YOMEDIA
ADSENSE
Các kiến thức cơ bản được sử dụng-Bất đẳng thức Cô si
Thêm vào BST
Báo xấu
181
lượt xem 20
download
lượt xem 20
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Các kiến thức cơ bản được sử dụng a, Bất đẳng thức Cô si Cho n số thực không âm a1; a2 ;....an ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b, Bất đẳng thức Bunhia – copxki Cho hai bộ số a1; a2 ;....an
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Lưu
Nội dung Text: Các kiến thức cơ bản được sử dụng-Bất đẳng thức Cô si
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung 2. Các kiến thức cơ bản được sử dụng a, Bất đẳng thức Cô si a1 a2 ... an n Cho n số thực không âm a1; a2 ;....an ta có a1a2 ...an n dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 .... an b, Bất đẳng thức Bunhia – copxki Cho hai bộ số a1; a2 ;....an và b1 ; b2 ;....bn ta có 2 a1b1 a2b2 ... anbn a12 a2 2 ... an 2 b12 b2 2 ... bn 2 a1 a2 a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .... n b1 b2 bn c. Bất đẳng thức Trê bư sep Cho hai bộ số sắp thứ tự giống nhau a1 a2 .... an và b1 b2 .... bn ta có a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a1b1 a2b2 ... anbn . n n n Nếu hai dãy sắp thứ tự ngược chiều thì ta được bất đẳng thức với chiều ngược lại. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi a1 a2 .... an hoặc b1 b2 .... bn . Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau Bài toán 1 ( Bất đẳng thức Nestbit): Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có a b c 3 (1) bc c a a b 2 Có nhiều cách chứng minh ở đây tôi trình bày một số cách chứng minh như sau Lời giải Cách 1: Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Ta có a b c a b c 3( 1) 1 ( 1) bc ca ab bc ca ab 1 1 1 1 1 1 1 9 ( a b c )( ) (b c c a a b)( ) bc c a a b 2 bc ca ab 2 a b c 3 Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=c bc c a a b 2 Cách 2: yzx xz y x yz Đặt x=b+c; y=c+a; z=a+b suy ra a ;b ;c 2 2 2 với x,y,z>0 ta có a b c 1 yzx xz y x yz ( ) bc ca ab 2 x y z 1 yz xz x y 3 1 y x y z x z 3 ( ) ( ) 2 x y z 2 2 x y z y z x 2 y x y z x z mặt khác 2; 2; 2 (theo bđt cô si) x y z y z x y x y z x z a b c 3 suy ra 6 vậy x y z y z x bc ca ab 2 Cách 3 1 1 1 Không mất tổng quát ta cho a b c 0 0 bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 1 1 1 a b c ( a b c )( ) 3( ) bc c a a b bc ca ab mặt khác 1 1 1 ( a b c )( ) bc c a a b 1 1 1 1 9 (b c ) (c a) ( a b) ( ) 2 bc ca ab 2 a b c 3 Vậy bc c a a b 2 Bây giờ ta mở rộng vấn đề Nhân hai vế của (1) với a+b+c ta có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a b c 3 a b c (a b c) bc c a a b 2 a2 b2 c2 3 a b c (a b c) bc ca ab 2 2 2 2 a b c abc bc ca ab 2 Từ đó ta có bài toán 2 Bài toán 2. a2 b2 c2 abc Cho a,b,c là các số dương ta luôn có (2) bc ca ab 2 ( Đề thi thử đại học lần 1 THPT Đô Lương 2) Lời giải: Nhận xét vừa rồi chính là lời giải 1 Cách 2 Theo bđt cô si ta có a2 bc a bc 4 b2 ca b ca 4 c2 ab c ab 4 Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có a2 b2 c2 a bc abc bc ca ab 2 a2 b2 c2 a b c bc ca ab 2 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có a b c (a b c)2 ( bc ca a b )2 bc ca ab 2 2 2 a b c ( )(b c c a a b ) bc ca ab a2 b2 c2 2( )( a b c) bc ca ab a2 b2 c2 a b c bc ca ab 2 a b c Cách 4 Không mất tổng quát ta cho a b c 0 0 bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a b c a2 b2 c2 ( a b c )( ) 3( ) bc c a a b bc ca ab a b c 3 mặt khác bc c a a b 2 2 a b2 c2 abc Vậy bc ca ab 2 Bây giờ ta thêm giả thiết là a,b,c>0 và a.b.c=1 khi đó theo bđt cô si ta có a b c 3 3 abc 3 dấu bằng khi a=b=c=1 Từ đó ta suy ra bài toán sau Bài toán 3 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 a2 b2 c2 3 ta luôn có bc ca ab 2 Bây giờ quay lại bài toán 1 ta thử đặt 1 1 1 a ; b ; c thì x,y, z >0 thi ta có bất đẳng thức luôn đúng là x y z yz xz xy 3 (*) x( y z ) y ( z x) z ( x y ) 2 Để có bài toán mới hơn ta thêm giả thiết là x.y.z=1 Thay vào (*) ta có xyz xyz xyz 3 (*) 2 2 2 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 2 1 1 1 3 2 2 2 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 2 Khai thác kĩ hơn suy nghĩ đó vào bài toán 3 ta đặt 1 1 1 a ; b ; c thì x,y, z >0 và x.y.z=1 x y z yz xz xy 3 Thay vào (2) ta có 2 2 2 x ( y z ) y ( z x) z ( x y) 2 biến đổi thêm một chút ta có xyz xyz xyz 3 3 3 3 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 2 1 1 1 3 3 3 3 x ( y z ) y ( z x) z ( x y) 2 Như vậy ta có thêm các bài toán mới Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 5
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Bài toán 4 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 1 1 1 3 ta luôn có 2 2 2 a (b c) b (c a ) c (a b) 2 Bài toán 5 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 bc ca ab 3 ta luôn có 2 2 2 a (b c ) b (c a ) c ( a b) 2 ( Đây là đề thi vào ĐH Ngoại ngữ -1998) Bài toán 6 ( Để ra kì này tháng 5-2010 Toán học tuổi trẻ) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 1 1 1 3 ta luôn có 3 3 a 3 (b c ) b (c a) c (a b) 2 Cách giải cho học sinh khi gặp hai bài toán này là 1 1 1 Đặt x ; y ; z a b c Một phát hiện thú vị là mối quan hệ gần giống nhau giữa bài toán 3 và bài toán 4 với cùng giả thiết đó là giữa hai bđt a2 b2 c2 3 bc c a a b 2 1 1 1 3 và 2 2 2 a (b c) b (c a ) c (a b) 2 Đặt câu hỏi tương tự cho bài toán 6 đã có bđt 1 1 1 3 3 3 3 a (b c) b (c a ) c ( a b) 2 Như vậy liệu có bất đẳng thức a3 b3 c3 3 bc c a a b 2 Ta có bài toán Bài toán 7( Đề thi học kì 2 toán 10 THPT Đô lương 2 -2010) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 a3 b3 c3 3 ta luôn có bc ca ab 2 Lời giải Cách 1 Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a3 bc 1 3 a bc 4 2 2 3 b ca 1 3 b ca 4 2 2 3 c ab 1 3 c ab 4 2 2 Cộng tương ứng các bđt ta có a3 b3 c3 abc 3 3 a b c bc ca ab 2 2 2 3 3 3 a b c 3 a b c bc ca ab 2 3 Mà ta có a b c 3 abc 3 dấu bằng khi a=b=c=1 a3 b3 c3 3 Vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 bc c a a b 2 Cách 2 Không mất tổng quát ta cho a b c 0 a2 b2 c2 0 a2 b2 c2 0 bc c a a b Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có a2 b2 c2 a3 b3 c3 ( a b c )( ) 3( ) bc c a a b bc ca ab a2 b2 c2 3 mặt khác và a b c 3 3 abc 3 bc c a a b 2 3 a b3 c3 3 Vậy bc c a a b 2 a2 b2 c2 3 Cách 3 Nhân hai vế của bất đẳng thức với a+b+c bc c a a b 2 Như vậy qua cách giải thứ 2 ta suy nghĩ đến bđt tổng quát hơn như sau a2 b2 c2 a3 b3 c3 Ta đã có ( a b c )( ) 3( ) bc c a a b bc ca ab a2 b2 c2 abc mặt khác thế vào trên ta có bc ca ab 2 a3 b3 c3 (a b c)2 bc ca ab 6 Bài toán 8 Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Cho a,b,c là các số dương a3 b3 c3 (a b c) 2 ta luôn có bc ca ab 6 Đến đây các bạn thấy rằng từ những bài toán trên chỉ cần đặt thêm điều kiện cho a,b c là xuất hiện thêm rất nhiều bài toán khó tương đối đẹp dành cho các kì thi hay kiểm tra hoc sinh khá giỏi. Chẳng hạn ta thêm điều kiện ta có bài toán Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a 2 b 2 c 2 1 a3 b3 c3 1 ta luôn có bc c a a b 2 Lời giải : Không mất tổng quát ta cho a b c 0 a2 b2 c2 0 a b c 0 bc c a a b Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có a b c a3 b3 c3 ( a 2 b 2 c 2 )( ) 3( ) bc ca ab bc ca ab a b c 3 mặt khác và a 2 b 2 c2 1 bc c a a b 2 3 a b3 c3 1 Vậy bc c a a b 2 Tiếp tục mạch suy nghĩ trên ta hoàn toàn có thể giải một bài toán tương đối hay mà một đồng nghiệp của tôi đã đề cập. Bài toán 10 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a 2 b2 c 2 1 a2 b2 c2 3 ta luôn có bc ca ab 2 Đây là một bài toán làm tôi mất rất nhiều thời gian mà nhờ nó trong quá trình giải tôi đã xây dựng được những vấn đề cốt lõi trong hệ thống trên. Ở đây rõ ràng ta thấy vấn đề rất rõ ràng có liên quan hệ thống bài toán trên nhưng vận dụng thế nào cho hợp lí vấn đề là tồn tại số 3 là vì sao và ta cũng thấy dấu 1 bằng xảy ra khi a=b=c= như vậy một điều có thể nghĩ đến là phải sử dụng bình 3 phương của vế trái như thế nào đó Lời giải Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 8
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a2 b2 c2 abc Ta đã có (2) bc ca ab 2 Không mất tổng quát ta cho a b c 0 a2 b2 c2 0 1 1 1 0 bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 1 1 1 a2 b2 c2 ( a 2 b 2 c 2 )( ) 3( ) bc ca ab bc ca ab mặt khác a 2 b 2 c 2 1 nên ta suy ra a2 b2 c2 1 1 1 1 (4) b c c a a b 3 b c c a a b Nhân hai vế của (2) và (4) ta có 2 a2 b2 c2 1 1 1 1 a b c bc c a a b 6 bc ca ab 1 1 1 1 9 3 b c (c a ) ( a b) b c c a a b 12 4 12 Vậy ta đã chứng minh được a2 b2 c2 3 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= bc ca ab 2 3 Ở bài toán này nếu đặt nó độc lập không theo hệ thống trên thì đây là một bài toán thật sự không đơn giản Các thầy cô và các em còn có thể phát triển thêm các bài toán riêng và tổng quát như sau Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a.b.c=1 ta có a4 b4 c4 3 bc c a a b 2 1 1 1 3 4 4 4 a (b c) b (c a ) c (a b) 2 Tổng quát an bn cn 3 với n 1 bc c a a b 2 1 1 1 3 n n n với n 2 a (b c ) b (c a ) c (a b ) 2 Từ bài toán 9 và 10 tổng quát lên ta có bài toán Bài toán 11 Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Cho n (n 3) số dương a1;a2;....an thỏa mãn a12 a2 2 .... an 2 1 với S= a a2 ...an ta có 1 a13 a3 a3 1 2 .... n S a1 S a2 S an n 1 Bây giờ ta lại chuyển hướng suy nghĩ về ứng dụng cho các bài toán trong các tam giác từ các bài toán trên. Với tam giác ABC bất kì ta luôn có sinA, sinB, sinC là các số dương nên hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức về góc khá đẹp. sin A sin B sin C 3 a. (5) sin B sin C sin C sin A sin A sin B 2 BC B-C A B-C Ta lại có sin B sin C 2sin cos 2cos cos 2 2 2 2 A A A sin sin A 2 và SinA 2sin cos suy ra 2 2 sin B sin C cos B-C 2 B C sin sin sin B 2 ; sin C 2 thay vào (5) tương tự sin C sin A cos C-A sin A sin B cos A-B 2 2 A B C sin sin sin ta có 2 2 2 3 (5') B-C C-A A-B 2 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 sin A sin B sin C sin A sin B sin C b. (6) sin B sin C sin C sin A sin A sin C 2 sin 3 A sin 3 B sin 3 C (sin A sin B sin C ) 2 c. (7) sin B sin C sin C sin A sin A sin B 6 Nhưng với tam giác bất kì ta lại có A B C sin A sin B sin C 4cos cos cos lồng ghép với (6) ta có bài toán 2 2 2 Bài toán 12 Với tam giác ABC bất kì ta luôn có các bất đẳng thức sau sin 2 A sin 2 B sin 2 C A B C 2cos cos cos sin B sin C sin C sin A sin A sin C 2 2 2 3 3 3 sin A sin B sin C 8 A B C cos 2 cos2 cos 2 sin B sin C sin C sin A sin A sin B 3 2 2 2 Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Các bài toán trên ta đã đặc biệt hóa cho trường hợp là a.b.c=1 bây giờ ta xét trường hợp khi a+b+c=1 ta có các bất đẳng thức Bài toán 13 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 ta luôn có a2 b2 c2 1 bc c a a b 2 a3 b3 c3 1 bc c a a b 6 Nếu thay a+b=1-c; b+c=1-a; c+a= 1-b ta có các bất đẳng thức rất đẹp là Bài toán 14: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh ta luôn có a2 b2 c2 1 1 a 1 b 1 c 2 a3 b3 c3 1 1 a 1 b 1 c 6 Đây là những bất đẳng thức hay và nếu như thông qua hệ thống phát triển như trên việc phát hiện và chứng minh không khó và hoàn toàn tự nhiên dễ đem lại hứng thú cho học sinh. Tuy vậy trong các kì thi người ta có thể ẩn bài toán đó dưới giả thiết là tam giác có chu vi bằng 1. Ví dụ 1.Cho ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c với chu vi bằng 1 hãy chứng minh rằng a2 b2 c2 1 bc ca ab 2 a3 b3 c3 1 và bc c a a b 6 Tiếp tục vận dụng định lí sin a= 2R. sinA; b= 2R. sinB ; c=2R.sin C ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) thay vào bài toán này ta có các bất đẳng thức tương đối lạ sin 2 A sin 2 B sin 2 C 1 sin B sin C sin C sin A sin A sin C 4 R sin 3 A sin 3 B sin 3 C 1 sin B sin C sin C sin A sin A sin B 24 R 2 Như vậy đứng trước bài toán nào đó nếu ta chịu khó biến đổi bài toán sẽ cho ta nhiều kết quả thật thuyết phục Bài toán 15 Trong tam giác ABC bất kì với các cạnh a,b,c với nửa chu vi là abc p 2 Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 11
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung ta luôn có a b c 3 2p a 2p b 2p c 2 a2 b2 c2 p 2p a 2p b 2p c a3 b3 c3 2 p2 2p a 2p b 2p c 3 Cách chứng minh sử dụng bđt Trê bư sep là được Một số bài toán tương tự 1. Cho các số thực x,y,z Chứng mịnh 4x 4y 4z a. y z z x x y 2 x 1 2 y 1 2 z 1 2 2 2 2 2 2 2 b. 8 x z 8 y x 8 z 2 x 2y 2z y z x 2 2 2 2 2 2y 6 2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 Chứng minh 4x 4y 4z 3 a. y z z x x y 2 2 2 2 2 2 2 8x 8y 8z 3 b. y z z x x y 2 2 2 2 2 2 2 4 x 4 y 4 z 3 c. y z z x x y 2 2 2 2 2 2 2 8 x 8 y 8 z 3 d y z z x x y 2 2 2 2 2 2 2 HD. Bằng cách đặt a=2 ; b = 2 ; c = 2z ta có a, b ,c >0 và a.b.c=1 x y ta đưa về các bất đẳng thức vừa chứng minh. Tổng quát hóa bài toán 1 Đến đây ta lại chuyển suy nghĩ sang hướng khác Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 12
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a b c 3 Cho a,b,c >0 ta có nếu sửa thành biểu thức bc c a a b 2 a b c thì giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ? b 2c c 2a a 2b a b c Ta thấy nếu a=b=c thì 1 vậy phải chăng ta có b 2c c 2a a 2b a b c 1 b 2c c 2a a 2b Bài toán 16: Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có a b c 1 b 2c c 2a a 2b Giải: Đặt A=b+2c ; B=c+2a ; C= a+2b ta suy ra A,B,C>0 và 2 A 4 B C 2 B 4C A 2C 4 A B a ; b ; c 9 9 9 Thay vào vế trái ta có a b c 1 4B C 4C A 4A B ( 2 2 2 ) b 2c c 2a a 2b 9 A A B B C C 2 1 C A B 4 B A C ( ) ( ) 3 9 A B C 9 A C B Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có C A B C A B 33 3 A B C A B C B A C B A C 33 3 A C B A C B Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C a b c Vậy 1 dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c b 2c c 2a a 2b a2 b2 c2 a b c Tiếp tục mạch suy nghĩ đó từ bất đẳng thức ta suy bc ca ab 2 ra bất đẳng thức sau Bài toán 17 . a2 b2 c2 a bc Cho a,b,c là các số dương ta luôn có b 2c c 2a a 2b 3 Lời giải: Theo bđt cô si ta có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 13
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a2 b 2c 2a b 2c 9 3 2 b c 2a 2b c 2a 9 3 2 c a 2b 2c a 2b 9 3 Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có a2 b2 c2 a b c 2 a b c b 2c c 2a a 2b 3 3 2 2 2 a b c abc b 2c c 2a a 2b 3 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Lưu ý với học sinh rằng bất đẳng thức kiểu như trên khi vận dụng cô si phải lưu ý dấu bằng xảy ra để chọn hệ số cho đúng chẳng hạn trong bài toán này ta muốn có a2 a dấu bằng xảy ra a=b=c thì nên ta phải ghép cùng với biểu thức b 2c 3 b 2c a 2a a đó là một kinh nghiệm tuyệt vời khi sử dụng cho các bài toán 9 9 3 liên quan đến bđt cô si mà ta cần triệt tiêu mẫu Một câu hỏi đặt ra là nếu thay bởi các số tự nhiên m và n bất kì ( không đồng thời bằng 0 ) vào vế trái thì biểu thức a b c có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? mb nc mc na ma nb 3 Dự đoán khi a=b=c thì biểu thức nhận giá trị nên phải chăng ta có mn a b c 3 . mb nc mc na ma nb m n Bài toán 18: Cho a,b,c >0 chứng minh với hai số tự nhiên m, n tùy ý (không đồng thời bằng 0 ) a b c 3 ta luôn có mb nc mc na ma nb m n Lời giải : Đặt A=mb+nc ; B=mc+na ; C= ma+nb ta suy ra A,B,C>0 và mnA n 2 B m2C mnB n 2C m 2 A mnC n2 A m 2 B a ; b ; c m3 n3 m3 n3 m3 n3 Thay vào vế trái ta có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 14
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a b c 1 B C A C A B 3 3 [ 3mn n 2 ( ) m2 ( )] mb nc mc na ma nb m n A B C A B C Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có C A B C A B 33 3 A B C A B C B A C B A C 33 3 A C B A C B Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C a b c 3 Vậy dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c mb nc mc na ma nb m n Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 abc mb nc mc na ma nb mn Đến đây ta thấy rằng hóa ra bất đẳng thức Trê bư sép là một trường hợp riêng của bài toán 18 đó cũng là một bất đẳng thức đẹp. Nếu ta đặc biệt hóa cho các trường hợp a.b.c=1 hay a+b+c=1 thì ta hoàn toàn có thể sáng tạo ra các bài toán mới dành cho các đề thi hay và khó. Chẳng hạn ta cho một số ví dụ 1. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 chứng minh rằng a2 b2 c2 a, 1 b 2c c 2a a 2b a2 b2 c2 1 b, b 2009c c 2009a a 2009b 670 2. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b2 c2 P 2008b 2009c 2008c 2009a 2008a 2009b Hướng dẫn: Đây là trường hợp riêng của bài toán 18 khi m=2008 , n= 2009 Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 15
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung áp dụng thêm bđt cô si a b c 3 3 abc 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 1 kết quả giá trị nhỏ nhất là 1339 Ta lại đặt vấn đề cho trường hợp 4 số dương thay vì 3 số trong bài toán 1 a b c d sẽ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? bc cd d a ab Ta đặc biệt hóa khi a=b=c=d là dự đoán được kết quả như sau Bài toán 19 : Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có a b c d 2 bc cd d a ab Lời giải Áp dụng bđt Bunhia –coxki ta có a b c d (a b c d )2 [ a (b c ) b( c d ) c( d a ) d ( a b)]2 bc cd d a a b a b c d ( )[a (b c) b(c d ) c(d a ) d (a b )] bc cd d a a b a b c d (a b c d )2 b c c d d a a b ab bc cd da ac bd ca db Mặt khác ta lại có (a b c d )2 2 ab bc cd da ac bd ca db a 2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd 0 ( a c) 2 (b d ) 2 0 bất đẳng thức này luôn đúng a b c d Vậy ta có 2 bc cd d a ab và dấu = xảy ra khi a=b=c=d (điều phải chứng minh.) Tiếp tục thay các biểu thức với hệ số khác ta xuất hiện bất đẳng thức theo dự đoán là Bài toán 20 : Cho a,b,c,d >0 , chứng minh ta luôn có Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 16
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a b c d 2 P= b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3 Lời giải Ta áp dụng bđt Bunhiacoxki [abcd]2 a b c d [ a(b2c3d) b(c2d 3a) c(d 2a3b) d(a2b3c)]2 b2c3d c2d 3a d 2a3b a2b3c P.[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c)] [a b c d ]2 Suy ra P a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c) Ta chứng minh [a b c d ]2 2 a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c) 3 3a 2 3b 2 3c 2 3d 2 2 ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd 0 (a b) 2 ( a c) 2 ( a d ) 2 (b c) 2 (b d ) 2 (c d ) 2 0 Điều này luôn đúng với mọi a, b,c,d. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d Từ đây ta đưa ra bất đẳng thức tổng quát Bài toán 21 Cho n số dương a1 , a2 ....an với n-1 số tự nhiên không đồng thời bằng 0 là m1 , m2 ,..., mn1 ta luôn có a1 a2 an ... m1.a2 m2 a3 ... mn1an m1a3 m2 a4 ... mn 2 an mn1a1 m1a1 m2 a2 ... mn1an 1 n m1 m2 ... mn1 Lời giải bài toán này ta có thể áp dụng cách phân tích theo bất đẳng thức Bunhia- Copski như trên việc trình bày tương đối dài xin được dành cho bạn đọc tiếp tục chứng minh và phát triển thêm. Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 17
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Phần 3. KẾT LUẬN Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thông qua bài toán bât đẳng thức đẹp và quen thuộc tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối logic . Điều này tạo nên tính mới mẻ trong cái nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài toán đó. Bài toán 1 ứng dụng khá rộng rãi vơi việc nhìn bài toán dưới góc độ khác bằng cách biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán về bất đẳng thức khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kì thi chọn học sinh giỏi và các Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 18
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung kì bồi dưỡng học sinh khá giỏi , mỗi bài toán liên quan ngay cả những bài toán mở rộng trong tam giác và có thể cho đa giác, cũng có thể tổng quát hóa để có thêm nhiều bất đẳng thức đẹp tôi nghĩ sẽ còn khai thác rộng hơn ứng dụng cho các bài toán khác.Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa , đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rât cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em học sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn chắc chắn ta sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà bản thân tôi chưa làm được trong phạm vi đề tài này. Với hi vọng viết ra cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá và nội dung nào đó có thể ứng dụng giới thiệu thêm cho học sinh trong quá trình bồi dưỡng. Vì thời gian ngắn cũng như bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết ,kính mong được quí thầy cô nghiên cứu , đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 19
- Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung ĐỀ TÀI KHAI THÁC TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC Cao Tiến Trung Tổ Toán Trường THPT Đô Lương 2 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online ĐỀ TÀI Page 20
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Tóm tắt kiến thức cơ bản Toán 9
21 p | 
898
| 
157
-
Toán giải tích - Kiến thức cơ bản
15 p | 417
| 143
-
Tóm tắt các kiến thức Hình học ở trung học cơ sở - Nguyễn Nam Tiến
25 p | 1208
| 110
-
Ôn tập kiến thức cơ bản Hóa học 8
5 p | 589
| 69
-
Hệ thống hóa kiến thức cơ bản môn Địa lí lớp 12
45 p | 408
| 63
-
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ THẬP PHÂN
3 p | 793
| 53
-
Tóm tắt kiến thức: Cơ chế di truyền và biến dị
8 p | 669
| 41
-
Hệ thống kiến thức Toán 9 - Kiến thức cơ bản
27 p | 164
| 17
-
Hệ thống kiến thức Toán 6: Kiến thức cơ bản
28 p | 106
| 16
-
Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Địa lý lớp 12 (Phần kiến thức cơ bản)
33 p | 113
| 14
-
Hệ thống kiến thức Toán 8: Kiếm thức cơ bản
44 p | 154
| 13
-
Chuyên đề thao giảng các kiến thức cơ bản về an toàn điện
11 p | 103
| 10
-
Hệ thống kiến thức Toán 7: Kiến thức cơ bản
38 p | 137
| 10
-
Kiến thức vật lý, sự ra đời môn học và nhà khoa học
33 p | 59
| 7
-
Phần 1: Kiến thức cơ bản Địa lý 12
90 p | 109
| 7
-
Tài liệu Kiến thức cơ bản Tiếng Anh 12 năm 2021-2022 - Trường THPT Đào Sơn Tây
105 p | 110
| 5
-
Tổng hợp kiến thức cơ bản về Thơ lớp 12
24 p | 19
| 4
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
