intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hyđro

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST
Báo xấu
101
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là khóa luận tốt nghiệp Vật lý: So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hyđro. Khóa luận trình bày về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro; sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hyđro

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA SVTH: PHẠM THỊ MAI TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010
  2. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận. Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật toán trong ngôn ngữ lập trình. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay. Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em hoàn tất khóa luận. Sinh viên thực hiện Phạm Thị Mai SVTH: Phạm Thị Mai Trang 1
  3. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Mục lục MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3 NỘI DUNG .................................................................................................. 7 Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro.............. 7 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro........................................ 7 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro ................................. 12 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính..................................................................................... 16 1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17 Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử..................................................................... 20 2.3 Nhận xét ..................................................................................................25 Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro...................................................................................26 3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp ........................................................... 26 3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.......................................................................... 26 3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ vòng lặp ................................................................................................ 28 3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32 PHỤ LỤC .....................................................................................................34 Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34 Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 37 Phụ lục 3 Toán tử thế năng ........................................................................... 40 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ ..................................................... 46 Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48 Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran ........... 52 SVTH: Phạm Thị Mai Trang 2
  4. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1) Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn. Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như: Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán. Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu. 2) Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3
  5. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm. SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4
  6. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro. 3) Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là: Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn. 4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này. Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 5) Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính: Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc. Phần nội dung: gồm 4 chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5
  7. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa HYDRO Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng… Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính. Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử. Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích của sơ đồ lặp. Thiết lập sơ đồ vòng lặp. Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Nhận xét kết quả thu được. Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài. SVTH: Phạm Thị Mai Trang 6
  8. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa NỘI DUNG 1 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro [2],[4] 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đó hamilton của hạt có dạng:  2 2 Hˆ    U (r ) (1.1) 2mO Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực me .m p U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô   . Vì m p  me nên   me . me  m p Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là: Ze2 U (r )   (CGS) (1.2) r Trong đó: Ze là điện tích của hạt nhân. SVTH: Phạm Thị Mai Trang 7
  9. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng. Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng: 2 me    E  U (r )  0 (1.3) 2 Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng 1   r   , r2 1     r  2  r 2  r r  r  (1.4) 1     1 2  ,   sin   2 sin      sin   2 1 1     1 2    r  2  sin    2 2 r sin      sin   Thay (1.4) vào (1.3) ta được: 1  2  1 2m (r )  2  ,  2 e  E  U (r )   0 (1.5) 2 r r r r  Lˆ2 Do  ,   nên ta viết lại (1.5) như sau: 2 1  2  Lˆ2 2m ( r )    2 e  E  U (r )   0 (1.6) 2 r r r r 2 2  Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không SVTH: Phạm Thị Mai Trang 8
  10. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Lˆ2 và Lˆz với Hˆ . Trong trường hợp này Hˆ có dạng:  2 1  2  Lˆ2 Hˆ   ( r )   U (r ) (1.7) 2  r 2 r r 2me r 2 Ta thấy HL ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ; HL (1.8) Z Z Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  ,  nên giao hoán với các toán tử lấy vi phân theo r. Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình phương mômen Lˆ2 và hình chiếu mômen Lˆ Z . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng  nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  ) (1.9) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng ˆ   2l (l  1)Y ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R ( r ) của LYlm lm nl hàm sóng  nlm (r , , ) : 1 d  2 dR  2me  Ze 2  2 l  l  1   r    E    R (r )  0 (1.10) r 2 dr  dr   2  r 2me r 2  1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hiđrô me4 Z 2 En   E   (CGS) (1.11) 2 2 n 2 SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9
  11. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì: Z2 En   E   (1.12) 2n2 Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1  13, 6eV . Khi n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì En  0 . Một số mức năng lượng kích thích E2  3, 4eV ; E3  1, 5eV ;... Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên m Z 2e 4 kết, bắt đầu ứng với năng lượng  và kết thúc ứng với năng lượng 0. 2 2 Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13) Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng  nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị m  l , l  1,..., 1, 0,1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z Lz  m SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10
  12. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau  nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là n 1 2   2l  1  n l 0 (1.14) Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức kích thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2 n2 . 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:  nl m  r, ,   Rnl  r  Ylm  ,  2Zr 2 Với  và ao  2 (1.15) nao me a0: là bán kính Bohr thứ nhất Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  nl m  r , ,   của các hệ giống hydro ứng với các giá trị n=1, 2, 3,… n l m  nl m  r , ,   1 1 0 0 ( Z / a 0 ) 3 / 2 exp(  Zr / 2 a 0 )  SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11
  13. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1 2 0 0 ( Z / a 0 ) 3 / 2 (1  Z r / 2 a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 ) 2 2 2 1 0 1 ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z r / a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 ) cos  4 2 1 2 1 1  ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Zr / a 0 ) exp(  Zr / 2 a0 ) sin  exp(  i ) 8  1 3 0 0 (Z / a0 )3/ 2 (1  2Zr / 3a0  2 Z 2 r 2 / 27a02 ) exp( Zr / 3a0 ) 3 3 2 2 ( Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos  3 1 0 27  3 1 1 2  (Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )(Zr / a0 )exp(Zr /3a0 )sin  ei 27  1 ( Z / a 0 )3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 )(3 cos 2   1) 3 2 0 81 6 3 2 1 1  ( Z / a0 )3/ 2 ( Z 2 r 2 / a02 ) exp(  Zr / 3a0 ) sin  cos  e  i 81  1 3 2 ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 ) sin 2  e  2 i 2 162  1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử [12] hidro Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng: 2  Ze2    Δψ(r )   (r )  E (r ) (1.16) 2m 4 0 r Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích. SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12
  14. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x , y  a0 y , z  a0 z với a0  4 0  2 / me 2 là bán kính Bohr. Khi đó phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:  1 Z     Δ   ψ(r )   ( r ) (1.17)  2 r Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là a0 và ma02 /  2 . Ta có thể viết dưới dạng tường minh như sau: Hˆ ( x, y, z )    ( x, y, z ) (1.18) 1  2 2 2  Z Với: Hˆ    2  2  2   (1.19) 2  x y z  x2  y2  z 2 Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:   1     1   a   a       ,     (1.20) 2     2     với   x, y , z , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau Dễ dàng thấy rằng  a  , a    1 (1.21)   (Phụ lục1trang 46) Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta  trong biểu thức (1.19) qua biểu viết lại các thành phần trong Hamiltonian H diễn các toán tử sinh huỷ này. 1.2.1 Toán tử động năng 2 2 T   1       2  1 2 H  2  x 2 y 2 z 2      2   2 (1.22) SVTH: Phạm Thị Mai Trang 13
  15. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Từ (1.20) ta có: 2       a   a         2 a  a   2   Suy ra  2  2  a   a    a  a   2  a  a   1  2a a  (1.23)     2  2     Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được 1 Hˆ T      aˆ2  aˆ2   1  2aˆ aˆ   (1.24) 4  Đặt Aˆ  aˆ2 , Aˆ  aˆ2 , Nˆ   aˆ aˆ (1.25) Thay (1.27) vào (1.26), ta được: 1 1 Hˆ T    1  2 Nˆ       Aˆ  Aˆ  (1.26) 4  4  với   x, y, z 1.2.2 Toán tử thế năng Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần thế năng dưới dạng: Z Z  1 2 2 2 Hˆ U     dt et ( x  y z ) (1.27) 0 x2  y 2  z 2  t (Phụ lục 2 trang 37) Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng: Z 1 Hˆ nU,k     0  dt t   Sˆ    Sˆ   0 '   (1.28) SVTH: Phạm Thị Mai Trang 14
  16. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa với: Sˆx  : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử S x  khi tác dụng 0 0 lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi. m 2i m  ˆ0 1    1 m ˆ m  1 2i ˆ i ˆi   1 2i m ˆ i ˆ m ˆ i  Sx  1  x Nx   2x Ax Ax   2 x x Ax Nx Ax  (1.29) 1 2x  m1 m! i1  i! i,m1  i! m!  il l i  Sˆx' : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử Sˆ x' khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét. 1    1ml l m m l   1l l l   1i i i Sˆ  ' x  xx Nˆ x Aˆx  x Aˆx   x Aˆx 1 2x ml, 1 m!l! l1 l! i1 i!  (1.30) il im ilm    1  xil Aˆxi Aˆxl    1  xi xmAˆxi Nˆ xm    1 il m ˆ i ˆ m ˆl  x x Ax Nx Ax  i,l1 i!l! i,m1 i!m! i,l,m1 i!l!m! li li  1.2.3 Toán tử hamilton Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được: 1 1 Z  1 Hˆ   12Nˆ   Aˆ  Aˆ   dt Sˆ  Sˆ' 4 4  0 t  0   1 1 Z  1  4  4  t   12Nˆ   Aˆ  Aˆ  0 dt Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz0 Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz' Sˆx 0 Sˆy' Sˆz0 (1.31) Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ  Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ  0 ' ' ' 0 0 ' 0 ' ' ' 0 ' ' ' x y z x y z x y z x y z x y z Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (1.32) Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử Hamilton Hˆ trong bài toán không nhiễu loạn, với: 0 SVTH: Phạm Thị Mai Trang 15
  17. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa  1 Z 1 ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0) Hˆ 0    (2 Nˆ   1)   ( S x S y S z ) dt (1.33) 4   x, y , z  0 t Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán tử nhiễu loạn Vˆ , với:  2  2 Z Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' ' 1 4   Vˆ    a   a    x y z x y z x y z x 1y z x y z x y z x y z dt    0 t2 (1.34) Dùng các toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ và qua quá trình tính toán ta tính được các yếu tố ma trận của Hˆ : H nk  n Hˆ k  (-1) m m m  1 2 i 2i-1 2i Sˆn(0)  , k  {1+   k     2     [ (k   ) (k  2i   )]1/2 m=1 m! i=1 (i!)  =0  =1 (1.35)  (-1) 2i 2 i 2i-1 2i 1/2  (-1)m  n ,k  2     [ (k   ) (k   2i   )]  (k  2i) m } i=1 (i!)  =0  =1 m=1 m! 1  2  (-1)m  (-1)l 2l-1 Sˆ' { m l [(k )]1/2(k 2l)mn ,k 2l m=0 m! l=1 l!    =0  (-1)i  (-1)m 2i (1.36)  i  mkm[(k )]1/2n ,k 2i i=1 i! m=0 m!    =1  (-1)i  (-1)m  (-1)l 2l-1 2i 1  i  m l [(k )]1/2(k -2l)m[(k 2l )]1/2n ,k 2l2i } i=1 i! m=0 m! l=1 l! 1+2    =0  =1 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính 1 E0(0)  000 Hˆ 0 000  000    2 Nˆ   1 000 4   x, y, z  Z  000 Sˆx0 Sˆ y0 Sˆz0 000  dt  0 2 1 1/ 2 t  (1  2 )  x, y,z Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc không trở thành: SVTH: Phạm Thị Mai Trang 16
  18. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa  3 Z 1 E0(0)     1 dt 4  3 0   t   2 t 1          t 3 Z 1 Ta đã đặt    dt  2 d  E0(0)    2  1 3 d 2 4  0  (1   2 ) 2   2 2 3 2  Suy ra E0(0)    (1.37) 4  Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân   1 . Suy ra : E 0   0.37837915139550750 (1.38) 1.4 Nhận xét Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là E0  0.37837915139550750 , giá trị này còn sai khác nhiều với giá trị chính xác. Để thu được kết quả tốt hơn, ta tính các bổ chính năng lượng cơ bản. Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách làm phổ biến và khá hiệu quả. SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17
  19. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 2 Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[10],[6] Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (2.2) Trong đó: Thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác Hˆ 0 n   n n (2.3) SVTH: Phạm Thị Mai Trang 18
  20. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 , Vˆ  Hˆ 0 . Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem  n và  n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của  . Ta giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng  của Hˆ là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng  , n 0 n với n  0,1, 2,... . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của Hˆ 0 như sau:   ( x )   Ck  k ( x ) (2.4) k 0 Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau:   n ( x)   n ( x)  C k 0 k  k ( x) (2.5) (k n) Ta ký hiệu En (0) , C j (0) là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn En ( s ) , C j ( s ) , s  1 là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Biến đổi toán học, ta được En (0)  H nn , C j (0)  0 , V jn En (1)  Vnn , C j (1)  (0) ( j  n) ; En  H jj SVTH: Phạm Thị Mai Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2