Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa bài tập Spin và hệ hạt đồng nhất trong Cơ học lượng tử

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa bài tập Spin và hệ hạt đồng nhất trong Cơ học lượng tử là nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần Spin và hệ hạt đồng nhất trong chương trình học phần Cơ học lượng tử. Với các bạn chuyên ngành Vật lý thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa bài tập Spin và hệ hạt đồng nhất trong Cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Đề tài: SVTH : Đỗ Thùy Linh GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Khóa: 2004 – 2008 Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2008
LỜI CẢM ƠN Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, được sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trường, đã giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết. Công lao to lớn của quý thầy cô em không thể nào quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn. Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2004 – 2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ . Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này. Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp giáo dục.
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton, nơtron… còn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với một mômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của nó. Mômen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi chuyển sang cơ học cổ điển   0 spin sẽ bằng không. Do đó spin không có sự tương tự cổ điển. Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất. Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học. 2. Mục tiêu đề tài Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử. 3. Phương pháp nghiên cứu Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài này :  Phương pháp thực hành giải bài tập.
 Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.  Phương pháp phân loại bài tập. 4. Cấu trúc luận văn  Mở đầu.  Chương 1: Cơ sở lý thuyết.  Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất.  Kết luận.
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Spin [1] Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong  không gian có thể có hai giá trị  . 2 Các trạng thái của spin là các ket véctơ   S z   ( trạng thái spin lên) và   S z   (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một hệ trực chuẩn:      1      0 Và tính đủ của không gian:    ,          1. Trạng thái S z   gọi là trạng thái phân cực vì spin có hướng đặc biệt. Trạng thái ban đầu không phân cực được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính :  a  b  2 2 Trong đó :    a là xác suất để hạt có spin hướng lên. 2 2  b là xác suất để hạt có spin hướng xuống. 2 2 Từ điều kiện chuẩn hóa ta có    1  a  b  1 .  Hình chiếu spin lên trục z có giá trị  nên ta biểu diễn thông qua hai 2 trạng thái của spin như sau:   Sˆz  =  và Sˆz  =-  2 2
Ma trận của toán tử Sˆz được viết như sau:   2 0    0      2 Các toán tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ thức giao hoán: Sˆx Sˆ y  Sˆ y Sˆx  iSˆz Sˆ y Sˆz  Sˆz Sˆ y  iSˆx Sˆz Sˆx  Sˆx Sˆz  iSˆ y 1 1 1 Đặt Sˆx  ˆ x Sˆ y  ˆ y Sˆz  ˆ z 2 2 2 Trong đó ˆ x , ˆ y , ˆ z gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuông cấp hai và ˆ z có dạng: 1 0 ˆ z    0 1 Các hệ thức giao hoán đối với ma trận Pauli được viết lại: ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  2iˆ z ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  2iˆ x ˆ zˆ x  ˆ xˆ z  2iˆ y Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán: ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  ˆ zˆ x  ˆ xˆ z  0 . Vì trị riêng của các toán tử Pauli ˆ x , ˆ y , ˆ z tương ứng bằng 1 , suy ra 1 0 ˆ x2  ˆ y2  ˆ z2  I    0 1 Trong S z biểu diễn các ma trận Pauli có dạng : 1 0 0 1 0 i  ˆ z    , ˆ x   , ˆ y    0 1 1 0 i 0
Và ˆ 2  ˆ x2  ˆ y2  ˆ z2  3I Vậy toán tử bình phương momen spin:  2ˆ 2 3 2 3 2  1 0 Sˆ 2  Sˆx2  Sˆ y2  Sˆz2   I   4 4 4 0 1 Trị riêng của toán tử Sˆ 2 là : 2 3 1 Sˆ 2   s ( s  1) 2 vôùi s = (soá löôïng töû spin). 4 2  Trị riêng và vectơ riêng của toán tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz . Xét trong cơ sở   S z   ,   S z   , biểu diễn ma trận của cơ sở S z   là : 1  0     ,     vaø    1 0  ,     0 1 0 1  1  0      1 0    =1 vaø       0 1    1 0 1  1   0   Vậy   ,   là các spinơ riêng của Sˆz ứng với các trị riêng  .  0  1  2 a Phương trình trị riêng của Sˆx với ma trận trị riêng có dạng   . Thay b   vào phương trình trị riêng của toán tử Sˆx , giải phương trình ta thu được hai 1 1 1  1  vector riêng   và   ứng với hai trị riêng  . 2 1 2  1 2 1 1 1  1 Vậy hai spinnơ riêng của toán tử Sˆx là   và  . 2 1 2  1 c  Trị riêng của toán tử Sˆ y với ma trận trị riêng có dạng   . Thay vào d   phương trình trị riêng của toán tử Sˆ y , giải phương trình ta thu được hai 1  1 1  1  vector riêng   và   ứng với hai trị riêng  . 2 i  2  i  2
1  1 1  1 Vậy hai spinnơ riêng của toán tử Sˆ y là   và  . 2 i  2  i  Ta đang xét trong Sˆz biểu diễn, để chuyển từ Sˆz biểu diễn sang Sˆx hay Sˆ y biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong Sˆz biểu diễn các spinnơ của 1 1 1  1 Sˆx có dạng   và ˆ ˆ   , trong S x biểu biễn các spinnơ của S x phải có 1 2  1 2  1  0 dạng   và   tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo 0 1  phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử Sˆx trong các biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn:  1   1    2  1   2  0 U    và U     1   0  1  1       2  2 Ma trận U có dạng  1 1   2 2  U   1 1      2 2 Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất lượng tử. [2] 1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất 1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất Các hạt có cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin, mômen từ… không có thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta có thể phân biệt các hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học
lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có bao nhiêu hạt thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta không thể phân biệt được các hạt dù có đánh dấu chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc không phân biệt được các hạt đồng nhất có liên quan đến nguyên lí bất định. Nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất đòi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng không thay đổi khi hoán vị hai hạt bất kì. 1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn: a, b  a 1  b 2 Trong đó a 1 , b 2 là trạng thái của hai hạt 1 và 2. Toán tử Pˆ12 được coi là toán tử hoán vị, khi tác dụng lên trạng thái của hệ hai hạt a, b cho một trạng thái mới trong đó tọa độ hai hạt hoán vị cho nhau. Pˆ12 a, b  b, a Theo nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt bất kỳ ta được : Pˆ12     . Khi hoán vị lần nữa : Pˆ122    2     2  1   = 1 . Trong cơ sở a, b , b, a trực chuẩn ta có dạng ma trận của toán tử Pˆ12 như sau:  a, b Pˆ12 a, b a, b Pˆ12 b, a   0 1     b, a Pˆ12 a, b b, a Pˆ12 b, a   1 0  Phương trình trị riêng của toán tử Pˆ12 .
0 1   1   1  0 1   1    0   1                 1 0   2   2  1 0   2   0    2  Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức các hệ số bằng không:  1  0   2  1   = 1 1  Ta có các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên : 1 s   a , b  b, a   =1 2 1 a   a, b  b, a   =-1 2 Trạng thái  s đối xứng với phép hoán vị hai hạt và trạng thái  a phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt. Pˆ12  s   s Pˆ12  a    a Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên S  ms , ms  0,1, 2... gọi là các hạt bozon, tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên 1 3 ms  , ,... gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac. 2 2 1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 có phương trình Schrodinger: Hˆ  (1, 2)  E (1, 2) Trong trường hợp  (1, 2) chứ có tính đối xứng ta phải đối xứng hóa hàm sóng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái  (1, 2),  (2,1) .   C1 (1, 2)  C2 (2,1)
Khi C1  C2  C ta có hàm sóng  s  C  (1, 2)  (2,1) . Khi C1  C2  C ' ta có hàm sóng  a  C '  (1, 2)  (2,1) . 1 1 Sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tìm được C  , C' . 2 2 Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt N  2 . N  s (1, 2,...., N )  C  i 1, j  i Pˆij (1, 2,..., N ) đối với hệ hạt boson. N  a (1, 2,...., N )  C '  i 1, j  i (1)i  j Pˆij (1, 2,..., N ) đối với hệ hạt fermion. Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0 1  (hệ hạt boson) hoặc (hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế V (r ) . 2 Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ. N N     Hˆ 0   Hˆ i     i  V (r )  . i 1 i 1  2m  Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng: Hˆ i ni (i )   ni ni (i ) . i là biến số xác định vị trí và spin của hạt thứ i.  ni (i) là hệ các hàm riêng trực chuẩn của Hamiltonian. Hàm sóng của hệ đang xét phụ thuộc vào tọa độ của N hạt được ký hiệu là  (1, 2,...., N ) , hàm sóng này là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm sóng một hạt :  (1, 2,...., N )  n1 (1)n 2 (2)...............nN ( N ) . Năng lượng của hệ là: N E    ni . i 1
Hàm sóng đối xứng: N s  C  Pˆkj n1 (1) n 2 (2)...........nN ( N ) , k 1, k  j và hàm sóng phản xứng: N   1 Pˆkj  n1 (1) n 2 (2)........... nN ( N )  . k j a  C' k 1, k  j 1 1 Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có C  , C' N! N! Đối với hệ hạt boson có thể có ki hạt cùng ở trạng thái ứng với mức năng lượng  ni . Gỉa sử có k1 hạt ở trạng thái n1 , k2 hạt ở trạng thái n2 …với k1  k2  ....  N . Hàm sóng của hệ viết lại như sau:  s  C  Pˆ n1 (1)n1 (2)....n1 (k1 )n 2 (k1  1)n 2 (k1  2)....n 2 (k2 ).........nN ( N )   kj ! Trong đó hệ số chuẩn hóa C  j N! Đối với hệ hạt fermion hàm sóng có thể viết dưới dạng định thức Slater n1 (1) n1 (2)  n1 ( N ) n 2 (1)  n 2 (2)  n 2 ( N )  a (1,......, N )      nN (1)  nN (2)   nN ( N ) Nếu ta hoán vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột trong định thức Slater. Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau, ni  n j nếu i  j . Nếu có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay  a  0 . Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái.
Hệ các boson không bị chi phối bởi nguyên lí loại trừ Pauli, trạng thái cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose. 1.2.d. Tương tác trao đổi  Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ r1 và spin  1 ,  hạt thứ hai được xác định bởi tọa độ r2 , spin  2 …..Hamiltonian của các hạt tương tác điện ( không có từ trường) không chứa các toán tử spin, do đó khi tác động lên hàm sóng nó không tác động lên biến spin. Hàm sóng của hệ có thể viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin:     (1, 2,..., N )   (r1 , r2 ,..., rN )  ( 1 ,  2 ,....,  N ) Với  là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt. Xét hệ hạt boson có spin bằng 0, khi đó hàm sóng chỉ còn là hàm tọa   độ  (r1 , r2 ) , hàm này phải là hàm đối xứng. Như vậy không phải tất cả các mức năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger đều chấp   nhận, chỉ có những mức năng lượng ứng với hàm sóng  (r1 , r2 ) đối xứng được chấp nhận. Việc hoán vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ   tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sóng  (r1 , r2 ) phải nhân với  1 trong đó l l là mômen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sóng của hệ là đối xứng nên:  s (1)l   's   s . Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng không có mômen quỹ đạo chẵn. 1 Xét hệ hạt fermion (electron) có spin khi đó hàm sóng toàn phần 2 của hệ là phản đối xứng đối với sự hoán vị hai hạt. Như vậy nếu hàm tọa độ là đối xứng thì hàm spin là phản đối xứng và ngược lại. Ta viết hàm spinnơ dưới dạng spinnơ hạng hai  ( ) , mỗi chỉ số ứng với spin của một hạt.
Do đó các mức năng lượng tương ứng với các nghiệm đối xứng    (r1 , r2 ) của phương trình Schrodinger thực tế có thể được thực hiện khi spin toàn phần của hệ bằng không, nghĩa là khi spin của hai electron “ đối song” , khi đó S z  0 .   Các mức năng lượng tương ứng với hàm sóng phản đối xứng  (r1 , r2 ) đòi hỏi spin toàn phần của hệ phải bằng đơn vị , nghĩa là các spin của hai electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ, khi đó S z  0, 1 . Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng quát của hàm spinnơ  ( s1z , s2 z ) toàn phần cho các trạng thái với các S và S z đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương trình:  Sˆ 2   S ( S  1) 2    Sˆz   ms  Trong đó Sˆ  Sˆ1  Sˆ2 là toán tử spin toàn phần của hệ. Ta biểu diễn hàm  dưới dạng tích các hàm riêng  1 (1),  1 (1),  1 (2),  1 (2) . Trường hợp   2 2 2 2 tổng quát hàm  có thể viết như sau:  (1, 2)  C1  1 (1)  1 (2)  C2  1 (1)  1 (2)  C3  1 (1)  1 (2)  C4  1 (1)  1 (2) .     2 2 2 2 2 2 2 2 Trong đó C1 , C2 , C3 , C4 là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa. Ta có : 11   1 (1)  1 (2) S=1, Sz  1 2 2 1    01    1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2)  S=1, Sz  0 2 2 2 2 2   11   1 (1)  1 (2) S=1, Sz  1   2 2
1    00    1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2)  S=0, Sz  0 2  2 2 2 2  Trong đó chỉ số trên ký hiệu spin toàn phần của hai hạt, chỉ số dưới ký hiệu hình chiếu của spin toàn phần lên trục z. Ba hàm đầu là hàm đối xứng với phép hoán vị hai hạt, hàm còn lại là hàm phản đối xứng. Xác định các trị riêng của tích vô hướng ( S1.S2 ) . Sˆ 2  ( Sˆ1  Sˆ2 ) 2  Sˆ12  Sˆ22  2( Sˆ1Sˆ2 ) 1   ( Sˆ1Sˆ2 )  Sˆ 2  Sˆ12  Sˆ22 2    2 1   3 Ta coù: ( Sˆ1Sˆ2 ) s  Sˆ 2  Sˆ12  Sˆ22  s   S ( S  1)    s 2 2  2 Đối với hàm spin đối xứng có S = 1: 2 ( Sˆ1Sˆ2 ) 1   1 . 4 Đối với hàm spin phản đối xứng có S = 0: 2 3 0 ( Sˆ1Sˆ2 ) 0    4 Hàm tọa độ: 1 a (r1 , r2 )  n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 ) 2 1  s (r1 , r2 )  n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 ) 2 Vậy hàm sóng toàn phần của hệ hai electron: 1  a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 ) 11  n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )  1 (1)  1 (2) 2 2 2 1    a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 )  01   n (r1 ) m (r2 )  m (r1 ) n (r2 )    1 (1)  1 (2)   1 (1)  1 (2)  2  2  2  2 2  1  a (r1 , r2 )   a (r1 , r2 )  11  n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )   1 (1)   1 (2) 2 2 2 1    a (r1 , r2 )   s (r1 , r2 )  00  n (r1 )m (r2 )  m (r1 )n (r2 )   1 (1)   1 (2)    1 (1)  1 (2)  2  2 2 2 2 
Tính không phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của 1 tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt có spin , giữa chúng 2 có một tương tác không liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt không tương tác. Ký hiệu nhiễu loạn đó là toán tử Vˆ (r12 ) trong đó r12 là khoảng cách giữa các hạt. Vˆ (r12 ) không tác dụng lên spin của hệ. Năng lượng trung bình trong phép gần đúng bậc một được tính: En(1)  Vnn   n(0)*Vˆ n(0) dV . Đối với hệ hai hạt có spin thì công thức trên được viết lại: E (1)    (0)*Vˆ (0) dV1dV2 . Hàm  (0) mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các hạt không tương tác. Hàm sóng của hệ gồm hai thành phần nhưng toán tử Vˆ (r12 ) không tác động lên hàm spinnơ, do đó ta đưa hàm spin ra khỏi dấu tích phân. Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1, khi S = 1 thì hàm spinnơ có dạng: 1     2  ( )    0  ,  : số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần với i 1.   i  1  Vậy: 1    E (1)   1*  0*  *1    0   (1, 2)*Vˆ (1, 2)dV1dV2    i   (1, 2) Vˆ (1, 2)dV dV 2 * 1 2   i  1     (1, 2)*Vˆ (1, 2)dV1dV2 Với  (1, 2) là hàm tọa độ .
1 a (1, 2)  m (1)n (2)  n (1)m (2) 2 1  s (1, 2)  m (1)n (2)  n (1)m (2) 2 1 m (1)n (2)  n (1)m (2) Vˆ m (1)n (2)  n (1)m (2) dV1dV2 *  E (1)  2     m (1)n* (2)Vˆm (1)n (2)dV1dV2    m* (1)n* (2)Vˆm (2) n (1)dV1dV2  Q  A. * 1 Vậy hiệu chính năng lượng của hai hạt có spin gồm hai phần. Phần 2 thứ nhất không liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự cổ điển. Dấu  phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ mặc dù tương tác giữa các spin không được toán tử Vˆ (r12 ) xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước toán tử Vˆ dưới dấu tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử Vˆ các hạt trao đổi chỗ cho nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi thu được cả trong trường hợp toán tử Vˆ có xét đến tương tác giữa các mômen từ spin, tức là toán tử Vˆ có tác động lên các phần spinnơ của hàm sóng. 1.3. Kết luận Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất. Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó. Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên.
Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Bài 1. Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương bất kỳ. Lời giải Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có     S = Sx i  Sy j  Sz k . Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ  S.n = Sx n x  Sy n y  Sz n z    2  S.n = Sx n x  Sy n y  Sz n z  Sx n x  Sy n y  Sz n z     Sx n x   S y n y   S n  2 2 2 z z  Sx n x Sy n y  Sx n x Sz n z  Sy n y Sx n x  Sy n y Sz n z  Sz n z Sx n x  Sz n z Sy n y     Sx n x   S y n y   S n  2 2 2 z z   Vì Sx ,Sy  Sx Sy  Sy Sx  0 . Ta có: 2 2 Sˆ 2x  ˆ x2  I   4 4  2 2 2 Sˆ 2y  ˆ y  I 4 4  2 2 2 Sˆ 2z  ˆ z  I. 4 4       Sx n x   Sy n y   S n  2 2 2 2  S.n z z 2 2 2  4  n x  n y2 n  2 z  4
Nhận xét Kết quả bài toán cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một phương bất kỳ đều bằng nhau. Tức là hình chiếu spin lên một phương có thể  có hai giá trị là  . Do vậy mà ta rất khó xác định được trạng thái của spin 2 ˆ S . Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin toàn phần của hệ rất khó khăn. Bài 2. Giả sử  ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hóa trong không gian hai chiều. Định nghĩa các toán tử: Sˆ x =  2        Sˆ y = i 2        Sˆ z =  2        Hãy chứng minh : 2 Sˆ i ,Sˆ j   i  ijk Sˆ k ;      Sˆ i ,Sˆ j   ij . 2 Lời giải Chứng minh Sˆ i ,Sˆ j   i  ijk Sˆ k Vì  ,  là các véctơ trực giao và chuẩn hóa nên ta có:        1         0. Để chứng minh các hệ thức trên ta tính các hệ thức giao hoán Sx ,Sˆ y   Sˆ x Sˆ y  Sˆ y Sˆ x  
i 2 i 2  4              4                i   2       .  Vậy Sˆ x ,Sˆ y   iSˆ z   Sˆ y ,Sˆ x      Sˆ z ,Sˆ y   iSˆ x   Sˆ y ,Sˆ z      Sˆ x ,Sˆ z   iSˆ y   Sˆ z ,Sˆ x  .     Ta có: Sˆ x ,Sˆ x   Sˆ y ,Sˆ y   Sˆ z ,Sˆ z   0 . Từ các kết quả trên ta viết lại dưới dạng tổng quát sau: Si ,Sˆ j   i ijk Sˆ k .   Trong đó  ijk là tenxơ phản đối xứng, gọi p là số hoán vị đưa (i, j, k) về tập hợp (1, 2, 3). Khi ấy  ijk được định nghĩa như sau: 1 neáu i  j  k vaø p laø soá chaün  Với  ijk  1 neáu i  j  k vaø p laø soá leû 0 neáu coù töø hai chæ soá trôû leân truøng nhau  2  Chứng minh: Sˆ i ,Sˆ j   ij 2  Ta có Sˆ ,Sˆ   Sˆ Sˆ x x x x  Sˆ x Sˆ x  2Sˆ x Sˆ x 2 2 2  2 4              2        2         =1. n Vì theo hệ thức đóng:  ei  ei  1 nên i 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Tương tự: Sy ,Sy  Sz ,Sz  2   