Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh

Chia sẻ: Hoangnhanduc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Đặc trưng bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh" nghiên cứu một số tính chất đại số của đường cong đơn thức (xạ ảnh). Các kết quả chính của Luận án đưa ra những ước lượng cho số mũ rút gọn, chỉ số chính quy và đặc trưng tính Buchsbaum của vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số MÃ SỐ: 9 46 01 04 Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH. Ngô Việt Trung TS. Nguyễn Trọng Hòa Hà Nội - 2022
MỤC LỤC Tóm tắt iv Abstract v Lời cam đoan vi Lời cảm ơn vii Danh mục các ký hiệu viii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Đường cong đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Macaulay hóa hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Vành Buchsbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Số mũ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Chỉ số chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Các công thức tính số mũ rút gọn và chỉ số chính quy 24 2.1 Trường hợp A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Trường hợp B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Trường hợp C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Trường hợp D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Trường hợp E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii
3 Tính Buchsbaum của đường cong đơn thức không trơn 45 3.1 Tiêu chuẩn cho một đoạn thẳng nằm trong 2GM . . . . . . . 45 3.2 Tính Buchsbaum cho Trường hợp F . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Tính Buchsbaum cho Trường hợp G . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Ước lượng chỉ số chính quy cho đường cong đơn thức không trơn 57 4.1 So sánh các nửa nhóm số học phân bậc . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Chỉ số chính quy cho Trường hợp F . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Chỉ số chính quy cho Trường hợp G . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận 75 Các công trình liên quan đến Luận án 76 Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii
Tóm tắt Luận án nghiên cứu một số tính chất đại số của đường cong đơn thức (xạ ảnh). Các kết quả chính của Luận án đưa ra những ước lượng cho số mũ rút gọn, chỉ số chính quy và đặc trưng tính Buchsbaum của vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức. iv
Abstract The thesis studies algebraic properties of (projective) monomial curves. The main results give estimates for the reduction number, the Castelnuovo- Mumford regularity and characterize the Buchsbaum property of the coor- dinate rings of several classes of monomial curves. v
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tập thể hướng dẫn. Kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào Luận án. Các kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Trần Thị Gia Lâm vi
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới người thầy kính yêu của tôi - GS. TSKH. Ngô Việt Trung. Thầy luôn tận tình, chu đáo, dìu dắt tôi từ những bước chập chững đầu tiên trên con đường khoa học. Với tâm huyết của người thầy, Thầy không những dạy tôi về tri thức Toán học, phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn giúp tôi có những quan điểm đúng đắn về cuộc sống. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn thứ hai của tôi - TS. Nguyễn Trọng Hòa. Thầy là người đã hướng dẫn, giúp đỡ và định hướng để tôi chọn làm Nghiên cứu sinh tại Viện Toán học, một cơ sở đào tạo đã cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập, rèn luyện và trưởng thành. Thầy đã quan tâm, động viên, khích lệ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, Phòng Đại số và các phòng chức năng đã cho tôi một môi trường học tập, nghiên cứu lý tưởng để tôi hoàn thành Luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Phú Yên, Lãnh đạo Khoa Khoa học Tự nhiên và các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành việc học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nghiên cứu viên của Phòng Đại số, Viện Toán học đã giúp đỡ và động viên tôi trong thời gian qua. Tôi xin cảm ơn những đồng nghiệp, các anh, chị em đã và đang học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học về những trao đổi, hỗ trợ, chia sẻ trong khoa học và sự động viên, giúp đỡ quý báu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của mình, đặc biệt là Chồng và Con trai yêu quý, đã hi sinh rất nhiều, luôn yêu thương, động viên, tạo điều kiện thuận lợi nhất và mong mỏi ngày tôi hoàn thành Luận án. Luận này xin được kính tặng những người mà tôi yêu thương. vii
Danh mục các ký hiệu N tập hợp các số tự nhiên Z tập hợp các số nguyên gcdpa1 , . . . , an q ước chung lớn nhất của các số nguyên a1 , . . . , an k rx1 , ..., xn s vành đa thức nhiều biến trên trường k k rF s vành con đơn thức sinh bởi F À R Rn vành phân bậc n¥0 R À Rn iđêan phân bậc cực đại của vành phân bậc R n¥1 Dn thành phần phân bậc thứ n của môđun phân bậc D ra, bs tập hợp các số nguyên α sao cho a ¤ α ¤ b depthpRq độ sâu của vành R dimpDq chiều Krull của môđun D ΓI pDq môđun con xoắn của D xác định bởi I HI pDq i môđun đối đồng điều địa phương thứ i của D với giá I ai pRq bậc không triệt tiêu lớn nhất của HR pRq i regpRq chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R rJ pI q số mũ rút gọn của I theo J rpI q số mũ rút gọn của I R¦ Macaulay hóa hữu hạn của vành R viii
Mở đầu Cho k rx, y s là vành đa thức trên trường k, hai biến x, y. Đặt R k rM s là vành con của k rx, y s sinh bởi tập hợp M gồm các đơn thức bậc d cho trước. Khi đó, R là vành tọa độ thuần nhất của đường cong đơn thức xạ ảnh có nghiệm tham số là tập M . Lớp vành này thường được dùng làm đối tượng nghiên cứu cơ bản cho một số bài toán trong Đại số giao hoán và Hình học đại số, chẳng hạn, ví dụ không tầm thường đầu tiên về vành không Cohen-Macaulay là k rx4 , x3 y, xy 3 , y 4 s, được tìm thấy bởi Macaulay [29]. Ngoài ra, vành này cũng là vành Buchsbaum không tầm thường đầu tiên, là khái niệm mở rộng vành Cohen-Macaulay [6, Theorem 3], [42, p. 229]. Người đọc nên xem Chương 1 của Luận án để hiểu các khái niệm chuyên sâu được đề cập trong phần Mở đầu này. Cho M txd , xα1 y d¡α1 , ..., xαn y d¡αn , y d u là một tập hợp gồm các đơn thức hai biến x, y, cùng bậc d và chứa xd , y d . Gr¨bner [15] là người đã o đặt ra bài toán đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay của R theo M . Bài toán này đã được giải quyết cho một số lớp đường cong đơn thức trong [1, Corollary 2.3, Corollary 3.2], [6, Theorem 3], [20, p. 188, 193, 195, 196], [22, Lemma 2.1], [43, p. 574, 577], [44, Theorem 2.1, Lemma 3.1, Corollary 3.4]. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu tồn tại hay không đặc trưng cho tính Buchsbaum của R qua dãy d, α1 , ..., αn . Nói chung, đây là bài toán khó vì nó phụ thuộc nhiều tham số. Tuy nhiên, nếu xd¡1 y, xy d¡1 M thì ta có thể chứng minh được R là vành Buchsbaum khi và chỉ khi d, α1 , ..., αn thỏa mãn một hệ bất đẳng thức tuyến tính [44, Theorem 4.3]. Trường hợp này được quan tâm về mặt hình học bởi vì đường cong đơn thức được cho một cách tham số hóa bởi M là trơn khi và chỉ khi xd¡1 y, xy d¡1 M . Mặt khác, người ta biết rất ít lớp đường cong đơn thức không trơn có vành toạ độ Buchsbaum không Cohen-Macaulay [4, Theorem 2.1, Theorem 3.1, Theorem 3.2], [6, Theorem 3], [21, Theorem 3.2], [44, Theorem 3.5]. Một bài toán khác là ước lượng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford regpRq qua dãy d, α1 , ..., αn . Vấn đề này được nhiều người quan tâm vì regpRq kiểm soát bậc dịch chuyển của giải tự do phân bậc cực tiểu của R [11]. Theo giả thuyết Eisenbud-Goto [11, p. 93], được chứng minh cho 1
đường cong xạ ảnh bởi Gruson, Lazarsfeld và Peskine [14, Theorem 1.1], ta biết rằng regpRq ¤ d ¡ n. Dễ thấy d ¡ n ¡ 1 là số các điểm nguyên còn lại trong khoảng p0, dq, không có trong dãy α1 , ..., αn . Một chặn tốt hơn nhiều được phát hiện bởi L’vovsky [28, Proposition 5.5] dùng tổng của đoạn trống nguyên lớn nhất và lớn nhì. Đối với đường cong đơn thức trơn, Hellus, Hoa và St¨ckrad [18, Theorem 2.7] chứng minh được regpRq bị chặn u bởi một phân số của đoạn trống nguyên lớn nhất. Ta cũng có thể tìm được công thức tường minh cho chỉ số chính quy cho các lớp khá lớn các đường cong đơn thức trơn [18, Proposition 3.4, Proposition 3.5], [34, Example 4.4, Remark 4.5]. Việc tìm các kết quả tương tự cho đường cong đơn thức không trơn rất khó bởi vì ngay việc chứng minh giả thuyết Eisenbud-Goto đối với đường cong đơn thức bằng phương pháp tổ hợp từng là vấn đề mở [8], gần đây mới được giải quyết bởi Nitsche [34]. Chúng ta sẽ thấy rằng nguồn gốc của các kết quả nói trên cho các đường cong đơn thức trơn xuất phát từ thực tế là nếu xd¡1 y, xy d¡1 M thì vành con Veronese của k rx, y s sinh bởi tất cả các đơn thức bậc d chính là Macaulay hóa hữu hạn của R (xem định nghĩa vành con Veronese ở [51, Definition 7.1.6]). Ta nói vành mở rộng R¦ của R trong k rx, y s là Macaulay hóa hữu hạn của R nếu R¦ là vành Cohen-Macaulay và R¦ {R có độ dài hữu hạn. Với tập hợp các đơn thức tùy ý M , R luôn luôn có duy nhất Macaulay hóa hữu hạn R¦ sinh bởi các đơn thức. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng tính Buchsbaum và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R có thể được đặc trưng thông qua R¦ . Nếu R¦ là vành sinh bởi tập hợp N các đơn thức bậc d thì đặc trưng này có thể mô tả qua nửa nhóm số học sinh bởi các số mũ của thành phần thứ nhất của các đơn thức trong M và N (Định lý 1.5.7 và Định lý 1.7.8). Điều đó cho chúng ta một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu đường cong đơn thức xạ ảnh. Để áp dụng phương pháp trên, đầu tiên chúng tôi phải ước lượng số mũ rút gọn rQ pRq theo M , đặc biệt khi R là vành Cohen-Macaulay, với Q pxd , y d q là iđêan sinh bởi xd , y d trong R. Bài toán này được người ta quan tâm nghiên cứu một cách độc lập vì số mũ rút gọn là một xấp xỉ tốt của regpRq. Trong trường hợp R là vành Cohen-Macaulay hoặc Buchsbaum thì regpRq rQ pRq [45, Corollary 3.5]. Câu hỏi liệu regpRq rQ pRq luôn 2
đúng trong mọi trường hợp là một câu hỏi mở cho đến khi Hellus, Hoa và St¨ckrad tìm ra một phản ví dụ [18, Example 3.2]. Có thể quy việc tính u rQ pRq thành một bài toán số học với các số mũ của các đơn thức trong M . Đây là một bài toán phức tạp về mặt tính toán. Cho một tập hợp bất kỳ M gồm các đơn thức cùng bậc d cho trước trong k rx, y s với xd , y d M , ta có thể tìm được duy nhất một dãy các số nguyên 0 a0 ¤ a1 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ a2r 1 d với a2i¡1 a2i ¡ 1, i 1, ..., r, sao cho 2 r ¤ @ M x y α d¡ α | α ra2i, a2i 1s , i0 trong đó ra2i , a2i 1 s là tập hợp các số nguyên α, sao cho a2i ¤ α ¤ a2i 1 và r là số đoạn trống giữa các đoạn này. Chú ý rằng xd¡1 y, xy d¡1 M nghĩa là a1 ¡ 0 và a2r d. Luận án sẽ nghiên cứu những vấn đề sau đây thông qua dãy số a1 , ..., a2r 1 : Vấn đề 1: Tìm công thức tính rQ pRq. Vấn đề 2: Đặc trưng tính Buchsbaum của R cho đường cong đơn thức không trơn. Vấn đề 3: Ước lượng regpRq cho đường cong đơn thức không trơn. Bố cục Luận án chia làm 4 chương. Chương 1 chuẩn bị các kiến thức cần thiết và giới thiệu phương pháp Macaulay hoá hữu hạn. Chương 2-4 lần lượt trình bày các kết quả về các Vấn đề 1-3. Sau đây là phần giới thiệu các kết quả chính của Luận án. Đối với Vấn đề 1, chúng tôi tìm được công thức tường minh cho rQ pRq (cũng chính là rQ pR q, với R là iđêan phân bậc cực đại của R) theo a1 , ..., a2r 1 trong các trường hợp ở Hình 1, trong đó các đoạn đã cho được tô đậm và các dấu chấm có nghĩa là các đoạn chỉ có một điểm. Cụ thể, chúng tôi thu được các kết quả sau: Định lý 2.1.1 (Trường hợp A). Cho 1 a d là các số nguyên. Đặt R k rxα y d¡α | α t0u ra, dss và Q pxd , y d q. Khi đó, R là vành Cohen- Macaulay và d¡1 regpRq rQ pRq d¡a . Định lý 2.2.3 (Trường hợp B). Cho 2 ¤ a b ¤ d ¡ 2 là các số nguyên. 3
Trường hợp A: Trường hợp B: Trường hợp C: Trường hợp D: Trường hợp E: Hình 1. Cho R k rxα y d¡α |α t0, du ra, bss và Q pxd, ydq. Khi đó, R là vành Cohen-Macaulay và a d¡1 (1) regpRq rQ pRq nếu b ¥ 2a ¡ 1, b 2a d ¡ 1 3a ¡ 1 (2) regpRq rQ pRq nếu ¤ b 2a ¡ 1. b 2 Định lý 2.3.1 (Trường hợp C). Cho 1 ¤ a b d là các số nguyên thỏa mãn b ¥ a 2. Cho R k rxα y d¡α | α r0, as rb, dss và Q pxd , y d q. Khi đó, 6 b¡1 nếu d ¡ b ¥ a, 9 9 8 regpRq rQ pRq a d¡a¡1 nếu d ¡ b a. 9 9 7 d¡b Định lý 2.4.1 (Trường hợp D). Cho 1 a ¤ b c d là các số nguyên. Đặt R k rxα y d¡α | α t0u ra, bs rc, dss và Q pxd , y d q. Giả sử c ¤ 2a và 2b ¤ d. Khi đó, R là vành Cohen-Macaulay và a¡1 regpRq rQ pRq 1. d¡c Định lý 2.5.2 (Trường hợp E). Cho 1 ¤ a b ¤ c e d là các số nguyên sao cho e ¤ 2b và 2c ¤ a d. Đặt R k rxα y d¡α | α r0, as rb, cs re, dss 4
và Q pxd , y d q. Khi đó, 4 b¡1 e¡c a¡1 rQ pRq max , , a a B d¡c¡1 d¡e b¡a¡1 d¡e d¡e , . Kết quả của chúng tôi cho thấy độ khó của việc tính toán rQ pRq phụ thuộc rất nhiều vào số đoạn và vào việc liệu hai đoạn ở hai đầu chứa một hay nhiều điểm, nghĩa là a1 0 và a2r d hay không. Trường hợp C được suy ra từ kết quả của Hellus, Hoa and St¨ckrad đối với đường cong đơn u thức trơn [18, Proposition 3.4]. Việc nghiên cứu số mũ rút gọn của chúng tôi có thể dùng làm điểm khởi đầu cho việc nghiên cứu có hệ thống chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của đường cong đơn thức xạ ảnh thông qua số mũ rút gọn. Các kết quả về số mũ rút gọn của Luận án được công bố trong [26]. Đối với Vấn đề 2 và Vấn đề 3, chúng tôi khảo sát các đường cong đơn thức không trơn trong các trường hợp sau: Trường hợp F: a1 0, a2r d và 2a2 ¡ 1 ¤ a3 , r ¥ 1. Trường hợp G: a1 0, a2r d và 2a2 ¡ 1 ¤ a3 , a2r¡2 d ¡ 1 ¤ 2a2r¡1 , r ¥ 2. Do tính đối ngẫu của các biến x, y nên Trường hợp F bao gồm cả trường hợp a1 ¡ 0, a2r d và a2r¡2 d ¡ 1 ¤ 2a2r¡1 . Các trường hợp này biểu thị những lớp đường cong đơn thức không trơn khá rộng. Nếu r 1 trong Trường hợp F hoặc r 2 trong Trường hợp G thì R là vành Cohen-Macaulay [44, Corollary 3.4, Theorem 2.1] và regpRq được tính trong Định lý 2.1.1 và Định lý 2.2.3. Nếu r ¥ 2 trong Trường hợp F hoặc r ¥ 3 trong Trường hợp G thì R không là vành Cohen-Macaulay. Tuy nhiên, Macaulay hóa hữu hạn của R có cấu trúc tương đối đơn giản. Dựa vào điều đó, chúng tôi chứng minh rằng trong các Trường hợp F và G, R là vành Buchsbaum khi và chỉ khi a1 , ..., a2r 1 thỏa mãn một hệ các bất đẳng thức tuyến tính, hay khi và chỉ khi regpRq 2 (các Định lý 3.2.1 và 3.3.1). Đặc trưng đầu tiên cho chúng ta cách kiểm tra tính Buchsbaum, còn đặc trưng thứ hai cho thấy các đường cong đơn thức tương ứng được định nghĩa bởi các phương trình có bậc không quá 3. Các kết quả của Luận án về đặc 5
trưng tính Buchsbaum được công bố trong [27]. Với tất cả những đường cong trong Trường hợp F và G, chúng tôi chứng minh được các chặn cho regpRq có dạng là phân số liên quan đến đoạn trống nguyên lớn nhất giống như trong kết quả đã đề cập ở trên trong trường hợp trơn của Hellus, Hoa, và St¨ckrad (Định lý 4.2.1 và Định lý 4.3.1). u Định lý 4.2.1 (Trường hợp F). Cho 0 a0 ¤ a1 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ a2r 1 d là một dãy các số nguyên với a2i¡1 a2i ¡ 1, i 1, ..., r và R k xα y d¡α | α r $ i 0 ra2i, a2i 1s . Giả sử a1 0, a2r d và 2a2 ¡ 1 ¤ a3, r ¥ 2. Đặt maxta2i ¡ a2i¡1 ¡ 1| i 2, ..., ru và ε minta3, d ¡ a2r u. Khi đó, (1) regpRq ¤ ¡ 1 3 nếu a ¡ a d ¡ a , 3 2 2r ε (2) regpRq ¤ ¡ 1 2 nếu a ¡ a ¥ d ¡ a , 3 2 2r ε 4 B a4 ¡ 2 d ¡ a2r¡1 ¡ 2 (3) regpRq ¥ max 1. d ¡ a2r , a3 Định lý 4.3.1 (Trường hợp G). Cho 0 a0 ¤ a1 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ a2r 1 d là một dãy các số nguyên với a2i¡1 a2i ¡ 1, i 1, ..., r và R k xα y d¡α | α r $ i 0 ra2i, a2i 1s . Giả sử a1 0, a2r d, 2a2 ¡ 1 ¤ a3 và a2r¡2 d ¡ 1 ¤ 2a2r¡1 , r ¥ 3. Đặt maxta2i ¡ a2i¡1 ¡ 1| i 2, ..., r ¡ 1u và ε minta3 , d ¡ a2r¡2 u. Khi đó, (1) regpRq ¤ a2 d ¡ a2r¡1 ¡ 1 2, ε (2) regpRq ¤ d ¡ a2r¡1 ¡ 1 2 nếu a ¡ a ¥ d ¡ a , 3 2 2r¡2 ε (3) regpRq ¤ a2 ¡ 1 2 nếu a ¡ a ¥ a , 2r¡1 2r¡2 3 ε 4 B a4 ¡ 2 d ¡ a2r¡3 ¡ 2 (4) regpRq ¥ max 1. d ¡ a2r¡2 , a3 Những chặn này rất gần với regpRq, cụ thể là từ chặn đó mà ta có thể chỉ ra được công thức cho regpRq trong trường hợp r 2 đối với Trường hợp F (Định lý 4.2.4 ) và r 3 đối với Trường hợp G (Định lý 4.3.2). 6
Định lý 4.2.4. Cho 1 a b c d là một dãy các số nguyên với $ b c ¡ 1 và R k xα y d¡α | α t0u r bs rc, ds . Giả sử 2a ¡ 1 ¤ b. a, c¡b¡2 Gọi ε mintb, d ¡ cu. Khi đó regpRq 2. ε Định lý 4.3.2. Cho 1 a b c e d ¡ 1 là một dãy các số nguyên $ với b c ¡ 1 và R k xα y d¡α | α t0, dura, bsrc, es . Giả sử 2a ¡ 1 ¤ b và c d ¡ 1 ¤ 2e. Gọi ε mintb, d ¡ cu. Khi đó, c¡b¡2 c¡b¡2 (1) ε 2 ¤ regpRq ¤ ε 3. c¡b¡2 (2) regpRq 2 nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: ε (i) a ¡ 1 ¤ e ¡ c và d ¡ e ¡ 1 ¤ b ¡ a, (ii) b ¡ a ¥ d ¡ c, (iii) e ¡ c ¥ b. Những kết quả trên là các công thức tường minh đầu tiên cho chỉ số chính quy đối với các lớp đường cong đơn thức không trơn, không Cohen- Macaulay. Trong các tài liệu trước đây, chúng ta chỉ có thể tìm thấy công thức cho chỉ số chính quy trong các trường hợp rất đặc biệt, đó là các đường cong trong P3 [5] hoặc đường cong liên kết với các dãy số học tổng quát mở k rộng [1]. Công thức chỉ số chính quy đối với một số trường hợp đường cong đơn thức không trơn nhưng Cohen-Macaulay có thể tìm thấy trong [1, 25] và trong Chương 2 của Luận án. Các kết quả của Luận án về chỉ số chính quy trong hai trường hợp F và G được công bố trong [27]. Nói chung, ta luôn có thể đặc trưng tính Buchsbaum và ước lượng chỉ số chính quy regpRq nếu ta biết Macaulay hóa hữu hạn của R. Vì vậy phương pháp tiếp cận của chúng tôi có thể được sử dụng để nghiên cứu các đường cong đơn thức không trơn khác. 7
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này giới thiệu các khái niệm và kiến thức được dùng trong Luận án. Kết quả mới của chương này là phương pháp Macaulay hoá hữu hạn có thể dùng để đặc trưng tính Buchsbaum và ước lượng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của đường cong đơn thức. 1.1 Đường cong đơn thức Cho k rx, y s là vành đa thức hai biến trên trường k và 2 @ M xd , xα1 y d¡α1 , xα2 y d¡α2 , . . . , xαc y d¡αc , y d krx, ys là một tập hợp các đơn thức cùng bậc d, chứa xd và y d . Định nghĩa 1.1.1. Đường cong đơn thức xạ ảnh tham số hoá bởi M là tập hợp các điểm có toạ độ pαd : αα1 β d¡α1 : αα2 β d¡α2 : . . . : ααc β d¡αc : β d q trong không gian xạ ảnh Pc 1 nhận được từ M bằng cách thay x, y bởi các giá trị α, β k với pα, β q $ p0, 0q. Người ta biết rằng nếu xy d¡1 , xd¡1 y M thì đường cong đơn thức tương ứng là đường cong trơn. Dễ thấy rằng vành toạ độ của đường cong đơn thức xạ ảnh tham số hoá bởi M là k-đại số k rM s sinh bởi các đơn thức của M trong k rx, y s. Nhận xét 1.1.2. Vành k rM s là miền nguyên, phân bậc chuẩn với deg f 1 với mọi f M và dim k rM s 2. Ta luôn có thể biểu diễn k rM s thành vành thương của vành đa thức. Gọi A k rt0 , t1 , . . . , tc , tc 1 s là vành đa thức trên k. Xét đồng cấu k-đại số 8
φ : A Ñ k rM s ÞÑ yd t0 tc 1 ÞÑ xd ti ÞÑ xα y d¡α , với mọi i 1, . . . , c. i i Vì φ là toàn cấu nên k rM s ! A{ Kerpφq. Định nghĩa 1.1.3. Iđêan Kerpφq được gọi là iđêan định nghĩa của k rM s và cũng được gọi là iđêan định nghĩa của đường cong đơn thức tương ứng. Ví dụ 1.1.4. R k rx4 , x3 y, xy 3 , y 4 s là vành tọa độ của đường cong đơn thức xạ ảnh tham số hóa bởi M tx4 , x3 y, xy 3 , y 4 u. Khi đó, R ! k rt0 , t1 , t2 , t3 s{ Kerpφq với φ là toàn cấu từ k rt0 , t1 , t2 , t3 s lên R xác định bởi φpt0 q y 4 , φpt1 q xy 3 , φpt2 q x3 y, φpt3 q x4 . Iđêan định nghĩa của đường cong đơn thức này là Kerpφq pt1 t2 ¡ t0 t3 , t3 ¡ t2 t2 , t3 ¡ t1 t2 , t0 t2 ¡ t2 t3 q. 1 0 2 3 2 1 1.2 Đối đồng điều địa phương Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào những năm 1960, khởi nguồn từ công trình của J. P. Serre năm 1955. Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hoán Noether, D là R-môđun, I là một iđêan của R. Đặt ΓI pDq : p0 :D I nq, trong đó p0 :D I nq tx nN D | I n x 0u, được gọi là môđun con I-xoắn của D. Hàm tử ΓI khớp trái nên ta có các hàm tử dẫn xuất phải. 9
Định nghĩa 1.2.2. Với mỗi số nguyên i ¥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i i của ΓI , ký hiệu là HI , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i i xác định bởi I. Cho D là R-môđun, kết quả của tác động HI vào D, ký hiệu là HI pDq và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của D i xác định bởi I. Ta nhắc lại một số kết quả về tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau. Định lý 1.2.3. ([9, Theorem 3.5.7]) Cho pR, mq là vành Noether địa phương và D là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, (1) Hm pDq $ 0 với i dim D và i depth D, i (2) Hm pDq 0 với i depth D và i ¡ dim D. i À Chú ý 1.2.4. ([7, Theorem 16.1.5]) Cho R n¥0 Rn là vành phân bậc À dương, R n¥1 Rn là iđêan phân bậc cực đại của R và D là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, HR pDq là môđun phân bậc trên R và i HR pDqn là R0 -môđun hữu hạn sinh. i Chi tiết hơn về định nghĩa và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương có thể xem trong [7] và [9]. 1.3 Vành Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành giao hoán Noether. Ta nói a1 , . . . , an R là dãy chính quy nếu pa1 , . . . , an q $ R và ai không là ước của không trên R{ pa1 , . . . , ai¡1 q , với mọi i 1, . . . , n. Độ dài của dãy chính quy là số phần tử trong dãy đó. Định nghĩa 1.3.2. Cho R là vành giao hoán Noether và I $ R là iđêan của R. Ta nói dãy chính quy a1 , . . . , an là dãy chính quy trong I nếu a1 , . . . , an I. Cho a1 , . . . , an là dãy chính quy trong I. Khi đó, a1 , . . . , an được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại phần tử an 1 I sao cho a1 , . . . , an 1 là dãy chính quy trong I. 10
Chú ý 1.3.3. Theo [40, Theorem 16.13], hai dãy chính quy cực đại bất kỳ trong cùng một iđêan có cùng độ dài. Định nghĩa 1.3.4. Cho pR, mq là vành giao hoán Noether địa phương. Độ sâu của R, ký hiệu là depthpRq, là độ dài của dãy chính quy cực đại bất kỳ trong m. Chú ý 1.3.5. Cho pR, mq là vành giao hoán Noether địa phương. Khi đó, depthpRq ¤ dimpRq (theo [51, Lemma 1.3.6]). Định nghĩa 1.3.6. Vành giao hoán Noether địa phương R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu depth R dim R. Tổng quát, nếu R là vành giao hoán Noether bất kỳ thì R là vành Cohen- Macaulay nếu Rp là vành Cohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p của R. Chú ý 1.3.7. ([9]) Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên một trường k thì R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành địa phương RR là vành Cohen-Macaulay. Định nghĩa 1.3.8. ([41]) Cho R là vành địa phương có chiều d với iđêan cực đại là m. Một tập hợp gồm d phần tử của R, sinh ra iđêan m-nguyên sơ, được gọi là hệ tham số của R. Iđêan sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số. Mệnh đề 1.3.9. ([9, Theorem 4.6.10]) Vành Noether địa phương R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số là dãy chính quy. Mệnh đề 1.3.10. ([7, Corollary 6.2.9]) Cho pR, mq là vành Noether địa phương. Khi đó, R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Hm pRq 0 với i mọi i $ dim R. Cho M k rx, y s là tập hợp các đơn thức cùng bậc d. Gọi m là iđêan đơn thức cực đại của k rM s. Khi đó, dim k rM s 2 và Hm pk rM sq Γm pk rM sq 0 0 vì k rM s là miền nguyên. Hệ quả 1.3.11. k rM s là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Hm pk rM sq 0. 1 11