Bài tập nhị thức Newton

Chia sẻ: Nguyễn Việt Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

761
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhị thức Newton là dạng bài tập khá khó trong các bài toán xác suất thống kê. Do đó, HỌC247 giới thiệu tới các em các bài tập về chuyên đề nhị thức Newton. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tham khảo bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập và ôn thi. Để nắm vững nội dung kiến thức mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập nhị thức Newton

BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON A. BÀI TẬP MẪU 11 7  1   1 1. Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: A   x  2    x 2   5  x   x Giaûi: Công thức khai triển của biểu thức là: k  1    11 7 7n 1 A  C x k 11 k 11   2    C7 x n 2 k 0  x  n 0 xn 11 7  A    1 C11k x113k   C7n x143n k n k 0 n 0 Để số hạng chứa x vậy k=2 và n=3 5 Vậy hệ số của x5 là C112  C73  90 v 7. 2. Tính tổng: S  C2009 0  C2009 1  C2009 2  ...  C2009 1004 Giaûi: S C 0 C 1 C 2  ...  C 1004 (1) 2009  2S  C2009 0  S  22008 2009  C2009 1 2009 2009 2009  S  C  C  C  ...  C2009  C2009 2 2008 1005 2009  ...  C2009 1004  C2009 1005 2009 (2) (vì Cnk  Cnnk ) 2007 2009  ...  C2009 2009  1  1 2009 24 oc 3. Khai triển và rút 1  x  2(1  x) 2  ...  n(1  x) n thu được gọn biểu thức đa thức P( x)  a0  a1 x  ...  an x n . Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 1 7 1  3  . .h 2 Cn Cn n Giaûi:  w n 3 1 7 1  Ta cã  3   2 7.3! 1  n(n  1)  n(n  1)(n  2)  n 2 Cn Cn n  w §ã lµ 8.C88  9.C98  89. n  3 w  2  n  9. n  5n  36  0 Suy ra a8 lµ hÖ sè cña x 8 trong biÓu thøc 8(1  x)8  9(1  x)9 . 0 4. Tính tổng S  C2009  2C12009  3C22009  ...  2010C2009 2009 . Giaûi: 2009 0 Xét đa thức: f(x)  x(1  x)  x(C 2009  C12009x  C2009 2 x2  ...  C2009 2009 2009 x ) 0  C2009 x  C12009x2  C22009x3  ...  C2009 2009 x2010 .
* Ta có: f / (x)  C2009 0  2C12009 x  3C2009 2 x2  ...  2010C2009 2009 2009 x  f / (1)  C2009 0  2C12009  3C2009 2 2009  ...  2010C2009 (a) * Mặt khác: f / (x)  (1  x)2009  2009(1  x)2008 x  (1  x)2008 (2010  x)  f / (1)  2011.22008 (b)  Từ (a) và (b) suy ra: S  2011.22008. 5. Chöùngminh k,n  Z thõa mãn 3  k  n ta luôn có: Cnk  3Cnk 1  2Cnk 2  Cnk3  Cnk 3  Cnk 2 . Giaûi: k k 1 k 2 k k 3 Ta có: C  3C n n  2C n C n 3 C n  C  Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3 k 2 n (5)       n VT(5)  Cnk  Cnk 1  2 Cnk 1  Cnk 2  Cnk 2  Cnk 3  Cnk1  2Cnk11  Cnk12  Cnk1  Cnk11  Cnk11  Cnk12 = Cnk2  Cnk12  Cnk3 ( điều phải chứng minh) v 7. 6. Giải phương trình Cxx  2Cxx1  Cxx2  Cx2x23 ( Cnk là tổ hợp chập k của n phần tử) Giaûi: 2  x  5 ĐK :  x  N 24 Ta có Cxx  Cxx1  Cxx1  Cxx2  Cx2x23  Cxx1  Cxx11  Cx2x23  Cxx2  Cx2x23  (5  x)!  2!  x  3 oc 7. Tính giá trị biểu thức: A  4C100 2  8C100 4  12C100 6  ...  200C100 100 . Giaûi: Ta có: 1  x  C  C x  C x  ...  C x 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 (1) .h 1  x   C100  C100 x  C100 x 2  C100 x3  ...  C100 100 0 1 2 3 100 100 x (2) Lấy (1)+(2) ta được: 1  x   1  x   2C100  2C100 x 2  2C100 x 4  ...  2C100 100 100 0 2 4 100 100 x w Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được 100 1  x   100 1  x   4C100 x  8C100 x3  ...  200C100 99 2 4 99 100 99 x w Thay x=1 vào => A  100.299  4C100 2  8C100 4  ...  200C100 100 w n  2 2 1  C23n  ...  C22nn1  2 23 8. Tìm hệ số x trong khai triển  x   biết n thoả mãn: C2 n 3  x 2n Khai triển: (1+x) thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12 Giaûi:
12  2 2 12 Khai triển:   x   x   k 0 C12k 2 k x 243k hệ số x3: C127 2 7 =101376 n  1  9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x  4  2  2 x 2 3 n 1 2 2 2 6560 biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d-¬ng tháa m·n: 2Cn0  Cn1  Cn2    Cnn  2 3 n 1 n 1 ( Cnk lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö) Giaûi: 2     2 2 1 1 1 I   (1  x) dx   n C  C x  C x    C x dx   C 0n x  C 1n x 2  C 2n x 3    0 1 2 2 n n C nn x n 1  n n 1 n n n n 0 0  2 3 0 2 2 1 23 2 2 n 1 n v suy ra I  2C 0n  Cn  Cn  C n (1) 2 3 n 1 7. 1 2 3 n 1  1 MÆt kh¸c I  (1  x) n 1  (2) n 1 0 n 1 22 23 2 n 1 n 3 n 1  1 Tõ (1) vµ (2) ta cã  2C 0n  C 1n  C 2n    Cn  Theo bµi ra th× n 1 3  1 6560 n 1  n 1 2 3  3 n1  6561  n  7 n 1 24 n 1   7 k 143 k  1  7  1  7 1 7 k Ta cã khai triÓn  x  4    C 7kx  4    k C 7k x oc 4  2 x 0 2 x  0 2 14  3k Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 2k2 4 .h 1 21 VËy hÖ sè cÇn t×m lµ 2 C 27  2 4 w 10. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A3n  8C2n  C1n  49 . Điều kiện n  4 Giaûi: w n  Ta có: x2  2   C x n k 2k nk n 2 w k 0 Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n 2n  4 Ta có: A3n  8C2n  C1n  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7 Nên hệ số của x8 là C47 23  280 B- BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN :
1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18  1   2 x  5  , (x>0).  x 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2 n 1 C  C  C 1 2n 3 2n  2048 . ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử). 2n 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. An41  3 An3 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức M  , biết rằng n  1! Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 (n là số nguyên dương, Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử) n 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 3 1  v  x  4  với x>0.  x 7. 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0  2Cn1  4Cn2    2 n Cnn  2048 . 8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử). 24 n 1  1 1  1  k  k 1   k (n, k là các số nguyên n  2  C n1 C n 1  C n  oc 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử). .h 10. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng 2 2  1 1 23  1 2 2 n1  1 n C n0  Cn  Cn    C n , ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).. 2 3 n 1 w 11. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a1 a a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a0     nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, w 2 2 a1,…an. 1 1 1 3 1 5 1 2 2n  1 1 C 2 n  C 2 n  C 2 n    C 22nn1  w 12. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng C2n , 2 4 6 2n 2n  1 ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử). 13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n  1 7  4  x  , biết rằng C2n1  C2n1    C2n1  2  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp 1 2 n 20 k  x  chập k của n phần tử).
14. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho C 1 2 n 1  2.2C 2 2 n 1  3.2 C 2 3 2 n 1  4.2 C 3 4 2 n 1    2n  1.2 C 2n 2 n 1 2 n 1  2005 , ( C n là số tổ hợp chập k k của n phần tử). 15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n  1 5   3  x  , biết rằng Cn4  Cn3  7n  3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập n 1 n k x  k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n n 1 n 1 n  x21 x   x 1   3x   x 1   x 1   x   x   2  2 3   C n0  2 2   C n1  2 2   2     C nn 1  2 2  2 3   C nn  2 3               n              (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n 3 1 v và x. 7. 18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển ña thức:  2  3x  biết 2n rằng n là số nguyên dương thoaû maõn: C21n1  C23n1  C25n 1  ...  C 22nn 11  1024( Cnk laø toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ) 19. (ĐH A–DB1-2006) Aùp duïng coâng thöùc Newtôn (x2+x)100. Chöùng minh raèng: 0 1 99 1 1 100 24 99  1  198 100  1  199    101C100    ...  199C100  200C100 0 oc 100C100     2 2 2 2 20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 1   x  4  với x > 0. .h  x 21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức: 1  x 2 1  x  . 8 w 22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của: n 1 5  n 1  3  x  , biết rằng: Cn4  Cn3  7(n  3) ( n là số nguyên dương, x > 0 ). n w  x  23. (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành w đa thức của  x 2  1  x  2  . Tìm n để a3n3  26n. n n 24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của: n  1 7  4  x  , biết rằng: C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1. ( n là số nguyên dương, x > 0 ). 1 2 3 n 20  x  25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A3n  8C2n  C1n  49 . 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có nC0n  n  1C1n  ...   1 Cnn 2   1 n 2 n 1 Cnn 1  0 .
27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng An3  2 An2  100 (n là số nguyên dương) An3  C n3 28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn  35 (n  3) . Tính tổng (n  1)(n  2) S  2 2.Cn2  32 Cn3  4 2 Cn4  ....... (1) n .n 2 .Cnn 29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton ( x  1) n  Cn0 x n  Cn1 x n1  Cn2 x n2  ....  Cnn 30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n.2n C0n  (n  1).2n 1 C1n  ....  2Cnn 1  2n.3n 1 Cho khai triển: 1  2 x   a0  a1 x  ...  an x n . Trong đó n  N * và các hệ số n 31. (ĐH-A-2008) a1 a a0 , a1,....., an thỏa mãn hệ thức: a0   ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số: a0 , a1 ,..., an . n 2 2 32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: v n n n 1 n 1 n  x 1 x   3x  x 1  1 n 1  x 1  x 1   3x  n x  2 2  2   Cn0  2 3 2   Cn  2   2   ...  Cn  2   2   Cn  2  ( n là số nguyên 2 2 3 7.              dương ). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 3 1 33. (ĐH-A-2005) C 1 2 n 1  2.2C 2 2 n 1 2 Tìm số nguyên dương n sao cho: 24  3.2 C23n1  4.23 C24n1  ...   2n  1 .22 n C22nn11  2005. 34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: oc 2 1 1 2 1 2 2 3 2n1  1 n Cn0  Cn  Cn  ...  Cn . 2 3 n 1 35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn  243. .h An41  3 An3 36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: M  , biết rằng:  n  1! Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 ( n là số nguyên dương ). w w w