Nhị thức newton và bài tập luyện thi

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

1.644
lượt xem 299
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để có tài liệu học tập và luyện thi, Nhị thức newton và bài tập luyện thi nhằm giúp các em có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào Kì thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nhị thức newton và bài tập luyện thi

PhÇn néi dung I. KiÕn thøc c¬ së 1. C«ng thøc nhÞ thøc Newton n (a+b)n = ∑C a k=0 k n n-k b k = C0 a n b0 + C1n a n-1b1 + ... + C n a 0 b n n n (1) 2. C¸c tÝnh chÊt • Sè c¸c sè h¹ng cña khai triÓn b»ng n + 1. • Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng cña khai triÓn lu«n b»ng sè mò cña nhÞ thøc (n - k) + k = n. Sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n ®Õn 0, sè mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n. • Sè h¹ng tæng qu¸t Tk+1 = Cnk a n −k b k (§ã lµ sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn) • C¸c hÖ sè nhÞ thøc c¸ch ®Òu sè h¹ng ®Çu vµ cuèi b»ng nhau v×: Cn = Cn − k k n 3. Mét sè khai triÓn hay sö dông n • 2n = (1+1)n = ∑C k =0 k n = Cn0 + Cn + ... + Cnn 1 (2) n • 0 = (1-1)n = ∑ (−1) C k =0 k k n = Cn0 - Cn + ... + (-1)n Cnn 1 (3) n • (1+x)n = ∑C k =0 k n x k = Cn x 0 + Cn x1 + ... + Cn x n 0 1 n (4) n • (1+x)n = ∑C k =0 k n x n − k = Cn x n + Cn x n −1 + ... + Cn x 0 0 1 n (5) n • (1-x)n = ∑ (−1) C k =0 k k n x k = Cn x 0 - Cn x1 + ... + (-1)n Cn x n 0 1 n (6) n • (x-1)n = ∑ (−1) C k =0 k k n x n − k = Cn x n - Cn x n −1 + ... + (-1)n Cn x 0 0 1 n (7) 4. Tam gi¸c Pascal Cã thÓ s¾p xÕp c¸c hÖ sè cña khai triÓn (1) thµnh mét tam gi¸c (gäi lµ tam gi¸c Pascal).
1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 1 7 21 35 35 21 7 1 n=7 II. C¸c b i to¸n tÝnh tæng Ta thÊy mçi sè h¹ng trong khai triÓn (1) cã 3 thõa sè. Mét thõa sè lµ Cnk , hai thõa sè cßn l¹i ®Òu cã d¹ng luü thõa. NÕu hÖ sè lµ Cnk th× bËc cña a vµ b lu«n cã tæng b»ng n (khi ®ã n chÝnh lµ sè mò cña nhÞ thøc). Sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n ®Õn 0, cßn sè mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n vµ sè l−îng c¸c sè h¹ng lµ b»ng n + 1. §©y lµ c¸c dÊu hiÖu ®Ó ta nhËn biÕt mét tæng cã ph¶i lµ mét khai triÓn theo nhÞ thøc Newton hay kh«ng. Quan s¸t khai triÓn (3) vµ (4) ta thÊy mçi sè h¹ng chØ cã hai thõa sè, chø kh«ng ph¶i lµ 3! T¹i sao vËy? RÊt ®¬n gi¶n, v× mét trong hai sè h¹ng cña nhÞ thøc lµ b»ng 1 (ta biÕt r»ng 1k = 1 ∀ k). L¹i quan s¸t khai triÓn (5) vµ (6), ta thÊy mçi sè h¹ng lóc nµy chØ cã mét thõa sè lµ Cnk . Ch¾c c¸c b¹n ®· cã thÓ gi¶i thÝch ®−îc lµ do hai sè h¹ng cña nhÞ thøc ®Òu lµ 1 hoÆc -1. Nh÷ng nhËn xÐt nho nhá nµy sÏ gióp c¸c b¹n cã ®−îc ®Þnh h−íng ban ®Çu cho lêi gi¶i cña bµi to¸n tÝnh tæng. §Ó hiÓu râ h¬n ta ®i xem xÐt c¸c vÝ dô cô thÓ sau. VD1: TÝnh c¸c tæng sau: • S1 = C10 210 + C10 2931 + C10 2832 + .... + C10 2139 + C10 310 0 1 2 9 10 • S2 = C10 210 + C10 29 + C10 28 + .... + C10 21 + C10 0 1 2 9 10 • S3 = C10 + C10 + C10 + .... + C10 + C10 0 1 2 9 10 RÊt nhanh chãng ta cã thÓ ®−a ngay ra ®¸p ¸n v× c¸c tæng nµy ®Òu ®¸p øng ®ñ c¸c ®iÒu kiÖn cña mét khai triÓn nhÞ thøc Newton. Ta cã: + S1 = C10 21030 + C10 2931 + C10 2832 + .... + C10 2139 + C10 20310 = (2+3)10 = 510. 0 1 2 9 10
+ S2 = C10 210 + C10 29 + C10 28 + .... + C10 21 + C10 2 0 = (1 + 2)10 = 310 0 1 2 9 10 + S3 = C10 + C10 + C10 + .... + C10 + C10 = 210 0 1 2 9 10 Ch¼ng h¹n víi S1: Mçi sè h¹ng cã 3 thõa sè, mét thõa sè lµ C10 , hai thõa sè cßn l¹i k cã d¹ng luü thõa. C¸c hÖ sè C10 liªn tôc tõ C10 ®Õn C10 k 0 10 Tæng luü thõa cña 2 vµ 3 trong mçi sè h¹ng cña khai triÓn lu«n b»ng 10, bËc cña 2 gi¶m dÇn tõ 10 tíi 0, ng−îc l¹i bËc cña 3 t¨ng dÇn tõ 0 tíi 10. Nh− vËy S1 héi tô ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña mét khai triÓn nhÞ thøc Newton. Do ®ã S1 = (2+3)10 = 510. T−¬ng tù nh− vËy cho S2 vµ S3. VD2: TÝnh c¸c tæng sau: • S4 = C10 21131 + C10 21032 + C10 2933 + .... + C10 22310 + C10 21311 0 1 2 9 10 • S5 = C10 29 + C10 28 + C10 27 + .... + C10 20 + C10 2 −1 0 1 2 9 10 B¹n quan s¸t kÜ c¸c tæng nµy vµ nhËn xÐt xem chóng cã g× kh¸c c¸c tæng ë VD1? V©ng, tæng S4 cã mét ®iÓm kh¸c biÖt víi tæng S1, lµ tæng sè mò cña 2 vµ 3 trong mçi sè h¹ng lu«n b»ng 12, chø kh«ng ph¶i lµ b»ng 10, trong khi c¸c hÖ sè l¹i lµ C10 ! (BËc cña 2 gi¶m dÇn tõ 11 xuèng 1, bËc cña 3 t¨ng dÇn tõ 1 lªn k 11, chø kh«ng ph¶i lµ 10 xuèng 0 vµ tõ 0 lªn 10). VËy ®Ó cã thÓ ¸p dông ®−îc c«ng thøc (1), bËc cña 2 vµ 3 trong mçi sè h¹ng ph¶i ®−îc gi¶m ®i mét ®¬n vÞ. Tõ ®ã ta cã: S4 = 2.3.( C10 21030 + C10 2931 + C10 2832 + .... + C10 2139 + C10 20310 ) = 6. (2+3)10 = 6.510 0 1 2 9 10 NhËn xÐt t−¬ng tù cho S5, ta ®i ®Õn: 1 0 1 1 S5 = ( C10 210 + C10 29 + C10 28 + .... + C10 21 + C10 2 0 ) = (1 + 2)10 = 310 1 2 9 10 2 2 2 VD3: TÝnh tæng: • S6 = C10 2931 + C10 2832 + .... + C10 2139 + C10 310 1 2 9 10 B¹n cã nhËn xÐt g× cho S6? TÊt nhiªn råi, nã thiÕu mÊt sè h¹ng ®Çu tiªn C10 21030 . VËy 0
S6 = 510 - C10 21030 = 510 - 210 0 VD4: TÝnh tæng: • S7 = C2009 32009 − C2009 32008 41 + C2009 32007 42 − .... − C2009 3142008 + C2009 42009 0 1 2 2008 2009 §iÒu ta thÊy ngay lóc ®Çu tiªn ®©y lµ mét chuçi ®an dÊu! B¹n h·y tù nhËn xÐt nh− víi S1 nhÐ! Mét c©u hái ®Æt ra lµ S7 = (3 - 4)2009 hay S7 = (4 - 3)2009? §Ó tr¶ lêi c©u hái nµy ta h·y ®i t×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t. Ta cã: Tk+1 = (−1)k C 2008 32008− k 4 k = C 2008 32008− k (−4)k k k VËy 2009 2009 S7 = ∑C k =0 k 2009 32009− k ( −4)k = [3 + ( −4)] = (−1)2009 = −1 VD5: TÝnh tæng: • S8 = C2009 32009 − C2009 32008 + C2009 32007 − .... + C2009 31 − C2009 0 1 2 2008 2009 • S9 = C2009 − C2009 31 + C2009 32 − .... + C2009 32008 − C2009 32009 0 1 2 2008 2009 §iÓm kh¸c biÖt gi÷a S8 vµ S9 lµ trong S8, sè mò cña 3 gi¶m dÇn, cßn trong S9, sè mò cña 3 t¨ng dÇn. (NÕu lµ ng−êi míi b¾t ®Çu, b¹n h·y tù m×nh nªu ra c¸c nhËn xÐt t−¬ng tù nh− nhËn xÐt mµ t«i nªu ra trong c¸c VD ®Çu nhÐ).VËy víi S8, ta sÏ ¸p dông c«ng thøc (7), cßn víi S9, ta sÏ ¸p dông c«ng thøc (6). Ta cã: S8 = (3 - 1)2009 = 22009 S9 = (1 - 3)2009 = (-2)2009 = -22009 B¹n e ng¹i v× ph¶i nhí qu¸ nhiÒu c«ng thøc −? Lêi khuyªn cho mäi tr−êng hîp lµ b¹n h·y t×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t, nh− vËy ta chØ cÇn ®Õn c«ng thøc (1) mµ th«i. Ch¼ng h¹n víi S8, c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t lµ: Tk+1 = (−1)k C 2009 32009− k = C 2009 32009− k (−1)k k k VËy 2009 2009 S8 = ∑C k =0 k 2009 32009− k (−1)k = [3 + ( −1)] = 2 2009 B¹n h·y thö søc b»ng c¸ch ¸p dông ph−¬ng ph¸p t×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t cho c¸c chuçi tõ ®Çu ®Õn giê xem sao nhÐ! Ta tiÕp tôc nµo!
VD6: TÝnh tæng: • S10 = C20 + C20 + C20 + .... + C20 0 1 2 9 B¹n cã nhËn xÐt g× vÒ tæng nµy? §óng vËy, S10 cã thÓ gäi lµ "nöa khai triÓn"! V× chØ sè k trong C20 chØ ch¹y tõ 0 ®Õn 9, mµ lÏ ra nã ph¶i ch¹y tõ 0 k ®Õn 20! Víi d¹ng bµi tËp tÝnh tæng cña "nöa khai triÓn" nh− thÕ nµy, ta ph¶i gi¶i quyÕt nh− thÕ nµo? Ta ®· biÕt c¸c sè Cnk cã mét tÝnh chÊt lµ Cnk = Cnn− k , thÕ th× ta cã: C20 = C20 0 20 C20 = C20 1 19 ...... C20 = C20 9 11 Suy ra 2S10 = C20 + C20 + C20 + .... + C20 + C20 + C20 + C20 + .... + C20 0 1 2 9 11 12 13 20 = ( C20 + C20 + C20 + .... + C20 + C20 + C20 + C20 + C20 + .... + C20 ) - 0 1 2 9 10 11 12 13 20 10 C20 = 220 - C20 10 VËy 220 -C 10 S10 = 20 2 VD7: TÝnh c¸c tæng sau: • S11 = C2008 + C2008 22 + C2008 24 + .... + C2008 22006 + C2008 22008 0 2 4 2006 2008 • S12 = C2008 2 + C2008 23 + C2008 25 + .... + C2008 22005 + C2008 22007 1 3 5 2005 2007 Cã ®iÒu g× ®Æc biÖt trong S11 vµ S12? V©ng, trong S11, c¸c chØ sè k trong C2008 ®Òu lµ nh÷ng sè ch½n, cßn trong S12 ®Òu lµ nh÷ng sè lÎ. C¸c tæng nµy k còng lµ c¸c "nöa khai triÓn", nh−ng b¶n chÊt th× kh¸c h¼n víi S10! C¸ch gi¶i nh− sau: XÐt hai khai triÓn: (1+2)2008 = C2008 + C2008 21 + C2008 22 + .... + C2008 22007 + C2008 22008 (*) 0 1 2 2007 2008 (1-2)2008 = C2008 − C2008 21 + C2008 22 − .... − C2008 22007 + C2008 22008 (**) 0 1 2 2007 2008 Céng tõng vÕ cña (*) vµ (**) ta ®−îc: 32008 + 1 2S11 = 32008 + 1 ⇔ S11 = 2 Trõ tõng vÕ cña (*) cho (**) ta ®−îc: 32008 − 1 2S12 = 32008 - 1 ⇔ S12 = 2 VD8: TÝnh tæng: • S13 = Cn + 2Cn2 2 + 3Cn3 22 + .... + nCnn 2n −1 1
• S14 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 21 + 4.3Cn4 22 + .... + n(n − 1)Cnn 2n −2 XÐt sè h¹ng thø k (ë ®©y chØ sè k b¾t ®Çu tõ 1 nªn chØ sè k b»ng sè thø tù cña sè h¹ng): Tk = kCnk 2k −1 Tk cã ®iÒu g× kh¸c l¹? Tk còng cã 3 thõa sè, nh−ng thõa sè ®Çu tiªn "k" l¹i kh«ng cã d¹ng luü thõa. VËy nã kh«ng ph¶i lµ thõa sè trong c«ng thøc nhÞ thøc Newton. VËy nã tõ ®©u mµ cã? VÊn ®Ò sÏ ®−îc gi¶i quyÕt ngay sau ®©y. XÐt hµm sè f(x) = (1 + x)n Ta cã: f'(x) = n(1 + x)n-1 ⇒ f'(2) = n3n-1 (*) MÆt kh¸c khai triÓn f(x) ta ®−îc: n n n f(x) = ∑C k =0 k n x k ⇒ f'(x) = ∑ kC k =0 k n x k −1 ⇒ f'(2) = ∑ kC k =0 k n 2k −1 (**) n-1 Tõ (*) vµ (**) suy ra S13 = n3 . B©y giê th× ta ®· cã c©u tr¶ lêi cho c©u hái thõa sè "k" trong Tk lµ do ®©u mµ cã. V©ng, chÝnh lµ do ta ®¹o hµm xk mµ ra. B¹n h·y thö søc m×nh víi S14 xem sao nhÐ. (Gîi ý: H·y ®¹o hµm f(x) tíi cÊp 2). VD9: TÝnh tæng: 1 1 1 • S15 = Cn0 21 + Cn 22 + Cn2 23 + .... + 1 Cn 2 n +1 n 2 3 n +1 1 Ta xÐt sè h¹ng tæng qu¸t Tk+1 = Cn 2 k +1 k k +1 Thõa sè ®Çu tiªn kh«ng cã d¹ng lòy thõa, còng kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn, 1 mµ l¹i cã d¹ng ph©n thøc . Bµi to¸n sÏ gi¶i quyÕt theo h−íng nµo? k +1 XÐt hµm sè f(x) = (1 + x)n. Nh−ng b©y giê ta sÏ kh«ng ®¹o hµm, mµ sÏ lÊy tÝch ph©n f(x) tõ 0 ®Õn 2. 2 2 2 (1 + x)n +1 3n +1 − 1 Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫ (1 + x) dx = n = (*) 0 0 n +1 0 n +1 n MÆt kh¸c f(x) = ∑C k =0 k n xk 2 2 2 n x k +1 n n 12 n Suy ra ∫ f(x)dx = ∫ ∑ C x dx = ∑ ∫ C x dx = ∑ C k n k =∑ k k C n 2 k +1 k n k n 0 0 k =0 k =0 0 k =0 k + 1 0 k =0 k + 1 (**) 3n +1 − 1 Tõ (*) vµ (**) suy ra S15 = n +1 B¹n sÏ th¾c m¾c t¹i sao l¹i lÊy cËn tÝch ph©n lµ tõ 0 ®Õn 2? B¹n h·y tù lÝ gi¶i xem sao?. §Ó hiÓu s©u s¾c h¬n ta xÐt thªm mét vÝ dô n÷a sau ®©y.
VD10: TÝnh tæng: 41 − 31 42 − 32 43 − 31 4 n +1 − 3n +1 • S16 = C 0 n + C1 n + C2 n + ... + C n n 1 2 3 n +1 Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n nµy còng t−¬ng tù ph−¬ng ph¸p tÝnh tæng S15, tuy nhiªn cËn tÝch ph©n b©y giê sÏ lµ tõ 3 ®Õn 4. Víi c¸c tæng th−êng gÆp trªn ®©y, ¸p dông c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n, chia ta sÏ t¹o ra ®−îc c¸c tæng rÊt "l¹". Ch¼ng h¹n tÝnh tæng sau: S = Cn + 22 Cn2 2 + 32 Cn3 22 + .... + n2Cnn 2n−1 1 B¹n h·y lÊy S13 céng víi S14, kÕt qu¶ thu ®−îc chÝnh lµ S! VD11: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: • S17 = C k + C n −1 n k • S18 = C n + 2C n −1 + C k −2 k k n • S19 = C n + 3C n −1 + 3C n −2 + C k −3 k k k n • S20 = C n + 4C n + 6C n + 4C n −3 + C n −4 k k −1 k −2 k k • S21 = C n + 5C n −1 + 10C k −2 + 10C n −3 + 5C n −4 + C k −5 k k n k k n B¹n cã nhËn xÐt g× vÒ c¸c hÖ sè trong c¸c biÓu thøc trªn? V©ng, ®ã chÝnh lµ c¸c sè trong tam gi¸c Pascal. k k Do tÝnh chÊt cña c¸c sè C n mµ ta cã S17 = C n +1 Víi S18 ta thùc hiÖn nh− sau: S18 = ( C k + C n −1 ) + ( C n −1 + C n −2 ) = C n +1 + C n +1 = C k + 2 n k k k k k −1 n Tøc lµ ta ®· "h¹ cÊp" S18, ®−a vÒ tæng cña hai tæng ë "cÊp" thÊp h¬n. T−¬ng tù nh− thÕ víi S19, S20, S21. Vµ víi quy luËt nh− thÕ, ta cã thÓ "s¸ng t¸c" thªm rÊt nhiÒu nh÷ng tæng kh¸c. Ch¼ng h¹n víi S19: S19 = ( C n + 2C n −1 + C k −2 ) + ( C n −1 + 2C n −2 + C n −3 ) = ... = C n +3 k k n k k k k ¸p dông c¸c phÐp to¸n cho c¸c tæng trªn, ta sÏ "chÕ biÕn" ra c¸c tæng mµ míi nh×n vµo, b¹n sÏ kh«ng biÕt ph¶i b¾t ®Çu nh− thÕ nµo. LÊy vÝ dô, ta ®em S18 nh©n víi 2 råi céng víi S19, ta ®−îc mét tæng míi lµ: S22 = 3C n + 7C n −1 + 5C n −2 + C n −3 k k k k §Ó tÝnh ®−îc S22 nµy, ta ph¶i t¸ch nã ra thµnh tæng cña c¸c chuçi cã tÝnh chÊt nh− S18, S19. Tæng qu¸t ho¸ lªn, ta ®−îc bµi to¸n nh− sau: VD12: Chøng minh r»ng: • C 0 .C n + C1 .C n −1 + C 2 .C n −2 + ... + C m .C n − m = C k + n , víi m ≤ k ≤ n m k m k m k m k m m+n §Ó chøng minh ta xÐt ®a thøc f(x)=(1+x) m+n Ta cã: f(x) = ∑C i =0 i x m+ n i HÖ sè cña xk trong khai triÓn lµ C m + n k (*) MÆt kh¸c f(x) = (1 + x)m(1 + x)n Ta cã :
(1 + x)m = Cm x 0 + Cm x1 + ... + Cm x m 0 1 m (1 + x)n = Cn0 x 0 + Cn x1 + ... + Cnn x n 1 Suy ra hÖ sè cña xk trong khai triÓn cña (1 + x)m(1 + x)n lµ: C 0 .C n + C1 .C n −1 + C 2 .C k −2 + ... + C m .C n −m m k m k m n m k (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi tËp t−¬ng tù: VD14: Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 • (C ) + (C ) + (C ) o n 1 n 2 n + ... + ( C n ) = C 2 n n n