Toán giải tích - Kiến thức cơ bản

Chia sẻ: Tô Minh Thuận | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

417
lượt xem 143
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Toán giải tích - Kiến thức cơ bản giúp các bạn học toán tốt hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán giải tích - Kiến thức cơ bản

Phụ lục KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết khái niệm hàm số đơn điệu.  Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biên của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó  Kỹ năng xét dấu một biểu thức  Kỹ năng xét tính đơn điệu của một hàm số. I.Tóm tắt lý thuyết: Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a) f’(x)>0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) đồng biến trên K b) f’(x)< 0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) nghịch biến trên K c) f’(x)=0, ∀ x∈K ⇒ f(x) không đổi trên K Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), ∀ x∈ K và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y/ .Tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 ( nếu có ) + Lập bảng BXD y/ + Kết luận : Hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng nào ? II.Bài tập A.Bài tập mẫu : 1.Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: x2 − x +1 a) y= –2x3 +9x2 +24x –7 b) y = 1− x Giải a)Tập xác định: D= ¡  x = −1  y′ = −6x + 18x + 24 , cho y′ = 0 ⇔  2 x = 4  Bảng biến thiên: x -∞ -1 4 +∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ -∞ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (−∞; −1), (4; +∞) ; Hàm số đồng biến trên khoảng: (–1;4) b)Tập xác định: D= ¡ \ { 1} − x 2 + 2x x = 0  y′ = , cho y′ = 0 ⇔  ( 1− x ) 2 x = 2  Bảng biến thiên x -∞ 0 1 2 +∞ y’ - 0 + + 0 - y 14
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (0;1) và (1;2) Hàm số số nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2:+∞) Ví dụ 2: Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải:  Tập xác định: D= ¡  y′ = 3x2– 6mx+ m+ 2 Ta co: ∆′ = 9m2– 3m– 6 Bảng xét dấu ∆’: m 2 -∞ − 1 +∞ 3 ∆’ + 0 - 0 + Ta phân chia các trường hợp sau: 2  Nếu − ≤ m ≤ 1 .Ta có: ∆′ ≤ 0 ⇒ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡ 3  2  Nếu  m < − 3 . Ta có: ∆′ > 0 phương trình y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt x , x (giả sử  1 2 m > 1 x1< x2) Bảng biến thiên: x -∞ x1 x2 +∞ y’ + 0 - 0 + y +∞ -∞ Hàm số không đồng biến trên ¡ 2 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: − ≤ m ≤ 1 3 B.Bài tập tự giải Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = x33 ) +3x2+1. b) y = 2x22 - x4. x −3 x 2 − 4x + 4 c) y = . d) y = . x+2 1− x Bài 2: Chứng minh rằng: hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) của nó : x2 − x −1 x −1 a) y = x3− 2+3x+2. b) y = 3x . c) y = . x −1 2x + 1 Bài 3 : Cho hàm số y = f(x) = x3 −3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số : Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0 mx− 1 Bài 4: Định m∈Z để hàm số y = f(x) = x− m đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0 Bài 5 : Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : x2 − x − 1 x −1 a) y = x3− 2+3x+2. b) 3x y= x−1 . c) y= 2x + 1 . 15
x2 − 2mx+ m + 2 Bài 6 : Tìm m để hàm số : y = luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của x− m nó. Bài 7 : Chứng minh rằng : x2 a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥ 2 , với x > 0 Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết các khái niệm điểm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của hàm số  Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số  Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số  Nắm vững kỹ năng tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1  Giải được bài toán tìm m để hàm số đạt CĐ, CT bằng dấu hiệu 2 I.Tóm tắt lý thuyết: • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x0 th́ f /(x0)=0 • Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (x0 – h; x0 + h) với h > 0. +Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tại x0 +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 Qui tắc tìm cực trị bằng dấu hiệu I: + TXĐ + Tính : y/ , tìm nghiệm của phương trình y/ = 0 (nếu có) + BBT : + Kết luận cực trị ? •Dấu hiệu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 ∈ (a;b)  y / (x 0 ) = 0  +Nếu  / / thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.  y (x 0 ) > 0   y / (x 0 ) = 0  +Nếu  / / thì hàm số đạt cực đại tại x0.  y (x 0 ) < 0  Qui tắc tim cực trị bằng dấu hiệu II: + TXÐ + Tính : y/ . Tìm nghiệm y/ = 0.( nếu có ), giả sử các nghiệm x1 , x2 …xn + Tính y// và y//(xi), i = 1, n  Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .  Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi. II.Bài tập: A.Bài tập mẫu: Áp dụng quy tắc 1 1.Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: y= –x4+ 2x2– 3 Giải Tập xác định: D= ¡ 16
x = 0   y′ = – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1); y′ = 0 ⇔  x = 1  x = −1   Bảng biến thiên x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + 0 - -2 -2 y -∞ -3 -∞ Hàm số đạt cực đại tại các điểm: x=–1, x=1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: x=0 Áp dụng quy tắc 2 2)Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin2x  Miền xác định: D= ¡  π 1  x = 12 + kπ  y′ = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x; y′ =0 ⇔ sin2x= ⇔  k∈¢ 2 x = 5π + kπ   12  y′′ = – 4cos2x π  π  π * y′′  + kπ  = −4 cos  + k2π  = –2 3 0 Vậy: x = + kπ , k ∈ ¢ là những điểm cực tiểu.  12   6  12 Một số bài toán có tham số 1.Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu x 2 + 2m 2 x + m 2 a) y = ( m + 2 ) x + 3x + mx + m . 3 2 b) y = x +1 Giải a) y = ( m + 2 ) x + 3x + mx + m 3 2 Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y ' = 3 ( m + 2 ) x + 6x + m 2  Hàm số có cực đại và cực tiểu⇔g ( x ) = 3 ( m + 2 ) x + 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 m + 2 ≠ 0  m ≠ −2  m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' = 9 − 3m ( m + 2 ) > 0 3 ( − m − 2m + 3) > 0  −3 < m < 1 2   Vậy giá trị cần tìm là: −3 < m < 1 và m ≠ −2 . x 2 + 2m 2 x + m 2 b) y = x +1 Tập xác định: D = ¡ \ { −1} x 2 + 2x + m 2  Đạo hàm: y ' = ( x + 1) 2  Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔g ( x ) = x + 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác –1 2 2 ∆ ' = 1 − m 2 > 0   −1 < m < 1 ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m < 1 Vậy giá trị cần tìm là: −1 < m < 1 g ( −1) = −1 + m ≠ 0 m ≠ ±1 2  17
2. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = ( m − 3) x − 2mx + 3 không có cực trị. 3 2 Giải Tập xác định: D=¡  Đạo hàm: y ' = 3 ( m − 3) x − 4mx 2 y ' = 0 ⇔ 3 ( m − 3) x 2 − 4mx = 0 (1)  Xét m = 3 : y ' = 0 ⇔ −12x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y ' đổi dấu khi x đi qua x 0 = 0 ⇒ Hàm số có cực trị ⇒ m = 3 không thỏa  Xét m ≠ 3 :  Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép m − 3 ≠ 0 m ≠ 3 ⇔ ⇔ ⇔m=0 ∆ ' = 4m ≤ 0 m = 0 2 Vậy giá trị cần tìm là m = 0 . 3. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. Giải  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y ' = 4x − 4mx 3 x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = m ( *) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0 . Khi đó :  x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m y' = 0 ⇔   x = ± m ⇒ y = m − m + 2m 4 2  Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A ( 0; m + 2m ) và hai điểm cực tiểu là 4 ( ) ( B − m; m 4 − m 2 + 2m , C m; m 4 − m 2 + 2m ) AB = AC Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều ⇔  ⇔ AB2 = BC2 ⇔ m + m 4 = 4m  AB = BC ⇔ m ( m3 − 3) = 0 ⇔ m = 3 3 (do m > 0 ). Vậy giá trị cần tìm là: m = 3 3 1 4 3 4.Cho hàm số y = x − mx + . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có 2 2 2 cực đại. Giải  Tập xác định: D = ¡ x = 0  Đạo hàm: y ' = 2x − 2mx ; y ' = 0 ⇔  3  x = m ( *) 2 Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0 ⇔m≤0 Vậy giá trị cần tìm là: m ≤ 0 B. Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 1 a) y = − x + 4x − 15x 3 2 3 18
3 4 b) y= x − x 3 − 9x 2 + 7 4 c) y= 2sinx +cos2x trên [ 0; 2π] − x 2 + 3x + 6 d) y= x+2 Bài 2: Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2. x3 Bài 3: Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = − 2+(m+3)x− mx 5m+1 3 Bài 4: Xác định tham số m để hàm số y=x3− 3mx2+(m2− 1)x+2 đạt cực đại tại x=2. Bài 5: Định m để hàm số y = f(x) = x − +3mx+3m+4 3 3x2 a.Không có cực trị. b.Có cực đại và cực tiểu. 1 3 Bài 6: Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không 2 2 có cực đại. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)  Kỹ năng tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác đơn giản 3.1.Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:  Tính y’  Tìm nghiệm của y/ = 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x1 , x2,…,xn + Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) ………y(xn) max y = min y = + So sánh các giá trị vừa tính [a;b] số lớn nhất, [a;b] số nhỏ nhất. 3.2.Phương pháp tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên (a;b) hoặc TXÐ : + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ + Tìm đạo hàm y/ . Tìm nghiệm y/ =0 ( nếu có ) . +Lập BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất II.BÀI TẬP: A.Bài tập mẫu: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:  3 1 2 1 a) y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên  −2;  b) y= x + trong ( 0; +∞ )  2 2 x Giải   3   3 a)Xét x∈  −2;  , ta có y′ = 6x2 –6x –12 cho y′ = 0 ⇔ x= –1 ( vì x∈  −2;  )  2  2 3 max f (x) = 8 min f (x) = −17 f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f( )= –17 Vậy:  3 x∈ −2;  ,  3 x∈ −2;  2  2  2 1 x3 −1 b)Xét x∈ ( 0; +∞ ) , ta có y′ = x– = cho y′ = 0 ⇔ x= 1 x2 x2  Bảng biến thiên: x -∞ 0 1 +∞ y’ - 0 + y +∞ +∞ 19
3 2 3 Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong ( 0; +∞ ) ; x∈(0;+∞ ) f (x) = min 2 B. Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2-2x+3. Kq: Min f(x) = f(1) = 2 R Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3]. Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 2 2 sinx − 1 a/ y = 3 sinx – 4 cosx. b/ y = . cosx + 2 x2 cosα − 2x + cosα c/ y = 2 α ∈ ( 0; π ) x − 2x cosα + 1 Bài 4:ĐƯỜNG TIỆM CẬN Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  Tìm được tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của một đồ thị hàm số  Giả được bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số I.Tóm tắt lý thuyết: *Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau lim f (x) = +∞; lim+ f (x) = −∞; lim− f (x) = +∞; lim− f (x) = −∞ + x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: xlim f (x) = y0 ; xlim f (x) = y0 →+∞ →−∞ II.BÀI TẬP: A.Bài tập mẫu: x −1 Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số y = . x+2 Giải. x −1 x −1  Vì xlim = −∞ ; lim− = +∞ ⇒ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C). →−2 + x+2 x →−2 x + 2 x −1 x −1 Vì xlim = lim = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). →+∞ x + 2 x →−∞ x + 2 2x 2 + x + 1 Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = . 2x − 3 Giải. 2x + x + 1 2 2x + x + 1 2  Vì lim = +∞ (hoặc lim − = −∞ ) nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận 3 x →  + 2x − 3 3 x →  2x − 3 2 2 2 đứng của đồ thị hàm số đã cho. 2x 2 + x + 1 2x 2 + x + 1 lim = +∞, lim = −∞ ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang x →+∞ 2x − 3 x →−∞ 2x − 3 B.Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị của mỗi hàm số sau: 20
1− x 2+ x −x + 7 a) y = b) y = c) y = 2x − 3 9 − x2 x +1 x 2 − 6x + 3 3 d) y = e) y = 5x + 1 + x −3 2x − 3 x −3 Bµi 2 X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: y = cã ®óng 2 x + 2(m + 2)x + m 2 + 1 2 t iÖm cËn ®øng. 21
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ Chuẩn kiến thức kỹ năng cần đạt  Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)  Vận dụng giải được bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm hữu tỉ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức: b1. TXĐ b2. Tìm y’, cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ không xác định b3. Giới hạn tại vô cực b4. BBTx Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá - Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị. Chú ý : y/ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y/ luôn cùng dấu với a trừ nghiệm kép B5. Tìm y”, cho y”= 0 tìm nghiệm, suy ra điểm uốn ( chỉ thực hiện với hàm bậc 3 ) B6. Lập bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị, điểm uốn và lấy thêm 2 điểm có hoành độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải) B7. Vẽ đồ thị. kết luận tâm đối xứng. trục đối xứng. Caùc daï ng ñoà t hò haøm baäc 3: y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x  y' = 0 coù nghieä phaâ bieä 2 m n t  y ' ≥ 0 ∀x  y' = 0 coù nghieä phaâ bieä 2 m n t    a > 0 a > 0 a< 0  y ' ≤ 0 ∀x  a < 0 Chuù yù: Ñoà thò haøm baäc 3 luoân nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. Caùc daïng ñoà thò haøm truøng phöông:  y' = 0 coù nghieä phaâ bieä  y' = 0 coù nghieä ñôn 3 m n t 1 m  y' = 0 coù nghieä phaâ bieä 3 m n t  y' = 0 coù nghieä ñôn 1 m     a> 0 a> 0 a< 0 a< 0 II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– 4 Giải: Miền xác định: D= ¡ 22
y′ = 6x2– 18x+ 12 x= 1 y′ = 0 ⇔ 6x2– 18x+ 12=0 ⇔  x= 2 lm y = +∞ , lm y = −∞ i i x→+∞ x→−∞ Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 +∞ y′ + 0 – 0 + y 1 +∞ −∞ 0 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:( −∞ ;1)và (2; + ∞ ), nghịch biến trong khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại tại x=1; yCĐ=1, cực tiểu tại x=2; yCT=0 3 1 3 1 y′′ = 12x– 18 y′′ = 0 ⇔ x= ⇒ y= đồ thị có 1 điểm uốn I( ; ) 2 2 2 2 Điểm đặc biệt x 0 1 3 2 3 2 y -4 1 1 0 5 2  3 1 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I  ;  làm tâm đối xứng. 2 2   Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x4– 2x2– 1 Giải: Miền xác định: D= ¡ x= 0 y′ = 4x – 4x cho y′ = 0 ⇔ 4x – 4x=0 ⇔  x = 1 3 3   x = −1  lm y lm y = +∞ i i x→+∞ = x→−∞ Bảng biến thiên: x −∞ –1 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ –1 +∞ –2 –2 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1; +∞ ), nghịch biến trong 2 khoảng: ( −∞ ;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu tại x= ±2; yCT= -2 Điểm đặc biệt x -2 -1 0 1 2 y 7 -2 -1 -2 7 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng 1 : y = a3 + bx2 + cx +d 23
1 3 a/ y = 2x3 - 3x2 + 1 b/ y = x – x2 + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1 d/y = - x3 + 3x + 1 3 1 e/y = x3-3x+1 f/ y = x3+3x−4 g/ y = (1-x)3 h/ y = 3x2-x3 i/y = - x3 –2 x2 -4 x +1 3 2/ Dạng 2 : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) x4 3 a/ y= x4 – 3x2 +2 b/ y= x4 + x2 – 4 c/ y= − + x2 − d/ y= 3 - 2x2 – x4 e/y= 2 2 x4 5 x4 3 − 3x 2 + f/ y = x + 2x 4 2 g/ y = - x + 2x +2 4 2 h/ y = - − x 2 + 2 2 2 2 ax + b 5.2.Hàm phân thức : y = cx + d ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )  d + TXĐ : D = R\ − c    ad − bc + Đạo hàm : y/ = (cx + d ) 2 kết luận tính đơn điệu của hàm số. d ax + b ax + b + Tiệm cận: • x = − c là tiệm cận đứng vì = +∞(−∞); lim − lim = −∞ (+∞ ) x →− ( d / c ) cx + d x →− ( d / c ) cx + d + a ax + b ax + b a •y= là tiệm cận ngang vì xlim = lim = c →+∞ cx + d x →−∞ cx + d c +Bảng biến thiên : + Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt x= − c d/ x= − c d/ y= a/c y= a/c II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: x −1 Ví dụ 1:khảo sát hàm số y = x +1 TXĐ : D = ¡ \ { −1} Sự biến thiên : + Giới hạn và tiệm cận : • lim y = lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ • lim + y = −∞ ; lim − y = +∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng x →( −1) x →( −1) 2 + y'= ∀x ∈ D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng ( −∞; −1) ; ( −1; +∞ ) ( x + 1) > 0 , f ( y) = -1 2 8 g ( x) = 1 x-1 x -∞ +∞ h ( x) = -1 x+1 6 y’ + + 4 y +∞ 1 2 1 -∞ 10 5 5 10 Đồ thị : 2 24 4
Điểm đặc biệt x -3 -2 -1 0 1 y 2 3 -1 0 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I ( −1;1) làm tâm đối xứng . B/ Bài tập tự giải: x 2x − 1 3x − 2 2 x +1 a/ y = b/ y= c/ y= d/y= e/y = 2x + 3 3x + 2 x −1 x +1 −2 x + 1 2x + 1 x+1 2x f/y = g/ y = h/ y = 1− x x−1 x+ 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán 1: Viết phương trnh tiếp tuyến. ́ Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trnh tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các ́ trường hợp sau: 1. Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0) / B2: Phương trnh tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = f (x 0 ) (x–x0) + f(x0) ́ 2.Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0) / B2: Phương trnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là y = f (x 0 ) (x–x0) + f(x0) ́ 3.Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y0 : B1: Tìm f ’(x) . B2:Do tung độ là y0 ⇒f(x0)=y0. giải phương trnh này tìm được x0 ⇒ f /(x0) ́ / B3: Phương trnh tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là: y = f (x 0 ) (x–x0) + y0 ́ 4.Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm . B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên: f ′(x 0 ) =k (*) B3: Giải phương trnh (*) tìm x0 ́ ⇒ y0= f(x0) ⇒ phương trnh tiếp tuyến. ́ Chú ý:  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0)=a.  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0).a= -1. 5.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) : B1:Phương trnh đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1) ́ f (x) = k(x − x1 ) + y1 B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trnh sau có nghiệm:  ́ f ′(x) = k B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)⇒phương trnh ́ tiếp tuyến. Bài toán 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt: F(x; m) = 0 .  Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) . • Số nghiệm phương trình trên bằng số giao điểm của 2 đồ thị y=f(x) và y=g(x). Dựa vào đồ thị . ta có kết quả Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận. Bài toán 3: GIAO ÐIỂM HAI ÐỒ THỊ 1.Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) 25
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) • pt(1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có giao điểm. • pt(1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n giao điểm. II.BÀI TẬP: A.Bài tập mẫu: Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao điểm của (C) và d. Giải  Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.  Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x3 -3x +1=kx + 1 (1) x = 0 ⇔ x(x2-3-k) = 0 ⇔  .Ta có ∆ / (2)= 3+k  g(x) = x 2 − 3 − k = 0 (2)  Nếu 3+k -3, g(0)=0 ⇔ -3 - k = 0 ⇔ k=-3 vậy k>-3 phương trnh (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ (C) ́ và d có 3 giao điểm. 3 − 2x Ví dụ 2: Cho hàm số y = x −1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Giài 1) Học sinh tự giải 2) Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt 3 − 2x ⇔ Phương trình (ẩn x) = mx + 2 có hai nghiệm phân biệt x− 1 ⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1 m ≠ 0  m < −6 − 2 5  m ≠ 0  ⇔∆ = (m − 4) + 20m > 0 ⇔  2 ⇔  −6 + 2 5 < m < 0 2  m.12 − (m − 4).1 − 5 ≠ 0  m + 12m + 16 > 0 m > 0    Ví du 3: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 Giải Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 ⇔ x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m. Dựa vào đồ thị ta có: 6 y  Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao điểm 4 ⇒phương trình có 1 nghiệm.  Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao điểm 2 ⇒phương trình có 2 nghiệm. 5 x  Nếu 0< m
Ví dụ 4: Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2 c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8) Giải Ta có y’= 3.x2  x 0 = −1 a)Tiếp tuyến tại A(-1;-1) ∈ (C) có  ⇒f’(x0)= 3.(-1)2 = 3⇒phương trình tiếp tuyến  f (x 0 ) = −1 là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) f (x 0 ) = −8 b) Ta có x0= -2 ⇒  ⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16 f '(x 0 ) = 12 c) Ta có tung độä bằng y0= –8 ⇔ f(x0)= -8 ⇔ x 3 =-8 ⇒ x0=-2 ⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương trình 0 tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x0)=3 ⇔ 3. x 0 =3 ⇔ x0= ± 1 2  Với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .  Với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2. e)Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8 d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :  x 3 = k(x-2) + 8(1)  x = 2  2 ⇔ x3 = 3x2(x-2) + 8 ⇔ 2x3- 6x2 + 8 = 0 ⇔  3x = k  (2)  x = −1  Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.  Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4 B.Bài tập tổng hợp CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT KÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số: y= x3– 6x a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3– 2(3x+1)+ m= 0 x4 m Bài 2: Cho hàm số: f(x)= − 3x 2 + 2 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m=5 b) Dùng đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình f(x)= 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số y= –x3 +3x2 –1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2+ m2)= 3+x3 x 2 − 2x + 1 Bài 4: Biện luận theo m số giao điểm của (d): y= mx và (C): y= x−2 −x + x + m 2 Bài 5: Tìm m để đường thẳng (d): y= x–1 cắt đồ thị (C): y= tại hai điểm phân x+m biệt. Bài 6: Tìm m để đồ thị của hàm số y= x3–mx2+4x+4m–16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y= x4–2(m+1)x2+2m+1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. 1 3 Bài 8: Cho hàm số y= x –2x2+3x có đồ thị (C). Xác định điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến 3 tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến ấy. Bài 9: Cho hàm số: y= x(3–x)2 có đồ thị (C) 27
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x–1)2(x– 4)= m c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x0 là nghiệm của phương trình y′′ = 0 d) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y= mx Bài 10: Cho hàm số: y= x4–2mx2 + 3 có đồ thị (Cm) a) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m= 1 c) Dùng đồ thị (C),biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 – 2x2 +3 = m d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) y= –24x +37 2x + 1 Bài 11: Cho hàm số y = x +1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm những điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. c)Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010. d)Tìm điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y= -2x +2010 x− 2 Bài 12: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C): y = x+ 2 . Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò cuûa caùc haøm soá: x− 2 x− 2 a) (C1): y = f1(x) = x+ 2 b) (C2): y = f2(x) = x+ 2 x −2 x− 2 c) (C3): y = f3(x) = x +2 d) (C4): |y| = f4(x) = x+ 2 x− 2 x− 2 e) (C5): y = f5(x) = x+ 2 f) (C6): |y| = f6(x) = x+ 2 28