zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Khoa học tự nhiên

Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:143

Báo xấu

92
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử trình bày đại cương về bài toán nguyên tử hydro; phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro; phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN NIÊN KHÓA: 2008 - 2009 Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 4 - 2009
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành khóa học này. - Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn. - TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn. - TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn. - Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài. - Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho đề tài. Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công! SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt… 2. Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm 5 V  ( Ee  10   ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp  cm  nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải. Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các  toán tử aˆ và aˆ liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy). Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy. Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình mà các phương pháp trước chưa giải quyết được. Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt.  Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa  Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài. Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp này. 3. Tóm tắt đề tài luận văn a. Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.  Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển mạnh mẽ của phương pháp.  Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử. b. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử aˆ và aˆ  tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn 1 đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử aˆ  tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử nˆ  aˆ  aˆ gọi là toán tử trung hòa. Toán tử nˆ tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn có trong trạng thái đã cho. c. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương: Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro. Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử. Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro. Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2 tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1. Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường. Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường độ điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả tính toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển. Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với m  e    1. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản). Ngoài ra, còn trình bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó. 1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử. Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân. Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U U r  (1.1.1) Do đó Hamlitonian của hạt có dạng: 2 2 ˆ H    U r (1.1.2) 2 m0 Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động của hai hạt với định luật tương tác U  r1  r2  rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực U  r  . Trong trường hợp nguyên tử hydro, ta có: me . m p  me  m p SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Vì m p me nên   me . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực. Chúng ta khảo sát chuyển động của e trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang trường hợp trường Coulomb. Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng: 2 me    E  U  r    0 (1.1.3) 2  Thay toán tử Laplace trong tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được: 1    2   1 2 me  r       E  U  r    0 (1.1.4) 2   , r 2 r  r  r 2 Trong tọa độ cầu r , , các toán tử hình chiếu và bình phương momen xung lượng có dang:  lˆz   i  (1.1.5)      lˆx  i   sin   cot g  cos   (1.1.6)         lˆy   i   cos   cot g  sin   (1.1.7)     Lˆ2    22 , (1.1.8) Dựa vào (1.1.8) ta có: 1   2   Lˆ 2 2m r      2 e  E  U  r    0 (1.1.9) r 2 r  r 2 2   r  SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên trục z định hướng tùy ý trong không gian. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:  n l m  r , ,   Rn  r  Yl m  ,  (1.1.10) Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử Lˆ2 và lˆz được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng: Lˆ2 Ylm   2 l  l  1 Ylm Ta đi tới phương trình sau cho phần xuyên tâm Rnl  r  của hàm sóng  n l m  r , ,   : 1 d  2 dR  2 me   2 l  l  1  r   E U r    Rr   0 (1.1.11) r 2 dr  dr   2  2 me r 2  1.2 Chuyển động trong trường Coulomb. Năng lượng của nguyên tử hydro Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm. Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm. Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng: Z e2 U  (1.2.1) r SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau  ) của electron trong nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng hydro. Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện : lim r 2 U  r   0 (1.2.2) r 0 lim U  r   0 (1.2.3) r  Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho U  r   0 , ta có:   2 1   2   Lˆ2 r     E (1.2.4) 2m r2  r   r  2 m r 2 Thay (1.2.4) vào (1.1.11), ta được: d 2R dR 2 me r 2  Z e2  r2  2 r   E   R  l  l  1 R  0 (1.2.5) dr 2 dr 2  r  ( me : khối lượng electron). Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị nguyên tử cho các đại lượng vật lý. Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt me  1, e  1,   1 Trong phương trình (1.2.5) , ta thực hiện phép tính thay thế sau: 2 r  ro    me e 2 (1.2.6) me e 4 E  Eo .    2 Từ (1.2.6) ta có :     r    r   (1.2.7) 2  2  2 2 r  r 2  2 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho các hệ số ak 2   k  l  1  Z  ak 1  ak (1.2.8)  k  l  2  k  l  1  l  l  1 Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và l  l  1 ở mẫu số trong công thức (1.2.8). Khi đó hệ thức truy toán có dạng: 2 ak 1  a (1.2.9) kl2 k Từ hệ thức truy toán trên, kết hợp với các phép tính toán và ngắt chuỗi, ta thu được các giá trị năng lượng để các hàm  thỏa mãn các điều kiện chuẩn: Z2 n   2 (1.2.10) 2n Trong đó n là một số nguyên, xác định bởi hệ thức: n  nr  l  1 (1.2.11) và được gọi là số lượng tử chính. Số nr được gọi là số lượng tử xuyên tâm. Vì nr không thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện: n l 1 Từ đó suy ra rằng, với n đã cho số lượng tử quỹ đạo l có thể có giá trị khả dĩ cực đại bằng n  1 nghĩa là: l  n1 (1.2.12) Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử. Để biểu diễn năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân  n với: me e 4 E0  2 (1.2.13)  SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa me e 4 Z 2 và thu được: En   (1.2.14) 2 2 n 2 hoặc viết trong hệ SI: me Z 2 e 4 1 En   . (1.2.15) 32 2 o2  2 n 2 trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng: Ze 2 U (1.2.16) 4 o r 1 Nm 2 trong đó:  9.10 9 (1.2.17) 4 o C2 Xét đối với nguyên tử hydro (Z = 1), ta có năng lượng của trạng thái cơ bản xác định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro: Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có: me e 4 Eo    13,6eV (1.2.18) 2 2 Trong hệ đơn vị nguyên tử, dựa vào biểu thức (1.2.10) ta có: 1 Eo    0,5 (1.2.19) 2  Nhận xét về các trị riêng Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. 1. Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên me Z 2 e 4 kết, bắt đầu ứng với năng lượng và kết thúc ứng với năng lượng không. 2 2 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa 2. Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, …, n-1. Như vậy có tất cả n giá trị của l và l xác định độ lớn của momen xung lượng. L  l  l  1  3. Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng  nlm  r , ,   Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị m   l ,  l  1,..., 1, 0, 1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z: Lz  m  Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau  nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là: n 1   2l  1  n 2 (1.2.20) l 0 Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2n 2 SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kích thích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4. 4. Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xác định bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ. Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử hydro. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất: Eo  13,6eV , n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì En  0 . Giá trị tuyệt đối của Eo cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro. Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do. 1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm tương ứng với một năng lượng Enj (sự suy biến theo số lượng tử m). SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa  Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là E và chiều e của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục Oz . Tương tác của điện trường Ee với điện tử tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện trường. Điều này dẫn đến trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng nhiễu loạn:     Vˆ  - pˆ e Ee  e rˆ Ee (1.3.1)   Trong đó p  er là toán tử mômen lưỡng cực điện của electron. e Khi đó toán tử Hamiltonian cho nguyên tử hydro có dạng: ˆ ˆ ˆ pˆ 2 Ze 2 2 2 H  H V =  ˆ  ezE (1.3.2) 2m r e 0 Như vậy khi có điện trường ngoài tác dụng: - Trước hết sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục. - Thứ hai là, tính chất của thế năng thay đổi khi Z   . Do thế năng giảm khi Z   (e
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của trường. Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có sự suy biến tương tự (m và -m). Chính những thay đổi này dẫn đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi. Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường. Trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, số hiệu chính cho năng lượng của hệ không nhiễu loạn được xác định bởi giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn trong trạng thái đó. Độ biến thiên năng lượng trong trạng thái njm dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn (1.3.1) bằng: E  Ee njm e njm (1.3.3) trong đó njm e njm là giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực điện trong trạng thái njm . Do toán tử momen lưỡng cực đổi dấu trong phép nghịch đảo các tọa độ không gian, nên giá trị trung bình của nó bằng không trong tất cả các trạng thái có tính chẵn lẻ 2 xác định. Thực vậy, nếu  a có tính chẵn lẻ xác định thì  a không thay đổi trong phép 2 nghịch đảo, do đó  a z d  0 , vì hàm dưới dấu tích phân đổi dấu trong phép nghịch đảo. Các trạng thái không suy biến của các hệ lượng tử có tính chẵn lẻ xác định, do đó giá trị trung bình của momen điện trong các trạng thái này bao giờ cũng bằng không. Các hệ lượng tử ở trong trạng thái suy biến, nói chung, có thể có momen lưỡng cực trung bình khác không, nếu trạng thái này không có tính chẵn lẻ xác định. Một thí dụ của trạng thái như thế là trạng thái kích thích đầu tiên của nguyên tử hydro, tương ứng với trạng thái này có hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau: SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa    2 s1 2    2 p1 2 Trong trạng thái này, giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực bằng e   *  2 s1 2 e 2 p1 2 + liên hợp phức. Momen lưỡng cực trung bình khác không có thể có trong cả các hệ lượng tử có nhóm các trạng thái hầu như suy biến, nếu như một hệ như thế không có năng lượng hoàn toàn xác định, do đó độ bất định của năng lượng lớn hơn khoảng cách giữa các mức có tính chẵn lẻ khác nhau. Trường hợp riêng của các hệ như thế là một số phân tử, chẳng hạn phân tử dị cực NaCl và một số phân tử khác…, các phân tử này có các mức quay sắp xếp rất gần nhau với tính chẵn lẻ khác nhau. Do đó, các giá trị trung bình của các momen lưỡng cực của những phân tử như thế khác không cả trong những điện trường yếu, vì khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong điện trường và năng lượng nhiệt. Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường.  Kết luận cuối chương Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng: - Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là 0,5 . Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh. - Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu điểm của phương pháp. Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro thông qua các toán tử sinh aˆ  , hủy aˆ và trung hòa nˆ . Kiểm tra lại tính chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có trong chương 1. 2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử 2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần giải phương trình Schrodinger:  2 d   x  m 2 2   x   x   E  x  (2.1.1.1) 2m dx 2 2 Trong đó: m là khối lượng của electron  là tần số dao động E là năng lượng của nguyên tử. Trong đó hàm sóng   x  phải thỏa những điều kiện cần thiết. Tuy đây là phương trình vi phân bậc hai đối với hệ số là hàm của biến x, nhưng lại có thể giải một cách chính xác. Trước hết, ta viết lại phương trình Schrodinger dưới dạng: 1  2 pˆ x   m x    x   E  x  2 (2.1.1.2) 2m   SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền
Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa Trong đó: ˆ pˆ x2 1 Ho   m 2 x 2 (2.1.1.3) 2m 2 Bài toán về dao động tử điều hòa có thể được giải rất gọn gàng bằng cách sử dụng phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử dựa trên ý tưởng sau: Ta thấy năng lượng của các hệ lượng tử bao gồm những mức rời rạc, gián đoạn và có thể đánh số được. Nếu tìm ra một cơ chế nào đó cho phép thực hiện việc chuyển từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao hơn hoặc ngược lại thì từ một mức nào đó, ta hoàn toàn có thể xây dựng tất cả những mức còn lại. Để tìm cơ chế trên, ta đưa ra hai toán tử aˆ , aˆ  liên hợp với nhau (xem phụ lục A2.4-iii), được xây dựng bằng các hệ thức:  1  m i   aˆ   xˆ  pˆ x   2  m    (2.1.1.4)   1  m i   aˆ  2   xˆ  m pˆ x     m Ta đưa vào biến không thứ nguyên   x , các biểu thức ở (2.1.1.4) được  viết lại đơn giản hơn:  1     aˆ         2  1 ˆ 2    ipˆ    (2.1.1.5)  aˆ   1       1 ˆ  ipˆ    2   2    Chú ý rằng:  m  pˆ x   i    i x  x SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học

207 tài liệu

1468 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.