Luận án Tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên

Chia sẻ: Lê Thị Hồng Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:133

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án gồm các nội dung: kiến thức chuẩn bị; điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ dưới ngôn ngữ; điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên đạo hàm tiếp liên; điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng Vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên. Mời các bạn cùng tham khảo luận án để nắm rõ các nội dung nghiên cứu của luận án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ————————— TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ............***............ TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Đỗ Văn Lưu 2. TS. Nguyễn Công Điều Hà Nội - 2018
ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình. Tác giả Trần Văn Sự
iii LỜI CẢM ƠN Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy. Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và Seminar tại Bộ môn Toán của trường Đại học Thăng Long Hà Nội và Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, GS.TS. Trần Vũ Thiệu, GS. TS. Nguyễn Bường, GS. TS. Đặng Quang Á, TS. Nguyễn Minh Tuấn, v.v. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quảng Nam, Khoa Toán - Đại học Quảng Nam; Phòng Đào tạo Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; Các thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin được cảm ơn anh chị em cùng nhóm nghiên cứu, bạn bè và đồng nghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án. Bản luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẽ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả thành kính dâng tặng món quà này lên các bậc sinh thành và gia đình thân yêu bé nhỏ của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. Tác giả Trần Văn Sự
Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Một số ký hiệu và viết tắt vi Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1. Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án . . . . . . 9 1.1.1. Tập tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3. Các hàm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4. Trên đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2. Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng . . . . . . . 23 1.2.1. Bài toán cân bằng vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Bài toán tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.3. Bất đẳng thức biến phân vectơ . . . . . . . . . . . . 29 1.3. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên 32 2.1. Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) . . . . . . . . . . . . 44
v 2.3. Áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ) và bài toán tối ưu vectơ (CVOP1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên 55 3.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên với đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) . . 60 3.2.1. Trường hợp không gian Banach . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2. Trường hợp hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) . 79 3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên 90 4.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2. Điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3. Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.4. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Kết luận chung 115 Danh mục các công trình đã công bố 117 Tài liệu tham khảo 118
Một số ký hiệu và viết tắt (LBD) tính chất đạo hàm bị chặn dưới (KRZ) điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe (CQ1) điều kiện chính quy thứ nhất (CQ2) điều kiện chính quy thứ hai IM in(A|Q) tập các điểm cực tiểu lý tưởng của tập A theo nón Q M in(A|Q) tập các điểm cực tiểu Pareto của tập A theo nón Q IM ax(A|Q) tập các điểm cực đại lý tưởng của tập A theo nón Q M ax(A|Q) tập các điểm cực đại Pareto của tập A theo nón Q f+ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị f + Q từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu của F graphF đồ thị của F epiF trên đồ thị của F hypF dưới đồ thị của F Dc F (x, y) đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) Dc2 F (x, y, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w DF (x, y) trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) 2 D F (x, y, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w DF (x, y) dưới đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) D2 F (x, y, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của F tại (x, y) theo hướng w Dc f (x) đạo hàm tiếp liên của f tại x
vii Dc2 f (x, w) đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w Df (x) trên đạo hàm tiếp liên của f tại x 2 D f (x, w) trên đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w Df (x) dưới đạo hàm tiếp liên của f tại x D2 f (x, w) dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai của f tại x theo hướng w df (x, v) đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v df (x, v) dưới đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v df (x, v) trên đạo hàm Hadamard của f tại x theo hướng v ∇f (x) đạo hàm Fréchet của f tại x T (M, x) nón tiếp liên của M tại x A(M, x) nón kề hay nón các hướng chấp nhận được của M tại x IT (M, x) nón tiếp tuyến phần trong của M tại x ITs (M, x) nón tiếp tuyến phần trong theo dãy của M tại x N (M, x) nón pháp tuyến của M tại x T 2 (M, x, u) tập tiếp liên cấp hai của M tại x theo hướng u A2 (M, x, u) tập kề cấp hai của M tại x theo hướng u IT 2 (M, x, u) tập tiếp tuyến phần trong cấp hai của M tại x theo hướng u Q+ nón đối ngẫu của Q int(Q+ ) phần trong của Q+ tương ứng với tôpô mạnh β(Y ∗ , Y ) Q] tựa phần trong của Q+ cone A bao nón của tập A (V EP ) bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc (CV EP ) bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (V OP ) bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc (CV OP ) bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (V V I) bất đẳng thức biến phân vectơ không ràng buộc (CV V I) bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc
Mở đầu Bài toán cân bằng vectơ (vector equilibrium problem) có vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian gần đây bao gồm các nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, độ nhạy nghiệm, điều kiện tối ưu và thuật toán tìm nghiệm do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh [1], [2]; Ansari [3], [4], [5], [6]; Bianchi [11], [12]; Feng-Qiu [18]; Khanh-Tung [45], [46]; Luu [56], [57], [59], [62], [63]; Su [72], [73]; Tan [75], [76], [77], [78],v.v... Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ bài toán cân bằng vô hướng được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 bởi Blum và Oettli [10], và nó bao hàm được nhiều bài toán khác nhau như trường hợp đặc biệt, chẳng hạn bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ, bài toán bù vectơ, v.v... Về điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ hiện nay là một chủ đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, Luu [54], [59], [60] dẫn các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ không trơn có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức và một số áp dụng cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ; Feng và Qiu [18] nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc trong không gian Banach; Gong [26], [27] thu được điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ khả vi và lồi tổng quát cùng với một số áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ; Long-Huang và Peng [49] dẫn điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi suy rộng và áp dụng; Jiménez và Novo [40] thiết lập điều kiện tối ưu cấp
2 hai cho bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu với các hàm khả vi hai lần, v.v... Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định cho điều kiện cấp một và với lớp hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai. Khái niệm đạo hàm tiếp liên của một ánh xạ đa trị được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1981 bởi Aubin [7], thực ra nó là một sự mở rộng từ khái niệm khả vi Fréchet rất tự nhiên với các hàm đa trị và có vai trò quan trọng trong giải tích và giải tích ứng dụng. Ví dụ như một số điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu địa phương của các bài toán tối ưu vectơ đa trị với dữ liệu lồi tổng quát có thể mô tả dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên, chẳng hạn Aubin và Ekeland [8], Corley [13] và Luc [51]. Bên cạnh đó, một số điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu và cực tiểu chặt địa phương cấp một của các bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc có thể được dẫn thông qua khái niệm đạo hàm tiếp liên với lớp các hàm ổn định, xem Jiménez và Novo [37]. Chú ý rằng để dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán cân bằng vectơ, các song hàm được xét nhất thiết phải có đồ thị lồi. Để vượt qua sự bất tiện này, Jahn và Rauh [35] đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị vào năm 1997 và áp dụng chúng để dẫn các điều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị, Chen và Jahn [14] đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên tổng quát của một ánh xạ đa trị vào năm 1998 và áp dụng kết quả cho các bài toán cân bằng vectơ đa trị. Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp từ kết quả đa trị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn. Để nghiên cứu các điều kiện tối ưu với dữ liệu không trơn cho lớp các bài toán tối ưu đơn trị, dựa vào định nghĩa của Aubin [7], Jiménez và Novo [37] đã chứng minh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững, ổn định, khả vi Hadamard, khả vi Fréchet và thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ không ràng buộc và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều. Một số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez và Novo [37] là chưa
3 đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức. Ngoài ra, một số áp dụng kết quả thu được cho bài toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot cổ điển cũng chưa thực hiện trong [37]. Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyết các vấn đề mở vừa được đề cập ở trên (xem Định lí 2.1-2.10, Ví dụ 2.2-2.3). Khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên ta chú ý rằng đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ đa trị. Hơn nữa, nói chung đạo hàm tiếp liên là một ánh xạ có giá trị không lồi và ánh xạ giá trị này chỉ lồi trong một số trường hợp đặc biệt. Do đó, chúng ta có thể sử dụng công cụ trên và dưới đạo hàm tiếp liên và tập tiếp liên cấp một và cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ. Đầu tiên, Rodríguez-Marín và Sama [70] nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên, các mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều. Sau đó, Rodríguez-Marín và Sama [71] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên của một ánh xạ đa trị trên quan điểm biến phân và thu được các kết quả tồn tại chúng qua một họ các hệ thống biến phân liên kết và mở rộng được các kết quả tồn tại đó (xem [70]), v.v... Một số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama [70], [71] là chưa nghiên cứu sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trị tùy ý với không gian ảnh là Banach. Về điều kiện tối ưu, Jiménez - Novo và Sama [38] chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa phương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định. Trường hợp về điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được nghiên cứu trong Jiménez - Novo và Sama [38] và cũng chưa từng được nghiên cứu bởi các tác giả khác. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach (xem Mệnh đề 3.1, 3.2, 3.5), mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp
4 liên (xem Mệnh đề 3.3) và dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập (xem Định lí 3.1, 3.2) và có đầy đủ ràng buộc (xem Định lí 3.5, 3.6) qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach, và cuối cùng chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu ổn định làm cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai (xem Định lí 3.4). Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng của nó đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn [17], [30], [31], [32], [33], [34], [40], [42], [43], [44], [47], [48], [52], [54], [58], [60], [65], [67] và [74]. Trong các công trình được liệt kê ở trên, có nhiều bài báo sử dụng khái niệm đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên cấp hai để nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai, chẳng hạn, Durea [17] sử dụng đạo hàm tiếp liên cấp hai để thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị, Jahn - Khan và Zeilinger [34] đã đề xuất các khái niệm trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và cấp hai tổng quát và nhận được các điều kiện tối ưu cấp hai dạng cơ bản (primal form), Khan và Tammer [44] đã thiết lập các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên cấp hai tiệm cận, Li - Zhu và Teo [47] nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh tổng quát và nhận được các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ đa trị chỉ có ràng buộc tập, v.v... Ta nhận thấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach là chưa được nghiên cứu, các kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ được thực hiện cho trường hợp bài toán có ràng buộc tập. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach (xem Mệnh đề 4.1-4.4 ) và xây dựng các điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó (xem Định lí 4.1-4.4). Bởi vì các tập tiếp liên cấp hai không lồi thậm chí tập đã cho là lồi và cũng không là một nón mà nói chung chỉ là một tập đóng. Do đó, chúng ta
5 không thể áp dụng kết quả nghiên cứu điều kiện tối ưu qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai. Vì vậy, trong luận án chúng tôi nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai mang tính kế thừa từ các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp một qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai, thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên để kiểm tra một điểm chấp nhận được cho trước là một nghiệm hữu hiệu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc. Kết quả nghiên cứu này là cơ sở để thiết lập điều kiện tối ưu cấp hai và cấp cao cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ tổng quát dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach trong tương lai. Một trong những ưu điểm nổi bật khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ so với các bài toán khác là có thể áp dụng kết quả này cho từng dạng đặc biệt của nó như bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ và nhiều bài toán khác. Bên cạnh đó, yếu tố vi phân quyết định đến kết quả nhận được, xem [53], [55], [57], [59], [63], [64], v.v... Việc sử dụng lớp hàm ổn định và lớp hàm vững để nghiên cứu các tính chất của đạo hàm, trên và dưới đạo hàm tiếp liên nhằm làm giàu thêm các tính chất của nó là cần thiết, và hơn nữa, từ đó ta sẽ dẫn được các điều kiện tối ưu cho các bài toán cân bằng vectơ. Một chú ý khác cũng cần được quan tâm ở đây là lớp hàm vững rộng hơn lớp hàm Lipschitz địa phương và lớp hàm khả vi Hadamard. Do đó, ta có thể áp dụng kết quả thu được khi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với hàm ổn định cho hàm Lipschitz địa phương và hàm khả vi Hadamard. Một trong những phương pháp quen thuộc trong quá trình nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên là nghiên cứu ở dạng cơ bản (primal form) và sau đó sử dụng định lí tách (mạnh) trong giải tích lồi của Rockafellar [69] để đưa về dạng đối ngẫu (dual form). Các điều kiện tối ưu kiểu Kuhn-Tucker hay Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu thường được quan tâm trước tiên và từ các kết quả đó có thể áp dụng cho các loại nghiệm khác như các nghiệm hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho bài toán cân bằng vectơ. Các kết quả thu được cũng có thể áp dụng trực
6 tiếp vào bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ, xem [24], [25], [26], [27], [28], [29], [32], [49], [68], [72], [73]. Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau: 1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều. 2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với hàm vững, hàm khả vi Hadamard và hàm khả vi Fréchet. 3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với lớp hàm tùy ý. 4) Áp dụng một số kết quả đã nhận được vào bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của luận án gồm bốn chương: Chương 1 giới thiệu và trình bày các kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án, các kết quả chính của luận án nằm ở trong các Chương 2, 3, 4. Chương 1 giới thiệu các khái niệm về nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu yếu địa phương, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ; trình bày các định nghĩa về nón tiếp liên, tập tiếp liên cấp hai, đạo hàm tiếp liên, trên (t.ứ., dưới) đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai của một ánh xạ đa trị. Trình bày các khái niệm về hàm ổn định, hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một số công thức liên quan đến đạo hàm tiếp liên. Trình bày các khái niệm về điểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón cùng với một số tính chất quan trọng của chúng. Phần cuối cùng của Chương 1 trình bày
7 nguồn gốc bài toán cân bằng vectơ, bài toán tối ưu vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ. Chương 2 nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush- Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Trong chương này, chúng tôi có đưa ra hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2) làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện tối ưu kiểu Karush - Kuhn - Tucker và Karush - Kuhn - Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó có ví dụ thực tế về mô hình bài toán sản xuất - vận tải và mô hình bài toán cân bằng Nash-Cournot. Phần đầu tiên của Chương 3 và 4 nghiên cứu các kết quả tồn tại trên đạo hàm tiếp liên và công thức biểu diễn của nó dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với các hàm đơn trị tùy ý. Trong các kết quả liên quan đến trên đạo hàm tiếp liên cấp hai, chúng tôi sử dụng không gian l2 để mô tả kết quả thu được. Phần thứ hai của Chương 3 nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp các không gian đầu - cuối đều là Banach và không gian đầu Banach, không gian cuối hữu hạn chiều. Phần cuối chương này nghiên cứu điều kiện tối ưu Kuhn - Tucker cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc dựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZ). Nhiều ví dụ được cung cấp để mô tả chi tiết kết quả nhận được. Phần thứ hai của Chương 4 nghiên cứu các điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach. Phần cuối cùng của chương này chúng tôi đưa vào Giả thiết 4.1 làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý. Nhiều ví dụ minh họa liên quan đến không gian Banach l2
8 được trình bày. Các kết quả của luận án được báo cáo tại: • Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015; • Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội 21-23/04/2016; • Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau. Chương 1 gồm hai phần. Phần đầu trình bày một số khái niệm và kết quả về giải tích không trơn, giải tích Lipschitz và giải tích đa trị. Phần thứ hai dành cho việc trình bày các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp đặc biệt của nó cùng với một số điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định. 1.1. Một số khái niệm liên quan đến nội dung luận án 1.1.1. Tập tiếp tuyến Để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán tối ưu vectơ người ta thường sử dụng các nón tiếp liên (contingent cones) và các tập tiếp liên cấp hai (second-order contingent sets). Các kết quả trong tiểu mục này được tham khảo trong các tài liệu tham khảo [7], [9], [32], [37], [38], [40], [41], [70], [71]. Giả sử X là một không gian định chuẩn, X ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của X. Ta có các định nghĩa nón tiếp liên của một tập tại một điểm cho trước như sau.
10 Định nghĩa 1.1 ([37], Định nghĩa 2.1) Cho M ⊂ X và x ∈ clM. (i) Nón tiếp liên T (M, x) của M tại x được xác định bởi T (M, x) = {v ∈ X :∃tn → 0+ , ∃(vn )n≥1 ⊂ X, vn → v sao cho x + tn vn ∈ M ∀ n ∈ N}. (ii) Nón kề hay nón các hướng chấp nhận được A(M, x) của M tại x được xác định bởi A(M, x) = {v ∈ X :∀tn → 0+ , ∃(vn )n≥1 ⊂ X, vn → v sao cho x + tn vn ∈ M ∀ n ∈ N}. (iii) Nón tiếp tuyến phần trong IT (M, x) của M tại x được xác định bởi IT (M, x) = {v ∈ X :∃ δ > 0 sao cho x + tu ∈ M ∀ t ∈ (0, δ], ∀ u ∈ B(v, δ)}. Trong đó, B(v, δ) là hình cầu mở tâm v bán kính δ. (iv) Nón tiếp tuyến phần trong theo dãy ITs (M, x) của M tại x được xác định bởi ITs (M, x) = {v ∈ X :∃ δ > 0, ∃ tn → 0+ sao cho x + tn u ∈ M ∀ n ∈ N, ∀ u ∈ B(v, δ)}. (v) Nón pháp tuyến N (M, x) của M tại x được xác định bởi N (M, x) = {ξ ∈ X ∗ : hξ, vi ≤ 0 ∀ v ∈ T (M, x)}. Dễ dàng nhận thấy A(M, x), T (M, x) là các nón đóng, IT (M, x) là một nón mở và chúng thỏa mãn bao hàm thức IT (M, x) ⊂ A(M, x) ⊂ T (M, x) ⊂ cl cone(M − x), trong đó cone(M − x) = {t(x − x) : t ≥ 0, x ∈ M } là bao nón của tập M − x hay hình nón sinh bởi tập M − x; các ký hiệu int M và cl M thay cho phần trong và bao đóng của tập M tương ứng. Về mặt hình học, nón tiếp liên của tập M ⊂ R2 tại gốc tọa độ O là đường thẳng tiếp tuyến với M tại O. Để làm sáng tỏ ý nghĩa hình học này, chúng tôi cung cấp một số ví dụ minh họa đơn giản sau.
11 Ví dụ 1.1 (i) Xét M1 là đồ thị của parabol y = x2 xác định trên toàn bộ trục thực R. Khi đó, T (M1 , (0, 0)) = {(u, 0) : u ∈ R} là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 tại gốc O(0, 0). p (ii) Xét M2 là đồ thị hàm số y = − |x| xác định trên toàn bộ trục thực R. Khi đó, T (M2 , (0, 0)) = {(0, v) : v ≤ 0} là tiếp tuyến chung của √ √ đồ thị hàm số y = − x và y = − −x tại gốc O(0, 0). (iii) Xét M3 = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≥ 2, y ≤ x3 }. Khi đó, dễ dàng thấy rằng T (M3 , (1, 1)) = {(x, y) ∈ R2 : 3x ≥ y ≥ −x} là phần giới hạn bởi các đường thẳng y = −x và y = 3x với x ≥ 0. Khi M là tập lồi, ta có các tính chất thú vị cho các nón tiếp liên. Mệnh đề 1.1 ([40], Mệnh đề 2.3) Cho M ⊂ X là một tập con lồi và x ∈ clM. Khi đó, (i) A(M, x) = T (M, x) = cl cone(M − x). Nếu thêm int M 6= ∅ thì (ii) IT (M, x) = IT (intM, x) = int cone(M − x). (iii) cl IT (M, x) = A(M, x) = T (M, x). (iv) N (M, x) = −(T (M, x))+ , trong đó (T (M, x))+ ký hiệu nón đối ngẫu của T (M, x). Mở rộng Định nghĩa 1.1 theo một phương u cho trước, ta được Định nghĩa 1.2 ([32], [41], các Định nghĩa 1 và 2.1 ) Cho M ⊂ X và x, u ∈ X. (i) Tập tiếp liên cấp hai T 2 (M, x, u) của M tại x theo phương u có dạng T 2 (M, x, u) = {x ∈ X : ∃tn → 0+ , ∃(xn )n≥1 ⊂ X, xn → x sao cho 1 x + tn u + t2n xn ∈ M ∀ n ∈ N}. 2 (ii) Tập kề cấp hai A2 (M, x, u) của M tại x theo phương u có dạng A2 (M, x, u) = {x ∈ X : ∀tn → 0+ , ∃(xn )n≥1 ⊂ X, xn → x sao cho 1 x + tn u + t2n xn ∈ M ∀ n ∈ N}. 2
12 (iii) Tập tiếp tuyến phần trong cấp hai IT 2 (M, x, u) của M tại x theo phương u có dạng IT 2 (M, x, u) = {x ∈ X : ∀tn → 0+ , ∀(xn )n≥1 ⊂ X, xn → x sao cho 1 x + tn u + t2n xn ∈ M với mọi n đủ lớn}. 2 Chú ý rằng T 2 (M, x, u) và A2 (M, x, u) là các tập đóng, IT 2 (M, x, u) là mở và nếu M lồi thì A2 (M, x, u) và IT 2 (M, x, u) lồi. Ngoài ra, nếu u 6∈ T (M, x) thì tất cả các tập tiếp liên cấp hai trên bằng rỗng, và do đó ta luôn đặt giả thiết x ∈ cl M và u ∈ T (M, x) trong mọi phát biểu. Khi u = 0 thì các tập tiếp liên cấp hai trở thành các nón tiếp liên tương ứng. Ví dụ 1.2 Xét M1 và x như trong Ví dụ 1.1. Chọn tùy ý (u, v) ∈ T (M1 , x), nghĩa là u ∈ R và v = 0. Tính toán trực tiếp ta được T 2 (M1 , (0, 0), (u, v)) = {(x, y) ∈ R2 : y = 2u2 }. Tương tự, với (u, v) ∈ T (M2 , (0, 0)) \ {(0, 0)} ta cũng có T 2 (M2 , (0, 0), (u, v)) = {(x, y) ∈ R2 : |x| = 2v 2 }. Mệnh đề sau mô tả một số tính chất cơ bản về tập tiếp liên cấp hai. Mệnh đề 1.2 ([32], Mệnh đề 1) Cho M ⊂ X và x, u ∈ X. (i) IT 2 (M, x, u) ⊂ A2 (M, x, u) ⊂ T 2 (M, x, u) ⊂ cl cone[cone(M −x)−u]. (ii) IT 2 (M, x, u) = IT 2 (intM, x, u) nếu intM 6= ∅. Nếu thêm M lồi có phần trong khác rỗng và u ∈ T (M, x) thì (iii) IT 2 (M, x, u) ⊂ intA2 (M, x, u) ⊂ int cone[cone(M − x) − u]. (iv) Nếu A2 (M, x, u) 6= ∅ thì IT 2 (M, x, u) = intA2 (M, x, u) và cl IT 2 (M, x, u) = A2 (M, x, u). (v) Nếu u ∈ cone(M − x) thì (a) A2 (M, x, u) = cl cone[cone(M − x) − u]. (b) IT 2 (M, x, u) = int cone[cone(M − x) − u].