu Christoffel. - Nghiên cứu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp toán học. - Vật lý lí thuyết. - Đọc, tham khảo và tra cứu tài liệu có liên quan. 2
6. Cấu trúc của khóa luận: Chương 1: Kí hiệu Christoffel 1.1. Kí hiệu Christoffel 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 1.5. Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxơ. Chương 2: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý 2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 2.2. Phương trình trắc địa. 3
NỘI DUNG CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1. Kí hiệu Christoffel 1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: Định nghĩa Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở các thành phần thay đổi theo một quy luật xác định. Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới. Ví dụ như: 𝑒𝑖, 𝑒 𝑖 , 𝑒𝑖𝑗 , 𝑒 𝑖𝑗 Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy các giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu 𝑒 𝑖 nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 . 𝑒 𝑖𝑗 biểu thị 1 trong 9 phần tử 𝑒 11 , 𝑒 12 , 𝑒 13 , 𝑒 21 , 𝑒 22 , 𝑒 23 , 𝑒 31 , 𝑒 32 , 𝑒 33 . Hạng của tenxơ Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như 𝑒𝑖 phụ thuộc vào một chỉ số nên 𝑒𝑖 là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. 𝑒𝑖𝑗 phụ thuộc vào 2 chỉ số (i,j) nên 𝑒𝑖𝑗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 32 =9 phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3𝑛 phần tử. Quy ước về chỉ số Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó có thể thay bằng chữ khác. Ví dụ: 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Tensor đối xứng 4
Xét hệ thống hạng hai 𝑒𝑖𝑗 Nếu đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của tensor không thay đổi dấu giá trị thì tensor 𝑒𝑖𝑗 gọi là đối xứng. 𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑗𝑖 Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của tensor chỉ thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 𝑒𝑖𝑗 là phản đối xứng. 𝑒𝑖𝑗 = −𝑒𝑗𝑖 Ví dụ ký hiệu Kronecker: 1, nếu 𝑖 = 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = { là tensor đối xứng 0, nếu 𝑖 ≠ 𝑗 Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Tensor đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau. Ví dụ: Nếu tensor 𝑎𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo 2 chỉ số ( i,j ) thì 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 . Tensor Levi-Civita là một tensor phản đối xứng hạng 3 khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau 0, 𝑒𝑖𝑗𝑘 = { 1, khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3. −1, khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3 Cụ thể: 𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 1 𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1 Các thành phần còn lại của 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 0. 5
1.1.2. Kí hiệu Christoffel Trong tọa độ Đề Các, các véctơ cơ sở ei là hằng số và do đó đạo hàm tương ứng của nó trong hệ tọa độ này triệt tiêu. Trong hệ tọa độ tổng quát, các véctơ cơ sở ei và ei lại là hàm của các tọa độ trong hệ cơ sở này. Việc tính đạo hàm của các tenxơ trong hệ tọa độ tổng quát có thể thực hiện bằng cách khảo sát đạo hàm của các véctơ cơ sở. Trước tiên ta khảo sát đạo hàm của véctơ cơ sở ei của hệ tọa độ Đề Các trong hệ tọa độ tổng quát có các véctơ cơ sở ui. 𝜕𝒆𝑖 Đạo hàm này được biểu diễn dưới dạng , đó là một tổ hợp tuyến tính của 𝜕𝒖𝑗 véctơ cơ sở ek , k = 1,2,3 và biến đổi như một véctơ. 𝑘 Nếu ta dùng  𝑖𝑗 để kí hiệu cho hệ số trong trường hợp này Ta có: 𝜕𝑒𝑖 =  𝑘𝑖𝑗 𝑒𝑘 (1.1) 𝜕𝑢𝑗 𝑘 𝑖 𝜕𝑒 Hệ số  𝑖𝑗 là thành phần thứ k của véctơ . 𝜕𝑢𝑗 Ta sử dụng hệ thức của các véctơ cơ sở: ei.ej = 𝛿𝑗𝑖 , nhân hai vế của (1.1) với ek ta đưa ra dạng của  𝑘𝑖𝑗 là: 𝑘 𝜕𝑒𝑖  𝑖𝑗 = ek. (1.2) 𝜕𝑢𝑗 Sử dụng hệ thức e .ej = 𝛿𝑗𝑖 và biểu thức (1.2), chúng ta có thể đưa ra dạng i 𝑘 của  𝑖𝑗 với đạo hàm của véctơ cơ sở phản biến, thật vậy: Ta có: 6
𝑒 𝑖 𝑒𝑖 = 3 (*) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (*) theo véctơ cơ sở của hệ tọa độ tổng quát: 𝜕𝑒 𝜕𝑒 𝑖 𝑒 𝑖 𝑖𝑗 + 𝑒𝑖 =0 𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑗 Sử dụng công thức (1.1), ta có: 𝜕𝑒 𝑖 𝑘 𝑒𝑖 = −𝑒 𝑖  𝑖𝑗 𝑒𝑘 (**) 𝜕𝑢𝑗 Mặt khác, 𝑒 𝑖 𝑒𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 , nên nhân hai vế của (**) với 𝑒 𝑖 ta có dạng đạo hàm của véctơ phản biến. 𝜕𝑒 𝑖 = −  𝑖𝑘𝑗 𝑒 𝑘 (1.3) 𝜕𝑢𝑗 𝑘 Kí hiệu  𝑖𝑗 gọi là kí hiệu Christoffel và như đã chứng minh ở trên trước kí hiệu Christoffel mang dấu ngược nhau khi tính đạo hàm cho véctơ hiệp biến và véctơ phản biến. 𝑘 Rõ ràng từ (1.2) thấy trong hệ tọa độ Đề Các kí hiệu Christoffel  𝑖𝑗 = 0 với mọi giá trị của các chỉ số i, j và k. 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. 𝑘 Để có biểu thức cho  𝑖𝑗 ta sử dụng 𝑔𝑖𝑗 = 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 và lấy đạo hàm: 𝜕𝑔𝑖𝑗 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑒𝑗 = 𝑘 𝑒𝑗 + 𝑒𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑘 =  𝑙𝑖𝑘 𝑒𝑙 . 𝑒𝑗 + 𝑒𝑖  𝑙𝑗𝑘 𝑒𝑙 𝑙 𝑙 =  𝑖𝑘 𝑔𝑙𝑗 +  𝑗𝑘 𝑔𝑖𝑙 (1.4) 7
Ta sử dụng định nghĩa (1.1) rồi bằng cách hoán vị chỉ số dưới 𝑖, 𝑗, 𝑘 trong (1.4) ta được: 𝜕𝑔𝑗𝑘 =  𝑙𝑗𝑖 𝑔𝑙𝑘 +  𝑙𝑘𝑖 𝑔𝑗𝑙 𝜕𝑢𝑖 (1.5) 𝜕𝑔𝑘𝑖 Và =  𝑙𝑘𝑗 𝑔𝑙𝑖 +  𝑙𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑙 (1.6) 𝜕𝑢𝑗 Nếu ta cộng (1.5) và (1.6) rồi trừ cho (1.4) ta được: 𝜕𝑔𝑗𝑘 𝜕𝑔𝑘𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑗 𝑙 + − =  𝑗𝑖 𝑔𝑙𝑘 +  𝑙𝑘𝑖 𝑔𝑗𝑙 +  𝑙𝑘𝑗 𝑔𝑙𝑖 +  𝑙𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑙 −  𝑙𝑖𝑘 𝑔𝑙𝑗 − 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝑙  𝑗𝑘 𝑔𝑖𝑙 𝑙 Ở đây ta sử dụng tính chất đối xứng của  𝑖𝑗 và 𝑔𝑖𝑗 . Kết hợp với 𝑔𝑚𝑘 ta được tính chất của kí hiệu Christoffel trong số hạng của ten xo metric và đạo hàm: 𝑚 1 𝜕𝑔𝑗𝑘 𝜕𝑔𝑘𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑗  𝑖𝑗 = 𝑔𝑚𝑘 ( + − ) (1.7) 2 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑘 1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ trụ là hệ tọa độ quen thuộc khi nghiên cứu các hệ vật lý trong không gian cong tổng quát. Tính cong của không gian thể hiện ở các thành phần của kí hiệu Christoffel. Sau đây, chúng ta sẽ tìm các thành phần của kí hiệu Christoffel trong tọa độ trụ 𝑚 Ta sử dụng (1.1) hoặc (1.7) tính  𝑖𝑗 trong hệ tọa độ trụ Trong tọa độ trụ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = (𝜌, 𝛷, 𝑧), với véctơ cơ sở 𝑒𝑖 Ta thấy rẳng đạo hàm của véctơ đối với tọa độ tương ứng là ≠ 0 𝜕𝑒𝜌 1 𝜕𝑒𝛷 1 𝜕𝑒𝛷 = 𝑒𝛷 ; = 𝑒𝛷 ; = −𝜌𝑒𝜌 (1a) 𝜕𝛷 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝛷 2 2 1 1 Từ (1.1) có:  12 =  21 = và  22 = −𝜌 𝜌 Hơn nữa từ (1.7) ta thấy rằng: 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 𝜌2 , 𝑔33 = 1 8
2 2 Lúc này kí hiệu Christoffel được viết như sau:  12 =  21 1 Và  22 cho bởi: 2 1 𝜕𝑔22 1 𝜕 1  12 =  221 = = (𝜌 2 ) = 2𝑔 22 𝜕𝑢𝑙 2𝜌2 𝜕𝜌 𝜌 Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu. 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel. 1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2  Kí hiệu Christoffel loại 1: 1 𝜕𝑔𝑖𝑘 𝜕𝑔𝑖𝑗 𝜕𝑔𝑗𝑘 1 Γ𝑖𝑗𝑘 = ( + − 𝑖 ) = (𝑔𝑖𝑘,𝑗 + 𝑔𝑖𝑗,𝑘 − 𝑔𝑗𝑘,𝑖 ) 2 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 2 Ở đây, kí hiệu dấu phẩy cho phép tính đạo hàm thông thường  Kí hiệu Christoffel loại 2: 1 𝜕𝑔𝑖𝑎 𝜕𝑔𝑗𝑎 𝜕𝑔𝑖𝑗 1 Γ𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑘𝑎 ( + − 𝑎) = 𝑔 𝑘𝑎 (𝑔𝑖𝑎,𝑗 + 𝑔𝑗𝑎,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗,𝑎 ) 2 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 2 Mối liên hệ giữa kí hiệu Christofell loại 1 và loại 2 được viết thông qua ten xơ metric: 𝑘 Γ𝑎𝑖𝑗 = 𝑔𝑎𝑘  𝑖𝑗 𝒌 1.3.2. Kí hiệu Christoffel  𝒊𝒋 đối xứng với các chỉ số i, j 𝑘 𝑘  𝑖𝑗 =  𝑗𝑖 Trước hết, từ phép biến đổi: 𝜕𝑒𝑖 𝜕2 𝑟 𝜕2 𝑟 𝜕𝑒𝑗 = = = 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝑘 Lại có:  𝑖𝑗 . 𝑒𝑘 =  𝑘𝑗𝑖 𝑒𝑘 . Nhân vô hướng với 𝑒 𝑙 sau đó sử dụng mối quan hệ tương hỗ: 𝑒𝑘 . 𝑒 𝑙 = 𝛿𝑘𝑙 9
𝑙 Ta có:  𝑖𝑗 =  𝑙𝑗𝑖 𝒌 1.3.2. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel  𝒊𝒋 trong hệ tọa độ tổng quát. Trong một hệ tọa độ mới: ′ ′𝑘 ′𝑘 𝜕𝑒𝑖  𝑖𝑗 = 𝑒 . ′𝑗 , 𝜕𝑢 Trong hệ tọa độ cũ (không có dấu phẩy) và hệ tọa độ mới (có dấu phẩy) các véctơ hiệp biến và phản biến liên hệ với nhau bằng các hệ thức sau: 𝜕𝑢′𝑘 𝜕𝑢𝑙 𝑒 ′𝑘 = 𝑒 𝑛 và 𝑒𝑖′ = 𝑒𝑙 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑖 ′𝑘 Do đó trong hệ tọa độ mới, đại lượng  𝑖𝑗 biến đổi theo qui luật sau: ′𝑘 𝜕𝑢′𝑘 𝜕 𝜕𝑢𝑙  𝑖𝑗 = 𝑒𝑛. ( 𝑒𝑙 ) 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑘 𝑛 𝜕2 𝑢𝑙 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑒𝑙 = 𝑒 .( 𝑒𝑙 + ) 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 . 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑘 𝜕2 𝑢𝑙 𝑛 𝜕𝑢′𝑘 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑒𝑙 = 𝑒 . 𝑒𝑙 + 𝑒𝑛 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 . 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢′𝑘 𝜕2 𝑢𝑙 𝜕𝑢′𝑘 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢𝑚 𝑛 = +  𝑙𝑚 (1.8) 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 . 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑗 Đây chính là phép biến đổi của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ tổng quát. 1.3.3. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba. Phép biến đổi của các loại Tenxơ được đưa ra như sau: Một Tenxo tổng quát hạng (k,l) là Tenxo gồm k thành phần phản biến và l thành phần hiệp biến với quy luật biến đổi tổng quát như sau: ′𝜇1..𝜇 𝜇 𝜇 𝛼 𝛼 𝛽 …𝛽 𝑇𝑣1 ..𝑣𝑙 𝑘 = 𝛬𝛽11 … 𝛬𝛽𝑘𝑘 𝛬𝑣11 … 𝛬𝑣𝑙𝑙 𝑇𝛼11…𝛼𝑙𝑘 𝜈 𝜕𝑥 𝜈 Trong đó: (Λ𝜇 ) = 𝜕𝑥 ′𝜇 10
So sánh với kết quả từ (1.1) và sự hiện diện của số hạng đầu ở vế phải, 𝑘 ta kết luận ngay rằng  𝑖𝑗 không biến đổi như Tenxo bậc 3. Trong hệ tọa độ tổng quát, về nguyên tắc chúng ta có thể tính toán nhanh bằng cách sử dụng (1.2) hơn là sử dụng biểu thức khác. Với kí hiệu Christoffel trong số hạng của tenxo metric 𝑔𝑖𝑗 và đạo hàm của nó với các tọa độ tương ứng. 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. Từ Tenxơ Đề Các, ta thấy đạo hàm của 1 vô hướng (hiệp biến) là 1 véctơ. Ta có thể biểu diễn bằng cách xét đạo hàm (vi phân) của 1 vô hướng: 𝜕𝜑 𝑑 = 𝑑𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 Do 𝑑𝑢𝑖 là thành phần của 1 vectơ phản biến và 𝑑 là 1 vô hướng. 𝜕𝜑 Nên ta thấy rằng đại lượng là thành phần của 1 véctơ hiệp biến. 𝜕𝑢𝑖 Giả sử thành phần phản biến trong tọa độ Đề Các của 1 vectơ 𝑣 là 𝑣 𝑖 thì 𝜕𝑣 𝑖 trong tọa độ Đề Các đại lượng là thành phần của Tenxơ bậc 2. Tuy nhiên 𝜕𝑥 𝑖 để đơn giản ta thấy rằng trong tọa độ Đề Các đạo hàm của các thành phần trong 1 Tenxơ chung khác với vô hướng trong tọa độ không gian so với các thành phần Tenxơ khác. 𝜕𝑣 𝑖 Thấy rằng trong tọa độ tổng quát, đại lượng không được tạo ra từ các 𝜕𝑢𝑗 thành phần của 1 Tenxơ. Lúc này, ta có thể biểu diễn trực tiếp: ′ 𝜕𝑣 𝑖 𝜕𝑣 ′𝑖 𝜕𝑢𝑘 . 𝜕𝑣 ′𝑖 ( 𝑗) = = 𝜕𝑢 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑗 . 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘 𝜕 𝜕𝑢′𝑖 𝑙 = ′𝑗 ( 𝑣) 𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑙 11
𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑣 𝑙 𝜕𝑢𝑘 𝜕2 𝑢′𝑖 = 𝑘 + 𝑣𝑙 (1.9) 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢𝑘 .𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑣 𝑖 Từ biểu thức (1.9) ta thấy rằng không được tạo ra từ các thành phần của 𝜕𝑥 𝑖 Tenxơ bậc hai 𝜕𝑢′𝑖 Các số hạng này là do biến đổi ma trận [ ] bằng cách thay đổi vị trí trong 𝜕𝑢𝑗 không gian. 𝜕𝑣 𝑖 Và là Tenxơ bậc 2. 𝜕𝑥 𝑖 Tuy nhiên ta có thể sử dụng kí hiệu Christoffel ở phần trước để xác định đạo hàm hiệp biến mới của thành phần véctơ mà không làm thay đổi thành phần của Tenxơ khác. Trước tiên ta xét đạo hàm của véctơ đối với các tọa độ: 𝑣 = 𝑣 𝑖 𝑒𝑖 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑖 𝜕𝑒𝑖 Ta thấy: = 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 (1.10) 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 Trong số hạng thứ 2 ta thấy vec tơ cơ sở 𝑒𝑖 không thay đổi Sử dụng (1.1) ta viết lại: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑖 = 𝑒 𝑖 + 𝑣 𝑖  𝑘𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗 Với 𝑖 và 𝑘 là hệ số đánh giá trong số hạng cuối. Khi đó, ta có thể thay đổi: 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝑖 𝑘 = 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑗  𝜕𝑣 𝑖 = ( + 𝑣 𝑘  𝑘𝑖𝑗 ) 𝑒𝑖 (1.11) 𝜕𝑢𝑗 Do việc thay đổi chỉ số giả như trong (1.11), ta có hệ số khác: 𝑒𝑖 Đại lượng trong dấu ngoặc người ta gọi là “Đạo hàm hiệp biến”. 12
𝜕𝑣 𝑖 Kí hiệu: 𝑖 𝑣𝑖𝑗 = +  𝑖𝑘𝑗 𝑣 𝑘 (1.12) nó biểu thị vi phân hiệp biến. 𝜕𝑢𝑗 Tương tự, kí hiệu này cũng được sử dụng vào đạo hàm riêng còn dấu phẩy (,) được sử dụng thay thế cho dấu chấm phẩy(;). 𝜕𝑣 𝑖 Ví dụ: được kí hiệu 𝑣,𝑗𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝑖 Trong tọa độ Đề Các các  𝑘𝑗 = 0 và đạo hàm hiệp biến không thể phân 𝜕𝑣 𝑖 tích thành từng phần của đạo hàm . 𝜕𝑢𝑗 Lúc này ta sử dụng dấu chấm phẩy (;) để viết tắt, khi đó đạo hàm của 1 véctơ có thể viết rút gọn: 𝜕𝑣 𝑖 = 𝑣;𝑗𝑒𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝑖 Từ đây dễ thấy 𝑣;𝑗 là tenxo hỗn hợp của các thành phần tenxơ bậc hai. Điều 𝜕𝑣 𝑖 này có thể chứng minh trực tiếp khi sử dụng những tính chất biến đổi của 𝜕𝑢𝑗 𝑖 và  𝑘𝑗 . Nếu như ta coi 𝑣;𝑗𝑖 như một thành phần hỗn hợp của tenxơ bậc hai thì được gọi là đạo hàm hiệp biến của 𝑣 và kí hiệu: Dμ 𝑣. 𝜕𝑣 𝑖 Trong tọa độ Đềcác thành phần của tenxo là: 𝜕𝑥 𝑗 Ví dụ: Tính 𝑣;𝑗𝑖 trong tọa độ trụ. 𝜕𝑣 𝑖 Từ (1.12) ta được: 𝑣;𝑗𝑖 = +  𝑖𝑘𝑖 𝑣 𝑘 𝜕𝑢𝑖 𝑖 1 Từ (1a) ta có:  1𝑖 =  111 =  12 2 3 =  13 = 𝜌 𝑖 1 2 3  2𝑖 =  21 =  22 =  23 = 0 𝑖 1 2 3  3𝑖 =  31 =  32 =  33 = 0 13
𝜕𝑣 𝜌 𝜕𝑣 ∅ 𝜕𝑣 𝑧 1 Và: 𝑣;𝑗𝑖 = + + + 𝑣𝜌 𝜕𝜌 𝜕∅ 𝜕𝑧 𝜌 1 𝜕 𝜕𝑣 ∅ 𝜕𝑣 𝑧 = (𝜌𝑣 𝜌 ) + + 𝜌 𝜕𝜌 𝜕∅ 𝜕𝑧 Từ đây, ta có thể xét đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến 𝑣 𝑖 . Các kết quả này ứng với thành phần hiệp biến 𝑣 𝑖 có thể tìm thấy bằng việc đạo hàm của 𝑣 = 𝑣𝑖 . 𝑒 𝑖 ta được: 𝜕𝑣𝑖 𝑣𝑖;𝑗 = −  𝑘𝑖𝑗 𝑣𝑘 (1.13) 𝜕𝑢𝑗 Sử dụng (1.12) và (1.13) ta thấy đạo hàm hiệp biến và các thành phần hiệp biến của một véctơ tương ứng có một số điểm tương đồng và khác biệt. Nó giúp ta nhớ đến các chỉ số liên quan đến đạo hàm hiệp biến. Tương tự ta có biểu thức đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc hai. Bằng việc xét đạo hàm của Tenxơ bậc hai ta được: 𝜕𝑇 𝜕 = (𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖  𝑒𝑗 ) 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑇 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝜕𝑒𝑖 𝑖𝑗 𝜕𝑒𝑖 = 𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇  𝑒𝑗 +𝑇 𝑒𝑖  𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘 Sử dụng (1.1) ta có thể viết đạo hàm của véctơ cơ sở trong kí hiệu Christoffel: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑖𝑗 𝑙 𝑙 𝑘 = 𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇 𝑖𝑗  𝑖𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖   𝑗𝑘 𝑒𝑙 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑙 𝑙 Thay đổi chỉ số giả i và l trong 𝑇 𝑖𝑗  𝑖𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 và j và l trong 𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖   𝑗𝑘 𝑒𝑙 ta được: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑖𝑗 𝑖 𝑖 𝑘 = ( 𝑘 +  𝑙𝑘 𝑇 𝑙𝑗 +  𝑖𝑙 𝑙𝑘 𝑇 ) 𝑒𝑖  𝑒𝑗 𝜕𝑢 𝜕𝑢 Biểu thức trong dấu ngoặc đơn là đạo hàm hiệp biến: 𝑖𝑗 𝜕𝑇 𝑖𝑗 𝑇;𝑘 = +  𝑖𝑙𝑘 𝑇𝑙𝑗 +  𝑖𝑙𝑘 𝑇 𝑖𝑙 (1.14) 𝜕𝑢𝑘 14
Hơn nữa, đạo hàm của Tenxơ T có thể viết dưới dạng các thành phần phản biến bằng cách sử dụng (1.14) 𝜕𝑇 𝑖𝑗 𝑘 = 𝑇;𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 𝜕𝑢 Kết quả này tương tự (1.14) thì ta thu được đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc hai. Kết hợp các kết quả ta thu được: 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑇;𝑘 = 𝑇,𝑘 +  𝑙𝑘 𝑇𝑙𝑗 +  𝑙𝑘 𝑇 𝑖𝑙 𝑖𝑗 𝑖 𝑖 𝑙 𝑇;𝑘 = 𝑇𝑗,𝑘 +  𝑙𝑘 𝑇𝑗𝑙 −  𝑖𝑘 𝑇𝑙𝑖 𝑙 𝑙 𝑇𝑖𝑗;𝑘 = 𝑇𝑖𝑗,𝑘 −  𝑖𝑘 𝑇𝑙𝑗 −  𝑗𝑘 𝑇𝑖𝑙 Chúng ta sử dụng dấu phẩy cho hàm riêng. 𝑖𝑗 𝑖 Lưu ý: Đại lương 𝑇;𝑘 , 𝑇𝑗;𝑘 và 𝑇𝑖𝑗;𝑘 là thành phần của tenxo bậc ba Dμ 𝑇 𝑖𝑗 với các hệ véctơ cơ sở khác nhau 𝑖𝑗 𝑖 Dμ 𝑇 𝑖𝑗 = 𝑇;𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗  𝑒 𝑘 = 𝑇𝑗;𝑘 𝑒𝑖  𝑒 𝑗  𝑒 𝑘 = 𝑇𝑖𝑗;𝑘 𝑒 𝑖  𝑒 𝑗  𝑒 𝑘  Đạo hàm hiệp biến của vectơ cơ sở là: 𝜕𝑒𝑖 = 𝑒𝑖,𝑗 = 𝑇,𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑗 Ta biểu thị 𝑒𝑖,𝑗 qua các véctơ cơ sở như sau : 𝑒𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑒 𝑠 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑒 𝑘𝑠 𝑒𝑘 (1.15) Vậy : Γ𝑖𝑗𝑘 = Γ𝑖𝑗𝑘 𝑔𝑟𝑘 . (1.16) Các đại lượng Γ𝑖𝑗𝑘 , Γ𝑖𝑗𝑠 là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2. Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ cơ sở. Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑂𝑦1 𝑦 2 𝑦 3 với hệ véctơ cơ sở (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) Ta có: 15