Kiến thức và bài tập nhị thức newton

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.083
lượt xem 278
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

NHỊ THỨC NEWTON Nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình. Tài liệu rất có ích cho các bạn ôn thi đại học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức và bài tập nhị thức newton

NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: (a  b)n  Cn a n  Cna n 1b  Cn a n 2b2  ...  Cn 1abn 1  Cn bn 0 1 2 n n 2.Nhận xét Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau * Gồm có n+1 số hạng * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n *Các hệ số có tính đối xứng: Cn  Cn  k k n * Số hạng tổng quát : Tk 1  Cn a n  k bk k VD: Số hạng thứ nhất T1  T01  Cn a n , số hạng thứ k T( k 1) 1  Cn 1a n  k 1bk 1 0 k 3. Một số hệ quả Hq: Ta có : (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn 0 1 2 n Từ khai triển này ta có các kết quả sau * Cn  Cn  ...  Cn  2n 0 1 n * Cn  Cn  Cn  ...  (1)n Cn  0 0 1 2 n 3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như *Xác định hệ số của xk trong khai triển * Xác định hệ số không chứa x PP: Dùng công thức khai triển , khi đó Tk 1  Cn a n  k bk k 40  1  1) Trong khai triển f  x    x  2  , hãy tìm hệ số của x31  x  18  1  2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3  3  số hạng độc lập đối với x  x  17  1  3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển   4 x3  3 2   x  7  1  4) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển của  3 x  4   x n  1  5) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức của  3  x5  , biết 8 x  Cn  4  Cn  3  7  n  3 n 1 n x 1 x x 1 x   6) Cho khai triển (2 2 2 3 )n  Cn (2 2 )n 0  ...  Cn (2 n 3 )n (n là số nguyên dương). Biết trong khai triển đó Cn  5Cn và 3 1 số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
n   28  7)Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,     n 1 n2 biết rằng Cn  Cn  Cn  79 n n  1 1 1  8)Hãy tìm n trong khai triển  x 2  x 4  , biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo  2  thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. n  3  x 9)Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức  x 2 x   bằng  x  36 . Hãy tìm số hạng thứ 7. 12  x 3 10)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển    4 3 x   15 11)Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển x3  xy 12) Cho đa thức P  x   1  x   1  x   ...  1  x  9 10 14 có dạng khai triển là P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a14 x14 . Hãy tính hệ số a9 . 13)Cho đa thức P  x   1  x   2 1  x   31  x   ...  20 1  x  2 3 20 có dạng khai triển là P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Hãy tính hệ số a15 . 14)Trong khai triển  x  1  x  2  x11  a1x10  a2 x9  ...  a10 x  a11 , hãy tìm hệ 10 số a5 .   5 15)Khai triển 1  x  x 2  x3  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 b) Tính tổng T  a0  a1  ...  a15 và S  a0  a1  a2  ...  a15   10 16) Khai triển 1  2 x  3x 2  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 a) Hãy tính hệ số a4 b) Tính tổng S  a1  2a2  4a3  ...  220 a20 8 17) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1  x 2 1  x       15 18) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển x3  xy 10  1  19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển  5  3 x  x 
  6 20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 3  15   9 21) Tìm số hạng của khai triển 332 là một số nguyên   124 22)Trong khai triển 345 có bao nhiêu số hạng hữu tỉ. 23) Khai triển đa thức P  x   1  2 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm hệ số 12 lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm max(a0 , a1 ,..., a12 ) ) 10 1 2  24) Trong khai triển   x  thành đa thức a0  a1 x  ...  a9 x9  a10 x10 , hãy tìm 3 3  hệ số ak lớn nhất? ( k  0,1,2,, 10 ).   n 25) Biết tổng các hệ số trong khai triển x 2  1 bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó. 26) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n. n Dạng 2: Tính tổng T   ak Cnk bk k 0 PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn , ta 0 1 2 n chọn những giá trị x thích hợp Ví dụ 1.Cmr: a)C2n  C2n  ...  C2n  C2n  C2n  ...  C2n 1 0 2 2n 1 3 2n b)CmCn  CmCn 1  ...  CmCn  Cm  n 0 k 1 k k 0 k Ví dụ 2: Tính các tổng sau 1 1 1 2 1 a) Cn  Cn  Cn  ...  0 Cnn 2 3 n 1 b) Cn  2Cn  ...  nCn 1 2 n c) 2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn 2 3 4 n d ) C2007  22 C2007  24 C2007  ...  22006 C2007 0 2 4 2006 Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2n Cn  243 0 1 2 n Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 1 ( 4  x7 )n , biết C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  220  1. 1 2 n x Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng 1 1 99 1 100 1 100C100 ( )99  101C100 ( )100  ...  199C100 ( )198  200C100 ( )199  0 2 1 2 2 2 2
32  1 1 3n 1  1 n Ví dụ 6: Tính tổng S  Cn 0  Cn  ...  Cn 2 n 1 1 Ví dụ 7: Tính tích phân I   x(1  x 2 )n dx và tính tổng 0 1 0 1 1 1 3 1 4 (1) n n S  Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2 4 6 8 2(n  1) Bài tập 1 1. Xét khai triển (2 x  )20 x a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 2. Xác định hệ số của x4 trong khai triển f ( x)  (3x 2  2 x  1)10 3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 28  a ) f ( x)  ( x x  x 3 biết rằng Cn 1  Cn  2  78 với x>0. 15 ) n n n 1 b) f ( x)  ( 3 x  4 )7 với x>0 x 4. Giả sử n là số nguyên dương và (1  x)n  a0  a1 x  ...  an x n . Biết rằng tồn tại số a a a nguyên k (1  k  n  1)sao cho k 1  k  k 1 . Tính n=? 2 9 24 1 5. Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 3  x5 )n , biết rằng x n 1 Cn  4  Cn  3  7(n  3) n 6. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. a b 7. Trong khai triển nhị thức ( 3  3 )21 tìm hệ số của số hạng chứa a và b có b a số mũ bằng nhau. 22  1 1 2n 1  1 n 8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng S  Cn  0 Cn  ...  Cn 2 n 1 9. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 n 1 C2n 1  2.2C2n 1  3.22 C2n 1  4.23 C2n 1  ...  (2n  1)2n C2n 1  2005 1 2 3 4 10. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên 2 n 1 dương thỏa mãn C2n 1  C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  1024 . 1 3 5 11. Giả sử (1  2 x)n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an. 12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử lẻ.
13. Tính tổng S  Cn  22 Cn  ...  n2Cn . 1 2 n 1 2.4.6....(2n  2)2n 14. Cho I   (1  x 2 )n dx  . Hãy tính tổng sau 0 1.3.5....(2n  1)(2n  1) 1 1 1 2 1 3 (1)n n S  1  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 3 5 7 2n  1 15. Tính các tổng sau a) S  Cn  23 Cn  33 Cn  ...  n3Cn 1 2 3 n 22 2 23 3 2n n b) S  Cn  Cn  0 1 Cn  Cn  ...  Cn 3 4 n 1 c) S  Cn 3n 1  2Cn 3n  2  3Cn 3n  3  ...  nCn 1 2 3 n 16. .Vôùi moãi n laø moät soá töï nhieân,haõy tính toång: 1 1 1 2 1 3 1 Cn  Cn 2  Cn 22  Cn 23  ...  0 Cn 2n n 2 3 4 n 1 Bổ sung các tính chất Chứng minh các đẳng thức sau: k 1 1) An 1  kAn 1  An k k k 1 2)kCn  nCn 1 k k 1 3)Cn 1  Cn 1  Cn k k 4)Cn  2  2Cn 1  Cn  Cn  2 k k k k (2  k  n) 5)Cn  4Cn 1  6Cn  2  4Cn  3  Cn  4  Cn  4 (4  k  n) k k k k k k 1 1 1 n 1 6) mọi n≥2 ta luôn có: 2  2  ...  2  A2 A3 An n An 1  3 An 4 3 7) Tính giá trị của biểu thức M  biết (n  1)! Cn 1  2Cn  2  2Cn  3  Cn  4  149 2 2 2 2 2 Cn Cnp n Cn 8. Tính tổng S  Cn 1 2  ...  p  ...  n 1 Cn Cnp 1 Cn 1 n