Luận án Tiến sĩ Toán học: Đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án đề xuất một kỹ thuật ma trận phụ thuộc thời gian dùng để mở rộng lớp hàm Lyapunov và ứng dụng vào việc thiết lập một tiêu chuẩn ổn định mới cho hệ sai phân có trễ; mở rộng một lớp hàm Lyapunov, cộng thêm hạng tử chứa tích phân ba lớp và một ma trận phụ thuộc vào trễ để thiết lập một tiêu chuẩn ổn định mới và hữu hiệu hơn cho hệ vi phân suy biến,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯU THỊ HIỆP ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯU THỊ HIỆP ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư Trường ĐH Quang Trung Phản biện 2: GS.TS. Đặng Đức Trọng Trường ĐH Khoa học tự nhiên-ĐHQG TP. Hồ Chí Minh Phản biện 3: TS. Phạm Quý Mười Trường ĐH Sư phạm-ĐH Đà Nẵng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN THANH NAM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
Lời cam đoan Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phan Thanh Nam. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Người hướng dẫn Tác giả PGS. TS. Phan Thanh Nam Lưu Thị Hiệp
Lời cảm ơn Luận án này được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy, PGS.TS Phan Thanh Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán và Thống Kê trường Đại học Quy Nhơn đã tạo các điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập tại Trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô giáo trong Khoa đã giúp đỡ, động viên và nhiệt tình truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, tác giả rất biết ơn các Thầy, Cô giáo trong bộ môn giải tích đã dành thời gian đọc bản thảo Luận án và có nhiều góp ý quý báu giúp Luận án được hoàn thiện hơn. Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến các nhà khoa học trong hội đồng đánh giá Luận án các cấp vì đã đọc bản thảo của Luận án và có những ý kiến vô cùng quý báu để tác giả hoàn thiện Luận án. Tác giả xin cảm ơn các anh chị nghiên cứu sinh đã quan tâm, chia sẻ, trao đổi chuyên môn trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Quy Nhơn. Cuối cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, những người luôn yêu thương, bên cạnh, chia sẻ và động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành Luận án.
MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu iii Danh mục các hình vẽ, đồ thị iv Danh mục bảng v MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Mô hình thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu . . . 13 1.2.1 Hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hàm Lyapunov . . . . 17 1.3.2 Hệ dương và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Hệ suy biến và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Tính ổn định của hệ tuyến tính có trễ 22 2.1 Một số phát triển gần đây đối với phương pháp hàm Lyapunov . . . . . 22
2.2 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Hệ vi phân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 3. Đánh giá trạng thái của hệ có trễ và nhiễu bị chặn 49 3.1 Một số phát triển gần đây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân . . . . . . . . . . . 51 3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính dương . . . . 65 3.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương không có nhiễu 68 3.3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu . . . 71 KẾT LUẬN 78 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 CHỈ MỤC 90 ii
Danh mục các ký hiệu C : Tập hợp các số phức R (R+ , R0,+ ) : Tập hợp các số thực (dương, không âm) Rn (Rn0,+ ) : Tập hợp các vectơ thực (không âm) n chiều Rn×m (Rn×m0,+ ) : Tập hợp các ma trận thực (không âm) n × m chiều N : {1, 2, 3, . . . } N0 : {0} ∪ N AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A A−1 : Ma trận nghịch đảo của ma trận A rank(A) : Hạng của ma ma trận A det(A) : Định thức của ma trận A σ(A) : Tập các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) : Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A ρ(A) : max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ của ma trận A s(A) : max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)} A > (≥) 0 : Ma trận A là ma trận đối xứng xác định dương (không âm) A () 0 : Tất cả các phần tử của ma trận A là dương (không âm) A, B ∈ Rn×m , A () B : aij > (≥) bij , i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m} X ∈ Rn×n , Sym{X} = X + X T In : Ma trận đơn vị cấp n 0 0 ∗ : Hạng tử đối xứng trong một ma trận đối xứng [?] : Biểu thị vectơ bên phải ở dạng bậc hai đối xứng x = [x1 x2 ... xn ]T () 0 : Vectơ x dương (không âm), nghĩa là xi > (≥) 0 với mọi i ∈ {1, . . . , n} n x, y ∈ R , x () y " −# y () 0 : x x col{x, y}, x, y ∈ Rn×m : y B(0, q) : {x ∈ Rn0,+ : x q}, hình cầu trong Rn0,+ deg(P ) : Bậc của đa thức P (s) C([a, b], Rn ) : Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên Rn với chuẩn ||x|| = max ||x(t)|| t∈[a,b] iii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị Trang Hình 1.1 Quá trình gia công kim loại 8 Hình 1.2 Mô hình rung động tái sinh 8 Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển 9 Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng 9 Hình 1.5 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5) 14 Hình 1.6 Tập bất biến của hệ (1.5) 14 Hình 1.7 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7) 16 Hình 1.8 Tập bất biến của hệ (1.7) 16 Hình 3.1 Bao tập đạt được là hình elipsoid [105] 50 Hình 3.2 Bao tập đạt được là hình đa diện [65] 50 Hình 3.3 Quỹ đạo hệ thống và các chặn 62 Hình 3.4 Các quỹ đạo của x1 (t) và chặn của nó 75 Hình 3.5 Các quỹ đạo của x2 (t) và chặn của nó 75 Hình 3.6 Các quỹ đạo của x3 (t) và chặn của nó 76 Hình 3.7 Các quỹ đạo của y1 (t) và chặn của nó 76 Hình 3.8 Các quỹ đạo của y2 (t) và chặn của nó 76 iv
Danh mục bảng Trang Bảng 2.1 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 40; 50 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37 Bảng 2.2 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 60; 70 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37 Bảng 2.3 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 30 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 38 Bảng 2.4 Các cận trên cho phép h2 với h1 khác nhau của Ví dụ 2.1, trường hợp (ii) 38 Bảng 2.5 Các cận trên cho phép, h2 , với các giá trị khác nhau của µ và h1 (Ví dụ 2.2) 39 Bảng 2.6 Các cận trên h với các giá trị khác nhau của µ 48 Bảng 3.1 Các cận tính được 62 Bảng 3.2 Thuật toán tính cận trạng thái thành phần 74 v
MỞ ĐẦU Trong các hệ điều khiển, thông tin/dữ liệu được truyền tải qua các băng tầng kết nối. Do đó, thông tin truyền tải giữa nơi phát đi và nơi nhận được thường trễ sau một khoảng thời gian. Trễ thời gian (gọi ngắn gọn là trễ) là một trong những nguyên nhân dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém (poor performance) của hệ thống [27, 30, 32, 44]. Các hướng nghiên cứu về ổn định, điều khiển và quan sát cho các lớp hệ có trễ là các chủ đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển và đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước như Hale J. [32], Kharitonov V.L. [30], Boyd S. [8], Fridman E. [27], Seuret A. [83], Park P.G. [76], He Y. [35], Trinh H. [96], Phat V.N. [2], Son N.K. [41], Du N.H. [20], Linh V.H. [10], Thuan D.D. [19], Ngoc P.H.A. [72], Nam P.T. [63], Hien L.V. [40], Huong D.C. [95], Thuan M.V. [94], . . . . Bên cạnh các yếu tố độ trễ thời gian thì yếu tố nhiễu là không thể tránh khỏi trong hầu hết các hệ thống thực tế. Trong trường hợp nhiễu không biết và biến thiên, tính ổn định của hệ có nhiễu nói chung là không được đảm bảo. Trong trường hợp này, người ta thường giả thiết nhiễu biến thiên trong một khoảng bị chặn. Khi đó, thay vì nghiên cứu tính ổn định thì người ta xét bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ động lực có nhiễu. Bài toán đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu là bài toán tìm một tập bị chặn nhỏ nhất có thể sao cho trạng thái của hệ thống hội tụ vào trong tập đó. Trường hợp đặc biệt, khi đánh giá cho các trạng thái xuất phát từ điểm gốc thì bài toán đánh giá trạng thái trở thành bài toán tìm bao tập đạt được. Năm 2003, bài toán tìm bao tập đạt được, lần đầu tiên, được xét cho các hệ tuyến tính có trễ trong [28] và bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ có trễ được phát triển mạnh mẽ trong các năm gần đây [25, 45, 47, 62, 64, 65, 66, 67, 70, 91, 94, 96, 109, 110]. Phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng, được sử dụng phổ biến thông qua việc xét lớp hàm Lyapunov phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ được thiết lập. Với các lớp hệ tuyến tính có trễ, các điều kiện đủ đó thường được biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và có thể kiểm tra, giải được bằng các công cụ giải số và các thuật toán lồi. Các điều kiện ổn định đó có thể chia thành hai loại: (I) các điều kiện ổn định độc lập với độ trễ; (II) các điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ. Thực tế cho thấy các hệ có trễ thường chỉ ổn định với một độ trễ nhất định. Vì vậy, các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc độ trễ (II) có nhiều ứng dụng và được quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Để cải thiện các điều kiện ổn định phụ thuộc vào trễ sao cho có thể tăng khoảng biến thiên của độ trễ đến mức lớn nhất có thể hoặc sử dụng ít nhất các biến quyết định trong khi vẫn giữ nguyên độ trễ tối đa, các nhà nghiên cứu đã phát triển hai hướng: 1
(1) Đề xuất các lớp hàm Lyapunov mới, mở rộng, sử dụng nhiều thông tin của trạng thái hệ thống hơn; (2) Đưa ra các kỹ thuật đánh giá chặt hơn đối với đạo hàm của hàm Lyapunov. Với hướng nghiên cứu thứ nhất, một trong những cách để mở rộng các lớp hàm Lya- punov là người ta thường xây dựng các lớp hàm Lyapunov càng tổng quát, càng chứa nhiều thông tin về trạng thái thì tiêu chuẩn ổn định thu được càng tốt, càng dễ thỏa mãn hơn như mở rộng hạng tử toàn phương [12, 34], thêm các hạng tử tích phân ba lớp và bốn lớp [79, 90], sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ [18, 24]. . . . Với hướng nghiên cứu thứ hai, để cải tiến kỹ thuật đánh giá đạo hàm của các hàm Lyapunov, một trong những bất đẳng thức được sử dụng phổ biến nhất là bất đẳng thức tích phân Jensen [29]. Gần đây, để đánh giá chặt hơn đạo hàm các hàm Lyapunov, bất đẳng thức tích phân dựa trên Wirtinger [83] (bất đẳng thức đánh giá chặt hơn bất đẳng thức Jensen và để ngắn gọn gọi là bất đẳng thức tích phân Wirtinger), bất đẳng thức tích phân Wirtinger mở rộng [38], bất đẳng thức Bessel-Legendre [50, 84], bất đẳng thức tích phân dựa trên ma trận tự do [100] đã được thiết lập và đề xuất sử dụng. Ngoài ra, với các lớp hệ có trễ biến thiên, kết hợp kỹ thuật phân hoạch, các bất đẳng thức lồi đảo [49, 77, 85, 86, 102]. . . cũng được sử dụng một cách hữu hiệu để tăng khoảng biến thiên độ trễ. Phương pháp hàm Lyapunov cũng được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái/bao tập đạt được cho các hệ có trễ và nhiễu bị chặn với đạo hàm của hàm Lyapunov được đánh giá phụ thuộc vào các cận của nhiễu [8]. Để thu được đánh giá trạng thái chặt hơn, người ta không những cải tiến các lớp hàm Lyapunov mà còn đưa ra các kĩ thuật đánh giá chặt hơn cho đạo hàm của các hàm Lyapunov, nhiều kết quả về đánh giá trạng thái/bao tập đạt được đã được công bố trong [25, 36, 45, 47, 62, 65, 67, 91, 109, 110]. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, người ta thường đánh giá trên toàn bộ vectơ trạng thái. Do đó, để thu được các đánh giá trạng thái/bao tập đạt được nhỏ nhất có thể, bên cạnh việc phát triển phương pháp hàm Lyapunov, một số kỹ thuật đánh giá trạng thái cũng được đề xuất, như đánh giá từng thành phần của trạng thái [66, 70, 91] và tổng quát hơn nữa là đánh giá hàm tuyến tính trạng thái [64, 65]. Một hướng nghiên cứu đang được phát triển gần đây tập trung vào việc mở rộng phương pháp hàm Lyapunov cho bài toán ổn định cho các lớp hệ tuyến tính mà cả trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn. Kỹ thuật chính là việc đề xuất sử dụng các lớp hàm Lyapunov với các ma trận biến thiên phụ thuộc trễ thay vì các ma trận hằng. Khi đó, thông tin chặn đạo hàm của trễ được khai thác và một vài kết quả cải tiến hơn đã được đề xuất [48, 96, 103]. Tuy nhiên, các kết quả này chỉ mới nghiên cứu cho lớp hệ vi phân và chưa khai thác nhiều cho lớp hệ sai phân. Trong Luận án, chúng tôi phát triển kỹ thuật này cho lớp hệ sai phân và lớp hệ vi phân suy biến. 2
Trong thực tế, có rất nhiều hệ thống mà tất cả các trạng thái của nó luôn dương chẳng hạn như các hệ động lực trong sinh học, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật [4, 23, 42, 56]. Một hệ động lực được gọi là dương nếu mọi nghiệm của nó ứng với điều kiện ban đầu không âm thì nghiệm đó là không âm. Khác với các lớp hệ động lực thông thường, lớp các hệ dương có các tính chất đặc biệt và cần có phương pháp nghiên cứu đặc thù riêng mà các phương pháp hàm Lyapunov và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính thường là ít hữu hiệu cho việc nghiên cứu tính ổn định. Một trong những phương pháp hữu hiệu được dùng để nghiên cứu tính ổn định cho các lớp hệ dương là phương pháp so sánh nghiệm thông qua việc khai thác các tính chất của ma trận dương, ma trận Metzler [80, 81, 88]. Gần đây, phương pháp so sánh nghiệm cũng đã được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho một số lớp hệ dương [37, 66] và chỉ mới xét cho các lớp hệ tuyến tính. Tuy nhiên, phương pháp này vẫn chưa mở rộng cho lớp hệ suy biến. Và bài toán mở này được chúng tôi nghiên cứu trong Luận án. Luận án tập trung chính vào hai vấn đề sau: (1) Phát triển mở rộng phương pháp hàm Lyapunov bằng kỹ thuật ma trận biến thiên phụ thuộc trễ cho bài toán ổn định cho một số lớp hệ tuyến tính có trễ. (2) Phát triển phương pháp hệ dương cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến có trễ. Với lớp hệ vi phân có trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn, để khai thác thông tin về chặn đạo hàm của trễ, kỹ thuật hàm Lyapunov với các ma trận phụ thuộc trễ đã được đề xuất sử dụng trong [48, 96]. Năm 2016, các tác giả trong [103], lần đầu tiên, mở rộng kỹ thuật này để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ sai phân có trễ sau:  x(k + 1) = Ax(k) + A x(k − h(k)), k ∈ N , d 0 (1)  x(k) = φ(k), k ∈ {−h2 , . . . , 0}, với điều kiện 0 ≤ h1 ≤ h(k) ≤ h2 và µ1 ≤ ∆h(k) ≤ µ2 . Trong [103], các tác giả đề xuất lớp hàm Lyapunov chỉ với một ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử toàn phương. Trong Luận án, chúng tôi đề xuất sử dụng một lớp hàm Lyapunov mở rộng với hai ma trận phụ thuộc trễ, trong đó một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử toàn phương và một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử tổng đơn. Sai phân của hàm Lyapunov được đánh giá thông qua hai bất đẳng thức hữu hiệu gần đây gồm: bất đẳng thức Wirtinger rời rạc cải tiến [68] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85]. Kết quả là, chúng tôi thu được một tiêu chuẩn ổn định mới, độ trễ biến thiên trong khoảng rộng hơn và số biến quyết định ít hơn, cho lớp hệ sai phân có trễ (1) (Định lý 2.1). Lớp hệ thứ hai được chúng tôi xem xét trong Luận án là lớp hệ vi phân suy biến. Hệ suy biến (hay còn gọi là hệ phương trình vi phân đại số) bao gồm một phương 3
trình vi phân kết hợp với một phương trình sai phân. Lớp hệ này tổng quát hơn lớp hệ tuyến tính và cho phép chúng ta có thể mô hình hóa được nhiều hệ thực tế hơn [58, 71, 82]. Hệ suy biến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế [56], mạng lưới điện [9], cơ học [57]. . . . Do đó, bài toán ổn định, điều khiển cho các lớp hệ suy biến cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước [9, 17, 19, 31, 40, 51, 73, 92, 93]. Việc nghiên cứu bài toán ổn định cho lớp hệ suy biến có trễ phức tạp hơn so với nghiên cứu các hệ vi phân tuyến tính thông thường vì hai lý do chính sau đây: (1) Với hệ suy biến, bài toán tồn tại duy nhất nghiệm không phải bao giờ cũng thỏa mãn mà phải cần thêm một số ràng buộc cho sự tồn tại nghiệm [17]. (2) Khi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, việc xây dựng hàm Lyapunov và đánh giá đạo hàm của hàm Lyapunov dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ khó khăn hơn so với hệ thông thường [26, 40]. Phương pháp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cũng được phát triển và mở rộng cho các lớp hệ suy biến. Tuy nhiên, các điều kiện đưa ra dựa trên phương pháp này thường khó thỏa mãn hơn vì nó cần thêm các điều kiện ràng buộc về mặt đại số và các điều kiện về tồn tại duy nhất nghiệm. Để mở rộng lớp hàm Lyapunov, năm 2014, Liu Z.Y., Lin C. và Chen B. [53] đã phát triển phương pháp chuyển đổi lớp hệ suy biến về lớp hệ trung tính. Thông qua việc nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ trung tính thì tính ổn định của lớp hệ suy biến cũng được đảm bảo. Phương pháp chuyển đổi này đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hướng nghiên cứu này cũng được kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức tích phân Wirtinger [83] và bất đẳng thức tích phân dựa trên ma trận tự do [100] để đưa ra các tiêu chuẩn ổn định tốt hơn cho lớp hệ có trễ suy biến [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hầu hết các kết quả hiện nay chỉ mới sử dụng các hàm Lyapunov chứa hạng tử tích phân hai lớp. Hơn nữa, kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ chưa được phát triển cho lớp hệ suy biến. Trong Luận án, chúng tôi xây dựng một lớp hàm Lyapunov mở rộng với một ma trận phụ thuộc trễ và chứa hạng tử tích phân ba lớp để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ vi phân suy biến có trễ sau:  E x(t) ˙ = Ax(t) + Ah x(t − h(t)), t ≥ 0, (2)  x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], trong đó E là ma trận suy biến và trễ biến thiên h(t) thỏa mãn 0 ≤ h(t) ≤ h, ˙ µ1 ≤ h(t) ≤ µ2 . Đạo hàm của hàm Lyapunov được đánh giá thông qua bất đẳng thức tích phân Wirtinger cải tiến [76] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85]. Từ đó, một tiêu chuẩn mới đảm bảo tính ổn định cho hệ vi phân suy biến (2) với độ trễ lớn hơn được thiết lập (Định lý 2.2). 4
Đối với bài toán đánh giá trạng thái cho các lớp hệ có nhiễu, kỹ thuật đánh giá hàm tuyến tính trạng thái sẽ giúp đưa ra các đánh giá chặt hơn so với việc đánh giá toàn bộ vectơ bằng phương pháp Elipsoid. Các kết quả đánh giá hàm tuyến tính trạng thái chỉ mới xét cho lớp hệ vi phân [64, 65]. Trong Luận án, chúng tôi mở rộng bài toán đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho lớp hệ sai phân sau:  x(k + 1) = Ax(k) + A x(k − h(k)) + Bω(k), k ∈ N , d 0 (3)  x(k) = 0, k ∈ {−h2 , . . . , 0}. Bằng cách xây dựng một hạng tử toàn phương của hàm tuyến tính trạng thái trong lớp hàm Lyapunov, một điều kiện đủ cho sự tồn tại các chặn cho hàm tuyến tính trạng thái của hệ sai phân (3) được đưa ra (Định lý 3.1). Kết quả đưa ra được áp dụng để thiết lập một hình đa diện bao tập đạt được cho hệ (3) và nhỏ hơn các bao tập đạt được bằng các hình elipsoid như các phương pháp thông thường. Với bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ dương, cho đến năm 2018, chưa có bất cứ tác giả nào sử dụng phương pháp so sánh nghiệm để đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến có nhiễu bị chặn. Bài toán mở này được chúng tôi phát triển cho lớp hệ dương suy biến sau:  x(t) ˙ = Ax(t) + By(t − h1 (t)) + ω(t), t ≥ t0 ≥ 0, (4) y(t) = Cx(t) + Dy(t − h2 (t)) + d(t), trong đó A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm, D là một ma trận Schur. Thông qua việc khai thác một cách hữu hiệu hơn các tính chất của ma trận dương, ma trận Metzler, chúng tôi đề xuất được một đánh giá nghiệm mới, chặt hơn cho lớp hệ dương suy biến không có nhiễu. Kết hợp kết quả thu được và phương pháp so sánh nghiệm, chúng tôi mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến (4) và đề xuất một thuật toán tính toán để đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ này (Định lý 3.4). Với các kết quả nghiên cứu đã đạt được, nội dung chính của Luận án được bố cục trong ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hai mô hình thực tiễn, nhắc lại một số khái niệm và các kiến thức chuẩn bị được sử dụng trong Luận án gồm: Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ, Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu và Một số bổ đề bổ trợ. Chương 2 trình bày hai kết quả mới cho tính ổn định cho hai lớp hệ tuyến tính có trễ. Cụ thể, chúng tôi trình bày các tiêu chuẩn ổn định hữu hiệu hơn cho hệ sai phân có trễ trong Định lý 2.1 và cho hệ vi phân suy biến có trễ trong Định lý 2.2. Để minh 5
họa cho tính hữu hiệu của các tiêu chuẩn đưa ra, chúng tôi xét các ví dụ số và trình bày các bảng so sánh giữa các cận đã đạt được với các cận thu được bởi các kết quả gần đây. Chương 3 trình bày hai kết quả mới cho bài toán đánh giá trạng thái cho hai lớp hệ có trễ và nhiễu bị chặn. Cụ thể, chúng tôi đưa ra đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân trong Định lý 3.1 và đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ vi phân đại số dương trong Định lý 3.4. Hơn nữa, chúng tôi xét các ví dụ số, lập bảng so sánh và hình vẽ để minh họa cho tính hữu hiệu của kết quả đạt được. Các kết quả chính của Luận án được công bố trong các bài báo [1-4] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án và đã được báo cáo tại: • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang, 14-18/08/2018. • Hội thảo “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần III”, Trường Đại học Tây Nguyên, Đăklăk, 02-04/08/2019. • Seminar Khoa Toán và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định. Bình Định, tháng 05 năm 2020 Tác giả Lưu Thị Hiệp 6
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hai mô hình thực tiễn, bài toán ổn định cho hệ có trễ và bài toán đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu bị chặn, trình bày một số khái niệm và phương pháp nghiên cứu cho hai bài toán này. Chúng tôi cũng nhắc lại một số bổ đề bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của Luận án. Kiến thức sử dụng trong chương này được tham khảo trong [2, 6, 7, 22, 30, 33, 43, 46, 55, 66, 67, 68, 69, 70, 74, 75, 76, 80, 85, 89, 91, 96, 99]. 1.1 Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ 1.1.1 Mô hình thực tiễn Trong mục này, chúng tôi trình bày hai mô hình thực tiễn phổ biến được mô hình hóa bằng hệ phương trình vi phân có trễ. Hai mô hình này được giới thiệu trong hai tài liệu kinh điển [22, 30]. Mô hình 1 ([30], Quá trình gia công kim loại). Hình 1.1 mô tả một quá trình gia công kim loại bao gồm một phôi hình trụ quay với vận tốc góc không đổi ω, y(·) là quỹ đạo của lưỡi dao, máy cắt di chuyển dọc theo trục của phôi với vận tốc tuyến tính không đổi ωf /2π, f là tỷ lệ bước dao theo chiều dài trên mỗi vòng quay tương ứng với độ dày thông thường của phôi bào bị loại bỏ. Khi dụng cụ chạy, vì rung của máy và các cơ cấu cơ khí làm cho đầu lưỡi dao không đứng yên mà bị rung theo nên đầu lưỡi dao không đi trên một đường thẳng mà đi trên đường lượn sóng. Do đó, người ta sẽ thiết kế thêm một bộ giảm rung để có một bề mặt trơn. Bộ giảm rung này bao gồm một lò xo có độ cứng k và hệ số giảm rung c được mô tả trong Hình 1.2.
Hình 1.1 Quá trình gia công kim loại Hình 1.2 Mô hình rung động tái sinh Để giảm rung, người ta điều chỉnh k, c sao cho quỹ đạo của lưỡi dao dao động quanh điểm cân bằng. Với vận tốc góc của phôi là ω, thời gian để phôi hoàn thành một vòng quay là τ = 2π/ω. Khi đó, độ dày của phôi bào sau một vòng quay là y(t) − y(t − τ ). Quá trình gia công kim loại phụ thuộc vào độ dày của phôi bào và được mô tả bằng phương trình có trễ như sau: m¨ ˙ + ky(t) = −Ft (f + y(t) − y(t − τ )), y (t) + cy(t) (1.1) trong đó m, c và k phản ánh quán tính, đặc tính giảm rung và độ cứng lò xo của máy công cụ, y(·) là quỹ đạo chuyển động của lưỡi dao, Ft (·) là lực cắt phụ thuộc độ dày phôi bào tức thời f + y(t) − y(t − τ ). Mô hình 2 ([22], Bộ giảm rung cộng hưởng). Mô hình của bộ giảm rung cổ điển được minh họa trong Hình 1.3 bao gồm: một vật cấu trúc chính có khối lượng mp , một lò xo có độ cứng kp và một bộ giảm rung có hệ số giảm cp , phụ thuộc vào lực điều hòa f (t), xp (·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng mp ; một vật thêm vào có khối 8
lượng ma , bộ giảm rung có hệ số ca , lò xo có độ cứng ka được gắn vào một cấu trúc chính, xa (·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng ma . Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển Các thông số ka , ca , ma , kp và cp cần được thiết kế phù hợp để làm giảm rung tốt nhất. Để tăng hiệu suất chống rung của hệ thống, người ta thiết kế thêm một điều khiển cộng hưởng u(t) tác động vào hệ thống và gọi là bộ giảm rung cộng hưởng. Bộ giảm rung cộng hưởng được minh họa trong Hình 1.4 sau: Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng Khác với Hình 1.3, giữa hai vật ma và mp trong Hình 1.4 có thêm điều khiển u(t). Điều khiển u(t) làm nảy sinh lực điều hòa, triệt tiêu các rung động không mong muốn của cấu trúc chính và được mô tả bởi phương trình sau: ma x¨a (t) + ca x˙ a (t) + ka xa (t) = u(t). Người ta sẽ thiết kế u(t) sao cho cấu trúc chính ổn định với tốc độ nhanh nhất. Thông thường người ta thiết kế điều khiển u(t) dựa trên tốc độ trạng thái ở quá khứ, x˙ a (t−τ1 ) 9
và trạng thái hiện tại, xa (t) như sau: u(t) = g1 x˙ a (t − τ1 ) + g2 xa (t), trong đó g1 , g2 là phản hồi đạt được và τ1 là độ trễ. Tuy nhiên, thông tin trạng thái xa (t) khó sử dụng một cách tức thời. Do đó, để tăng cường hiệu suất, người ta sử dụng tốc độ trạng thái ở quá khứ, x˙ a (t − τ1 ) và trạng thái ở quá khứ, xa (t − τ2 ), cụ thể, u(t) = g1 x˙ a (t − τ1 ) + g2 xa (t − τ2 ), (1.2) trong đó τ2 là độ trễ. Khi đó, với điều khiển u(t) như trong (1.2), phương trình chuyển động của hệ thống được viết thành hệ có trễ như sau: ma x¨a (t) + ca x˙ a (t) + ka xa (t) − g1 x˙ a (t − τ1 ) − g2 xa (t − τ2 ) = 0. 1.1.2 Hệ vi phân (a) Phương trình hệ vi phân có trễ Trong mục này, chúng tôi trình bày dạng tổng quát của hệ phương trình vi phân có trễ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (trễ) 0 ≤ h < +∞ và x(·) là một hàm liên tục trên R, nhận giá trị trong Rn , với mỗi t ∈ R ta xây dựng hàm xt ∈ C, phụ thuộc trễ thời gian như sau: xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0], trong đó C := C ([−h, 0], Rn ) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn . Như vậy, đồ thị của xt là một đoạn quỹ đạo của đồ thị của x(·) trên [t − h, t], tức là xt (s) là biến trạng thái x(·) tại các thời điểm quá khứ t + s, s ∈ [−h, 0]. Chuẩn của xt là chuẩn trong C được xác định bởi ||xt || = sup ||x(t + s)||. Khi đó, hệ phương trình có s∈[−h,0] trễ mô tả sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi trạng thái của hệ thống tại thời điểm t vào các trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t−h, t] được cho dưới dạng:  x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0, (1.3) x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], trong đó f : R0,+ × C → Rn là hàm vectơ cho trước và hàm ϕ ∈ C là hàm giá trị ban đầu với kϕk = sup kϕ(s)k. s∈[−h,0] Nghiệm x(·) của hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] được ký hiệu x(t, ϕ). Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3), ta giả thiết: (i) Hệ (1.3) luôn có nghiệm x(t) ≡ 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R0,+ . 10
(ii) Hệ (1.3) luôn thỏa mãn các điều kiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm đến vô cùng. (b) Các khái niệm ổn định Trong mục này, chúng tôi nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.3): Định nghĩa 1.1 ([7]). Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là (i) ổn định nếu với mọi số > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ thì ||x(t, ϕ)|| < với mọi t ≥ 0. (ii) ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa mãn ||ϕ|| < δ0 thì lim ||x(t, ϕ)|| = 0. t→+∞ (iii) ổn định mũ nếu tồn tại số M > 0 và số α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, ϕ) của hệ thỏa mãn ||x(t, ϕ)|| ≤ M e−αt ||ϕ|| với mọi t ≥ 0. Khi đó M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định. Để cho ngắn gọn, thay vì nói nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ). (c) Phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp hàm Lyapunov là một trong những phương pháp phổ biến dùng để nghiên cứu tính ổn định cho các hệ động lực. Phương pháp hàm Lyapunov dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được kiểm tra thông qua dấu đạo hàm của hàm Lyapunov. Phương pháp này được mở rộng cho lớp hệ có trễ [99] và được trình bày trong Định lý 1.1 dưới đây. Cho một hàm liên tục V : R × C → R0,+ và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3). Ta định nghĩa đạo hàm của V (t, xt ) dọc theo nghiệm của hệ (1.3) như sau: 1 V˙ (t, xt ) = lim sup [V (t + s, xt+s ) − V (t, xt )]. s→0+ s Với giả thiết f : Rn × D → Rn , D là một tập bị chặn trong C thì điều kiện ổn định của hệ (1.3) được trình bày trong Định lý sau: 11