Kiến thức cơ bản và phương pháp luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán (in lần thứ ba): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Hướng dẫn ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán" trình bày các kiến thức: Hình học không gian, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, phương pháp tọa độ trong không gian, ứng dụng của phương pháp số. Cuối sách có một số đề thi tham khảo để người đọc rèn luyện và nâng cao kĩ năng thực hiện trọn vẹn một đề thi trong thời gian quy định.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức cơ bản và phương pháp luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán (in lần thứ ba): Phần 2

Chủ dề 6 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CẨN NHỚ d i Đường thẳng song song vổi đường thẳng - Nếu ba mặt phăng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. - Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. - Nếu hai mặt phang cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng cùng song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. H Đường thẳng song song với mặt phẳng - Một đường thẳng a nếu không nằm trong mặt phẳng (a) thì hoặc a song song với (a) hoặc a cắt (a) tại một điểm. - Một đường thẳng a song song với một mặt phẳng (a) khi và chi khi đường thẳng a không nằm trong mặt phang (a) và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng (a). - Nếu một đường thẳng a song song với một mặt phẳng (a) thì bất kì mặt phẳng nào chứa a mà cắt (a) sẽ cắt mặt phẳng đó theo một giao tuyến song song với a. 10 Hai mặt phẩng song song - Nếu một mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng a và b giao nhau và hai đường thẳng này cùng song song vói một mặt phẳng (P) thì (a) // (P). - Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song vói hai đường thẳng của một mặt phẳng thú hai thì hai mặt phẳng đó song song với nhau. Một số tính chất cần nhớ: +) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau. +) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. +) Ba mặt phẳng song song chắn ra trên hai cát tuyến bất ki những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. (Định lí Ta-lét) i Đường thẳng vuông góc với đường thẳng - Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thi vuông góc với đường thẳng còn lại. 11 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (a) thỉ a vuông góc vói (a). 101
fif Đường vuông góc và đường xiên Từ điểm s ờ ngoài mặt phang (a), vẽ đoạn vuông góc và các đoạn xiên đên mặt phang đó. Khi đó: +) Đoạn vuông góc ngan hơn mọi đoạn xiên. +) Hai đoạn xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng trên (a) băng nhau. +) Trong hai đoạn xiên không bằng nhau, đoạn nào dài hơn thì có hinh chiếu trên (a) dài hơn và ngược lại. Tập hợp những điềm cách đều các đinh của một đa giác nội tiếp là một đường thẳng đi qua tâm đuờng tròn ngoại tiếp đa giác đó và vuông góc với mặt phang chứa đa giác đó. Neu một đường thẳng nằm trong mặt phang (a) mà vuông góc với một đường xiên thì vuông góc với hình chiếu của nó và ngược lại. (Định lí ba đường vuông góc) |§J Góc giữa dường thẳng và mặt phẳng Cho mặt phang (a) và đường xiên a. Góc giữa a và (a) là góc giữa a với hình chiếu của a trên (a). Hai mặt phẳng vuông góc Hai mặt phăng được gọi là vuông góc với nhau nêu một trong hai mặt phăng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phang kia. Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thi giao tuyến của hai mặt phang đó cũng vuông góc với mặt phang thứ ba. 01 GÓC giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phang là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phang đó. (Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng nhỏ hơn hoặc bàng 90°) Ta có: +) Nếu (P) // (Q) thì góc giữa (P) và (Q) bàng 0°. +) Nếu (P) -L (Q) thì góc giữa (P) và (Q) bàng 90°. +) Góc giữa hai mặt phang có giá trị từ 0° đến 90°. Cách xác định góc giữa hai mặt phang (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến A: Lấy mặt phang (a) vuông góc với A, mặt phẳng (a) cắt mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) lân lượt theo các giao tuyên a, b. Khi đó góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa hai đường thăng a và b. 0 Cách xác định doạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b Qua a dựng mặt phang (a) song song với b. Sau đó chiếu đường thẳng b xuống (a) ta được b'. Giao của b' với a là I. Từ I kẻ đuờng vuông góc với (à) cắt b tại J. Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của a và b. Tính chất: +) Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất nối hai điêm lân lượt năm trên hai đường đó. Độ dài đoạn vuông góc chung đó chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đó. 102
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bàng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó. +) Khoảng cách giữa hai đường thằng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường đó tới mặt phang đi qua đường thẳng thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất. j j Hình trụ, hình nón +) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2nRh. +) Thể tích khối trụ: Sxq = 7iR 2 h. Với R và h lần lượt là bán kinh đáy và chiều cao của hình trụ. +) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = jiR/. +) Thể tích khối nón: V = -7tR2h. 3 Với R, /, h lần lượt là bán kinh đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. fp Hình cẩu, mặt cẩu +) Diện tích mặt cầu: s = 4 jiR2. +) Thể tích khối cầu: V = — R 3. 3 Với R là bán kinh của hình cầu. 0 Hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình chóp Thể tích hình lăng trụ: V = s đ.h, với s đ và h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ. Thể tích của hình hộp chữ nhật: VchSnhậ, = abc, với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Thể tích hình chóp: V = — d.h, vói s đ và h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của s hình chóp. 0 Vị trí tưởng đối giữa mặt cẩu và dường thẳng Vói (S) là mặt cầu có bán kính R; d là khoảng cách từ đường thẳng A đến mặt cầu (S). +) d > R, khi đó A n (S) = 0 . +) d = R, khi đó A n (S) = {H}; A tiếpxúcvới mặt cầu(S) tại điềm H, điểm H gọi là tiếp điểm của A và (S); đường thẳng A gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S). +) d < R, khi đó A cắt (S) tại hai điểm. É l VỊ trí tưúng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Với (S) là mặt cầu bán kính R; d là khoảng cách từ mật phăng (P) tới mặt câu (S). +) d > R, khi đó (S) n (P) = 0 . +) d = R, khi đó (S) n (P) = {H};mặt phẳng(P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H; mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện của mặt cầu. 103
+) d < R, khi đó mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn tâm I, bán kính r= Mặt phẳng (P) tiếp xúc với S(0; R) tại tiếp điểm H khi và chi khi mặt phẳng (P) vuông góc với OH tại H. II. GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài toán 1. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng (p (0° < < < 90°). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ p đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). H ướng dẫn +) Gọi H là tâm tam giác ABC, ta có SH X (ABC); gọi M là trung điểm của BC, ta có AM ± BC, SM _L BC => AMS = (p. . . . = aV3 _ AM _ aVŨ AM = — — => HM = — —= —— . 7 2 3 6 fz Tam giác SHM vuông nên SH = HM.tancp = ----- tancp; 6 T . .c _ 1 aV3 _ a2S Lại co o a a b c ------- â . ---------— ------------ 2 2 4 . ,, 1 c O T a 3 tamp T nên V s .a b c - , SAABC.SH ------—— . 3 24 +) Trong tam giác SAM, dựng AK ± SM; AK thuộc mặt phẳng (SAM) nên AK _L BC. Suy ra A K 1 (SBC). Vậy d(A; (SBC)) = AK = AM.sincp = av^ sincp. 104
Bải toán 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bàng 60°. a) Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và sc. c) Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD). d) Tính côsin góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD). e) Mặt phang (P) chứa cạnh AB tạo với đáy một góc 30°, cắt các cạnh s c , SD tương úng tại M, N. Tính diện tích tử giác ABMN vả thể tích cùa khối chóp S.ABMN theo a. Hướng dẫn Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta được CD Ấ EF, CD J_ SF => EFS = 60°,suy ra tam giác SEF đều. a) Do AB // CD c (SCD) nên AB // (SCD). Khoảng cách từ AB đến mặt phang (SCD) bằng khoảng cách từ trung điểm E của AB đến mặt phang síị (SCD). Khoảng cách này bằng HE = — -a. b) Ta có AB // (SCD), s c c (SCD) nên d(AB; SC) = d(AB; (SCD)) = — a. c) Vì AB c (SAB), CD c (SCD), AB // CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đuờng thẳng d qua s song song với AB và CD. Ta có AB -L (SEF) nên d 1 (SEF). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SE, SF và bằng ESF = 60°. d) SO 1 (ABCD) nên AO là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD). Ta có ÍT X AO AO ¡2 cosSAO = — = — = = = = . — ■ — p SA V ạ o 2 + S 0 2 » 5 e) Gọi H là giao điểm của SF với MN. Ta có góc giữa mặt phẳng (P) và đáy là FEH = 30°,, suy ra EH là đường phân giác của tam giác SEF. Do đó H là trung điểm của 30 tar SF và MN là đường trung bình của tam giác SCD. Sabmn = |( A B + MN).HE = ^ .H E . 3n/332 Vì tam giác SEF đều nên H E : EF = — a J ABMN 2 2 V3a3 +) Ta có SH - —SF = —; VSABM - -S H .S ABM N N 16 105
Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA -L (ABCD), Giả sử AB = a, AD = b, SA = c. a) Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng sc vả BD._________________ ____________ H ướng dẫn a) Kẻ AH 1 BD. Ta có BD = (SBD) n (ABCD) và BD _L (SAH), trong đó SH c (SBD), AH c (ABCD). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng HA và HS, tức là góc SHA. Xét tam giác vuông SAH, r— r AH AH ta có cosSHA = —— = , ===== SH ^A H 2 +A S 2 b) Ta có SC.BD = (AC - A s) .BD = AC.BD - AS.BD = b2 - a 2 u 2 „2| I _ _ v | b -a =>cos(SC,BD) = cos(SC,BD) = , ......:-------- , Vc2 + a 2 + b 2 .Va2 + b 2 Bài toán 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và B'C. b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo ti số ■^^■ = 3. Tính khoảng cách từ M MD đến mặt phang (AB'C). c) Tính thể tích tứ diện AB'CD'._____________________________________________ Hướng dẫn 106
a) Khoảng cách giữa AD' và B'C bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và bằng AB = a. Cách 1: b) Gọi o là giao điểm của AC và BD, ta có o là trung điểm của BD, suy ra d(D; (AB'C)) = d(B; (AB'C)). Ta có DM cất măt phẳng (AB’C) tai A và MA = —DA, suy ra 4 d(M; (AB'C)) = - d (D ; (AB'C)). Vậy d(M; (AB'C)) = —d(B; (AB'C)). 4 4 Kè BH 1 AC, BK 1 B'H. Ta có AC 1 (BB'H) nên AC 1 BK, suy ra BK 1 (AB'C). Như vây d(M; (AB'C)) = —d(B; (AB'C)) = —BK. Xét các tam giác vuông ABC và BB'K 4 4 ta được BK = — . Vậy d(M; (A B 'C ))= -B K = c) Có thể tính thể tích phần bù của khối đa diện AB'CD' trong khối hộp chữ nhật: V aB'CD' = V a b c D.A'B'C'D' - V a B'D'A' - V ACD'D — V AB’CB — V c B ’D'C'ỉ V a b c d .a ^ c d ’ ~ 2a.a.a - 2a ; V ab ’D'a ' = —AA'. Sa'B'D '= ~ ; VA D= ỈD D '.S ACD= y ; 1 -3 i = Ị b b '. S abc = V,CB'D'C' — — C C ' . S b 'C'D' . 2a Vậy VA 2a -4 .— = -=— 3 3 Hoặc có thể tính như sau: Gọi E là giao điểm của BD' và B '0, vì B'D' // BO nên ta có 2 ^ = 4 ^ = 2. Suy ra d(D'; (AB'C)) = 2d(B, (AB'C)). Suy ra V d abc = 2 V B.AB'C- EB BO 1 a3 2 a3 Mặt khác, V b . a b ' c = — B B '. S abc = — nên V d ' . a b ' c = — • Cách 2: Trong không gian, xét hệ toạ độ vuông góc Oxyz thoả mãn o = B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0) và B'(0; 0; a). » 'X b) Phương trình mặt phang (AB'C) theo đoạn chăn là —+ ^ = 1 . a 2a Ta có A(a; 0; 0), D(a; 2a; 0), AM = —AD. 4 -a = — .0 4 2.3 + 1.— + 2 . 0 - 2 a 3a 2 yM - 0 = —.2a M a; — 0 => d(M; (AB'C)) - 4 V2 2 +1 + 2 2 3 Z M - 0 - —.0 4 107
c) Ta có A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0), B'(0; 0; a), D'(a; 2a; a) (toạ độ D' được suy ra từ đẳng thức vectơ B D 1 = BA + BC + BB1 ) =>ÃC = ( -a ;2 a ;0 ), ÃB’= ( - a ; 0 ;a), ĂD' = (0;2a;a). 2a 0 0 -a -a 2a >[a c , a b '] = = ( 2 a 2 ;a 2 ; 2 a 2) 0 a a -a -a 0 ►AC, AB ’] .AD’ = 2a2.0 + a 2 ,2a + 2a2.a = 4a 3 [ > V ^ .cd .= I |[ Ã C ,Ã B 1] .Ã d | = ^ - . Bài toán 5. Cho hình lập phưomg A B C D -A ^ ^ D ' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B'D. Hướng dẫn A’ D’ D Cách 1: Gọi o là giao điểm của hai đoạn AC và BD. Kẻ OH 1 B'D. Ta có A C 1 BD, AC ± BB', suy ra AC -L OH. Suy ra OH là đường vuông góc chung của AC và B'D, d(AC; B'D) = OH. Ta có OH DO ADHO co ADBB' BB' DB' a £ a =>OH = BB’. ^ - = a . DB' 2~ ^ 2 + (a 7 2 ) 108
Cách 2: Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho o = A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; a). Ta có ĂC = ÃB + ĂD = (a ;a ;0 ); BĩD = Ã D -Ã B , = Ã D -(Ã Ã ' + Ã l) = ( - a ; a ; - a ) ; \ r _____ - 1 fa 0 0 a a a AC, B D = » L J l a -a -a - a -a a y => |[AC, B 'd ]| = V (-a 2 )2 + (a2) + (2a 2 )2 = Vẽa2; ÃD = (0; a; 0) => [Ã C .B T ^.Ã D = - a 2.0 + a2.a + 2a2.0 = a3. |[ a c , b ’d ]Ị.a d I a3 a Vóa2 Vó 1a c , b ' d ] [ Chú ý: Bạn đọc có thề giải bài toán này bằng phương pháp sử dụng vectơ. Bài toán 6 . Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a-v/3 và hình chiếu vuông góc của đinh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. a) Tính theo a thể tích khối trụ; thể tích các khối chóp A'.ABC và A'.BCC'B'. b) Tính khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (A'ACC'). c) Tính côsin của góc giữa hai đường thang AA' và B'C'. d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C'. H ướng dẫn a) Xét AABC A U = VA'A 2 - AH 2 = V(2a)2 - a 2 = V3a. =>VA,ABC Ỳ ^ A B C = jA 'H .ÌA B .A C = ÌV 3 a .ìa .V 3 a = i a 3. 109
Thể tích khối trụ: VABC A'B'C' = A'H.Sabc = V3a.—a.V3a = —a 3 . Đe tính Va .bcc b' ta dựa vào thể tích phần bù cùa khối chóp trong khối lăng trụ Y a ' . b c c b ' = V a b c . a ' b ' c - V A 'A B C = T a 3 ~ 2 ^ ~ a3' b) Vi BB 'II (ACC’A') nên khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (ACC'A') bằng khoảng cách từ B đến mặt phang (ACC'A'). VB.ACA' = ịd ( B ; (ACC-A-)).S a .ac => d(B; (A C C 'A '))= 3 gBACA' - J Oa 3A'AC Ta có A ’C = V a ’H 2 + H C 2 . ặ ã f 7 ĩ . 2 a nên tam giác A'AC cân tại đình A'. Gọi M là trung điểm của AC, ta có A'M X AC, AM : \2 VĨ3a A ’M = V A 'A 2 - A M 2 = (2a ý \ 2 / => SA.AC = - A ’M.AC = - . ^ ^ . V ,V3a = ^ a a‘ . 3a — 2 2 2 2 4 Vì VB.ACA.= V A,ABC= ặ nên d(B ;(A C C 'A ')) = = J jL . V39a2 V39 ■ 4 6a Vậy khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (ACC'A') bằng V39 ■ c) Cách 1: Ta thấy A 'H l(A B C ) nên A 'H l( A 'B 'C ') ,s u y ra tam giác HA'B' vuông tại A’. Theo Định lí Py-ta-go: HB '2 = H A '2 + A 'B '2 = 3 a 2 + a 2 = 4 a 2 => HB' = 2a. Tam giác BB'H có HB' = BB' = 2a nên là tam giác cân tại B'. Do đó cos B 1 = -5^- = -5 ĨL . = — = — ờ đó K là trung điểm của BH. BH BB' 2BB' 4a 4 Góc giữa hai đường thẳng AA’ và B'C' bằng góc giữa hai đường thẳng BB' và BC (vi AA' // BB'; B'C'// BC), do đó bàng B^BH (chú ý BTBH< 90°). Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' bàng —. 4 Cách 2: T a có COS(ÃẤVẼrc') = COS(ÃÃỤb c ) ; ÃS.BC = (ÃH+ H Ã ')1 c = ÃH.BC+ HA’.BC 110
=AH.BC = - ( a B + A C ) .( a C -A b ) =-(A C 2 -A B 2 ) = -(3 a 2 - a 2 )= a 2 AA'.BC s( a A',BC] = AA'.BC 2a.2a 4 d) Vì AB và B’C' thuộc hai mặt đáy cúa lăng trụ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ và bằng chiều cao của lăng trụ => d(AB;B'C ) = A 'H = yfĩa. Bài toán 7. Cho hình nón có độ dài đường sinh là q và bán kính đường tròn đáy là a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp mặt nón và diện tích mặt cầu nội tiếp mặt nón. Hướng dẫn a) Giả sử s là đinh của mặt nón và M là tâm của đường tròn đáy. Xét AB là một đường kính của đường tròn đáy. Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp mặt nón bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và bán kính mặt cầu nội tiếp mặt nón bằng bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác SAB. Đặt ASB = 2 a.X ét tam giác vuông ASM, ta có MA aMS J q 2 - a 2 sm a= , cosa= — = — — ---------- SA q SA q -—- 2a.y[ị > sin ASB = sin 2 a = 2 sin a.cosa = --- -— Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB, ta có AB 2a q2 R= 2sinASB 2ayfq 2qz 47iq 4 Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp mặt nón là Sj = q2 - a 2 Áp dụng công thức tính diện tích ta có SAB = (SA + SB + AB)-r = SA.SB.sin ẤSB. 2 a-yq SA.SB.sin ASB q -a : SA + SB + AB : 2q + 2a q+a 4na ( q - a ) Suy ra diện tích mặt cầu nội tiếp mặt nón là s2= (q + a) 111
Bài toán 8 . Cho hình nón có đường cao s o = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn os, đặt OM = X (0 < X < h). a) Tính diện tích cùa thiết diện ( ĩ) vuông góc với trục hình nón tại M. b) Tính thể tích khối nón đinh o có hình tròn đáy là (I'). Hướng dẫn a) Gọi r là bán kính của thiết diện (I') vuông góc với R truc tai M. Ta có: r = — (h —x) nên diên tích của ( ĩ) bằng h R2 h b) Gọi V là thể tích khối nón đỉnh o và đáy là (I'), ta có: 1 1 R^ V = —diện tích (I').OM = —.71— (h - x)2x. — Bài toán 9. Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R. Gọi AB, CD lần lượt là đường kính củả hai đường tròn đáy. Giả sử ABCD là tứ diện đều. a) Tính bán kính đường sinh của mặt trụ và cạnh tứ diện đều theo R. b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của mặt trụ. c) Tính thể tích khối trụ. d) Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp mặt trụ. Tính thế tích khối cẩu tương ứng. Hướng dẫn a) Cạnh tứ diện đều bằng đường kính đáy của mặt trụ AB = 2R. Đường sinh cùa mặt trụ băng khoảng cách giữa hai cạnh đôi nhau của tứ diện đều. Gọi o, I lần lượt là trung điêm của AB và CD. Độ dài đường sinh mặt trụ bằng OI. Xét tam giác đều ABC có CO = — AB = V3R. Xét tam giác đều ABD có DO = — AB = V3R. Suy ra tam giác OCD cân đỉnh o , suy ra OI J- CD. Xét tam giác vuông OIC có OI = V ó c 2 - I C 2 = Ậ S k ) - R 2 = n/ĨR. Suy ra đường sinh của mặt trụ bàng \Í2R. b) Diện tích xung quanh cùa mặt trụ là 2nR.\Í2K = 2n-JĨR 2. Diện tích mỗi mặt đáy trụ là 7tR 2. Diện tích toàn phần của mặt trụ là 2 (V 2 + i)tiR 2. c) Thể tích khối trụ là 7iR2.V2R = V271R3. d) Gọi s là trung điểm của OI. Vì OI là trục đối xứng của mặt trụ nên s cách đều tất cả các điểm thuộc hai đường tròn đáy, điều đó có nghĩa là mặt cầu tâm s, bán kính SA ngoại tiếp mặt trụ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp mặt trụ là R ' = SA = Vso2 + O A 2 = 112
/ 1 \ -- Diên tích măt cầu ngoai tiếp măt tru là 47iR'2 =471 , —R = Ó7tR2. Thể tích khối cầu 1^2 J 4 3 4 tương ứng là —7iR' = —71 - VónR3. - ( ế Bài toán 10. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC bằng 90°. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b. Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của BC => AH ± BC (do AABC cân). Vì (DBC) 1 (ABC) => AH 1 (DBC). Vậy AH là trục của tam giác vuông DBC. Do đó tâm 0 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên AH và ta có: OA = OB = o c = ỌA = R. Do đó R cũng là bán kinh đường tròn ngoại tiếp AABC. a2b Ta c ó : S a a b c = — — • Xét AABC, ta c ó 4R AH = / ác" - CH' 2 b ị 4a >SAABC=ịBC.AH = i b . í í •R : Vậy tâm o của mặt cầu nằm trên đường thẳng AH sao cho: AO = R = í 4a Bài toán 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45°. Một mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy ABC tại A và tiếp xúc với cạnh BS kéo dài về phía s. Tính bán kính của mặt cầu. H ướng dẫn Mặt cầu S(I; R) tiếp xúc với mặt phang (ABC) tại A và tiếp xúc với BS tại H. Gọi o là tâm cùa tam giác ABC và K là hình chiếu cùa I xuống s o . Ta có SBỒ = 45° nên s o = OB = — 3 và SB = Vị BA và BH là hai tiếp tuyến của mặt cầu nên BH = BA = a. 113
Ta có IH + HS = IK2 + KS2. i\lĩ Nhưng LA = IH = OK = R và IK = AO = —— nên ta có . aV Ĩ aV3 r + -R R = * ( 2V Ỉ - V 5 ) . III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Bài 2. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A,B,Ci có đáy là tam giác ABC vuông cận tại A và BC = a. Đường chéo của mặt bên ABB 1A 1 tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = aVJ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC. A ’B 'C có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a. cạnh bên A A '=a\/2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phang vuông góc với đáy. Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng cùa D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAD = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 'd\Ỉ2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài 8. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm o và O', bán kính đáy bàng chiều cao và bàng a. Trên đường tròn đáy tâm o lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. 114
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 3 . \ í ĩ , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A D v à S C ; I là g iao điểm cùa B M v à A C . Chứ ng m inh rằng mặt phẳng (S A C ) vuô ng góc vớ i m ặt phẳng ( S M B ). T ính thể tích của khối tứ diện A N IB . Bài 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,SA = 2a v S A vuông gó c vớ i m ặt phẳng ( A B C ). G ọ i M , N lần lượt là hình chiếu vuô ng góc của A trên các đường thẳng SB, s c . Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.AiBiQDi có cạnh bàng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A,B và B|D. b) Gọi M, N, p lần lượt là các trung điểm của các cạnh BBi, CD,, AiDi- Tính góc giữa hai đường thang MP và C]N. Bài 12. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phang (ABC); AB = 3cm; AC = AD = 4cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phằng (BCD). IV. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP s ố MỘT s ố BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1. Ta cóBC = 2a, H là hình chiếu của I xuống _ 4a mặt phang ( A B C ) . T a có I H 1 A C và IH = — . 1 4a3 Suy ra VIABC = —SAABC.IH = — ; — SửA'BC= — a V 5 . 2 a = a 2 ; 2 c 2 - Ĩ . - 2 [7 ữA I B C - y ^ A A ^ C - 2 a B ài 2. G óc A ị B A là gó c tạo bời đường chéo của mặt bên A B B iA i với đáy A B C của lăng trụ, nên A . B A = 6 0°. T a có A B = A C = = -4 = . 1 4Ĩ -ã Diên tích đ á y A B C là: s = —A B .A C = — = — 2 2 V 2 V 2 4 Xét tam giác vuông A iB A , đường cao lăng trụ là: g h = AAj = AB.tanóO0 =-5=-.V3 = . V2 2 ■ _ a 2 aV ó a 3 V ổ .. V ậ y thê tích khối lăn g trụ là: V = s .h = — 1 (đvtt). 4 2 0 115
Bài 3. Gọi H là hình chiếu của s trên AB. Ta có tam giác SAB vuông tại S; SM = -^5.; tam giác SAM đều; SH = Ĩ^ỊẤ- S bmdn - ^ S ABCD- 2 a 2. Kêt luận: V = - SH. SBM = DN - . Kẻ ME // DN suy ra AE = 2 Đặt (p là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có Z(SM , ME)=tp. Ta có SA _L AE; SE = V sA 2 + A E 2= — , ME = Và m 2 + A E 2 = — . 2 2 Tam giác SME cân tại E nên SME = < và cos BP 1 AM. I /ĩa 3 Kè M K 1 (ABCD), K s (ABCD). Ta có V = VCM = -M K .S cnp = NP 3 96 Bài 6. Cách 1: Gọi p là trung điểm của SA. Ta có MN // (SAC). Mặt khác, BD _L (SAC) nên B D 1 MN. Vì MN // (SAC) nên d(MN; AC) = d(N; (SAC)) = - d(B; (SAC)) = - B D = — . 116
Cách 2: Gọi H là tâm cùa hình vuông ABCD. Khi đó BH 1 (SAC) (1). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của SA và AB. Khi đó MK // IH (2). 1 Từ (1) và (2) suy r a M N lB D và d(MN; AC) = d(H; (KMN)) = —HQ = — . a) Kẻ CE vuông góc AD. Tứ giác OBCE là hình vuông nên CE = AE = ED = a. Suy ra tam giác SCD vuông tại c. b) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz: A(0; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; 2a; 0); S(0; 0; a V2 ). Khi đó H 1— ; 0; aV2 j và (SCD): X + y + V2 z - 2 a = 0 ^ => d(H; (SCD)) = - . Bài 8. Cách 1: Gọi B' là hình chiếu của B xuống mặt phẳng đáy. Ta có: A B ' = yj( 2 a ) 2 - a 2 = a J Ï . 117
Gọi H là hình chiếu cùa B' xuống OA. Khi đó 2 ự í ^ a V 3 _ a 3Vã 3^2aaJ 2 ~ 1 •Vậy Voo-AB = - Ị - a . a 2 Cách 2: T acó A B '= a V 3 ^ AÕB'=1200. Suy ra V = -O O '.O A .O B 'sinl20° = 1 6 _ 12 Bài 9. Các/ỉ 1: Dễ thấy I là trọng tâm tam giác ABD aV Ĩ aV3 => BI = - 7=- và AI = — . — V3 3 Chứng minh được (SMB) i . (SAC). Gọi V = VSB C V ! = VSA ; V 2 = Vcnbi- A; BN SN5A.SB CN.CI.CB Ta có: ■+ - SC.SA.SB SC.CA.CB ■ V1 + V 25 V _ 2? \[ ĩ V 6 "“ " Í T ’ Các/ì 2: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Khi đó A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a V Ỉ ; 0); D(0; aV 2;0); S(0; 0; a); M(0; 0); 2 Bài 10. Ta có VSAMN = SA SM SN = SM.SB SN.SC _ SA^ SA^ _ 16 V VSAMN - ü v sABC’ = 25 SABC S A 'SB sc SB sc¿ SB2 's c 2 25 c 17 - \ r 9 lĩ _ 3 a 3 >/3 òuy ra: VA.BCNM - V SABC - V SAMN = — VsABC = —— — . Bài 11. Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ. Khi đó: A(0; 0; 0), A^O; 0; a), B(a; 0; 0), Bi(a; 0; a); C (a; a; 0), C i(a ; a; a), D (0 ; a; 0), D ^O ; a; à). a) Ta có: A;B = (a; 0; -a) = aũj ; ũ] = (1; 0; -1), B[D = (-a; a; -a) = - a ũ 2 ; u 2 = (1; -1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng qua B|D và song song với A|B. Khi đó ñp = [Qị, ü2] = (1; 2; 1), (P): X + 2y + z - 2 a = 0. 118
Khi đó, ta có d(A,B; B]D) = d(B; (P)) = ~ . v6 b) Ta có M(a; 0; - ) , N ( - ; a ; 0 ) ; P(0; - ; a ) C iN .M P =i> M P = (— — ; - ) ; a; C ,N = ; 0; - a ) =» c o s ( M P ,C ,N ) = ¡ j = = n = T = °- 2 2 2 C jN .M P | Kết luận: Góc giữa MP và CiN là 90°. Bài 12. D - j < Saabc ~ “ AB.AC = 6 (cm2); SiBCD = 2-JÎ4 (cm2). c Từ A kè AH vuông góc vói BC tại H. Trong tam giác . AHD, kẻ đường cao AK. Khi đó d(A; (BCD)) = AK. B Cách 2: Trong mặt phẳng (BCD), kẻ DH X BC => AH -L BC. Trong mặt phẳng (ADH), kẻ A K 1 DH (1). Ta có: BC 1 AK (2). Từ (1) và (2 )= > A K 1 (DBC) => d(A; (BCD)) = AK. Áp dụng Định lí Py-ta-go lần lượt cho các tam giác vuông ADH và ABC, ta được: _ Ị_ = _ Ị_ _ Ị _ = _ Ị_ _Ị_ 1 _ 17 AK= 6V34 AK2 _ AD2 AH2 " AB2 AC2 AD2 72 17 Cách 3: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0) = o , AD = Oy, AC = Ox, AB = Oz. Khi đó D(0; 4; 0), C(4; 0; 0), B(0; 0; 3) => ñ (BCD) = - - [ bd, B e ] = (3; 3; 4) => (BCD) : 3x + 3y + 4 z - 12 = 0. Suy ra d(A; (BCD)) = . 119
Chủ để 7 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHANG 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ [jp Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng Khoảng cách giữa hai điểm A và B là AB = |a b | = \ / ( x b - xa )2 + (yB - yA)2 . Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng Cho hai điểm A (x A;yA),B (x B;yB) và gọi M (x M;yM) là trung điểm AB thì ta có Q l Toạ độ trọng tâm của tam giác Cho tam giác ABC với các đỉnh có các toạ độ là A (x A;yA) ,B (x B;yB)>C(xcíyc)- Gọi G (x G; yG) là trọng tâm của tam giác thi ta có ......... XA + XB + XC . . . yA + yB+yc G -----------Ỹ --------; y c -----------2 --------- ' 0 Đường thẳng. Phương trình dường thẳng +) Vectơ chi phương: Vectơ ũ được gọi là vectơ chi phương cùa đường thẳng A nếu ũ * 0 và giá cùa ũ song song hoặc trùng với A. +) Vectơ pháp tuyến: Vectơ n được gọi là vectơpháp tuyến cùa đường thẳng A nếu n * 0 và giá của iĩ vuông góc với A. +) Phưomg trình tổng quát: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mọi đường thẳng đều có phương trinh tông quát dạng Ax + By + c = 0, trong đó n = (A; B) là vectơ pháp tuyến của đường thăng. +) Phương trình tham so: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (x 0; y0) và có +) Các trường hợp đặc biệt: - Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với Ox. - Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với Oy. - Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc toạ độ. - Đường thẳng đi qua hai điểm (a;0) và (0;b) (vói a ,b * 0 ) có phương trinh —+ —= 1. Phương trình này được gọi là phương trinh của đường thẳng theo đoan chắn. a b 120