Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10" trình bày các nội dung chính sau: Một số khái niệm cơ bản về số phức; Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức; Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- THÁI THỊ VI ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016
UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 Sinh viên thực hiện THÁI THỊ VI MSSV: 2112020143 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TOÁN KHÓA 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƢƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 – 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016
MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 1 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 1 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 1 1.5. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 1 1.6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................................ 2 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................. 3 CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC .................................... 3 1.1. Số phức ........................................................................................................................ 3 1.1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................... 3 1.1.2. Xây dựng trường số phức ......................................................................................... 3 1.1.3. Định nghĩa ................................................................................................................ 4 1.1.4. Các phép toán trên tập số phức ................................................................................ 4 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức .................................................................................. 6 1.1.6. Dạng mũ của số phức ............................................................................................... 9 1.1.7. Công thức Moa-vrơ .................................................................................................. 9 1.1.8. Căn bậc n của số phức ............................................................................................. 9 CHƢƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 10 2.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................... 10 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................ 10 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul ............................................................................... 10 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số ........................................................ 11 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc................................................................... 12 2.3. Góc của tam giác ....................................................................................................... 12 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng........................................................................................ 14 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn ............... 15 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng ...................................................................................... 16 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm ............................................................. 16 2.6.2. Phương trình tham số của đường thẳng ............................................................... 18
2.6.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng............................................................. 19 2.7. Phƣơng trình đƣờng tròn......................................................................................... 20 2.7.1. Phương trình tổng quát của đường tròn ............................................................... 20 2.7.2. Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn ............................................... 21 CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10. ...................................................................... 25 3.1. Ứng dụng số phức giải bài toán vector ................................................................... 25 3.2. Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lƣợng trong tam giác ............................ 31 3.3. Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đƣờng tròn ............................ 36 PHẦN 3. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 45 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 46
PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, nó xuất hiện từ đầu thế kỷ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Ở bậc học THPT số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán giải tích lớp 12. Đối với học sinh thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượng không nhiều học sinh chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức cũng như những ứng dụng số phức trong giải toán chỉ mới dừng lại ở việc giải các bài tập đơn giản, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Nhưng số phức còn là công cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toán hình học. Do đó, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn trong mặt phẳng. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Dùng số phức để giải quyết một số dạng bài tập vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn. - Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình hình học lớp 10. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5 . Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo về chuyên đề giải một số dạng bài hình học lớp 10 bằng công cụ số phức cho các bạn đọc quan tâm. 1
1.6. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và ba chương: - Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức. - Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức. - Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. 2
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1. Số phức 1.1.1. Khái niệm số phức Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên . Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ. Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x2  1  0 (1) cũng không có nghiệm trong . Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta 1 không thể giải thích được tại sao hàm f  x   không thể khai triển được thành 1  x2 chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K. 1.1.2. Xây dựng trường số phức Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình x 2  1  0 có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để i 2  1 . Vì  nên chứa tất cả các phần tử dạng . Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { } Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý i 2  1. i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân: Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2  1  0 trong 3
1.1.3. Định nghĩa Số phức là số có dạng: trong đó . Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức . Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọi là Số phức có dạng yi , y  * phần ảo của số phức kí hiệu Im được gọi là số thuần ảo, số phức i gọi là số đơn vị ảo. Tập tất cả số phức kí hiệu là .   x  yi / x  , y  , i 2  1 1.1.4. Các phép toán trên tập số phức Từ các hệ thức trên ta dễ dàng có các kết quả sau: i) z1  z2 khi và chỉ khi Re  z1   Re  z2  và Im  z1   Im  z2  ; ii) z  khi và chỉ khi Im  z   0 ; iii) z  \ khi và chỉ khi Im  z   0 .  Phép cộng z1  z2   x1  y1i    x2  y2i    x1  x2    y1  y2  i  . Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo: Re  z1  z2   Re  z1   Re  z2  Im  z1  z2   Im  z1   Im  z2  .  Phép trừ z1  z2   x1  y1i    x2  y2i    x1  x2    y1  y2  i  Ta có: Re  z1  z2   Re  z1   Re  z2  Im  z1  z2   Im  z1   Im  z2  .  Phép nhân  z1.z2    x1  y1i  .  x2  y2i    x1.x2  y1. y2    x1. y2  x2 . y1  i  Ta có: Re  z1.z2   Re  z1  .Re  z2   Im  z1  .Im  z2  Im  z1.z2   Im  z1  .Re  z2   Im  z2  .Re  z1  . 4
Mỗi số thực  , số phức z  x  yi ,  z    x  yi    x   yi  là tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau: i)   z1  z2    z1   z2 ; ii) 1  2 z    12  z ; iii)  1  2  z  1 z  2 z .  Số phức liên hợp Mỗi số phức z  x  yi đều có số phức z  x  yi , số phức đó được gọi là số phức liên hợp của số phức z. Mệnh đề 1.1. 1) Hệ thức zz đúng khi và chỉ khi z  ; 2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z  z ; 3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm; 4) z1  z2  z1  z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z1.z2  z1.z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); khác 0 đẳng thức sau luôn đúng  z   z  1 1 6) Mỗi số phức ; z  z 7)  1   1 , z2  0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp);  z2  z2 8) Công thức Re  z   z  z và Im  z   z  z , đúng với mọi số phức z  . 2 2i Ghi chú: i) Phần tử nghịch đảo của số phức z  * có thể được tính như sau: 1 z x  yi x y   2  2  2 i z z.z x  y 2 x  y x  y2 2 ii) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau: z1 z1.z2  x1  y1i  .  x2  y2i  x1 x2  y1 y2  x1 y2  x2 y1     i z2 z2 .z2 x2  y2 2 2 x2  y2 2 2 x2  y2 2 2  Môđun của số phức Số z  x2  y 2 được gọi là môđun của số phức z  x  yi . 5
Mệnh đề 1.2. 1)  z  Re  z   z và  z  Im  z   z ; 2) z  0 , z  , ngoài ra z  0 khi và chỉ khi z  0 ; 3) z   z  z ; 4) ̅ | |; 5) z1.z2  z1 . z2 (môđun của một tích bằng tích các môđun); 6) z1  z2  z1  z2  z1  z2 ; 7) z 1  z 1 , z  0 . z1 z 8)  1 , z2  0 (môđun của một thương bằng thương các môđun); z2 z2 9) z1  z2  z1  z2  z1  z2 . 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễu y diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số Z phức dạng đại số z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 . Đó là hai điểm Z1 , Z 2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên. O x Điểm O là tọa độ gốc. Ta nối điểm Z1 , Z 2 với gốc O và xác định vector OZ1 , OZ 2 . Sau đó dựng hình bình hành OZ1ZZ 2 . Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức z1  z2 như tổng của hai số phức đã cho. Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặt phẳng. Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ OZ và ta thấy ngay OZ1  OZ 2  OZ , ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này, 6
chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng. Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z  x  iy  0 thì số phức này ứng với một vectơ OZ , ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn  là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại). Rõ ràng là một số thực không âm. Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của và kí hiệu là z . Do đó √ hoặc ̅. Góc  được gọi là argument của số phức và kí hiệu là arg z . Giá trị của  có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó. Có thể xác định  bằng: √ và √ argument của số phức z  0 có vô số giá trị. Nếu một giá trị  đã xác định thì argument được xác định theo công thức: arg z    k 2 , k là số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập  0, 2  . Những số và  biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau . Khi đó số phức có thể viết z  r cos   ir sin   r  cos   i sin   . Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức. Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1  r1  cos 1  i sin 1  và 7
z2  r2  cos 2  i sin 2  . Ta có tính chất sau: y 1) Nếu z1 trùng với z 2 , thì môđun của chúng bằng nhau và argument của chúng 1 ,  2 khác nhau một số nguyên lần 2 . 0 x 2) Tích của hai số phức z  z1 z2  r1  cos 1  i sin 1  .r2  cos 2  i sin 2   r1r2  cos 1.cos 2  sin 1.sin 2   i  cos 1.sin 2  i sin 1.cos 2      r1r2 cos 1  2   i sin 1  2     Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin   , ở đó r là tích của r1r2 hai môđun của hai thừa số. Hoặc là z1 z2  z1 z2 . Còn argument  là tổng 1   2 của hai argument thừa số, hay nói cách khác arg z1 z2  arg z1  arg z2 . Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được  r1  cos 1  i sin 1   r2  cos 2  i sin 2  ...  rn  cos n  i sin n        r1r2 ...rn cos 1  2  ...  n   i sin 1  2  ...  n    Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức z1 r1  cos 1  i sin 1  r1  cos 1  i sin 1  cos 2  i sin 2    z2 r2  cos 2  i sin 2  r2  cos 2  i sin 2  cos 2  i sin 2  r1  cos 1 cos 2  sin 1 sin 2  i  sin 1 cos 2  cos 1 sin  2   r2   r1  cos 1  2   i sin 1  2   r2   Do đó, z1 z z1  1 và arg  arg z1  arg z2 . z2 z2 z2 Bây giờ dễ dàng biểu diễn hình học tích của hai số phức z1 , z2 là z  z1.z2 với z1  r1  cos 1  i sin 1  z2  r2  cos 2  i sin 2  8
là một điểm với bán kính vectơ r1r2 và argument 1   2 . 1.1.6. Dạng mũ của số phức i Với mọi số thực  , ta đặt e  cos   i sin  . Như vậy số phức còn có thể viết dưới dạng z  rei gọi là dạng mũ của số phức.  Một số tính chất. i i Với mọi z  rei , z1  r1e 1 , z2  r2e 2 . Ta có: i    1) z1 z2  r1r2e 1 2 2) n in 3) z  r .e , n  N . n * 1.1.7. Công thức Moa-vrơ Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin   theo công thức nhân ở trên ta có z n   r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  n với n là một số nguyên bất kỳ. Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm. Thật vậy, 1 z 1   r 1  cos   i sin   r  cos   i sin    r 1  cos     i sin     . 1.1.8. Căn bậc n của số phức Cho số phức z  r  cos   i sin   ta gọi căn bậc n của là tập n z  sao cho n  z . Đặt . Theo công thức Moa-vrơ ta có:  n  p n  cos n  i sin n   r  cos   i sin   Từ đó suy ra: p cos n  r cos  , p sin n  r sin  , hay p  n r ,     k 2 , k  R . Như n n n vậy ta có công thức     2 k   2 k   n z  n r  cos  i sin  : k  0,1,..., n  1 .   n n   9
CHƢƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC 2.1. Biểu diễn hình học của số phức 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực , vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng . Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ. Khi đó ánh xạ là song ánh. Định nghĩa 2.1. Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức . Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm . Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức . M(x,y) M'(x,-y) Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là ảnh hình học của ̅ . Ta biết rằng, tọa độ của điểm cũng là tọa độ của vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, do đó, ta cũng có thể đồng nhất số phức với vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Gọi là tập hợp tất cả các vector có cùng điểm gốc . Khi đó, ta chứng minh được ánh xạ: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗, Là song ánh, trong đó ⃗ ⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung. 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul Xét số phức có tọa độ ảnh hình học trong mặt phẳng phức. Ta có: √ , 10
suy ra √ | | | ⃗ |. Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector ⃗. 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số  Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗. Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗. Ví dụ 2.1. Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này được 8 thể hiện là 6 4 2 15 10 5 5 10 15 2 4 6 Ta có: , vì vậy ảnh hình học của hiệu này được thể hiện là 8 6 4 2 15 10 5 5 10 15 2 4 6 8 Chú ý: Ta có |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | | |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| √ . Đây chính là khoảng cách giữa hai điểm . 11
 Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗. Nếu là một số thực thì ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗. Hơn nữa, nếu thì các vector ⃗ ⃗ cùng hướng và | ⃗ | | ⃗ |. y y M(x,y) x O x 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc Xét hai điểm phân biệt . Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Từ hệ thức này, ta có được: Định lý 2.1. Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặt phẳng phức. Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng [ ] có tọa độ phức là: Chứng minh. Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng: Nếu là trung điểm của thì y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) A M hoặc tọa vị của biểu diễn qua là B O x 2.3. Góc của tam giác Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm. Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức. Góc ̂ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. 12
y y M2 M1 M1 M2 x O x O Mệnh đề 2.1. Số đo của góc định hướng ̂ là . Chứng minh. Ta xét hai trường hợp: (i) Nếu tam giác theo hướng âm thì ̂ ̂ ̂ . (ii) Nếu tam giác theo hướng dương thì ̂ ̂ . Do đó ̂ ( ) . Chú ý: Mệnh đề vẫn đúng nếu ba điểm thẳng hàng. Ví dụ 2.2. a) Cho . Khi đó . Từ đó suy ra ̂ ̂ . b) Cho . Khi đó . Do đó ̂ ̂ . Định lý 2.2. Cho các điểm phân biệt . Khi đó, góc định hướng ̂ có số đo góc là . Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , . Hơn nữa, ta cũng có được ̂ ̂ . Từ kết quả ở mệnh đề 2.1, ta có ̂ ̂ . Ví dụ 2.3. Cho . Khi đó 13
Từ đó ta có ̂ ̂ . Chú ý: Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng . Ta cần phải quay vector đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chiều dương nghĩa là | | | | từ đó | | | | | | | | ̅ ̅ Vậy góc phải tìm từ đó có ̅ ̅ ̅ ̅ | || | ̅ ̅ ̅ ̅ { | || | Từ đó đẳng thức trên suy ra vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: ̅ ̅ ̅ ̅ . và chúng song song với nhau khi và chỉ khi ̅ ̅ ̅ ̅ . Nhận xét: - Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và | | | |, thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:  , thì . √  , thì ( ) . √  , thì ( ) . 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm , và . Khi đó, vì (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) nên 14
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia bằng . Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng bằng . Chứng minh. (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) nên (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi đường thẳng với đường thẳng bằng . 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn Cho bốn điểm phân biệt . Mệnh đề 2.2. Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi ̂ { } hay . Mệnh đề 2.3. Các đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có khi và chỉ khi { }. Điều này tương đương với { } hay . Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi . Mệnh đề 2.4. Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi . Chứng minh. Bốn điểm phân biệt cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi ̂ ̂ { } hay { } hay { }, tức là 15
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự. Chú ý: (i) Các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi và . (ii) Các điểm cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi , nhưng và . Ví dụ 2.4. (a) Bốn số phức có tọa vị lần lượt là cùng thuộc một đường tròn. Thật vậy, vì tỉ số kép và và . (b) Bốn điểm thẳng hàng. Thật vậy, vì ta có và . 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Mệnh đề 2.5. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị . Khi đó có phương trình là: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (1) Ta đặt ̅ ̅ ̅ ̅ . Khi đó (1) được viết lại: ̅ ̅ (2) Chứng minh. Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị . Lấy có tọa vị thuộc vào . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đường thẳng là góc ̂ bằng 0 hoặc . Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau: ̅ ̅̅̅ (3) ̅̅̅ ̅̅̅ Từ (3) ta thấy được một đường thẳng đi qua 2 điểm là tập hợp các điểm sao cho ̅ ̅ ̅ ̅ hoặc là ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . Ví dụ 2.5. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . Giải. 16