Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán hit của peterson tại một số dạng bậc và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:127

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án gồm 4 chương được trình bày như sau: Một số kiến thức cơ sở; Bài toán hit đối với đại số đa thức tại bậc; Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số dạng bậc; Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số ii thứ năm của Singer;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán hit của peterson tại một số dạng bậc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VÕ PHÚC BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VÕ PHÚC BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS. TS. Lê Minh Hà Phản biện 2: TS. Phan Hoàng Chơn Phản biện 3: PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017
Lời cam đoan Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sum. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được đồng tác giả là thầy hướng dẫn của tôi cho phép sử dụng khi đưa vào luận án và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Đặng Võ Phúc
Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn là PGS.TS. Nguyễn Sum. Thầy rất nghiêm khắc nhưng mẫu mực, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tác giả vượt qua được những khó khăn trong những bước đi đầu tiên làm nghiên cứu sinh mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lẫn tinh thần của Thầy trong cuộc sống để tác giả hoàn thành luận án này một cách tốt nhất. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán cùng quý Thầy Cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán Đại số và Lý thuyết số khóa 2 đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu khoa học tại Trường đại học Quy Nhơn. Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè gần xa, đặc biệt là các bạn NCS. Trần Đình Phụng, NCS. Dư Thị Hòa Bình và NCS. Lưu Thị Hiệp đã luôn sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ rất nhiều cho tác giả, để tác giả vượt qua được những biến cố về sức khỏe và có thêm động lực hoàn thành tốt nhất chương trình nghiên cứu sinh của mình. Tác giả Đặng Võ Phúc
i Mục lục Mục lục i Bảng một số ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức cơ sở 11 1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk . . . . . . . . 13 1.3 Một số hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Đồng cấu Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và đơn thức chấp nhận được . . 18 1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Một số kết quả về bài toán hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Bài toán hit đối với đại số đa thức tại bậc (k − 1)(2d − 1) 26 2.1 Một số đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Chứng minh Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 3. Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số dạng bậc 40 3.1 Chứng minh Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Chứng minh Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Chương 4. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số
ii thứ năm của Singer 74 4.1 Đồng cấu chuyển đại số và giả thuyết của Singer . . . . . . . . . . . 74 4.2 Chứng minh Định lý 4.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Kết luận và kiến nghị 87 Danh mục các công trình liên quan đến luận án 89 Tài liệu tham khảo 90 Phụ lục A 96 A.1 Các đơn thức chấp nhận được bậc 4(2d − 1) trong P5 . . . . . . . . 96 A.2 Các đơn thức chấp nhận được bậc 6 trong P5 . . . . . . . . . . . . 106 A.3 Các đơn thức chấp nhận được bậc 17 trong P5 . . . . . . . . . . . . 107 A.4 Các đơn thức chấp nhận được bậc 18 trong P5 . . . . . . . . . . . . 112 A.5 Các đơn thức chấp nhận được bậc 39 trong P5 . . . . . . . . . . . . 115
iii Bảng một số ký hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử. Pk : Đại số đa thức của k biến x1 , x2 , . . . , xk trên trường F2 . (Z/2)k : Không gian véctơ k chiều trên trường F2 , 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k. B(Z/2)k : Không gian phân loại của (Z/2)k . GLk : Nhóm tuyến tính tổng quátgồm các tự đẳng cấu của (Z/2)k . H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k , với hệ số trên F2 . H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đối đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k , với hệ số trên F2 . A : Đại số Steenrod mod 2. TorA ∗,∗ (F2 , F2 ) : Đồng điều của A , với hệ số trên F2 . Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) : Đối đồng điều của A , với hệ số trên F2 . P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Không gian con của H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi tác động của mọi toán tử Steenrod bậc dương. Nk : Tập hợp tất cả các số nguyên dương không vượt quá k. Nk : Tập hợp tất các các cặp (i; I), với I = (i1 , i2 , . . . , ir ) ⊆ Nk , 1 6 i < i1 < i2 < . . . < ir 6 k, 0 6 r < k. Q XI : Đơn thức x1 . . . xˆi1 . . . xˆir . . . xk = xi , i∈Nk \I với I = (i1 , i2 , . . . , ir ) ⊆ Nk . X{i} : Đơn thức x1 . . . xˆi . . . xk trong Pk với 1 6 i 6 k. X∅ : Đơn thức x1 x2 . . . xk trong Pk . X : Đơn thức x1 x2 . . . xk−1 trong Pk−1 . αi (n) : Hệ số thứ i > 0 trong khai triển nhị phân của số nguyên dương n. α(n) : Số các hệ số 1 trong khai tiển nhị phân của n. µ(n) : Số min{m ∈ N| α(n + m) 6 m}. |S| : Lực lượng của tập hợp S.
1 Mở đầu Ký hiệu H • (X, F2 ) là đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X, lấy hệ số trên trường nguyên tố F2 , có hai phần tử. Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng các toán tử đối đồng điều mà ngày nay mang tên ông, tác động tự nhiên lên H • (X, F2 ): Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ), trong đó k là số nguyên không âm bất kỳ. Trong nhiều trường hợp, các toán tử này là một công cụ hữu hiệu để nhận biết sự khác nhau về kiểu đồng luân của các không gian tôpô. Chẳng hạn, chúng ta có thể thấy rằng hai không gian CP 4 /CP 2 và S6 ∨ S8 mặc dù có cùng vành đối đồng điều nhưng không tương đương đồng luân (hay không cùng kiểu đồng luân) bởi vì toán tử Sq 2 tác động tầm thường trên nhóm đối đồng điều H 2 (S6 ∨ S8 , F2 ) nhưng không tầm thường trên H 2 (CP 4 /CP 2 , F2 ). Trong quá trình nghiên cứu đối đồng điều của các không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre [70] đã chỉ ra rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thành của các ánh xạ, các toán tử Steenrod Sq k sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định. Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod được gọi là đại số Steenrod mod 2, ký hiệu là A . Cấu trúc của đại số này còn được khảo sát như là đại số thương k của một F2 -đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh bởi các ký hiệu Sq , k > 0 chia cho iđêan hai phía sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng: k m X m − 1 − t k+m−t t 0 Sq ⊗F2 Sq + Sq ⊗F2 Sq , 1 6 k < 2m và Sq + 1, k − 2t 06t6[k/2] m trong đó, ký hiệu [k/2] là phần nguyên của k/2 và k là hệ số nhị thức được tính k k theo mod 2. Khi đó, các phần tử trong trong đại số A là Sq k := [Sq ], với [Sq ] k là lớp trong A có đại diện là Sq . Vì thế, toán tử Steenrod Sq 0 là toán tử đồng nhất và các toán tử Sq k (với k > 0) thỏa mãn các quan hệ Adem [2] như sau: X m − 1 − t k m Sq Sq = Sq k+m−t Sq t , với 0 < k < 2m. k − 2t 06t6[k/2] Sau đó, đại số Steenrod được nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu và trở thành một công cụ quan trọng để giải quyết bài toán phân loại kiểu đồng luân của các
2 không gian tôpô, một trong những bài toán trung tâm của Tôpô đại số hiện nay. Từ việc nghiên cứu bài toán này đã dẫn tới một bài toán rất khó trong lý thuyết đồng luân ổn định, đó là tính toán tường minh đối đồng điều (mod 2) của đại số Steenrod, H ∗,∗ (A , F2 ) := Ext∗,∗ A (F2 , F2 ), nó là một F2 -đại số song phân bậc-giao hoán và là trang E2 của dãy phổ Adams [1] hội tụ về thành phần 2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu π∗S (S0 ). Cấu trúc của đại số này mặc dù đã được nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa thế kỷ, tuy nhiên cho đến nay vẫn rất khó để nắm bắt được nó. Vào năm 1989, Singer [38] đã cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod, ông thiết lập một đồng cấu đại số mà ngày nay nó được gọi là đồng cấu chuyển hạng k (hay thứ k) của Singer: ϕk : TorA ∗ k k,k+∗ (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A H (B(Z/2) , F2 )) GLk , từ đồng điều (mod 2) của đại số A đến không gian con của F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất cả các lớp bất biến dưới tác động thông thường của nhóm tuyến tính tổng quát GLk := GL(k, F2 ). Ở đây, (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem như F2 -không gian véctơ k chiều và B(Z/2)k là không gian phân loại của nó. Đồng cấu đối ngẫu T rk : F2 ⊗GLk P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) → Extk,k+∗ A (F2 , F2 ) cũng được gọi là đồng cấu chuyển của Singer. Chú ý rằng P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) = (F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ))∗ là không gian con của đại số đồng điều H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu đối với tác động của mọi toán tử Steenrod bậc dương. Singer đã chỉ ra trong [38] rằng T rk là một đẳng cấu với k 6 2 và tại một số bậc với k = 3, 4. Trong trường hợp hạng năm, ông chứng minh T r5 không là toàn cấu tại bậc 9. Các kết quả này của Singer đã chỉ ra giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển. Vì vậy, nó được kỳ vọng là một công cụ hữu ích để mô tả đối đồng điều của đại số Steenrod, Extk,∗ A (F2 , F2 ). Đặc biệt, trong [38], Singer đã đưa ra giả thuyết sau đây. Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]). Đồng cấu T rk là một đơn cấu, với mọi số nguyên dương k. Giả thuyết này được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Tôpô đại số (xem
3 Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín [52] và một số tác giả khác). Công trình [3] của Boardman năm 1993 đã chỉ ra giả thuyết của Singer cũng đúng với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 cũng là một đẳng cấu. Gần đây, N. H. V. Hưng và các cộng sự đã xác định hoàn toàn ảnh của T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17]). Đáng chú ý, N. H. V. Hưng chứng minh trong [14] rằng với bất kỳ k > 5 có vô số bậc mà tại đó T rk không là đẳng cấu. Tuy nhiên, ông không khẳng định được T rk là một đơn cấu. Vì vậy, giả thuyết của Singer cho đến nay vẫn còn để ngỏ. Để chứng minh hoặc phủ định giả thuyết của Singer thì việc nắm rõ cấu trúc của tích tensor F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) là một trong những yếu tố quyết định. Vì vậy, việc giải quyết giả thuyết của Singer có mối liên hệ mật thiết với bài toán xác định tường minh một hệ sinh tối tiểu của F2 -đại số phân bậc Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 ; x2 ; . . . ; xk ], được xét như là một môđun trên đại số Steenrod A , trong đó ký hiệu F2 [x1 ; . . . ; xk ] là F2 -đại số đa thức của k-biến x1 , x2 , . . . , xk , mỗi biến có bậc 1. Cấu trúc A - môđun trái (không ổn định) của đại số Pk được xác định tường minh bởi công thức:   xt nếu m = 0,    Sq m (xt ) =x2t nếu m = 1,    0 nếu m > 1,  và công thức Cartan [67]: Sq m (f g) = Sq t (f )Sq m−t (g), với f, g là các đa P 06t6m thức thuần nhất bất kỳ trong Pk . Nếu xét F2 như là một A -môđun tầm thường thì bài toán được quy về tìm một cơ sở của F2 -không gian véctơ phân bậc M Pk /A + .Pk = F2 ⊗A Pk = (F2 ⊗A Pk )n , n>0 trong đó (F2 ⊗A Pk )n := (Pk )n / (Pk )n ∩ A + .Pk , với (Pk )n là F2 -không gian con của Pk gồm các đa thức thuần nhất bậc n. Ngày nay, bài toán này được gọi là bài toán "hit" đối với đại số đa thức. Peterson [28] là tác giả đầu tiên nghiên cứu bài toán này vào năm 1987. Ông đã đưa ra giả thuyết rằng (F2 ⊗A Pk )n = 0 nếu α(n + k) > k, trong đó ký hiệu α(n) là số các chữ số 1 trong khai triển nhị
4 phân của n. Giả thuyết này được ông chứng minh cho trường hợp k 6 2. Sau đó, Wood [64] chứng minh cho trường hợp tổng quát vào năm 1989. Sau các công trình này, bài toán hit thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giả trong và ngoài nước (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Carlisle-Wood [6], Crabb-Hubbuck [8], Hà [12], Hưng [13], Hưng-Nam [15, 16], Kameko [18, 19], Minami [23], Mothebe [25, 26], Nam [68, 69], Repka-Seilck [35], Silverman [36], Silverman-Singer [37], Singer [39], Walker-Wood [58, 59, 60], Wood [64], Sum [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50], Tín [54, 55, 56], Tín-Sum [57] và một số tác giả khác). Có thể nói bài toán hit là một bài toán mang tính thời sự bởi những ứng dụng quan trọng của nó. Cụ thể hơn, bài toán này không những là một công cụ hữu ích để nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển của Singer mà nó còn được ứng dụng để nghiên cứu một số bài toán kinh điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết cobordism của các đa tạp thể hiện qua công trình của Peterson [29]; bài toán phân tích ổn định không gian phân loại của các 2-nhóm Abel sơ cấp qua công trình của Priddy [33]; lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính qua các công trình của Wood [66], Walker-Wood [59]. Cho đến nay, bài toán hit mới giải tường minh cho trường hợp k 6 4. Trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài toán mở. Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán hit của Peterson; từ đó trên cơ sở sử dụng các kết quả của bài toán này, chúng tôi nghiên cứu kiểm chứng giả thuyết của Singer cho trường hợp k = 5 tại một số bậc. Một cách cụ thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc của không gian véctơ F2 ⊗A Pk , với k > 5, tại một số dạng bậc và ứng dụng các kết quả này để kiểm chứng giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển thứ năm T r5 , tại các bậc tương ứng. Như chúng tôi đã trình bày ở trên, bài toán hit mới giải quyết hoàn toàn cho số biến k 6 4. Cụ thể hơn, trường hợp k 6 2 đã được tính toán tường minh trong công trình [28] của Peterson. Trường hợp k = 3 là kết quả của Kameko thực hiện trong Luận án [18] tại trường Đại học Johns Hopkins vào năm 1990. Đặc biệt, trong công trình này Kameko đưa ra một giả thuyết về một cận trên của số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n chỉ phụ thuộc vào số biến của đại số đa thức Pk , (2i − 1), với n là số nguyên dương tùy ý. Giả Q cụ thể là dim(F2 ⊗A Pk )n 6 16i6k
5 thuyết này được Kameko chứng minh là đúng đối với số biến k 6 3. Năm 2007, N. Sum [43] giải quyết trọn vẹn bài toán hit cho trường hợp k = 4 trong một bản thảo dài 240 trang. Công trình này sau đó được rút gọn lại và công bố chính thức vào năm 2015 (xem Sum [48]). Dựa vào kết quả này, giả thuyết của Kameko vẫn đúng với k = 4. Tuy nhiên, giả thuyết này không còn đúng khi k > 5; kết quả này đã được N. Sum chứng minh đầy đủ và công bố trong các công trình [44, 45]. Một trong những công cụ hữu hiệu để tính toán bài toán hit cũng như nghiên 0 f ∗ : (F2 ⊗A Pk )k+2d → cứu đồng cấu chuyển của Singer là đồng cấu của Kameko Sq (F2 ⊗A Pk )d , với d là một số nguyên dương tùy ý. Đồng cấu này được cảm sinh từ một F2 -đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định như sau:  u nếu x = x1 x2 . . . xk u2 ,  ψ(x) = 0  các trường hợp khác, với mọi đơn thức x ∈ Pk . Ngoài công cụ này, hàm số học sau đây cũng được ứng dụng để giải quyết bài toán hit P dt µ(n) = min r ∈ N : n = (2 − 1), dt > 0, 1 6 t 6 r 16t6r = min r ∈ N : α(n + r) 6 r , trong đó, n là một số nguyên dương tùy ý. Chú ý rằng, tác động của các đại số A và GLk trên Pk là giao hoán với nhau. Vì vậy, không gian véctơ (F2 ⊗A Pk ) cũng có cấu trúc là một GLk -môđun. Kameko đã chứng minh trong [18], nếu µ(n) = k thì n − k là một số chẵn và đồng cấu 0 f : (F2 ⊗A Pk )n −→ (F2 ⊗A Pk ) n−k Sq ∗ 2 là một đẳng cấu các GLk -môđun. Từ các tính chất sơ cấp của hàm µ, ta thấy rằng với mỗi số nguyên không âm m, tồn tại số nguyên t > 0 sao cho µ(k(2d − 1) + 2d m) = k, với mọi d > t. Do đó, từ kết quả của Kameko, suy ra rằng đồng cấu lặp g0 )d−t : (F2 ⊗A Pk ) d (Sq ∗ k(2 −1)+2d m −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t m (0.1) là một phép đẳng cấu các GLk -môđun với mọi d > t. Tuy nhiên, giá trị của t là chưa xác định được cụ thể. Trong công trình [14], N. H. V. Hưng đã chỉ ra rằng
6 đồng cấu lặp (0.1) là đẳng cấu với mọi d > k − 2. Gần đây, trong quá trình nghiên cứu đồng cấu chuyển hạng năm của Singer, Tín-Sum [57] đã mở rộng kết quả này của Hưng bằng việc chứng minh đồng cấu lặp (0.1) là một đẳng cấu với mỗi d > t nếu và chỉ nếu t > t(k, m) := max{0, k − α(m + k) − ς(m + k)}, trong đó ký hiệu ς(n) là số nguyên không âm lớn nhất u sao cho số nguyên dương n chia hết cho 2u . Ở đây, số t(k, m) là không vượt quá (k − 2), với bất kỳ số nguyên không âm m. Kết quả của Tín-Sum đóng vai trò quan trọng trong việc rút ngắn các tính toán bài toán hit tại một số dạng bậc. Từ một kết quả của Wood trong công trình [64], bài toán hit được rút gọn về tính toán tại các bậc có dạng n = s(2d − 1) + 2d m, (0.2) với s, d, m là các số nguyên không âm sao cho 1 6 s 6 k, m = 0 hoặc s − 2 6 µ(m) 6 s − 1. Ta biết rằng, giải bài toán hit tại các dạng bậc n có dạng (0.2) tương đương với tìm một cơ sở của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n . Tuy nhiên, việc xác định tường minh được một cơ sở của (F2 ⊗A Pk )n là rất phức tạp, mặc dù đã có sự hỗ trợ của máy tính điện tử. Trong nhiều trường hợp, nếu đánh giá ước lượng được số chiều của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n thì có thể giúp cho chúng ta thuận lợi hơn trong việc tính toán. Một trong các kết quả liên quan đến sự kiện này là bất đẳng thức sau đây cho số chiều của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) : min{k,d} d X k dim(F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) > N (k, (k − 1)(2 − 1)) + , i=2 i Ở đây, ký hiệu N (k, n) dùng để chỉ số các đơn thức spike bậc n trong Pk (xem Định nghĩa 1.6.1) và n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng như (0.2) cho trường hợp s = k−1, m = 0. Bất đẳng thức trên được thiết lập bởi Mothebe trong luận án [25] của ông thực hiện tại trường Đại học Manchester năm 1997 và được công bố chính thức trong [26] vào năm 2013. Cấu trúc của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) cũng được chúng tôi khảo sát trong luận án này và thu được kết quả sau đây (kết quả này được công bố trong bài báo [30]).
7 Định lý 2.1. Cho n = (k − 1)(2d − 1) với d là một số nguyên dương tùy ý. Đặt p = min{k, d} và q = min{k, d − 1}. Nếu k > 3 thì X k X k k dim(F2 ⊗A Pk )n > + (k − 3) . t 2 ` 16t6p 16`6q Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu hoặc k = 3 hoặc k = 4, d > 5 hoặc k = 5, d > 6. Từ định lý này và tính chất của các đơn thức spike, chúng tôi dễ dàng thu được hệ quả sau. Hệ quả 2.2.10. Cho n, p, q như trong Định lý 2.1. Khi đó X k X k k dim(F2 ⊗A Pk )n > N (k, n) + + (k − 3) . t 2 ` 26t6p 26`6q Như vậy, bất đẳng thức của Mothebe ở trên được suy ra trực tiếp từ hệ quả này. Kết hợp các kết quả của Kameko [18], N. Sum [47] và kết quả của chúng tôi trong Định lý 2.1, việc giải quyết bài toán hit đối với số biến k > 5 tại dạng bậc (k − 1)(2d − 1) được thuận lợi hơn và thu gọn lại một cách đáng kể. Ứng dụng Định lý 2.1, chúng tôi tính toán tường minh các đơn thức chấp nhận được bậc (k − 1)(2d − 1) trong Pk với k = 5, d là số nguyên dương bất kỳ. Kết quả chúng tôi thu được là định lý sau đây (kết quả này được công bố trong bài báo [32]). Định lý 3.1. Số chiều của F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A P5 )4(2d −1) xác định như bảng dưới đây: n = 4(2d − 1) d=1 d=2 d=3 d=4 d>5 dim(F2 ⊗A P5 )n 45 190 480 650 651 Gần đây, trong các công trình [54, 55, 56], N. K. Tín bằng cách sử dụng tính đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko (0.1) đã tính toán tường minh bài toán hit đối với P5 tại dạng bậc như (0.2) với s = 5, m ∈ {1, 2, 3}. Trường hợp s = 5, m = 5 đã được N. Sum tính toán cụ thể trong bài báo [50]. Tiếp nối các công trình này, chúng tôi nghiên cứu cho trường hợp m = 6. Cụ thể, chúng tôi xác định tường minh một cơ sở của F2 -không gian véctơ F2 ⊗A P5 tại bậc 5(2d − 1) + 6.2d , với d là một số nguyên dương tùy ý. Kết quả chúng tôi đạt được là định lý dưới đây (kết quả này với d = 1 đã được công bố chính thức trong bài báo [31]).
8 Định lý 3.2. Cho n = 5(2d − 1) + 6.2d với d là số nguyên dương tùy ý. Khi đó, ta có dim(F2 ⊗A P5 )n = 566 nếu d = 1 và dim(F2 ⊗A P5 )n = 2130 nếu d > 2. Bằng cách sử dụng trực tiếp Bổ đề 3.3 trong Hưng [14], ta dễ dàng tính được µ(83) = 5. Do đó, theo Bổ đề 3.5 trong Hưng [14], ta thấy rằng µ(5(2d −1)+6.2d ) = 5, với mọi d > 3. Từ đây, áp dụng Định lý Kameko (xem Định lý 1.4.1), đồng cấu lặp g0 )d−2 : (F2 ⊗A P5 ) d (Sq ∗ 5(2 −1)+6.2d −→ (F2 ⊗A P5 )5(22 −1)+6.22 là một đẳng cấu của các GL5 -môđun, với mọi d > 2. Vì vậy, chúng tôi chỉ cần chứng minh Định lý 3.2 cho các trường hợp d = 1, 2. Đối với trường hợp d = 1 thì phép chứng minh là không quá khó nhưng với trường hợp d = 2 thì quá trình tính toán đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp. Tuy nhiên, qua phép chứng minh này chúng tôi thu được một số kỹ thuật mới khá thú vị để giải bài toán hit đối với số biến k = 5. Trên cơ sở sử dụng các kết quả nghiên cứu của bài toán hit đối với đại số P5 tại các bậc có dạng như (0.2), chúng tôi kiểm chứng giả thuyết của Singer trong trường hợp hạng năm tại các bậc 4(2d −1) và 5(2d −1)+6.2d . Cụ thể hơn, tại dạng bậc 4(2d − 1), N. Sum [49] đã chứng minh (F2 ⊗A P5 )GL 5 4(2d −1) = 0. Lấy đối ngẫu, ta có F2 ⊗GL5 P H4(2d −1) (B(Z/2)5 , F2 ) = 0, với mọi d. Áp dụng kết quả này và các kết quả của Lin [21], Chen [7] và Tangora [53], ta thấy rằng đồng cấu chuyển đại số d T r5 : F2 ⊗GL5 P H4(2d −1) (B(Z/2)5 , F2 ) → Ext5,4.2 A +1 (F2 , F2 ) là đẳng cấu tầm thường. Do đó, giả thuyết của Singer là đúng cho trường hợp k = 5 tại bậc 4(2d − 1), với d là số nguyên dương bất kỳ. Đối với dạng bậc n = 5(2d − 1) + 6.2d , chúng tôi kiểm chứng giả thuyết của Singer về đồng cấu T r5 tại bậc này cho trường hợp d = 1 tương ứng với n = 17. Cụ thể, chúng tôi ứng dụng Định lý 3.2, tính toán tường minh cơ sở của F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A P5 )GL 17 . Kết quả chúng tôi đạt được là định lý sau đây (kết quả 5 này được công bố trong bài báo [31]). Định lý 4.1.4. Có đúng một lớp trong (F2 ⊗A P5 )17 khác 0 và bất biến đối với tác động của nhóm GL5 . Nghĩa là, dim(F2 ⊗A P5 )GL 17 = 1. 5 L Nhận xét rằng, T r := T rk là một đồng cấu đại số (xem Singer [38]). Khi k>1
9 đó, sử dụng kết quả của Singer [38], Hà [12], Tangora [53], ta thấy rằng phần tử h2 d0 = h0 e0 ∈ Ext5,22 A (F2 , F2 ) là phân tích được và nằm trong ảnh của T r5 tại song bậc (5, 22). Kết hợp nhận xét này với Định lý 4.1.4, chúng tôi thu được hệ quả sau đây (kết quả này cũng được công bố trong bài báo [31]). Hệ quả 4.1.5. Đồng cấu chuyển đại số T r5 : F2 ⊗GL5 P H17 (B(Z/2)5 , F2 ) → Ext5,22 A (F2 , F2 ) là một đẳng cấu. Hệ quả này đã chỉ ra giả thuyết của Singer cũng đúng trong trường hợp hạng năm tại bậc 17. Bây giờ, để kiểm chứng giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số trong trường hạng năm tại bậc n = 5(2d − 1) + 6.2d với d > 2, chúng tôi chỉ cần xác định (F2 ⊗A P5 )GL n 5 với d = 2 (tức là, n = 39). Như chúng ta đã biết, đồng cấu của Kameko với k = 5 tại bậc 39: g0 )(5,39) := Sq (Sq g0 : (F2 ⊗A P5 )39 −→ (F2 ⊗A P5 )17 ∗ ∗ là một toàn cấu của các GL5 -môđun. Do đó, mọi phần tử trong (F2 ⊗A P5 )GL 5 39 đều g0 )(5,39) , có dạng γ[ψ(d0 )] + [a], trong đó γ ∈ F2 ; a ∈ (P5 )39 sao cho [a] ∈ Ker (Sq ∗ d0 ∈ (P5 )17 và [d0 ] là phần tử khác không duy nhất trong (F2 ⊗A P5 )GL5 17 . Ta biết rằng phần tử h3 d1 = h1 e1 ∈ Ext5,44 A (F2 , F2 ) và nằm trong ảnh của T r5 nên dim(F2 ⊗A P5 )GL 39 5 > 1. Dễ thấy rằng, nếu giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển hạng năm T r5 là đúng tại bậc 39 thì dim(F2 ⊗A P5 )GL 39 = 1. Việc xác định 5 các phần tử của không gian này có dạng γ[ψ(d0 )] + [a] như đã trình bày ở trên là rất phức tạp, tuy nhiên nếu dự đoán sau là đúng thì việc chứng minh đơn giản hơn rất nhiều. GL5 g0 )(5,39) Giả thuyết 4.1.6. Với k = 5 và bậc 39, ta có Ker(Sq = 0. ∗ Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, luận án được chia thành 4 chương với nội dung như sau: • Chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về bài toán hit và một số kết quả liên quan nhằm sử dụng cho các chương tiếp theo. • Chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n với n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng với dạng bậc như (0.2) với s = k − 1, m = 0, d
10 là số nguyên dương tùy ý. Cụ thể, chúng tôi mở rộng kết quả của Mothebe [25, 26], thiết lập một chặn dưới chặt hơn đối với số chiều của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) (xem Định lý 2.1). • Chương 3, chúng tôi dựa vào kết quả trong Chương 2 và một số kết quả của Kameko [18], N. Sum [48] để tính toán tường minh các đơn thức chấp nhận được trong P5 tại các bậc có dạng như (0.2) với s ∈ {4, 5} và m ∈ {0, 6} (xem Định lý 3.1 và 3.2). • Chương 4, bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu bài toán hit, chúng tôi xác định tường minh các GL5 -bất biến của P5 tại bậc n = 5.(2d −1)+6.2d với d = 1 (xem Định lý 4.1.4). Ứng dụng kết quả này và một số kết quả đã biết của Singer [38], Hà [12], và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyết của Singer là đúng trong trường hợp hạng năm và tại bậc 5(2d − 1) + 6.2d với d = 1 (xem Hệ quả 4.1.5). Ngoài ra, dựa vào các kết quả của N. Sum [49], Lin [21], Chen [7] và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyết của Singer cũng đúng với k = 5 và tại bậc 4(2d − 1), với d là số nguyên dương bất kỳ. Trong phần Phụ lục, chúng tôi liệt kê tất cả các đơn thức chấp nhận được trong P5 đã tính toán trong Chương 3. Luận án được viết dựa trên các công trình [30, 31, 32]. Tác giả Đặng Võ Phúc
11 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở Trong toàn bộ luận án này, nếu không nói gì thêm, vành hệ số được xét là trường nguyên tố F2 có hai phần tử 0 và 1. Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về đại số Steenrod mod 2, tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk , một số hàm số học và đồng cấu Kameko khi nghiên cứu bài toán hit, quan hệ thứ tự giữa các đơn thức trong Pk và đơn thức chấp nhận được. Phần cuối của chương, chúng tôi nhắc lại tiêu chuẩn về đơn thức hit của Singer và một số kết quả đã biết về bài toán hit đối với đại số đa thức Pk . 1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng các toán tử đối đồng điều ổn định Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ), với k là số nguyên không âm, tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X, lấy hệ số trên trường nguyên tố F2 , có hai phần tử. Các toán tử này ngày nay được gọi là toán tử Steenrod (hay dãy Steenrod) và có các tính chất sau đây (xem Steenrod and Epstein [42]): (i) Sq i (u + v) = Sq i (u) + Sq i (v), với mọi u, v ∈ H • (X, F2 ). (ii) Sq 0 = id H • (X,F2 ) .   u2 nếu i = dim u, i (iii) Sq (u) =  0 nếu i > dim u. (iv) Sq 1 = δ là đồng cấu Bockstein kết hợp với dãy khớp ngắn 0 → Z/2 → Z/4 → Z/2 → 0.
12 (v) Công thức Cartan (xem Cartan [67]): X Sq i (u ^ v) = Sq t (u) ^ Sq i−t (v), ∀u, v ∈ H • (X, F2 ). 06t6i (vii) Quan hệ Adem (xem Adem [2]) X j − t − 1 Sq i ◦ Sq j = Sq i+j−t ◦ Sq t , 0 < i < 2j, i − 2t 06t6[i/2] trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo mod 2. Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod Sq i được gọi là đại số Steenrod mod 2, ký hiệu là A . Chú ý 1.1.1. Cấu trúc của đại số Steenrod còn được khảo sát như sau (xem Mosher and Tangora [24]): Gọi V là F2 -không gian véctơ phân bậc sinh bởi các i ký hiệu Sq , i > 0 bậc i > 0. Đặt M T (V ) = T k (V ), T k (V ) := V ⊗F2 V ⊗F2 · · · ⊗F2 V , T 0 (V ) = F2 , T 1 (V ) = V | {z } k>0 k lần là F2 -đại số tensor của V. Với mỗi cặp số nguyên dương (i; j), 0 < i < 2j, đặt i j X j − t − 1 i+j−t t R(i, j) = Sq ⊗F2 Sq + Sq ⊗F2 Sq . i − 2t 06t6[i/2] 0 Gọi I là ideal hai phía của T (V ) sinh bởi tất cả các phần tử R(i, j) và Sq + 1. Khi đó, đại số Steenrod A được xem như là đại số thương T (V )/I. Chú ý rằng, từ công thức Cartan, Sq i (u ^ v) 6= Sq i (v) ^ Sq i (v). Tuy nhiên, ta có định nghĩa sau đây. Sq i được gọi là P Định nghĩa 1.1.2 (Walker and Wood [61]). Toán tử Sq := i>0 toán tử Steenrod tổng. Toán tử này thỏa mãn Sq(u ^ v) = Sq(u) ^ Sq(v). Nói một cách khác, toán tử Steenrod tổng là đồng cấu F2 -đại số Sq : H ∗ (X, F2 ) → H ∗ (X, F2 ). Biết rằng, nếu u ∈ H ∗ (X, F2 ), với dim u = n thì u ∈ H n (X, F2 ), do đó X X Sq(u) = Sq i (u) = Sq i (u). i>0 06i6n
13 Định nghĩa 1.1.3 (Steenrod and Epstein [42]). Ta nói một phần tử bậc i > 0 trong đại số A gọi là phân tích được, nếu nó có thể viết dưới dạng tổng của các hợp thành các phần tử trong A có bậc nhỏ hơn i. Định lý 1.1.4 (Steenrod and Epstein [42]). Toán tử Sq i là không phân tích được i khi và chỉ khi i là lũy thừa của 2. Tập hợp tất cả các phần tử Sq 2 , i > 0 và Sq 0 là một tập sinh cực tiểu của F2 -đại số A . Trong [22], Milnor chỉ ra rằng đại số Steenrod A là đại số Hopf liên thông, đối giao hoán, có kiểu hữu hạn với đối tích và phép bổ sung cho bởi X ∆ : A −→ A ⊗F2 A , Sq i 7−→ Sq i−k ⊗F2 Sq k , 06k6i   1 nếu i = 0, : A −→ F2 , Sq i − 7 →  0 nếu i > 0. Hạt nhân của đồng cấu bổ sung được gọi là iđêan bổ sung của đại số A , ký hiệu là A + . 1.2 Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk Bài toán chúng tôi tập trung nghiên cứu như đã đề cập trong phần Mở đầu là bài toán tìm một hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức phân bậc Pk = F2 [x1 ; x2 ; . . . ; xk ] được xét như là một môđun trên đại số Steenrod A . hay bài toán hit đối với đại số đa thức. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc cổ điển A -môđun trái (không ổn định) của đại số đa thức Pk . Ký hiệu (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k và B(Z/2)k là không gian phân loại của nó. Biết rằng, H ∗ (B(Z/2), F2 ) ∼ = F2 [x] với deg x = 1 nên theo công thức K¨ unneth, chúng ta có Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 ] ⊗F2 F2 [x2 ] ⊗F2 · · · ⊗F2 F2 [xk ] = F2 [x1 ; . . . ; xk ], | {z } k lần trong đó F2 [x1 ; . . . ; xk ] là F2 -đại số đa thức của k-biến, mỗi biến có bậc 1.