Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:109

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án "Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm" là nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm đủ tốt tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình tiến hóa tổng quát dạng 1 và chỉ ra những ứng dụng của các kết quả này cho phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN ĐA TẠP RIEMANN VỚI ĐỘ CONG RICCI ÂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN ĐA TẠP RIEMANN VỚI ĐỘ CONG RICCI ÂM Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy TS. Phạm Trường Xuân Hà Nội - 2023
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy và TS. Phạm Trường Xuân. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào. Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định. Hà Nội, ngày 11 tháng 4 năm 2023 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Nguyễn Thị Vân TS. Phạm Trường Xuân i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Đại học Bách khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy và TS. Phạm Trường Xuân. Các thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi nghiên cứu các vấn đề toán học khó và hoàn thành luận án đúng thời gian quy định. Hơn nữa, thầy Nguyễn Thiệu Huy không chỉ là một nhà khoa học giỏi mà còn là một nhà giáo mẫu mực trong công việc cũng như trong cuộc sống. Thầy Phạm Trường Xuân là nhà nghiên cứu trẻ, say mê và tâm huyết với công việc nghiên cứu và giảng dạy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới hai thầy. Trong thời gian làm nghiên cứu sinh tại Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong bộ môn Toán Cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán Ứng dụng và Tin học. Đặc biệt, các thành viên trong nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” tại Đại học Bách Khoa Hà Nội do PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy điều hành và nhóm seminar "Partial Differential Equations and Related Problems" tại VIASM do TS. Phạm Trường Xuân điều hành, đã luôn chia sẻ và giúp đỡ tôi trong sinh hoạt học thuật. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành viên trong hai nhóm seminar. Nhân dịp này, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các Phòng, Ban liên quan, Khoa Công nghệ thông tin, đặc biệt các đồng nghiệp thân thiết của Bộ môn Toán học thuộc Trường Đại học Thủy lợi đã tạo rất nhiều điều kiện thuận lợi và hỗ trợ chi phí đào tạo để tôi tập trung học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, luận án như là món quà tinh thần tôi muốn gửi tặng gia đình, người thân, những người đã luôn luôn ủng hộ, động viên tôi trên con đường phát triển học vấn. Và cũng xin được bày tỏ tình thương mến tới những người bạn đang song hành cùng tôi trong cuộc sống, chia sẻ những hoài bão và khát vọng vươn lên trong khoa học. Nghiên cứu sinh ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 2 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài . . . . . . . . 2 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 7 3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Giới thiệu hình học Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Đa tạp khả vi, đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Đạo hàm hiệp biến, liên thông Levi-Civita . . . . . . . . 18 1.1.3 Metric và các toán tử Laplace trên trường ten-xơ . . . . 20 1.1.4 Các loại độ cong và phân loại đa tạp không compact . . 22 1.2 Không gian hàm và phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Rie- mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 Không gian hàm và không gian Sobolev . . . . . . . . . 25 1.2.2 Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . 28 1.2.3 Phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.4 Các ước lượng Lp −Lq cho nửa nhóm trên đa tạp Riemann không compact với độ cong âm . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình tiến hoá trên đa tạp Einstein không compact và ứng dụng 35 2.1 Phương pháp Massera cho phương trình tuyến tính . . . . . . . 36 iii
2.1.1 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Nghiệm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Sự tồn tại và tính ổn định mũ của các loại nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Sự tồn tại của các loại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Tính ổn định mũ của các loại nghiệm . . . . . . . . . . . 53 2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.2 Phương trình truyền nhiệt dạng vectơ . . . . . . . . . . . 63 Chương 3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact 66 3.1 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Stokes theo phương pháp Massera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Sự tồn tại và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.1 Sự tồn tại của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2 Tính ổn định mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Định lí kiểu Serrin trên đa tạp Riemann: Tính ổn định kéo theo tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 94 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 94 Danh mục các công trình đã công bố của luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 iv
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập các số tự nhiên R : Tập các số thực R+ : Tập các số thực không âm X : Không gian Banach Cb (R+ , X) := u : R → X liên tục và sup u(t) X
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Phương trình Navier-Stokes là một lớp phương trình quan trọng trong động lực học thuỷ khí nhằm mô tả chuyển động của các dòng chất lỏng, các luồng thuỷ khí, ... Hướng nghiên cứu về tính tuần hoàn, hầu tuần hoàn và tính ổn định nghiệm của phương trình Navier-Stokes đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học và vật lí từ đầu thế kỷ 20 đến nay. Chúng tôi nhắc lại một số kết quả nghiên cứu phương trình Navier-Stokes trong một miền của không gian Euclid. Xét Ω là một miền trong Rd , có thể là: miền bị chặn, toàn không gian Rd , nửa không gian Rd , miền không bị chặn, hoặc miền ngoại vi với biên trơn. + Hệ phương trình Navier-Stokes không nén được trên Ω có dạng ∂u    = ∆u − (u · )u − π + f (t, x) trong R+ × Ω,    ∂t   divu = 0 trong R+ × Ω,    trong R+ × ∂Ω, (1)  u(t, x) = 0    u(t, x) → 0 khi |x| → +∞,      u(0, x) = u0 (x) ∀x ∈ Ω.  Năm 1959, Serrin [1] đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trong miền bị chặn của không gian Rd , dựa vào tính ổn định của nghiệm bằng một phương pháp mà sau này gọi là "phương pháp Serrin". Phương pháp của Serrin được tiếp tục sử dụng để nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trong [2, 3]. Sau đó, Maremonti [4] đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trên toàn không gian. Tiếp theo, Kozono và Nakao [5] giới thiệu khái niệm nghiệm đủ tốt trên toàn trục thời gian và chứng minh sự tồn tại của loại nghiệm này trên Rd với d 4. Heywood [6], Prodi [7], Prouse [8] và Yudovich [9] sử dụng phương pháp "miền xâm lấn" để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trên một số miền không bị chặn trong Rd . Maremonti và Padula [10] chỉ ra các kết quả cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi đối xứng 2
cố định với phần bù nhỏ. Sau đó Galdi và Sohr [11] mở rộng phương pháp Serrin bằng cách sử dụng sự phân rã của nghiệm theo biến không gian, để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trong một số miền ngoại vi. Yamazaki [12] khai thác tính chất nội suy của không gian Lp yếu (không gian Lp,∞ ) và phương pháp lặp Kato [13, 14] để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn trên miền ngoại vi. Ta có thể tham khảo một số kết quả và phương pháp về nghiệm tuần hoàn trên miền ngoại vi trong các công trình của Taniuchi [15], Van Baalen và Wittwer [16], Galdi và Silvestre [17]. Gần đây, phương pháp trung bình ergodic1 và nguyên lý Massera được Nguyen [19] sử dụng để chứng minh sự tồn tại, duy nhất và ổn định nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes xung quanh một vật cản xoay. Ngoài ra, ta có thể xem các công trình của Galdi [20, 21], Geissert, Hieber và Nguyen [22] về sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trên toàn không gian hoặc xung quanh các vật thể chuyển động và của Nguyen [23] về sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tính ổn định của nghiệm phương trình Navier-Stokes. Trong R3 hoặc R3 , với điều kiện chuẩn của hàm + ngoại lực đủ nhỏ, Maremonti [24, 25] đã chứng minh sự ổn định của nghiệm đủ tốt của phương trình Navier-Stokes trên nửa trục thời gian. Taniuchi [26] cũng chỉ ra tính ổn định của nghiệm tuần hoàn (xây dựng ở bài của Kozono và Nakao [5]) trong không gian Lp (Ω) với Ω là Rd hoặc Rd (d + 3) hoặc một miền d không bị chặn trong R (d 4). Sau đó Yamazaki [27] đã xét phương trình Navier-Stokes trong Rd (d 3) và đã tổng quát các kết quả trong [26] và [5] cho không gian Morrey. Trong các công trình [5, 24, 25, 26, 27], các tác giả đã chỉ ra rằng, nếu hai nghiệm của phương trình Navier-Stokes (1) có điều kiện ban đầu u(0, x) − u(0, x) ˆ X đủ nhỏ thì u(t, x) − u(t, x) ˆ X Ct−α khi t → ∞, trong đó X là không gian Banach phù hợp, α là hằng số dương phụ thuộc chiều không gian. Nếu u, π, f không phụ thuộc thời gian thì phương trình Navier-Stokes ban 1 Tiếng Anh: mean-ergodic method 3
đầu sẽ tương đương với phương trình Navier-Stokes dừng  ∆u(x) − (u · )u(x) − π(x) + f (x) = 0  trong Ω,    divu(x) = 0 trong Ω,   (2)    u(x) = 0 trong ∂Ω,   u(x) → 0 khi |x| → +∞.   Trên miền ngoại vi Ω trong Rd (d 3), sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng được nghiên cứu trong các công trình của Novotny và Padula [28], Galdi và Simader [29], Borchers và Miyakawa [30]. Cụ thể là các tác giả đã chỉ ra kết quả sau: nếu m là số nguyên thỏa mãn 1 m d − 2 và f (x) thỏa mãn điều kiện −m−2 phân rã |f (x)| c|x| , với c là hằng số đủ nhỏ, thì phương trình Navier- Stokes (2) sẽ có nghiệm duy nhất thỏa mãn các ước lượng |u(x)| C|x|−m và | u(x)| C|x|−m−1 . Hơn nữa, với d = 3, các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm với ý nghĩa vật lí theo định nghĩa của Finn [31] và đã thiết lập được các ước lượng tốt hơn cho |u(x)| và | u(x)|. Mặt khác, khi d 4, Kozono và Sohr [32] đã chỉ ra rằng nếu hàm ngoại lực f (x) = F (x) với chuẩn của F (x) đủ nhỏ trong Ld/2 (Ω), thì phương trình Navier-Stokes dừng có nghiệm duy nhất thỏa mãn u ∈ Ld (Ω) và u ∈ Ld/2 (Ω) với chuẩn bị chặn bởi các hằng số thích hợp. Trong trường hợp d 3, Kozono và Yamazaki [33] đã mở rộng kết quả trong [32] cho không gian Lp,∞ . Ngoài ra, tính tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes (1) tới nghiệm dừng của (2) (hay còn gọi là tính ổn định của nghiệm dừng) trên miền ngoại vi Ω ∈ Rd (d 3), đã được nghiên cứu trong một số công trình của Borchers và Miyakawa [30], Kozono và Ogawa [34]. Các nhà toán học đã chỉ ra tính ổn định của nghiệm dừng trong không gian Sobolev phù hợp. Sau đó, Kozono và Yamazaki cũng nghiên cứu sự ổn định này nhưng trong các không gian Morrey [35] và không gian Lorrentz (Lp yếu) [36]. Xuất phát từ thực tiễn: chuyển động của các dòng hải lưu, luồng thuỷ khí trên một bề mặt lớn như trái đất, hoặc đại dương,... các nhà khoa học quan tâm tới phương trình Navier-Stokes và các phương trình động lực học thuỷ khí khác trên đa tạp Riemann có độ cong khác không [44]. Các tính chất nghiệm của các phương trình trên đa tạp Riemann với độ cong khác không phản ánh các chuyển động của dòng chảy sát thực tiễn hơn so với các nghiên cứu trong không gian Euclid (không gian có độ cong bằng không). Khi xét một phương 4
trình đạo hàm riêng trên đa tạp Riemann, các toán tử Laplace và các toán tử vi phân cần được tổng quát hoá sao cho chúng tương thích với sự tác động lên các trường vectơ và các dạng vi phân trên đa tạp. Phương trình Navier-Stokes liên kết với toán tử Hodge-Laplace được nghiên cứu trên một số loại đa tạp như mặt cầu 2 chiều [37, 38], đa tạp Riemann compact [39, 40, 41, 42], hoặc trên tổng liên thông của R3 (xem [43]). Mặt khác, nghiên cứu phương trình Navier-Stokes với toán tử Laplace cho bởi công thức ten-xơ biến dạng của Ebin-Marsden trên đa tạp không compact với độ cong Ricci âm thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Khái niệm ten-xơ biến dạng lần đầu tiên được giới thiệu bởi Ebin and Marsden [45] vào năm 1970 khi họ biểu diễn phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein với độ cong Ricci âm. Tiếp theo, M. Czubak, C.H. Chan và M. Disconzi [46], M. Samavaki và J.Touomela [42] đã sử dụng công thức trên để biểu diễn phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann tổng quát. Dựa vào các công thức ten- xơ biến dạng này, M. Czubak và Chan [47, 48] chứng minh tính không duy nhất của nghiệm yếu Leray-Hopf của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp H 2 , đa tạp 2 chiều và đặt ra vấn đề về nghiên cứu tính không duy nhất của nghiệm này trên đa tạp không compact tổng quát. B. Khesin và G. Misiolek [49] đã trả lời một phần câu hỏi của Czubak trên đa tạp H d , d 3 (nghiệm yếu duy nhất). Lichtenfelz [50] chỉ ra định lí không duy nhất của Czubak còn đúng trên đa tạp không compact với chiều d 3, như đa tạp Anderson. Sau đó, Pierfelice [51] đã sử dụng phương pháp hình học dựa trên các tính chất độ cong của đa tạp để chứng minh các ước lượng Lp − Lq cho nửa nhóm nhiệt dạng vectơ và nửa nhóm Stokes trên đa tạp không compact với độ cong Ricci âm. Pierfelice đã kết hợp các ước lượng này với phương pháp lặp Kato để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt. Tiếp theo công trình của Pierfelice, gần đây Nguyen và các cộng sự đã nghiên cứu phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein với độ cong ten-xơ Ricci âm [23, 52]. Cụ thể là trong [23], các tác giả đã sử dụng các ước lượng Lp − Lq cho nửa nhóm nhiệt dạng vectơ và phương pháp trung bình ergodic để chứng minh nguyên lý dạng Masssera cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình nhiệt dạng vectơ. Sau đó, họ sử dụng nguyên lý điểm bất động để chứng minh nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein. Trong [52], các tác giả đã sử dụng Định lí Bất đẳng thức nón và tính ổn định mũ của nửa nhóm nhiệt dạng vectơ để chứng minh tính ổn định 5
mũ của nghiệm đủ tốt của phương trình Navier-Stokes, sau đó sử dụng phương pháp Serrin để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn từ tính ổn định nghiệm. Tóm lại, xét lịch sử nghiên cứu phương trình Navier-Stokes trong không gian Euclid và trên đa tạp Riemann, chúng tôi nhận thấy có một số phương pháp chính sau để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn và tính ổn định nghiệm: • Các phương pháp chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn: "miền xâm lấn", lặp Kato, Serrin và nguyên lý dạng Massera. Cụ thể là phương pháp Serrin sử dụng tính ổn định của nghiệm đủ tốt suy ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Trong khi đó, nguyên lý Massera và phương pháp trung bình ergodic sử dụng tính bị chặn của nghiệm đủ tốt để chứng minh toán tử nghiệm bảo toàn tính tuần hoàn của hàm ngoại lực ở vế phải. • Các phương pháp chỉ ra tính ổn định nghiệm: Trên miền bị chặn trong không gian Euclid, tính ổn định mũ của nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes được chỉ ra nhờ bất đẳng thức Poincaré. Trên miền không bị chặn trong không gian Euclid, tính ổn định đa thức của nghiệm đủ tốt trong không gian Sobolev có trọng thời gian hoặc các không gian nội suy phù hợp được chứng minh bởi các đánh giá Lp − Lq với phân rã đa thức của nửa nhóm Stokes và nguyên lý ánh xạ co. Trên đa tạp Einstein không compact với độ cong Ricci âm, tính ổn định mũ của nghiệm đủ tốt được chỉ ra bằng cách sử dụng bất đẳng thức nón, kết hợp với các đánh giá Lp − Lq với phân rã dạng mũ của nửa nhóm nhiệt dạng vectơ. Từ bối cảnh lịch sử và tầm quan trọng trong nghiên cứu về phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein không compact với độ cong Ricci âm, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu hai dạng phương trình sau: • Dạng 1. Trên đa tạp Einstein với độ cong Ricci âm, xét phương trình tiến hóa tổng quát u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (3) trong đó −A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên X, Y với giả thiết là các không gian Banach của các trường vectơ trên đa tạp Einstein có Rij = −cgij , c > 0, B : X → Y là toán tử liên thông. Trong trường → − hợp B = Pdiv, G(u) = u ⊗ u, A = ∆u + ru thì phương trình (3) trở thành phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein. 6
• Dạng 2. Trên đa tạp Riemann không compact thoả mãn giả thiết H trong [51], xét lớp phương trình Navier-Stokes không nén được   ∂t u = −Au + P[ v v + f ], (4)  u(0, x) = u (x) ∈ Γ(T M), với mọi x ∈ M, 0 → − trong đó Au = −( ∆u + r(u) + G(u)), P = I + grad(−∆g )−1 div và G(u) = 2grad(−∆g )−1 div(r(u)) (xem Mục 1.2.3 trong Chương 1). Đối với các phương trình tiến hóa tổng quát dạng 1 trên miền ngoại vi, các tác giả trong công trình [22] đã đưa ra hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết sau đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3). Sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định đa thức của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong các không gian nội suy phù hợp được chứng minh trong [53, 23]. Sự tồn tại các nghiệm tựa hầu tuần hoàn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa trên toàn trục thời gian và tính ổn định đa thức của chúng trong các không gian nội suy phù hợp đã được thiết lập trong các công trình gần đây của Nguyễn Thiệu Huy và các cộng sự [54, 55, 56, 57]. Tuy nhiên, sự tồn tại nghiệm (tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận) và tính ổn định của nghiệm phương trình tiến hoá tổng quát dạng 1 trên đa tạp Einstein vẫn là bài toán mở. Đối với phương trình Navier-Stokes dạng 2 trên đa tạp Riemann không com- pact, Pierfelice đã chứng minh các ước lượng Lp − Lq với phân rã dạng mũ cho nửa nhóm Stokes và sử dụng các ước lượng này để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm đủ tốt trong không gian Sobolev. Tuy nhiên, sự tồn tại nghiệm tuần hoàn và tính ổn định nghiệm cho phương trình dạng 2 vẫn là các bài toán chưa giải quyết được cho đến nay. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm đủ tốt tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình tiến hoá tổng quát dạng 1 và chỉ ra ứng dụng 7
của các kết quả này cho phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein. Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes dạng 2 trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận cho phương trình tiến hóa tổng quát (3) trên đa tạp Einstein và nghiệm tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes (4) trên đa tạp Riemann không compact. • Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm đủ tốt tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận tương ứng với hai lớp phương trình: - Phương trình tiến hoá tổng quát (3) trên đa tạp Einstein: nghiệm tuần hoàn trên nửa trục thời gian, hầu tuần hoàn trên toàn trục thời gian và hầu tuần hoàn tiệm cận trên nửa trục thời gian và tính ổn định mũ của các loại nghiệm này. - Phương trình Navier-Stokes (4) trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm: nghiệm tuần hoàn trên nửa trục thời gian và tính ổn định mũ. 3. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các kiến thức của hình học Riemann như: đa tạp Riemann, các phép toán liên thông, độ cong, toán tử vi phân, toán tử Laplace của Ebin- Marsden để biểu diễn phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. • Sử dụng lý thuyết về hàm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận, nửa nhóm nhiệt dạng vectơ, nửa nhóm Stokes dạng vectơ, các ước lượng Lp − Lq để chứng minh nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hoá tuyến tính và phương trình Stokes trên đa tạp Einstein và đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. • Sử dụng tính bất biến của nửa nhóm đối ngẫu và sự hội tụ theo tôpô yếu* để chứng minh nguyên lý dạng Massera cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn 8
của phương trình tiến hoá tuyến tính và phương trình Stokes trên đa tạp Einstein và đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. • Sử dụng tính Lipschitz địa phương của phần phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hoá tổng quát trên đa tạp Einstein và phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. • Sử dụng định lí Bất đẳng thức nón và tính ổn định mũ của nửa nhóm nhiệt dạng vectơ, nửa nhóm Stokes để chứng minh tính ổn định mũ của các loại nghiệm đủ tốt. • Sử dụng phương pháp Serrin với tính bị chặn và ổn định mũ của nghiệm đủ tốt để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. 4. Kết quả của luận án Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm đủ tốt tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận cho hai lớp phương trình sau đây: • Lớp phương trình tiến hóa tổng quát (3) trên đa tạp Einstein với độ cong Ricci âm. Các kết quả này thuộc Chương 2 của luận án và đã được ứng dụng cho phương trình Navier-Stokes và phương trình truyền nhiệt dạng vectơ. • Lớp phương trình Navier-Stokes (4) trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. Các kết quả này thuộc Chương 3 của luận án và đã mở rộng kết quả của Chương 2 về nghiệm tuần hoàn và tính ổn định nghiệm của phương trình Navier-Stokes dựa trên sự thay đổi của độ cong Ricci âm. Các kết quả của luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết định tính của phương trình vi phân nói chung và phương trình tiến hóa tổng quát nói riêng về các mặt: sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của một số lớp nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hoá tổng quát và phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Einstein, đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. Luận án được 9
viết dựa trên 04 bài báo được liệt kê ở Danh mục các công trình đã công bố của luận án. Các kết quả này đã được báo cáo tại: • Seminar “Dáng điệu tiệm cận của phương trình vi phân và ứng dụng”, Đại học Bách khoa Hà Nội (từ năm 2020 đến nay). • Seminar về phương trình tiến hóa và ứng dụng tại VIASM (tháng 1 năm 2020 và tháng 11 năm 2021). • Seminar "Partial Differential Equations and Related Problems" tại VIASM (năm 2023). 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, luận án được chia thành 3 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Trước tiên là một số định nghĩa và các tính chất của đa tạp Riemann, một số phép toán và độ cong. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong không gian hàm Banach, không gian Sobolev và một số tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm đối ngẫu. Cuối cùng, chúng tôi trình bày cách biểu diễn phương trình Navier-Stokes và các ước lượng Lp − Lq trên các đa tạp Einstein, đa tạp Riemann không compact. Chương 2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình tiến hoá trên đa tạp Einstein không compact và ứng dụng. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình (3) trên đa tạp Einstein. Sau đó áp dụng các kết quả tổng quát vào các phương trình Navier-Stokes và phương trình truyền nhiệt dạng vectơ. Chương 3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes (4) trên đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm. 10
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hình học Riemann là các đa tạp Riemann và các phép toán vi phân trên đa tạp. Tiếp theo chúng tôi giới thiệu các loại độ cong để làm căn cứ phân loại một số đa tạp Riemann không compact. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm không gian hàm Banach và không gian Sobolev cùng với một số định lí được sử dụng trong luận án. Chúng tôi mô tả phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact. Trong phần cuối của chương này, chúng tôi nhắc lại một số ước lượng Lp − Lq của nửa nhóm Stokes trên đa tạp được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. 1.1 Giới thiệu hình học Riemann Trong phần này, chúng tôi tóm tắt một số kiến thức cơ bản của hình học Riemann theo các tài liệu [58, 59, 60]. 1.1.1 Đa tạp khả vi, đa tạp Riemann Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1. Đa tạp d chiều M là không gian tôpô Hausdorff sao cho mỗi điểm của M có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong Rd , nghĩa là với mỗi x ∈ M, tồn tại một lân cận mở Ω của x, một tập mở V trong Rd và một đồng phôi ϕ : Ω → V . Khi đó (Ω, ϕ) là một bản đồ địa phương của M. Với mỗi y ∈ Ω, toạ độ của y trong bản đồ (Ω, ϕ) là toạ độ của ϕ(y) trong Rd . Họ (Ωi , ϕi ) các bản đồ sao cho M = i∈I Ωi là một tập bản đồ hay một atlas của M. Định nghĩa 1.1.2. Một atlas (Ωi , ϕi )i∈I của đa tạp M được gọi là khả vi lớp C k 11
nếu mọi ánh xạ chuyển −1 φij = ϕj ◦ ϕi : ϕi (Ωi ∩ Ωj ) → ϕj (Ωi ∩ Ωj ) khả vi lớp C k (với Ωi ∩ Ωj = ∅). Khi k = ∞ thì M được gọi là đa tạp trơn. Ví dụ 1.1.3. a) M = Rd với atlas gồm một bản đồ (Ω = Rd , ϕ = Id) là đa tạp d chiều. d+1 2 b) Mặt cầu đơn vị S d := (x1 , . . . , xd+1 ) ∈ Rd+1 : i=1 xi =1 là đa tạp d chiều. Cho các điểm thuộc S d là N = (0, . . . , 0, 1), S = (0, . . . , 0, −1). Đặt ΩN := S d \ {N }, ΩS := S d \ {S}, xét hàm ϕN : ΩN → Rd x1 xd (x1 , . . . , xd+1 ) → ,..., 1 − xd+1 1 − xd+1 và ϕS : ΩS → Rd x1 xd (x1 , . . . , xd+1 ) → ,..., . 1 + xd+1 1 + xd+1 Ta có ϕN , ϕS là các đồng phôi lần lượt từ ΩN và ΩS vào Rd . Các hàm ngược là −1 2x1 2xd |x|2 − 1 ϕN (x1 , . . . , xd ) = ,..., , , 1 + |x|2 1 + |x|2 1 + |x|2 −1 2x1 2xd 1 − |x|2 ϕS (x1 , . . . , xd ) = ,..., , , 1 + |x|2 1 + |x|2 1 + |x|2 với |x|2 = x2 + . . . + x2 . Vì vậy, (ΩN , ϕN ) và (ΩS , ϕS ) là các bản đồ địa 1 d phương của M quanh các điểm N và S. Ta có ΩN ∩ ΩS = S d \ {N, S}, ánh xạ chuyển toạ độ φN S = ϕS ◦ ϕ−1 , φSN = ϕN ◦ ϕ−1 đều xác định trên N S Rd \ {0} và φN S = φSN : Rd \ {0} → Rd \ {0} x x → 2. |x| Các hàm φN S , φSN là các vi phôi thuộc lớp C ∞ . Do đó các bản đồ (ΩN , ϕN ), (ΩS , ϕS ) là một C ∞ -atlas của S d . Vậy S d là một đa tạp trơn. 12
Không gian tiếp xúc Trước tiên, chúng tôi trình bày không gian tiếp xúc trên tập mở trong không gian thực Euclid. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là toạ độ Euclid trong Rd , U ⊂ Rd là tập mở, x0 ∈ U . Không gian tiếp xúc của U tại điểm x0 , Tx0 U, là không gian {x0 } × E, trong đó ∂ ∂ E là không gian vectơ d chiều sinh bởi cơ sở ,..., . ∂x1 ∂xd Định nghĩa 1.1.4. Cho U ⊂ Rd , U ⊂ Rc là các tập mở, f : U → U là ánh xạ khả vi. Ta định nghĩa đạo hàm df (x0 ) tại x0 ∈ U là ánh xạ tuyến tính df (x0 ) : Tx0 U → Tf (x0 ) U d d c ∂ ∂fj ∂ v= vi → vi (x0 ) . i=1 ∂xi i=1 j=1 ∂xi ∂fj Đặt T U := U × E ∼ U × Rd . Khi đó, T U là tập mở của Rd × Rd . = Ta định nghĩa df : TU → TU d d c ∂ ∂fj ∂ x, vi → f (x), vi (x) . i=1 ∂xi i=1 j=1 ∂xi ∂fj d ∂ Thay vì df (x, v), ta viết df (x)(v). Nếu f : U → R là hàm khả vi, v = thì i=1 ∂xi d ∂f df (x)(v) = vi ∈ Tf (x) R ∼ R. = i=1 ∂xi Tiếp theo, chúng tôi trình bày không gian tiếp xúc trên đa tạp. Xét đa tạp trơn M với số chiều d và x ∈ M. Giả sử một bản đồ tại x là ϕ : Ω → Rd , trong đó Ω là tập mở trong M. Tϕ(x) ϕ(Ω) là không gian tiếp xúc của ϕ(Ω) trong Euclid tại ϕ(x). Giả sử φ : Ω → Rd là một bản đồ khác với x ∈ Ω , trong đó Ω là tập mở trong M. Đặt U := ϕ(Ω), U := φ(Ω ). Ánh xạ chuyển φ ◦ ϕ−1 : ϕ(Ω ∩ Ω ) → φ(Ω ∩ Ω ) cảm sinh một đẳng cấu d(φ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) : Tϕ(x) U → Tφ(x) U . 13
Khi đó, v ∈ Tϕ(x) Ω và d(φ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x))(v) ∈ Tφ(x) Ω cùng biểu diễn một vectơ tiếp xúc tại ϕ(x). Định nghĩa 1.1.5. Trên {(ϕ, v) : bản đồ ϕ : Ω → V với x ∈ Ω, v ∈ Tϕ(x) V }, ta xét quan hệ tương đương (ϕ, v) :∼ (φ, w) ⇐⇒ w = d(φ ◦ ϕ−1 )v. Không gian gồm các lớp tương đương theo quan hệ tương đương này được gọi là không gian tiếp xúc của M tại điểm x, kí hiệu là Tx M. T M là hợp rời rạc của các không gian tiếp xúc Tx M với mọi x ∈ M TM = Tx M. x∈M Phép chiếu π: TM → M w → x. Định nghĩa 1.1.6. Bộ ba (T M, π, M) được gọi là phân thớ tiếp xúc của M. Định nghĩa 1.1.7. Cho Tx M = (Tx M)∗ là không gian đối ngẫu của Tx M tại x. ∗ Khi đó, không gian đối tiếp xúc của đa tạp M là T ∗M = ∗ Tx M. x∈M Trường vectơ Định nghĩa 1.1.8. Cho (T M, π, M) là một phân thớ tiếp xúc. Nhát cắt của T M là một ánh xạ khả vi s : M → T M sao cho π ◦ s = IdM . Tập các nhát cắt của T M được kí hiệu là Γ(T M). Định nghĩa 1.1.9. Một nhát cắt của phân thớ vectơ T M được gọi là trường vectơ trên M. Dạng ngoài ∗ Giả sử M là đa tạp d chiều và x ∈ M. Ta ký hiệu Λp Tx M là tập hợp các p-dạng phản đối xứng trên Tx M. Đặt ∗ Λp M = Λp Tx M. x∈M Nói riêng, Λ1 M = T ∗ M. 14