BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON

A. BÀI TẬP MẪU

1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

Giaûi:

Công thức khai triển của biểu thức là:

Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 2. Tính tổng:

Giaûi:

(1)

(2) (vì )

 

3. Khai

triển và

rút gọn biểu

thức

thu được đa

thức

. Tính hệ số

biết rằng

là số nguyên dương thoả mãn

.

Giaûi:

Ta cã

§ã lµ

lµ hÖ sè cña

trong biÓu thøc

.

Suy ra 4. Tính tổng

Giaûi:

Xét đa thức:

* Ta có:

* Mặt khác:

 Từ (a) và (b) suy ra:

thõa mãn

5. Chöùngminh ta luôn có: .

Giaûi:

(5) Ta có:

( điều phải chứng minh) =

( là tổ hợp chập k của n phần tử) 6. Giải phương trình

Giaûi:

ĐK :

Ta có 7. Tính giá trị biểu thức: .

Giaûi:

Ta có: (1)

(2)

Lấy (1)+(2) ta được:

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

Thay x=1 vào =>

biết n thoả mãn: 8. Tìm hệ số x3 trong khai triển

Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12

Giaûi:

Khai triển: hệ số x3: =101376

9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña

biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d ¬ng tháa m·n:

( lµ sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö)

Giaûi:

(1) suy ra I

(2) MÆt kh¸c

Tõ (1) vµ (2) ta cã

Theo bµi ra th×

Ta cã khai triÓn

Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n

VËy hÖ sè cÇn t×m lµ

.

10. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: Điều kiện n  4

Giaûi:

Ta có:

Hệ số của số hạng chứa x8 là Ta có:

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7 Nên hệ số của x8 là

B- BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN :

1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

, (x>0).

2. (ĐH_Khối D 2008) thỏa mãn hệ thức

Tìm . ( số nguyên dương n là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

3. (ĐH_Khối D 2007) x(12x)5+x2(1+3x)10.

4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức , biết rằng

(n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n

phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử)

5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

với x>0.

6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển

thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho .

8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên

dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).

n=2048 (n là số nguyên dương,

9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của

23n3Cn

3+ … +(1)nCn

1+3n2Cn 3nCn chập k của n phần tử). B

là số tổ hợp (2+x)n, biết: 03n1Cn

10. (ĐH_Khối 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)..

11. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số

a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0,

a1,…an.

12. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng ,

( là số tổ hợp chập k của n phần tử).

13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

, biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp

chập k của n phần tử).

14. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên n

dương , ( sao cho là số tổ hợp chập k

của n phần tử).

15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

, biết rằng , (n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập

k của n phần tử).

17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức

và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và x. 18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa biết trong khai triển ña thức:

rằng n là số nguyên dương thoaû maõn: ( laø toå hôïp chaäp k

cuûa n phaàn töû )

19. (ĐH A–DB1-2006) Aùp duïng coâng thöùc Newtôn (x2+x)100. Chöùng minh raèng:

20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

với x > 0.

21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức:

22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của:

, biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).

23. (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành

đa thức của Tìm n để

24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của:

, biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).

.

25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có

.

27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng (n là số nguyên dương)

28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn . Tính tổng

29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton

30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển: Trong đó và các hệ số

thỏa mãn hệ thức: . Tìm số lớn nhất trong các số:

32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:

( n là số nguyên

và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

dương ). Biết rằng trong khai triển đó 33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:

34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: biết rằng:

( n là số nguyên dương ).